Jumat, 03 Juli 2015

Sketsa dan Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik Fungsi Kuadrat
         Blog Koma - Grafik fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2+bx+c \, $ secara umum berbentuk lintasan parabola (bisa menghadap ke atas, ke bawah, ke kanan, dan ke kiri) seperti gambar berikut ini.

         Hal unik yang perlu kita ketahui untuk sketsa dan menggambar grafik fungsi kuadrat yaitu grafik fungsi kuadrat berupa parabola dan arah atau hadap dari parabolanya tergantung dari nilai $ a \, $ nya. Nilai $ a \, $ dari fungsi kuadrat ini juga akan membantu kita untuk mengetahui jenis titik puncak dari grafik fungsi kuadratnya. Menggambar grafik fungsi kuadrat ini sangat penting karena biasanya ada kaitannya dengan matri lain pada matematika yaitu "menentukan luas dan volume benda putar menggunakan integral" suatu daerah.

         Tentu sobat bertanya, bagaimana cara menggambar grafik fungsi kuadrat ini? sebenarnya mudah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat, ada dua cara yaitu dengan sketsa biasa dan dengan teknik menggeser. Sketsa langsung grafik fungsi kuadrat digunakan ketika parabolanya memiliki titik potong terhadap sumbu X. Sementara teknik menggeser grafik fungsi kuadrat kita gunakan ketika grafiknya tidak memeiliki titik potong pada sumbu X. Sebenarnya teknik menggesaer ini sifatnya lebih umum, berlaku untuk semua jenis grafik baik ada titik potong atau tidak ada titik potong pada sumbu X. Berikut penjelasan tentang sketsa grafik fungsi kuadrat.
Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat (FK)
         Langkah-langkah sketsa grafik fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ :
1). Menentukan titik potong (tipot) pada sumbu X (jika ada) dengan cara mensubstitusi $ y = 0 \, $ , sehingga diperoleh akar-akar dari $ ax^2+bx+c = 0 \, $ yaitu $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Artinya tipotnya $ (x_1,0) \, $ dan $ (x_2,0) $ .

2). Menentukan titik potong (tipot) pada sumbu Y dengan cara mensubstitusi $ x = 0 \, $ , sehingga diperoleh $ y = c \, $ . Artinya tipotnya $ (0,c) $

3). Menentukan titik balik/puncak $ (x_p,y_p) $
Rumus : $ x_p = \frac{-b}{2a} \, $ dan $ y_p = \frac{D}{-4a} \, $ atau $ y_p = f(x_p)= f\left( \frac{-b}{2a} \right) $
Sehingga titik balik/puncaknya :
$ (x_p,y_p)= \left( \frac{-b}{2a} , \frac{D}{-4a} \right) \, $ atau $ (x_p,y_p)= \left( \frac{-b}{2a} , f\left( \frac{-b}{2a} \right) \right) $

4). Menentukan sembarang titik bantuan lainnya agar menggambar lebih mudah, dengan cara memilih beberapa nilai $ x \, $ dan disubstitusikan ke FK.
         dengan $ D = b^2 - 4ac \, ( D \, $ disebut nilai Diskriminan seperti pada persamaan kuadrat).
Sumbu Simetri pada grafik fungsi kuadrat
         Garis $ x = x_p \, $ disebut sumbu simetri yaitu garis yang membagi parabola menjadi dua bagian sama besar ruas kanan dan ruas kiri dari sumbu simetri atau ruas atas dan bawah dari sumu simetri. Lihat gambar berikut
         Untuk lebih jelas tentang cara sketsa grafik fungsi kuadrat, silahkan pelajari contoh berikut ini.
Contoh
Gambarlah grafik dari fungsi kuadrat $ y = x^2-2x-15 \, $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ FK $ y = x^2-2x-15 \rightarrow a= 1 , \, b= -2, \, c = -15 $
$\spadesuit \, $ Langkah-langkah sketsa grafik fk
1). Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $
$ x^2-2x-15 = 0 \rightarrow (x+3)(x-5)=0 \rightarrow x = -3 \vee x = 5 $
Tipot sumbu X : $ ( -3,0) \, $ dan $ ( 5,0) $
2). Tipot sumbu Y , substitusi $ x = 0 $
$ y = x^2-2x-15 \rightarrow y = 0^2-2.0-15 \rightarrow y = -5 $
Tipot sumbu Y : $ (0,-15) $
3). Titik balik/puncaknya $ (x_p,y_p) $
$ x_p = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2.1} = 1 $
$ y_p = \frac{D}{-4a} = \frac{b^2-4ac}{-4a} = \frac{(-2)^2-4.1.(-15)}{-4.1} = -16 $
atau cara lain menentukan nilai $ y_p \, $
$ y_p = f(x_p) = f(1) = 1^2-2.1-15 = -16 $
titik balik/puncaknya : $ (x_p , y_p) = ( 1, -16) $
Persamaan sumbu simetrinya : $ x = x_p \rightarrow x = 1 $
Berikut gambar dari langkah-langkah di atas.
Keterangan gambarnya :
Nilai Maksimum dan minimum fungsi kuadrat
         Untuk nilai maksimum dan minimum suatu fungsi kuadrat $ y = ax^2+bx+c \, $ bisa dilihat dari posisi titik balik yang bergantung dari nilai $ a \, $ nya.
*). Jika nilai $ a \, $ positif ($a > 0 $) , maka kurva akan mengahdap ke atas yang artinya titik baliknya ada di bawah. Pada keadaan ini akan diperoleh nilai minimum.
*). Jika nilai $ a \, $ negatif ($a < 0 $) , maka kurva akan mengahdap ke bawah yang artinya titik baliknya ada di atas. Pada keadaan ini akan diperoleh nilai maksimum.
         Nilai maksimum atau minimum ini akan sangat berguna pada soal-soal cerita yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum, materi ini akan diperdalam pada penerapan fungsi kuadrat .

         Dari penjelasan dan konsep serta contoh menggambar grafik fungsi kuadrat dengan teknik sketsa langsung, langkah-langkah yang harus kita lakukan yaitu menentukan titik potong grafik pada sumbu-sumbu baik sumbu X maupun sumbu Y, menentukan titik puncak grafik, dan menentukan beberapa titik lain agar grafiknya lebih baik. Namun untuk penerapan dalam integral nantinya, menggambar grafik fungsi kuadrat tidak perlu sedetail ini, cukup kita mencari titik potong sumbu X dan nilai $ a \, $ saja untuk arah atau hadap dari grafiknya.

1 komentar: