Prinsip Teleskopik Olim Matik SMA


         Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Prinsip Teleskopik Olim Matik SMA. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Prinsip Teleskopik Olim Matik SMA Level SMA Pemula. Tentuk masih ada banyak lagi bentuk Prinsip Teleskopik lainnya pada materi olim matik SMA yang bisa sahabat koma pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Prinsip Teleskopik ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba, setelah dicoba, silahkan sahabat koma cocokkan dengan alternatif penyelesaian yang ada dibagian bawahnya.

Prinsip Teleskopik
       Prinsip teleskopik banyak digunakan untuk menyederhanakan suatu deret. Ada dua bentuk umum yang dikenal yaitu penjumlahan dan perkalian:

1). Bentuk penjumlahan
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left(P_{i+1} - P_i \right) $
$ = (P_2 - P_1 ) + (P_3 - P_2) + (P_4 - P_3) + ... + (P_n - P_{n-1}) + (P_{n+1} - P_n) $
$ = P_{n+1} - P_1 $

2). Bentuk Perkalian
$ \displaystyle \prod_{i=1}^{n} \frac{P_{i+1}}{P_i} = \frac{P_2}{P_1}.\frac{P_3}{P_2}.\frac{P_4}{P_3}...\frac{P_n}{P_{n-1}}.\frac{P_{n+1}}{P_n}=\frac{P_{n+1}}{P_1} $

Pembahasan Contoh Soal-soal:
       Berikut ada beberapa soal yang berkaitan dengan materi Prinsip Teleskopik Olim Matik SMA untuk menambah wawasan dalam pemahaman materinya. Silahkan dicoba dulu soal-soalnya, kemudian untuk mengecek jawabannya salah atau benar, bisa lihat solusi dengan mengklik tombol solusi di bagian bawah setiap soalnya.

Contoh Soal-soal tanpa solusi:

Contoh 1:
Tentukan nilai $ \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{2022.2023}$?

Contoh 2:
Sederhanakan bentuk berikut!
$ \left( 1- \frac{1}{4}\right) \left( 1- \frac{1}{5}\right)\left( 1- \frac{1}{6}\right)...\left( 1- \frac{1}{2022}\right)$ ?

Contoh 3: Diketahui
$ A = \left( 1- \frac{1}{3}\right)\left( 1- \frac{1}{5}\right)\left( 1- \frac{1}{7}\right)...\left( 1- \frac{1}{2021}\right)\left( 1- \frac{1}{2023}\right) $
$ B = \left( 1+ \frac{1}{2}\right)\left( 1+ \frac{1}{4}\right)\left( 1+ \frac{1}{6}\right)...\left( 1+ \frac{1}{2022}\right)\left( 1+ \frac{1}{2024}\right) $
Bentuk sederhana dari $ A \times B = ...$?

Contoh 4:
Buktikan bahwa
$ \frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + ...+\frac{1}{\sqrt{2044} + \sqrt{2025}} = 44 $

Contoh 5:
Sederhanakan bentuk berikut!
$ 1. 1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 2022.2022! $

Contoh 6:
Tunjukkan bahwa $ \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{9999}{10000} < \frac{1}{100} $


Contoh Soal-soal dan Solusinya:

Contoh 1:
Tentukan nilai $ \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{2022.2023}$?
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ \frac{1}{k.(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} $
*). $ \frac{1}{k.(k+m)} = \frac{1}{m} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+m} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
$\begin{align} & \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{2022.2023} \\ & = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)+\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right)+ ... +\left( \frac{1}{2021} - \frac{1}{2022} \right)+\left( \frac{1}{2022} - \frac{1}{2023} \right) \\ & = \frac{1}{1} - \frac{1}{2023} = \frac{2022}{2023} \end{align} $

Jadi, hasilnya adalah $ \frac{2022}{2023} . \, \heartsuit $

Contoh 2:
Sederhanakan bentuk berikut!
$ \left( 1- \frac{1}{4}\right) \left( 1- \frac{1}{5}\right)\left( 1- \frac{1}{6}\right)...\left( 1- \frac{1}{2022}\right)$ ?
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk: $ 1 - \frac{1}{k} = \frac{k-1}{k} $
*). Prinsip Teleskopik perkalian
$ \displaystyle \prod_{i=1}^{n} \frac{P_{i+1}}{P_i} = \frac{P_2}{P_1}.\frac{P_3}{P_2}.\frac{P_4}{P_3}...\frac{P_n}{P_{n-1}}.\frac{P_{n+1}}{P_n}=\frac{P_{n+1}}{P_1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
$\begin{align} & \left( 1- \frac{1}{4}\right) \left( 1- \frac{1}{5}\right)\left( 1- \frac{1}{6}\right)...\left( 1- \frac{1}{2022}\right) \\ & = \left( \frac{3}{4}\right) \left( \frac{4}{5}\right)\left( \frac{5}{6}\right)...\left( \frac{2020}{2021}\right)\left( \frac{2021}{2022}\right) \\ & =\frac{3}{2022} = \frac{1}{674} \end{align} $

Jadi, hasilnya $ \frac{1}{674} . \, \heartsuit $

Contoh 3: Diketahui
$ A = \left( 1- \frac{1}{3}\right)\left( 1- \frac{1}{5}\right)\left( 1- \frac{1}{7}\right)...\left( 1- \frac{1}{2021}\right)\left( 1- \frac{1}{2023}\right) $
$ B = \left( 1+ \frac{1}{2}\right)\left( 1+ \frac{1}{4}\right)\left( 1+ \frac{1}{6}\right)...\left( 1+ \frac{1}{2022}\right)\left( 1+ \frac{1}{2024}\right) $
Bentuk sederhana dari $ A \times B = ...$?
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk: $ 1 - \frac{1}{k} = \frac{k-1}{k} $
*). Bentuk: $ 1 + \frac{1}{k} = \frac{k+1}{k} $
*). Prinsip Teleskopik perkalian
$ \displaystyle \prod_{i=1}^{n} \frac{P_{i+1}}{P_i} = \frac{P_2}{P_1}.\frac{P_3}{P_2}.\frac{P_4}{P_3}...\frac{P_n}{P_{n-1}}.\frac{P_{n+1}}{P_n}=\frac{P_{n+1}}{P_1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan masing-masing:
$ \begin{align} A & = \left( 1- \frac{1}{3}\right)\left( 1- \frac{1}{5}\right)\left( 1- \frac{1}{7}\right)...\left( 1- \frac{1}{2021}\right)\left( 1- \frac{1}{2023}\right) \\ & = \frac{2}{3} . \frac{4}{5} . \frac{6}{7} ... \frac{2020}{2021} . \frac{2022}{2023} \\ B & = \left( 1+ \frac{1}{2}\right)\left( 1+ \frac{1}{4}\right)\left( 1+ \frac{1}{6}\right)...\left( 1+ \frac{1}{2022}\right)\left( 1+ \frac{1}{2024}\right) \\ & = \frac{3}{2} . \frac{5}{4} . \frac{7}{6} ... \frac{2023}{2022} . \frac{2025}{2024} \end{align} $

*). Menentukan hasil perkaliannya:
$ \begin{align} A \times B & = \frac{2}{3} . \frac{4}{5} . \frac{6}{7} ... \frac{2020}{2021} . \frac{2022}{2023} \times \frac{3}{2} . \frac{5}{4} . \frac{7}{6} ... \frac{2023}{2022} . \frac{2025}{2024} \\ & = \frac{2}{3}.\frac{3}{2}.\frac{4}{5}.\frac{5}{4}.\frac{6}{7}.\frac{7}{6}...\frac{2022}{2023}.\frac{2023}{2022}.\frac{2025}{2024} \\ & = \frac{2025}{2024} \end{align} $

Jadi, hasilnya adalah $ \frac{2025}{2024} . \, \heartsuit $

Contoh 4:
Buktikan bahwa
$ \frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + ...+\frac{1}{\sqrt{2024} + \sqrt{2025}} = 44 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Merasionalkan bentuk akar:
$ \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah dan menyederhanakan:
$ \begin{align} & \frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + ...+\frac{1}{\sqrt{2024} + \sqrt{2025}} \\ & = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) +(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + ... \\ & \, \, \, \, \, \, \, \, ...+ (\sqrt{2024} - \sqrt{2023}) + (\sqrt{2025} - \sqrt{2024}) \\ & = - \sqrt{1} + \sqrt{2025} \\ & = -1 + 45 = 44 \end{align} $

Jadi, terbukti benar hasilnya $ 44 . \, \heartsuit $

Contoh 5:
Sederhanakan bentuk berikut!
$ 1. 1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 2022.2022! $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk $ k.k! = (k+1)! - k! $
Bukti:
$\begin{align} (k+1)! & = (k+1).k! \\ (k+1)! & = k.k! + k! \\ k. k! & = (k+1)! - k! \end{align} $

Contoh:
$ 1. 1! = (1+1)! - 1! = 2! - 1! $
$ 2.2! = (2+1)! - 2! = 3! - 2! $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah dan menyederhanakan:
$\begin{align} & 1. 1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 2022.2022! \\ & = (2!-1!) + (3!-2!) + (4!-3!) + ...+ (2022!-2021!) + (2023!-2022!) \\ & = -1! + 2023! \\ & = 2023! - 1 \end{align} $

Jadi, bentuk sederhananya adalah $ 2023! - 1 . \, \heartsuit $

Catatan:
Rumus sederhananya:
$ \displaystyle \sum_{k=1}^n k.k! = (n+1)! - 1 $

Contoh 6:
Tunjukkan bahwa $ \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{9999}{10000} < \frac{1}{100} $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Setiap bilangan real positif berlaku $ \frac{1}{k+1} < \frac{1}{k} $
*). Untuk sebarang bilangan real $ x > 1 $ berlaku $ \frac{x-1}{x} < \frac{x}{x+1} $
Pembuktian:
Karena $ x $ positif, maka $ x + 1 $ juga positif.
Untuk setiap bilangan real $ x $ berlaku $ x^2 - 1 < x^2 $
sehingga
$\begin{align} x^2 - 1 & < x^2 \\ (x-1)(x+1) & < x . x \\ \frac{x-1}{x} & < \frac{x}{x+1} \end{align} $

Contoh:
$ x = 2 \rightarrow \frac{1}{2} < \frac{2}{3} $
$ x = 3 \rightarrow \frac{2}{3} < \frac{3}{4} $
dan seterusnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan:
$ A = \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{9999}{10000} $
$ B = \frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}...\frac{10000}{10001} $
Dimana hasil perkalian $ A \times B $ yaitu
$ A \times B = \frac{1}{10001} $
Karena $ \frac{1}{10001} < \frac{1}{10000} $, maka $ A \times B < \frac{1}{10000} $.

*). Berdasarkan $ \frac{x-1}{x} < \frac{x}{x+1} $,
Kita peroleh:
$ \frac{1}{2} < \frac{2}{3} , \frac{2}{3} < \frac{3}{4}, \frac{5}{6} < \frac{6}{7}, \frac{9999}{10000} < \frac{10000}{10001} $
*). Kalikan semua bentuk ketaksamaannya (boleh dikalikan karena semuanya positif):
$\begin{align} \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{9999}{10000} & < \frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}...\frac{10000}{10001} \end{align} $
Artinya $ A < B $

*). Kalikan $ A $ pada kedua ruas dari $ A < B $
$ \begin{align} A & < B \\ A \times A & < A \times B \\ A^2 & < \frac{1}{10000} \\ A & < \frac{1}{100} \end{align} $

Jadi, terbukti bahwa $ A < \frac{1}{100} . \, \heartsuit $

Soal-soal Latihan
       Berikut ada beberapa soal Latihan yang berkaitan dengan materi Prinsip Teleskopik Olim Matik SMA untuk menambah wawasan dalam pemahaman materinya. Semoga bermanfaat.

1). Sederhanakanlah bentuk
$ \left( 1 - \frac{1}{2^2} \right)\left( 1 - \frac{1}{3^2} \right)\left( 1 - \frac{1}{4^2} \right)...\left( 1 - \frac{1}{2022^2} \right) $

2). Buktikan bahwa:
$ \frac{1}{1999} < \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{1997}{1998}<\frac{1}{44} $

3). Tentukan nilai $ a $ dan $ b $ dari bentuk berikut:
$(2+1)(2^2+1)(2^{2^2}+1)(2^{2^3}+1)...(2^{2^{2025}}+1) = 2^a + b $

4). Hitunglah bentuk berikut:
$ \frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}+...+\frac{1}{1998.3001} $

5). Sederhanakan bentuk berikut:
a). $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{4.6}+...+\frac{1}{n.(n+2)} $
b). $ \frac{3}{1^2.2^2}+\frac{5}{2^2.3^2}+\frac{7}{3^2.4^2}+...+\frac{2n+1}{n^2.(n+1)^2}$

6). Sederhanakan bentuk berikut:
a). $ \frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+...+\frac{n}{(n+1)!} $
b). $ \frac{2}{0!+1!+2!}+\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+...+\frac{n+1}{(n-1)!+n!+(n+1)!}$

7). Hitunglah bentuk berikut:
$ \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}} + \sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}} + ... + \sqrt{1+\frac{1}{2021^2}+\frac{1}{2022^2}} $

8). Hitunglah bentuk berikut:
$ \frac{2^2}{2^2 - 1}+\frac{3^2}{3^2 - 1}+\frac{4^2}{4^2 -1}+ ... + \frac{2022^2}{2022^2-1} $

9). Sederhanakanlah bentuk berikut:
$ 3.1! + 7.2! + 13.3! + ...+ (n^2 +n +1). n! $

10). Tentukan hasil dari:
$ \frac{1}{1.4.7}+\frac{1}{4.7.10}+\frac{1}{7.10.13}+...+\frac{1}{25.28.31}$

11). Misalkan $ f $ adalah fungsi yang memenuhi $ f(n)=f(n-1)+\frac{n}{2022} $ untuk setiap $ n $ bilangan asli. Jika $ f(0) = \frac{2021}{4044} $, maka tentukan nilai $ f(2022) $

12). Tentukan hasil dari:
$ \sqrt{1+\frac{1}{4}}.\sqrt{1+\frac{1}{5}}.\sqrt{1+\frac{1}{6}}...\sqrt{1+\frac{1}{2024}} $

13). Hitunglah bentuk berikut:
$ \frac{1}{1+2^{-2025}}+\frac{1}{1+2^{-2024}}+\frac{1}{1+2^{-2023}}+...+\frac{1}{1+2^0}+...+\frac{1}{1+2^{2023}}+\frac{1}{1+2^{2024}}+\frac{1}{1+2^{2025}} $

14). Hitunglah nilai dari
$ \displaystyle \sum_{k=1}^{2022} \frac{k^2 + 3k + 1}{(k+1)(k+2)} $

15). Buktikan bahwa hasil kali 99 bilangan $ \frac{k^3 - 1}{k^3 + 1} $, dengan $ k = 2, 3, 4, 5, ..., 100 $ lebih dari $ \frac{2}{3} $

16). Tentukan nilai dari:
$ \frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...+\frac{1}{1+2+3+...+2024} $

17). Barisan bilangan ${p_n} $ didefinisikan sebagai $ p_n = \frac{1}{(n+1)\sqrt{n} + n\sqrt{n+1}} $ dimana $ n $ bilangan bulat positif. Jumlah $ n $ suku pertama barisan ${p_n} $ didefinisikan sebagai $ s_n = \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i $. Berapa banyak suku-suku dalam barisan $ s_1$, $ s_2 $, $ s_3$, $s_4$, ..., $s_{2025}$ yang merupakan bilangan rasional?
Catatan: $ s_1 = p_1 = \frac{1}{2+\sqrt{2}} $

18). Pertidaksamaan beriku berlaku untuk semua bilangan bulat positif $ n $.
$ \, \, \, \, \, \, \sqrt{n+1} - \sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{4n+1}}<\sqrt{n} - \sqrt{n-1} $
Berapa nilai bilangan bulat terbesar yang kurang dari
$ \displaystyle \sum_{n=1}^{2024} \frac{1}{\sqrt{4n+1}} $


Untuk Solusi Soal Latihan ini, silahkan ikuti link berikut ya:
Solusi Soal Latihan Prinsip Teleskopik Olim Matik SMA.
(Masih dalam penyusunan).


Berikut Link Latihan Soal Pemantapan:
1). Soal Review Materi
2). Soal Latihan Timer A
3). Soal Latihan Timer B

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA

       Demikian pembahasan materi Prinsip Teleskopik Olim Matik SMA dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.