Eksponen dan Bentuk Akar Olim Matik SMA


         Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Eksponen dan Bentuk Akar Olim Matik SMA. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Eksponen dan Bentuk Akar Olim Matik SMA. Tentuk masih ada banyak lagi bentuk Eksponen dan Bentuk Akar lainnya pada materi olim matik SMA yang bisa sahabat koma pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Eksponen dan Bentuk Akar ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba, setelah dicoba, silahkan sahabat koma cocokkan dengan alternatif penyelesaian yang ada dibagian bawahnya.


A. Definisi Eksponen
       Berikut definisi eksponen:

$ a^n = \underbrace{a\times a\times a \times a \times ...\times a}_{\text{sebanyak } n} $

Keterangan:
$ a = \, $ basis/bilangan pokok
$ n = \, $ pangkat/eksponen
B. Sifat-sifat Eksponen
       Berikut beberapa sifat-sifat eksponen:

1). $ a^m . a^n = a^{m+n} $
2). $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $
3). $ (a^m)^n = a^{m.n} $
4). $ (a.b)^n = a^n . b^n $
5). $ \left( \frac{a}{b} \right) ^n = \frac{a^n}{b^n} $
6). $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \, $ dengan $ a \neq 0 $
7). $ a^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{a} $
8). $ a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m} = \left( \sqrt[n]{a} \right) ^m$
9). $ a^0 = 1 $ dengan $ a \neq 0 $

Contoh 1:
Bilangan $ \Large \frac{(2^4)^8}{(4^8)^2} $ bentuk sederhananya adalah ...?

Contoh 2:
Manakah yang lebih besar $ 2^{175} $ atau $ 5^{75} $. Buktikan.

C. Persamaan Eksponen
       Beberapa bentuk persamaan Eksponen yaitu:

1). $ a^{f(x)} = a^{p} \rightarrow f(x) = p $
2). $ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
3). $ a^{f(x)} = b^{f(x)} \rightarrow f(x) = 0 $

4). $ h(x)^{f(x)} = h(x){f(x)} \rightarrow $ solusinya:
i). $ f(x) = g(x) $
ii). $ h(x) = 1 $
iii). $ h(x) = 0 \rightarrow $ pangkat sama-sama positif
iv). $ h(x) = -1 \rightarrow $ pangkat sama-sama genap/ganjil

5). $ h(x)^{f(x)} = g(x){f(x)} \rightarrow $ solusinya:
i). $ h(x) = g(x) $
ii). $ h(x) = - g(x) \rightarrow $ pangkat genap
iii). $ f(x) = 0 \rightarrow h(x) \neq 0 \text{ dan } g(x) \neq 0 $

6). Bentuk $ a (m^{f(x)} ) ^2 + b (m^{f(x)} + c = 0 $
Misalkan $ p = m^{f(x)} $
Soal menjadi: $ ap^2 + bp + c = 0 $

Contoh 3:
Nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ 4^{x+3} = \sqrt[4]{8^{x+5}} $ adalah ...?

Contoh 4:
Jika $ 5^{3x} = 8 $ , maka $ 5^{3+x} = ... $

Contoh 5:
Jumlah akar-akar persamaan $ 5^{x+1} + 5^{6-x} = 11 $ adalah ...?

D. Bentuk Akar
(i). Operasi Bentuk Akar

1). $ p \sqrt[n]{a} \pm q \sqrt[n]{a} = ( p \pm q) \sqrt[n]{a} $
2). $ \sqrt{a} . \sqrt{b} = \sqrt{a.b} $
3). $ p\sqrt{a} . q\sqrt{b} = pq\sqrt{a.b} $
4). $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $
5). $ \frac{p\sqrt{a}}{q\sqrt{b}} = \frac{p}{q} \sqrt{\frac{a}{b}} $
(ii). Akar dalam Akar

1). $ \sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $
2). $ \sqrt{(a+b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} $ dengan $ a > b $
(iii). Merasionalkan Penyebut

Untuk merasionalkan cukup dengan mengalikan bentuk sekawannya.
$ \sqrt{a} \, $ bentuk sekawannya $ \sqrt{a} $
$ \sqrt{a} + \sqrt{b} \, $ bentuk sekawannya $ \sqrt{a} - \sqrt{b} $
$ a - \sqrt{b} \, $ bentuk sekawannya $ a + \sqrt{b} $
$ p\sqrt{a} + q\sqrt{b} \, $ bentuk sekawannya $ p\sqrt{a} - q\sqrt{b} $.

Catatan:
*). Bentuk sekawan di atas berlaku sebaliknya.
*). Untuk perkaliannya: $ (P+Q)(P-Q) = P^2 - Q ^2 $
*). $ (\sqrt{A})^2 = A $ dengan $ A \geq 0 $.

Contoh 6:
Ubahlah bentuk akar berikut:
a). $ \sqrt{7+2\sqrt{10}} $
b). $ \sqrt{5-2\sqrt{6}} $
c). $ \sqrt{8+4\sqrt{3}} $

Contoh 7:
Misalkan $ a $ dan $ b $ adalah bilangan asli dengan $ a > b $. Jika $ \sqrt{94 + 2\sqrt{2013}} = \sqrt{a}+\sqrt{b} $, maka nilai dari $ a = b = ...$?

Contoh 8:
Rasionalkan bentuk akar berikut:
a). $ \frac{-4}{5 - \sqrt{6}} $
b). $ \frac{8}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} $

Contoh 9:
Jika $ \large \frac{2015}{\sqrt[3]{6} - 1} = a(\sqrt[3]{36} = \sqrt[3]{b} + 1) $ dimana $ 400 < a < 500 $ , maka nilai dari $ a + b = ... $


Pembahasan Contoh Soal-soal:
       Berikut ada beberapa soal yang berkaitan dengan materi Eksponen dan Bentuk Akar Olim Matik SMA untuk menambah wawasan dalam pemahaman materinya. Silahkan dicoba dulu soal-soalnya, kemudian untuk mengecek jawabannya salah atau benar, bisa lihat solusi dengan mengklik tombol solusi di bagian bawah setiap soalnya.

Contoh Soal-soal dan Solusinya:

Contoh 1:
Bilangan $ \Large \frac{(2^4)^8}{(4^8)^2} $ bentuk sederhananya adalah ...?
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ (a^m)^n = a^{m.n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan:
$ \begin{align} \Large \frac{(2^4)^8}{(4^8)^2} & = \frac{2^{32}}{4^{16}} = \frac{2^{32}}{(2^2)^{16}} = \frac{2^{32}}{2^{32}} = 1 \end{align} $

Jadi, nilai $ \Large \frac{(2^4)^8}{(4^8)^2} = 1 . \, \heartsuit $
Contoh 2:
Manakah yang lebih besar $ 2^{175} $ atau $ 5^{75} $. Buktikan.
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ (a^m)^n = a^{m.n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah ke bentuk pangkat yang sama sehingga tinggal membandingkan basisnya saja.
$ \begin{align} 2^{175} & ... \, \, 5^{75} \\ (2^7)^{25} & ... \, \, (5^3)^{25} \\ 128^{25} & ... \, \, 125^{25} \\ 128^{25} & > \, \, 125^{25} \end{align} $
Sehingga $ 2^{175} $ lebih besar dari $ 5^75 $

Jadi, $ 2^{175} $ lebih besar dari $ 5^75 . \, \heartsuit $
Contoh 3:
Nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ 4^{x+3} = \sqrt[4]{8^{x+5}} $ adalah ...?
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ (a^m)^n = a^{m.n} $
*). $ \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah ke basis yang sama:
$ \begin{align} 4^{x+3} & = \sqrt[4]{8^{x+5}} \\ (2^2)^{x+3} & = 8^\frac{x+5}{4} \\ 2^{2x+6} & = (2^3)^\frac{x+5}{4} \\ 2^{2x+6} & = 2^\frac{3x+15}{4} \\ 2x+6 & = \frac{3x+15}{4} \\ 4(2x+6) & = 3x+15 \\ 8x + 24 & = 3x+15 \\ 5x & = -9 \\ x & = -\frac{9}{5} \end{align} $

Jadi, nilai $ x = -\frac{9}{5} . \, \heartsuit $
Contoh 4:
Jika $ 5^{3x} = 8 $ , maka $ 5^{3+x} = ... $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ (a^m)^n = (a^n)^m $
*). $ a^n = b^n \rightarrow a = b $
$ a^{m+n} = a^m . a^n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan hasilnya:
$ \begin{align} 5^{3x} & = 8 \rightarrow (5^x)^3 = 2^3 \rightarrow 5^x = 2 \\ 5^{3+x} & = 5^3. 5^x \\ & = 125 \times 2 \\ & = 250 \end{align} $

Jadi, nilai $ 5^{3+x} = 250 . \, \heartsuit $
Contoh 5:
Jumlah akar-akar persamaan $ 5^{x+1} + 5^{6-x} = 11 $ adalah ...?
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ a^m . a^n = a^{m+n} $
*). $ a^m = a^n \rightarrow m = n $
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c= 0 $
Operasi akar: $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = 5^x $
$ \begin{align} 5^{x+1} + 5^{6-x} & = 11 \\ 5^x. 5^1 + \frac{5^6}{5^x} & = 11 \\ p. 5 + \frac{5^6}{p} & = 11 \, \, \, \text{ (kali } p) \\ 5p^2 + 5^6 & = 11p \\ 5p^2 - 11p + 5^6 & = 0 \end{align} $
dengan akar-akar $ p_1 = 5^{x_1} $ dan $ p_2 = 5^{x_2} $

*). Operasi perkalian akar PK:
$ \begin{align} 5p^2 - 11p + 5^6 & = 0 \rightarrow a = 5, b = -11 , c = 5^6 \\ p_1 . p_2 & = \frac{c}{a} \\ 5^{x_1} . 5^{x_2} & = \frac{5^6}{5} \\ 5^{x_1+x_2} & = 5^5 \\ x_1+x_2 & = 5 \end{align} $

Jadi, nilai $ x_1+x_2 = 5 . \, \heartsuit $
Contoh 6:
Ubahlah bentuk akar berikut:
a). $ \sqrt{7+2\sqrt{10}} $
b). $ \sqrt{5-2\sqrt{6}} $
c). $ \sqrt{8+4\sqrt{3}} $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Akar dalam Akar

1). $ \sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $
2). $ \sqrt{(a+b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} $ dengan $ a > b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah dan menyederhanakan:
a). $ \sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{(5+2)+2\sqrt{5.2}} = \sqrt{5} + \sqrt{2} $
a). $ \sqrt{5-2\sqrt{6}} = \sqrt{(3+2)+2\sqrt{3.2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2} $
a). $ \sqrt{8+4\sqrt{3}} = \sqrt{8+2\sqrt{12}} = \sqrt{(6+2)+2\sqrt{6.2}} = \sqrt{6} + \sqrt{2} $

Jadi, diperoleh hasil di atas. $ \, \heartsuit $
Contoh 7:
Misalkan $ a $ dan $ b $ adalah bilangan asli dengan $ a > b $. Jika $ \sqrt{94 + 2\sqrt{2013}} = \sqrt{a}+\sqrt{b} $, maka nilai dari $ a = b = ...$?
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ \sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
Diketahui: $ \sqrt{94 + 2\sqrt{2013}} = \sqrt{a}+\sqrt{b} $
*). Mengubah bentuknya:
$ \sqrt{94 + 2\sqrt{2013}} = \sqrt{(61 + 33) + 2\sqrt{61 \times 33}} = \sqrt{61} + \sqrt{33} $
sama dengan $ \sqrt{a} + \sqrt{b} $,
artinya $ a = 61 $ dan $ b = 33 $.
Nilai $ a - b = 61 - 33 = 28 $.

Jadi, nilai $ a - b = 28 . \, \heartsuit $
Contoh 8:
Rasionalkan bentuk akar berikut:
a). $ \frac{-4}{5 - \sqrt{6}} $
b). $ \frac{8}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk Merasionalkan, kalikan dengan bentuk sekawannya

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Merasionalkan masing-masing:
a). $ \frac{-4}{5 - \sqrt{6}} = \frac{-4}{5 - \sqrt{6}} \times \frac{5 + \sqrt{6}}{5 + \sqrt{6}} = \frac{-4(5 + \sqrt{6})}{25 - 6} = -\frac{4}{19}(5 + \sqrt{6}) $
b). $ \frac{8}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{8(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2} = \frac{8}{3} (\sqrt{5}-\sqrt{2}) $

Jadi, diperoleh hasil di atas $ . \, \heartsuit $
Contoh 9:
Jika $ \large \frac{2015}{\sqrt[3]{6} - 1} = a(\sqrt[3]{36} = \sqrt[3]{b} + 1) $ dimana $ 400 < a < 500 $ , maka nilai dari $ a + b = ... $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ (\sqrt[3]{A})^3 = A $
*). $ (a - b)(a^2 + ab + b^2 ) = a^3 - b^3 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk $ \sqrt[3]{6} - 1 $
Misalkan $ a = \sqrt[3]{6} $ dan $ b = 1 $
$\begin{align} & \sqrt[3]{6} - 1 = a - b \\ & (\sqrt[3]{6} - 1)(\sqrt[3]{6^2} + \sqrt[3]{6} . 1 + 1^2 ) \\ & = (a-b)(a^2 + ab + b^2 ) \\ & = a^3 - b^3 \\ & = (\sqrt[3]{6})^3 - 1^3 \\ & = 6 - 1 = 5 \end{align} $
*). Merasionalkan:
Diketahui: $ \large \frac{2015}{\sqrt[3]{6} - 1} = a(\sqrt[3]{36} = \sqrt[3]{b} + 1) $
$\begin{align} \large \frac{2015}{\sqrt[3]{6} - 1} & = \large \frac{2015}{\sqrt[3]{6} - 1} \times \frac{\sqrt[3]{6^2} + \sqrt[3]{6} . 1 + 1^2}{\sqrt[3]{6^2} + \sqrt[3]{6} . 1 + 1^2} \\ & = \frac{2015(\sqrt[3]{6^2} + \sqrt[3]{6} . 1 + 1^2)}{5} \\ & = 403(\sqrt[3]{36} + \sqrt[3]{6} + 1) \\ & = a(\sqrt[3]{36} = \sqrt[3]{b} + 1) \end{align} $

Sehingga $ a = 403 $ dan $ b = 6 $
Nilai $ a + b = 403 + 6 = 409 $

Jadi, nilai $ a + b = 409 . \, \heartsuit $

Soal-soal Latihan
       Berikut ada beberapa soal Latihan yang berkaitan dengan materi Eksponen dan Bentuk Akar Olim Matik SMA untuk menambah wawasan dalam pemahaman materinya. Semoga bermanfaat.

1). Nilai dari $\Large { \frac{(2^{2022})^2 - (2^{2020} )^2 }{(2^{2023})^2 - (2^{2021} )^2 } } $ adalah ...?

2). Hasil perkalian semua bilangan ganjil positif kurang dari 10.000 adalah ... ?
(jawaban dalam bentuk faktorial dan perpangkatan)

3). Perhatikan penghitungan bentuk perpangkatan bentuk standar berikut:
$ \, \, \, \, \Large 2^{2^{2^2}} = 2^{2^{(2^2)}} = 2^{(2^4)} $ $ = 2^{16} = 65.536 $
Jika urutan pengerjaan pangkatnya diubah tidak sesuai dengan bentuk standar di atas, maka berapa banyak nilai lain yang mungkin diperoleh dan tentukan nilai tersebut?

4). Misalkan diketahui $ U = 2 \times 2004^{2005} $ , $ V = 2 \times 2004^{2004} $ , $ Y = 2004^{2004} $, dan $ Z = 2004^{2003} $. Dari operasi hitung $ U - V $, $ V - W $, $ W - X $, $ X - Y $, $ Y - Z $, manakah hasilnya yang terbesar?

5). Diketahui $ f(x) = x^{(x+1) } \times (x+2) ^ {(x+3) } $. Jika nilai dari $ f(0) + f(-1) + f(-2) + f(-3) = \frac{a}{b} $ dengan $ a $ dan $ b $ relatif prima, maka tentukan nilai dari $ a + b $.

6). Jika $ 2^{1998} - 2^{1997} - 2^{1996} + 2^{1995} = k \times 2^{1995} $, maka nilai $ k $ yang memenuhi adalah ...?

7). Himpunan penyelesaian dari persamaan $ 5^{8-2x} + 49 \times 5^{3-x} - 2 = 0 $ adalah ...?

8). Diketahui persamaan $ 3^{x^2 - 3x + 2} + 3^{x^2 -3x} = 10 $. Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah penyelesaiannya, maka $ 3^{x_1 + x_2 } = ...$?

9). Persamaan $ 54 (6^x) + 3^x = 6(18^x) + 9 $ mempunyai peyelesaian $ x_1 $ dan $ x_2 $. Nilai $ (x_1 . x_2 )^2 = ...$?

10). Sederhanakan bentuk $ \sqrt{45 +20\sqrt{5}} + \sqrt{45 - 20\sqrt{5}} $.

11). Tentukan nilai dari
$ (52 + 6\sqrt{43})^\frac{3}{2} - (52 - 6\sqrt{43})^\frac{3}{2} $

12). Sederhanakan $ \large \left[ 1 + \left( 3 + \sqrt{13}+4\sqrt{3} \right)^\frac{1}{2} \right] ^\frac{1}{2} $.

13). Jika $ a $ dan $ b $ bilangan bulat sehingga $ \sqrt{2010 + 2\sqrt{2009}} $ merupakan solusi persamaan kuadrat $ x^2 + ax + b = 0 $, maka nilai $ a + b = ...$?

14). Sederhanakan bentuk $ \large N = \frac{\sqrt{15}+\sqrt{35}+\sqrt{21}+5}{\sqrt{3}+2\sqrt{5}+\sqrt{7}} $

15). Hitunglah nilai dari $ \large \frac{1}{1-\sqrt[4]{5}} + \frac{1}{1+\sqrt[4]{5}} + \frac{2}{1+\sqrt{5}} $

16). Tentukan digit terakhir dari $\large \left( \frac{-2a}{4+a} - \frac{\sqrt{|a|-3}+\sqrt{3-|a|}}{3-a} \right)^{2025} $

17). Sederhanakan bentuk $ \large \sqrt[3]{3} \left( \sqrt[3]{\frac{4}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{1}{9}} \right) ^{-1} $

18). Diketahui $ \large a = \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} +1 $. Tentukan nilai dari $ \large \frac{3}{a} + \frac{3}{a^2 } + \frac{1}{a^3} $

19). Tentukan nilai dari $ \large \frac{x^4 - 6x^3 - 2x^2 + 18x + 23}{x^2 - 8x + 15 } $ untuk $ x = \sqrt{19-8\sqrt{3}} $.

20). Diketahui $ x + y = \sqrt{3\sqrt{5}-\sqrt{2}} $ dan $ x - y = \sqrt{3\sqrt{2}-\sqrt{5}} $. Tentukan nilai $ x.y $ ?

21). Sederhanakan bentuk-bentuk berikut:
a). $ \sqrt{7-\sqrt{15}-\sqrt{16-2\sqrt{15}}} $
b). $ \sqrt{16+2(2+\sqrt{5})(2+\sqrt{7})} $
c). $ \sqrt{4+\sqrt{15}} + \sqrt{4-\sqrt{15}} - 2\sqrt{3-\sqrt{5}} $
d). $ \sqrt{\frac{2}{5-2\sqrt{6}}} - \sqrt{\frac{2}{5+2\sqrt{6}}} $


Untuk Solusi Soal Latihan ini, silahkan ikuti link berikut ya:
Eksponen dan Bentuk Akar Olim Matik SMA.
(Masih dalam penyusunan).


Berikut Link Latihan Soal Pemantapan:
1). Soal Review Materi
2). Soal Latihan Timer A
3). Soal Latihan Timer B

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA

       Demikian pembahasan materi Eksponen dan Bentuk Akar Olim Matik SMA dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.