Sabtu, 26 Maret 2016

Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral

         Blog Koma - Setelah kita mempelajari cara mengintegralkan suatu fungsi baik itu fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri, sudah saatnya kita akan mempelajari penggunaan integral itu sendiri. Ada beberapa penggunaan dari integral diantaranya yaitu menghitung luas daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva, menghitung volume benda putar, dan menghitung panjang lintasan suatu kurva. Pada artikel ini akan kita bahas salah satunya yaitu Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral.

         Dalam mempelajari materi Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral ini, ada beberapa hal yang harus kita kuasai terlebih dahulu selain menguasai cara pengintegralan yaitu menggambar grafik suatu fungsi. Grafik atau kurva yang biasa dihitung luasnya adalah grafik fungsi linear (berupa garis) dan grafik fungsi kuadrat (berupa parabola). Terkadang juga melibatkan grafik dengan fungsi selain linear dan kuadrat dimanan untuk menggambar kurvanya bisa menggunakan turunan yang bisa dibaca pada artikel Menggambar Grafik Fungsi Menggunakan Turunan.

         Cara Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral sebenarnya dibagi menjadi dua secara garis besarnya yaitu luas daerah dengan batas ada di sumbu X dan luas daerah yang batasnya ada pada sumbu Y. Kemudian untuk masing-masing baik batas di sumbu X maupun sumbu Y dibagi lagi menjadi beberapa bagian. Untuk lebih jelasnya, mari kita simak materinya langsung pada penjabaran berikut ini.

Luas Daerah dengan Batas pada Sumbu X
$\spadesuit \, $ Luas Daerah dibatasi Satu Kurva pada sumbu X
       Untuk daerah yang dibatasi oleh satu kurva memiliki dua tipe luas yaitu luas dengan daerah di atas sumbu X dan daerah berada di bawah sumbu X seperti gambar berikut ini :
*). Luas Daerah R di atas sumbu X yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) \, $ , sumbu X, garis $ x = a \, $ dan garis $ x = b \, $ , dengan $ f(x) \geq 0 \, $ pada interval $[a,b] \, $ , dapat dihitung dengan rumus integral :
              Luas R $ \, = \int \limits_a^b f(x) dx $.
*). Luas Daerah S di bawah sumbu X yang dibatasi oleh kurva $ y = g(x) \, $ , sumbu X, garis $ x = c \, $ dan garis $ x = d \, $ , dengan $ g(x) \leq 0 \, $ pada interval $[c,d] \, $ , dapat dihitung dengan rumus integral :
              Luas S $ \, = - \int \limits_c^d g(x) dx $.
Catatan : Kenapa luas daerah di bawah sumbu X diberi tanda negatif? karena nilai fungsi di bawah sumbu X negatif padahal luasan suatu daerah selalu bernilai positif sehingga diberi atau dikalikan negatif agar bernilai positif.

$\spadesuit \, $ Luas Daerah dibatasi Dua Kurva pada sumbu X
       Untuk luas daerah yang terletak di antara dua kurva dengan batas ada di sumbu X bisa dilihat gambar berikut ini.
Daerah U terletak antara dua kurva (dibatasi oleh dua kurva) yaitu kurva fungsi $ y_1 = f(x) \, $ dan $ y_2 = g(x) \, $ dengan batas pada sumbu X yaitu terletak pada interval $[a,b] \, $ secara umum dapat dihitung dengan MENGURANGKAN KURVA ATAS dan KURVA BAWAH dimanapun letak kurva tersebut. Sehingga luas daerah U dapat dihitung dengan rumus :
              Luas U $ \, = \int \limits_a^b (y_1 - y_2) dx = \int \limits_a^b (f(x) - g(x)) dx $
Contoh Soal Luas Daerah pada Sumbu X :
1). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = 4x - x^2, x = 1, x = 3$, dan sumbu X.

Penyelesaian :
*). Kita gambar dulu kurva dan arsiran daerah yang dimaksud.
Untuk cara menggambarnya, silahkan baca artikel Sketsa dan Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat.
*). Menentukan luas daerah yang diarsir :
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_1^3 f(x) dx \\ & = \int \limits_1^3 (4x - x^2) dx \\ & = [2x^2 - \frac{1}{3}x^3]_1^3 \\ & = [2.3^2 - \frac{1}{3}.3^3] - [2.1^2 - \frac{1}{3}.1^3] \\ & = [18 - 9] - [2 - \frac{1}{3} ] \\ & = 7\frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ 7\frac{1}{3} \, $ satuan luas.

2). Tentukan luas daerah yang diarsir pada Gambar berikut dengan menggunakan integral.

Penyelesaian :
*). Karena L2 terletak di bawah sumbu X (bernilai negatif), L2 diberi tanda negatif (agar menjadi positif). Oleh karena itu, luas daerah yang dicari adalah sebagai berikut.
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = L_1 + (-L_2) = L_1 - L_2 \\ & = \int \limits_0^1 ( x^2 - 5x + 4) dx - \int \limits_1^4 ( x^2 - 5x + 4) dx \\ & = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 4x]_0^1 - [\frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 4x]_1^4 \\ & = 6\frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ 6\frac{1}{3} \, $ satuan luas.

3). Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ f(x) = - sin x , \, 0 \leq x \leq 2\pi $, dan sumbu-x.

Penyelesaian :
*). Kita gambar dulu kurva $ f(x) = - \sin x \, $ dan daerah arsirannya.
*). Menentukan luas daerah arsiran.
Luas daerah arisran terdiri dari dua daerah yaitu A1 dan A2, dimana A2 ada di bawah sumbu X sehingga kita berikan tanda negatif agar luasnya positif.
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = A_1 + (-A_2) = A_1 - A_2 \\ & = \int \limits_\pi^{2\pi} ( -\sin x) dx - \int \limits_0^\pi (-\sin x) dx \\ & = [\cos x]_\pi^{2\pi} - [\cos x]_0^\pi \\ & = ([\cos 2\pi ] - [\cos \pi ] ) - ([\cos \pi ] - [\cos 0 ] ) \\ & = ([1] - [ - 1] ) - ([ - 1 ] - [ 1 ] ) \\ & = (2 ) - (- 2) \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 4 satuan luas.

4). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 2x \, $ dan $ y = 6x - x^2 $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kedua kurva :
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 2x & = 6x - x^2 \\ 2x^2 - 8x & = 0 \\ 2x(x-4) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 4 \end{align} $
artinya titik potong kedua kurva di $ x = 0 \, $ dan $ x = 4 $.
*). Berikut gambar daerahnya,
*). Menentukan luas daerah arsiran.
Daerah arsiran dibatasi oleh dua kurva yaitu $ y = x^2 - 2x \, $ (di atas) dan $ y = 6x-x^2 \, $ (di bawah).
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_0^4 [( x^2 - 2x ) - ( 6x-x^2) ] dx \\ & = \int \limits_0^4 ( 2x^2 - 8x ) dx \\ & = [ \frac{2}{3}x^3 - 4x^2 ]_0^4 \\ & = 21\frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 21\frac{1}{3} \, $ satuan luas.

5). Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ f(x) = 4 - x^2$, garis $ x = 0$, dan di atas garis $ y = 1$, di kuadran I.
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kedua kurva :
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ 4 - x^2 & = 1 \\ x^2 & = 3 \\ x & = \pm \sqrt{3} \\ x = -\sqrt{3} \vee x & = \sqrt{3} \end{align} $
Karena daerah yang dimaksud adalah kuadran I, maka titik potong yang dipakai adalah $ x = \sqrt{3} \, $ (positif).
*). Berikut gambar daerahnya,
*). Menentukan luas daerah arsiran.
Daerah arsiran dibatasi oleh dua kurva yaitu $ y = 4 - x^2 \, $ (di atas) dan $ y = 1 \, $ (di bawah).
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_0^\sqrt{3} [( 4 - x^2 ) - ( 1 ) ] dx \\ & = \int \limits_0^\sqrt{3} [3 - x^2 ] dx \\ & = [3x - \frac{1}{3}x^3 ]_0^\sqrt{3} \\ & = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 2\sqrt{3} \, $ satuan luas.

