Operasi dan Sifat-sifat Bilangan Olim SMP

         Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas tentang Operasi dan Sifat-sifat Bilangan Olim SMP yang disertai dengan contoh soal dan pembahasan beberapa soal lainnya untuk mendukung pemahaman materinya yang lebih mendalam. Operasi dan Sifat-sifat Bilangan Olim SMP ini adalah salah satu materi paling mendasar yang harus dipahami oleh sahabat koma.

A). Jenis-jenis bilangan

       Bilangan adalah suatu konsep dalam matematika yang digunakan untuk penghitungan (pencacahan dan pengukuran).

a). Bilangan Asli (Bilangan Bulat Positif)
       Bilangan Asli adalah himpunan bilangan bulat positif yang dimulai dari 1.
Bilangan Asli : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, .... }

b). Bilangan Cacah
       Bilangan Cacah adalah himpunan bilangan bulat positif (bilangan asli) dan 0 (nol).
Bilangan Cacah : C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ....}

c). Bilangan Bulat Negatif
       Bilangan Bulat Negatif adalah himpunan bilangan bulat yang nilainya lebih kecil dari 0 (sebelah kiri nol).
Bilangan Bulat negatif : $\{.... ,-6, -5, -4, -3, -2, -1\}$

d). Bilangan Bulat
       Bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang bukan berbentuk pecahan yang terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif.
Bilangan bulat : B = $\{ ...., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\} $

e). Bilangan Ganjil
       Bilangan Ganjil adalah himpunan bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2.
Contoh : {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ....}

f). Bilangan Genap
       Bilangan Genap adalah himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 2.
Contoh : {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ....}

g). Bilangan Prima
       Bilangan Prima adalah himpunan bilangan bulat positif yang memiliki faktor pembagi 1 dan bilangan itu sendiri (hanya memiliki dua faktor).
bilangan prima: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}

h). Bilangan Komposit
       Bilangan Komposit adalah himpunan bilangan bulat positif yang memiliki faktor pembagi tidak hanya 1 dan bilangan itu sendiri (memiliki lebih dari dua faktor).
Contoh bilangan komposit : {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, ....}

i). Bilangan Rasional
       Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat diubah menjadi bentuk $ \frac{a}{b} $ dengan $a$ dan $b$ merupakan bilangan bulat serta $ b \neq 0 $.
Contoh bilangan rasional : $ -1, 3, 0, \frac{1}{5} , \frac{3}{8} , \frac{9}{2},$ dan lain-lain

j). Bilangan Irrasional
       Bilangan rasional adalah bilangan yang tidak dapat diubah menjadi bentuk $ \frac{a}{b} $ dengan $a$ dan $b$ merupakan bilangan bulat serta $ b \neq 0 $. Bilangan irrasional merupakan kebalikan dari bilangan rasional.
Contoh bilangan irrasional : $ \sqrt{2} , \sqrt{5} , \sqrt{7}, $ dan lain-lain

k). Bilangan Real
       Bilangan Real adalah himpunan bilangan rasional dan bilangan irrasional.
Contoh Bilangan real : $ -1, 3, 0, \frac{1}{5} , \frac{3}{8}, \sqrt{2} , \sqrt{5} , \sqrt{7}, $ dan lain-lain

l). Bilangan Imajiner
       Bilangan Imajiner adalah himpunan bilangan yang berbentuk $ i = \sqrt{-1} $.
Contoh : $ 2\sqrt{-1}=2i , -5i, \frac{1}{5}i , \sqrt{2}i,$ dan lain-lain

m). Bilangan Kompleks
       Bilangan Kompleks adalah himpunan bilangan real dan bilangan imajiner.
Contoh : $3-i, 1+2i , 5i+\frac{1}{5} ,$ dan lain-lain

B). Operasi Bilangan

       Untuk semua jenis bilangan, ada beberapa operasi yang bisa diterapkan yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

Sifat-sifat bilangan ganjil dan genap :
ganjil + ganjil = genap ,
genap + genap = genap ,
ganjil + genap = ganjil ,
genap + ganjil = ganjil ,
ganjil $ - $ ganjil = genap ,
genap $ - $ genap = genap ,
ganjil $ - $ genap = ganjil ,
genap $ - $ ganjil = ganjil ,
ganjil $ \times $ ganjil = ganjil ,
genap $ \times $ genap = genap,
ganjil $ \times $ genap = genap ,
genap $ \times $ ganjil = genap.

C). Sifat-sifat operasi bilangan

       Berikut beberapa sifat-sifat operasi bilangan:

(1). sifat komutatif (pertukaran)
       $a+b=b+a$ dan $a \times b=b \times a$
(2). sifat asosiatif (pengelompokkan)
       $ (a+b)+c=a+(b+c) $
       $(a\times b)\times c=a\times (b\times c) $
(3). sifat distributif (penyebaran)
       $a(b+c)=a\times b+a\times c$
       $a(b-c)=a\times b-a\times c $
(4). sifat identitas (nol dan satu)
       $ a+0=0+a=a $
       $ a\times 1=1\times a=a $
(5). sifat invers
       $a+(-a)=(-a)+a=0 $
       $ a\times \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \times a=1, \, a\neq0$ (bilangan non bulat)

D). Sifat urutan bilangan bulat

       Beberapa sifat urutan pada bilangan bulat yang harus dipahami.

(1). Untuk setiap dua bilangan bulat $a$ dan $b$, berlaku satu dan hanya satu dari berikut:
       $a < b, \, a=b$, atau $a>b$
(2). Jika $a$ dan $b$ bilangan bulat maka $a \pm b$ juga merupakan bilangan bulat
(3). Jika $a$ dan $b$ merupakan bilangan bulat maka $a \times b $ juga merupakan bilangan bulat
(4). Jika $a < b$ dan $c>0$ maka berlaku:
       (i). $a+c < b+c$
       (ii). $ a - c < b - c $
       (iii). $ a\times c < b \times c $
(5). Jika $a < b$ dan $ c < d $ maka $ a+c < b+d$

Pembahasan Contoh Soal-soal:

       Berikut ada beberapa soal yang berkaitan dengan materi Operasi dan Sifat-sifat Bilangan Olim SMP untuk menambah wawasan dalam pemahaman materinya. Silahkan dicoba dulu soal-soalnya, kemudian untuk mengecek jawabannya salah atau benar, bisa lihat solusi dengan mengklik tombol solusi di bagian bawah setiap soalnya.

Contoh Soal-soal tanpa solusi:

Contoh 1:
Jika $a, b, $ dan $c$ adalah bilangan prima dan memenuhi $c=17(b-a)$, berapakah nilai $a+b+c$?

Contoh 2:
Bilangan $x, y,$ dan $z$ adalah tiga bilangan genap berurutan dengan $x < y < z$. Jika $ a =\frac{(z-x)(y-x)}{(z-y)}$, maka nilai $a$ yang memenuhi adalah ...?

Contoh 3:
Misalkan $m$ adalah bilangan bulat. Buktikan :
a). jika $m$ genap, maka $m^2$ genap!
b). jika $m$ ganjil, maka $m^2$ ganjil!


Contoh Soal-soal dan Solusinya:

Contoh 1:
Jika $a, b, $ dan $c$ adalah bilangan prima dan memenuhi $c=17(b-a)$, berapakah nilai $a+b+c$?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bilangan Prima adalah himpunan bilangan bulat positif yang memiliki faktor pembagi 1 dan bilangan itu sendiri (hanya memiliki dua faktor).
bilangan prima: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}

$\clubsuit $ Pembahasan
*). karena $ c $ bilangan prima dan $c=17(b-a)$, maka haruslah $ b - a = 1 $, sehingga $ c = 17 \times 1 = 17 $.
*). untuk $ b - a = 1 $ , hanya terpenuhi saat $ b = 3 $ dan $ a = 2 $.
Nilai $ a + b + c = 2 + 3 + 17 = 22 $
Jadi, nilai $ a + b + c = 22 . \, \heartsuit $

Contoh 2:
Bilangan $x, y,$ dan $z$ adalah tiga bilangan genap berurutan dengan $x < y < z$. Jika $ a =\frac{(z-x)(y-x)}{(z-y)}$, maka nilai $a$ yang memenuhi adalah ...?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bilangan genap berurutan selalu memiliki selisih 2 antara dua bilangan berdekatan. Misalkan bilangan awalnya adalah $ a $, maka bilangan genap berurutan bisa kita tulis sebagai:
$ a, a+2, a+4, a+6, .... $
dengan $ a $ merupakan bilangan genap.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan bilangan genap $ x, y, z $ yaitu:
$x = a, y= a+2, z = a+4 $.
Sehingga:
$ z - x = (a + 4) - (a) = 4 $
$ y - x = (a+2) - (a) = 2 $
$ z - y = (a+4) - (a+2) = 2 $

*). Menentukan nilai $ a $ :
$ \begin{align} a & =\frac{(z-x)(y-x)}{(z-y)} \\ & = \frac{4 \times 2}{2} \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 4 . \, \heartsuit $

Contoh 3:
Misalkan $m$ adalah bilangan bulat. Buktikan :
a). jika $m$ genap, maka $m^2$ genap!
b). jika $m$ ganjil, maka $m^2$ ganjil!

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Setiap $ m $ bilangan bulat genap maka terdapat bilangan asli $ n $ sehingga $ m = 2n $.
*). Setiap $ m $ bilangan bulat ganjil maka terdapat bilangan asli $ n $ sehingga $ m = 2n - 1 $.

$\clubsuit $ Pembahasan

a). jika $m$ genap, maka $m^2$ genap!
*). $ m $ genap, sehingga dapat dinyatakan $ m = 2n $ dengan $ n $ bilangan asli.
*). Menentukan bentuk $ m^2 $ :
Misalkan $ k = 2n^2 $,
$ \begin{align} m^2 & = (2n)^2 \\ & = 4n^2 \\ & = 2 \times ( 2n^2 ) \\ & = 2k \end{align} $
Karena $ m^2 $ dapat dinyatakan sebagai $ 2k $, ini artinya $ m^2 $ adalah bilangan genap.
Jadi, terbukti bahwa $ m^2 $ adalah genap $ . \, \heartsuit $

b). jika $m$ ganjil, maka $m^2$ ganjil!
*). $ m $ ganjil, sehingga dapat dinyatakan $ m = 2n - 1 $ dengan $ n $ bilangan asli.
*). Menentukan bentuk $ m^2 $ :
Misalkan $ p = 2n^2 - 2n + 1 $,
$ \begin{align} m^2 & = (2n-1)^2 \\ & = 4n^2 - 4n + 1 \\ & = (4n^2 - 4n + 1) + 1 - 1 \\ & = (4n^2 - 4n + 1 + 1) - 1 \\ & = (4n^2 - 4n + 2) - 1 \\ & = 2(2n^2 - 2n + 1) - 1 \\ & = 2 p - 1 \end{align} $
Karena $ m^2 $ dapat dinyatakan sebagai $ 2p - 1 $, ini artinya $ m^2 $ adalah bilangan ganjil.
Jadi, terbukti bahwa $ m^2 $ adalah ganjil $ . \, \heartsuit $

Soal-soal Latihan

       Berikut ada beberapa soal Latihan yang berkaitan dengan materi Operasi dan Sifat-sifat Bilangan Olim SMP untuk menambah wawasan dalam pemahaman materinya. Semoga bermanfaat.

1). Hitunglah selisih jumlah semua bilangan genap terhadap jumlah semua bilangan ganjil dari 1 sampai 2022?

2). A tree is 89 meter tall. The depth of a well is 165 meter below the ground level. Find the distance a part from the bottom of the well to the top of the tree?

3). Pada tes Kimia, skor untuk jawaban benar adalah 2, jawaban salah adalah $ -1$, dan yang tidak menjawab adalah 0. Budi menjawab benar 29 soal dan tidak menjawab 5 soal. Budi memperoleh skor 52. Berapa banyak soal yang diujikan pada tes Kimia tersebut?

4). Diberikan angka 1 sampai 9. Isikan setiap kotak dengan angka berbeda agar ruas kiri sama dengan ruas kanan.


5). Isilah persegi ajaib di bawah ini dengan menggunakan bilangan 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, dan 36 sehingga jumlah setiap kolom, baris, dan diagonal adalah sama.


6). Dalam penjumlahan di bawah ini. $a, b, c, d, e,$ dan $f$ merupakan angka-angka tunggal yang tidak sama yang memenuhi $\overline{abc}+ \overline{def} = 1.812$. Tentukan nilai terbesar dari $(a+b+c+d+e+f)$?

7). Wati merahasiakan 3 buah bilangan. Kemudian, ia menjumlahkan setiap 2 bilangan dan hasilnya sama dengan 15, 17, dan 20. Temukan ketiga bilangan tersebut?

8). Tentukan angka satuan dari hasil penjumlahan:
$2022 + 2022 + 2022 + .... $ sebanyak 2024 buah bilangan 2022.

9). Tentukan nilai dari:
$ 2022 \times 20232023 - 2023 \times 20222022$

10). Tentukan semua bilangan $n$ sehingga $n$ dan $\frac{n+3}{n-1} $ keduanya merupakan bilangan bulat!

11). Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat positif $(m, n)$ yang merupakan solusi dari persamaan $ \frac{4}{m} + \frac{2}{n} = 1 $

12). Tentukan semua bilangan bulat positif $m, n $ dengan $n$ bilangan ganjil yang memenuhi $\frac{1}{m} + \frac{4}{n} = \frac{1}{12} $

13). Untuk semua bilangan bulat positif, didefinisikan $x^*$ sebagai penjumlahan bilangan bulat dari 1 sampai $x$. Nilai dari $2023^* - 2022^* $ adalah ...?

14). Tentukan bilangan bulat $n$ terkecil sehingga jumlah dari lima bilangan bulat ganjil berurutan dimulai dari $n$ menghasilkan bilangan prima!

15). Tentukan angka satuan dari hasil penjumlahan:
$2076 + 2076^2 + 2076^3 + 2076^4 + .... + 2076^{2021} + 2076^{2022} $.


Untuk Solusi Soal Latihan ini, silahkan ikuti link berikut ya:
Solusi Soal Latihan Operasi dan Sifat-sifat Bilangan Olim SMP.
(Masih dalam proses penyusunan).


Berikut Link Latihan Soal Pemantapan:
1). Soal Review Materi Timer
2). Soal Latihan Timer A
3). Soal Latihan Timer B


Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMP

       Demikian pembahasan materi Operasi dan Sifat-sifat Bilangan Olim SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.