Luas Daerah dengan Batas pada Sumbu Y
       Bagaimana dengan luas daerah dengan batas yang ada pada sumbu Y? Rumus dan cara penghitungannya hampir sama dengan luas daerah dengan batas pada sumbu X, hanya saja fungsinya harus diubah menjadi bentuk $ x = f(y) \, $ . Sementara luas yang dibatasi oleh dua kurva, caranya PENGURANGAN FUNGSI KURVA KANAN DAN FUNGSI KURVA KIRI. Kesulitan dari luas daerah yang batasnya pada sumbu Y adalah dalam mengubah fungsinya menjadi bentuk $ x = f(y) $. Sehingga kebanyakan soal dikerjakan dengan cara menggunakan batas pada sumbu X seperti di atas.
Contoh soal :
6). Kita akan coba untuk menghitung luas daerah dengan integral pada contoh soal nomor 5 di atas dengan batas yang kita gunakan ada pada sumbu Y.
Fungsinya adalah $ y = 4 - x^2 \rightarrow x = \sqrt{4 - y } $.
Batasnya adalah dari $ y = 1 \, $ sampai $ y = 4 $.
Rumus dasar yang digunakan : $ \int k(ax+b)^n dx = \frac{k}{a} \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + c $.
*). Menghitung luasnya :
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_1^4 \sqrt{4 - y } dy \\ & = [ -\frac{2}{3} (4 - y)^\frac{3}{2} ]_1^4 \\ & = [ -\frac{2}{3} (4 - 4)^\frac{3}{2} ] - [ -\frac{2}{3} (4 - 1)^\frac{3}{2} ] \\ & = [ 0 ] - [ -\frac{2}{3} (3)^\frac{3}{2} ] \\ & = [ 0 ] - [ -\frac{2}{3} 3\sqrt{3} ] \\ & = [ 0 ] - [ -2\sqrt{3} ] \\ & = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 2\sqrt{3} \, $ satuan luas.

Contoh soal yang belum diketahui fungsinya.
7). Hitunglah luas daerah yang diarsir berikut ini :
Penyelesaian :
a). Daerah gambar (a) dibatasi oleh fungsi linear (garis lurus), sehingga kita harus menentukan fungsi linearnya terlebih dahulu karena fungsinya belum ada. Silahkan baca materi : Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus.
*). Garis melalui titik $(x_1,y_1) = (-2,0)\ , $ dan $ (x_2,y_2) = (0,1) $ :
*). Persamaan garis lurusnya :
$\begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-0}{1-0} & = \frac{x-(-2)}{0-(-2)} \\ \frac{y}{1} & = \frac{x + 2}{2} \\ y & = \frac{1}{2}x + 1 \end{align} $
Artinya fungsi linearnya adalah $ y = \frac{1}{2}x + 1 $
*). Menghitung luasnya :
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_0^2 \frac{1}{2}x + 1 dx \\ & = [ \frac{1}{4}x^2 + x ]_0^2 \\ & = [ \frac{1}{4}. 2^2 + 2 ] - [ \frac{1}{4}x.0^2 + 0 ] \\ & = [ 3 ] - [ 0 ] \\ & = 3 \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 3 \, $ satuan luas.

b). Daerah gambar (b) dibatasi oleh fungsi kuadrat (karena kurvanya berupa parabola), sehingga kita harus menentukan fungsi kuadratnya. Silahkan baca materi : Menyusun dan Menentukan Fungsi Kuadrat.
*). Titik puncaknya $(x_p,y_p) = (3,0) \, $ dan melalui titik (0,3)
*). Menyusun fungsi kuadratnya :
$\begin{align} y & = a(x-x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x-3)^2 + 0 \\ y & = a(x-3)^2 \, \, \, \, \, \, \text{[substitusi titik (0,3)]} \\ 3 & = a(0-3)^2 \\ 3 & = 9a \\ a & = \frac{1}{3} \end{align} $
Artinya fungsi kuadratnya adalah
$ y = \frac{1}{3} (x-3)^2 = \frac{1}{3} (x^2 - 6x + 9) \rightarrow y = \frac{1}{3}x^2 - 2x + 3 $
*). Menghitung luasnya :
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_0^3 \frac{1}{3}x^2 - 2x + 3 dx \\ & = [ \frac{1}{9}x^3 - x^2 + 3x ]_0^3 \\ & = [ \frac{1}{9}.3^3 - 3^2 + 3.3 ] - [ \frac{1}{9}.0^3 - 0^2 + 3.0 ] \\ & = [ 3 ] - [ 0 ] \\ & = 3 \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 3 \, $ satuan luas.

       Dari semua contoh dan cara penghitungan Luas Daerah Menggunakan Integral di atas, perlu kita ketahui bahwa setiap pengerjaan menggunakan integral harus memerlukan fungsi kurva masing-masing, daerah arsiran, dan batasan baik pada sumbu X maupun sumbu Y. Untuk pemilihan batas integralnya (sumbu X atau sumbu Y) sebaiknya kita sesuaikan dengan masing-masing soal dan fungsi yang ada.

       Apakah bisa menentukan luas daerah menggunakan integral tanpa harus menggambar kurvanya? Untuk beberapa jenis soal memang bisa tanpa harus menggambar grafiknya atau kurvanya terlebih dahulu. Silahkan baca materinya pada artikel : cara cepat menghitung luas daerah berkaitan integral.

1 komentar: