Ringkasan Barisan dan Deret - umptn

         Blog KoMa - Pada artikel ini kita akan membahas materi Ringkasan Barisan dan Deret - umptn beserta soal-soal yang terkait yang khususnya tentang soal-soal UMPTN baik seleksi bersama ataupun seleksi mandiri seperti SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, UM UGM (utul), simak UI, UM UNDIP, UNPAD, dan lainnya. Untuk melengkapkan materi dan memudahkan pemahaman, kami juga sertakan beberapa contoh soal pendukung (bila diperlukan) untuk menguasai materi Barisan dan Deret ini. Untuk soal-soal Barisan dan Deret kita bagi menjadi dua bagian yaitu contoh soal dan soal latihan mandiri. Untuk soal latihan mandiri, teman-teman bisa mencobanya terlebih dahulu, setelah itu baru cek solusinya dibagian bawahnya untuk masing-masing soal latihan mandiri. Kami yakin, dengan tekun belajar maka materi Ringkasan Barisan dan Deret - umptn ini bisa teman-teman kuasai dengan baik.


(A). Pengertian Barisan
       Misalkan ada barisan : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, ... $

(i). Barisan Aritmetika: Selisih sama antara dua suku yang berdekatan, disebut dengan beda ($b$).
       $ b = u_n - u_{n-1} = u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = ... $

(ii). Barisan Geometri: Perbandingan dua suku yang berdekatan sama, disebut rasio ($r$).
       $ r = \frac{u_n}{u_{n-1}} = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = \frac{...}{...} $

       Untuk contoh detail dari pengertian barisan aritmetika dan barisan geometri, silahkan sahabat koma kunjungi link berikut ya:
Barisan dan deret Aritmetika
Barisan dan deret Geometri

Contoh soal umptn:

1). Soal SBMPTN 2013 MatDas 326
Diketahui $a, \, b,$ dan $c$ adalah tiga suku pertama suatu barisan aritmetika dengan $b > 0$ . Jika $a+b+c=b^2-4$ , maka nilai $b$ adalah ...
A). 2
B). 4
C). 5
D). 6
E). 7

$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, a, \, b,$ dan $c$ barisan aritmatika (selisih sama).
$b-a = c - b \Rightarrow a+c = 2b \, $ ...pers(i)
dari soal diketahui juga : $a+b+c=b^2-4 \, $ ...per(ii)
$\clubsuit \, $ Substiutusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align*} a+b+c &=b^2-4 \\ (a+c)+b &=b^2-4 \, \text{(posisi b dan c ditukar)}\\ 2b + b &= b^2-4 \\ b^2-3b-4 & = 0 \\ (b-4)(b+1) & = 0 \\ b=4 \, & \vee \, b=-1 \end{align*}$
karena nilai $b > 0$ , maka nilai $b$ yang memenuhi adalah $b=4$ .
Jadi, nilai $b=4. \heartsuit $
2). Soal SPMB 2007 MatDas
Panjang sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika. Jika keliling segitiga tersebut adalah 72, maka luasnya adalah ....
A). 216
B). 363
C). 364
D). 383
E). 432

$\spadesuit $ Jawaban : A
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I:
$\spadesuit \, $ Misalkan sisinya : $a-b, a, a+b \, \, \, $ (seperti gambar 11a di bawah)
spmb_matdas_4_2007.png
$\begin{align} \text{Keliling} \, \Delta & = 72 \\ (a-b) + a + (a+b) & = 72 \\ 3a & = 72 \rightarrow a = 24 \end{align}$
Substitusi $a=24 $ ke segitiga seperti gambar 11b
$\spadesuit \, $ Teorema Pythagoras pada segitiga
$\begin{align} (24+b)^2 & = 24^2 + (24-b)^2 \\ (24+b)^2 - (24-b)^2 & = 24\times 24 \\ [(24+b)-(24-b)][(24+b)+(24-b)] & = 24\times 24 \\ 2b \times 48 & = 24\times 24 \rightarrow b = 8 \end{align}$
Sehingga : tinggi = 24 dan alas = 24 - b = 24 - 6 = 18
Luas $\Delta = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.18.24 = 216 $
Jadi, luas segitiganya adalah 216. $ \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Triple pythagoras yang membentuk barisan aritmetika : 3, 4, 5
spmb_matdas_4a_2007.png
$\begin{align} \text{Keliling} \, \Delta & = 72 \\ 3x+4x+5x & = 72 \\ 12x & = 72 \rightarrow x = 6 \end{align}$
Sehingga : tinggi = $4x=4.6=24 \, \, $ dan alas = $3x=3.6 = 18 $
Luas $\Delta = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.18.24 = 216 $
Jadi, luas segitiganya adalah 216. $ \heartsuit $
3). Soal UM UGM 2016 MatDas 571
Akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 - (3p-2)x + ( 2p+8) = 0 \, $ adalah $ x_1 \, $ dan $ x_2 . \, $ Jika $ p \, $ positif dan $ x_1, p , x_2 \, $ membentuk barisan geometri, maka $ x_1 + p + x_2 = .... $
A). $ -11 \, $
B). $ -10 \, $
C). $ 12 \, $
D). $ 13 \, $
E). $ 14 $

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Operasi akar-akar pada persamaan kuadrat (PK) :
PK : $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 $,
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Barisan geometri memiliki perbandingan (rasio) yang sama antara dua suku berdekatan.

*). Diketahui PK : $ x^2 - (3p-2)x + (2p+8) = 0 \, $ , akar-akarnya $ x_1 \, $ dan $ x_2 $.
$ a = 1, \, b = -(3p-2) , \, $ dan $ c = (2p+8) $.
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-[-(3p-2)]}{1} = 3p - 2 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2p+8}{1} = 2p+8 $
*). Barisan geometri : $ x_1, \, p, \, x_2 $
Perbandingan sama :
$ \begin{align} \frac{p}{x_1} & = \frac{x_2}{p} \\ p^2 & = x_1.x_2 \\ p^2 & = 2p+8 \\ p^2 - 2p - 8 & = 0 \\ (p+2)(p-4) & = 0 \\ p = -2 \vee p & = 4 \end{align} $
Yang memenuhi $ p = 4 \, $ karena positif.
Sehingga nilai : $ x_1 + x_ 2 = 3p - 2 = 3.4 - 2 = 10 $.
*). Menentukan hasil dari $ x_1 + p + x_ 2 $
$ x_1 + p + x_ 2 = (x_1 + x_2) + p = 10 + 4 = 14 $.
Jadi, nilai $ x_1 + p + x_ 2 = 14 . \, \heartsuit $
(B). Rumus Suku ke-$n$ ($u_n$) dan suku tengah ($u_t$)
(i). Rumus suku ke-$n$ :
       Aritmetika: $ u_n = a + (n-1)b $
       Geometri: $ u_n = ar^{n-1} $
Keterangan:
$ a = \, $ suku pertama ($u_1$)
$ b = \, $ beda barisan aritmetika
$ r = \, $ rasio barisan geometri
$ u_n = \, $ suku ke-$n $

(ii). Rumus suku tengah:
       Aritmetika: $ u_t = \frac{a + u_n}{2} $
       Geometri: $ u_t = \sqrt{a \times u_n} $
Keterangan:
$ u_n = \, $ suku terakhirnya
$ u_t = \, $ suku tengahnya
Barisan memiliki suku tengah jika banyak sukunya ganjil.

Contoh soal umptn:

4). Soal SBMPTN 2014 MatDas 654
Suku tengah suatu barisan aritmetika adalah 23. Jika suku terakhirnya 43 dan suku ketiganya 13, maka banyak suku barisan itu adalah ...
A). 5
B). 7
C). 9
D). 11
E). 13

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika :
$u_n=a+(n-1)b$ dan suku tengah $u_t=\frac{a+u_n}{2}$
$\clubsuit \, $ Diketahui $u_3=13,u_t=23, u_n=43$
$u_t=\frac{a+u_n}{2} \Rightarrow 23=\frac{a+43}{2} \Rightarrow a=3$
$u_3=a+2b \Rightarrow 13=3+2b \Rightarrow b=5$
$u_n=a+(n-1)b \Rightarrow 43=3+(n-1).5 \Rightarrow n=9$
Jadi, banyaknya suku ada 9 suku.$ \heartsuit $
5). Soal UTBK 2019 Saintek
Diketahui barisan aritmetika dengan $ U_n $ menyatakan suku ke-$n$. Jika $ U_{k+2} = U_2 + kU_{16} - 2 $ , maka nilai $ U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} = .... $
A). $ \frac{2}{k} \, $
B). $ \frac{3}{k} \, $
C). $ \frac{4}{k} \, $
D). $ \frac{6}{k} \, $
E). $ \frac{8}{k} $

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, U_n = a + (n-1) b $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ b = \, $ beda
$ U_n = \, $ suku ke-$n$

*). Diketahui $ U_{k+2} = U_2 + kU_{16} - 2 $
*). Menyederhakan yang diketahui :
$\begin{align} U_{k+2} & = U_2 + kU_{16} - 2 \\ a + (k+2-1)b & = (a+b) + k(a + (16-1)b) - 2 \\ a + (k+1)b & = (a+b) + k(a + 15b) - 2 \\ a + kb + b & = a+b + ka + 15kb - 2 \\ ka + 14kb & = 2 \\ k(a + 14b) & = 2 \\ a + 14b & = \frac{2}{k} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} $ :
$\begin{align} & U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} \\ & = (a+5b) + (a+11b) + (a + 17b) + (a + 23b) \\ & = 4a + 56b = 4( a + 14b) \\ & = 4. \frac{2}{k} = \frac{8}{k} \end{align} $
Jadi, nilai $ U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} = \frac{8}{k} . \, \heartsuit $
6). Soal SNMPTN 2009 MatDas 283
Berdasarkan penelitian diketahui bahwa populasi hewan A berkurang menjadi setengahnya tiap 10 tahun. Pada tahun 2000 populasinya tinggal 1 juta. Banyak populasi hewan A pada tahun 1960 sekitar ... juta.
A). 64
B). 32
C). 16
D). 8
E). 4

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $U_n = a.r^{n-1}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai unsur-unsurnya :
* $a=U_1 \, $ menyatakan suku pertama pada tahun 1960.
* Setiap 10 tahun berkurang setengahnya, artinya rasio : $r = \frac{1}{2}$
* tahun 2000 dari tahun 1960 ada 5 suku (perubahan setiap 10 tahun) yaitu 1960, 1970, 1980, 1990, 2000.
* Tahun 2000 populasinya 1 juta, artinya $U_5 = 1$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $a$ :
$\begin{align} U_5 & = ar^{5-1} \\ 1 & = a \times \left( \frac{1}{2} \right)^4 \\ 1 & = a \times \left( \frac{1}{16} \right) \\ a & = 16 \end{align}$
Jadi, populasi tahun 1960 sebesar 16 juta. $\heartsuit $
7). Soal SNMPTN 2010 MatIPA 526
Diberikan barisan $U_n=\left\langle -1,1,-1,1,... \right\rangle $ dengan $n$ bilangan asli. Semua yang berikut merupakan rumus umum untuk barisan itu, kecuali ....
(A) $U_n=(-1)^n $
(B) $U_n=-\sin (n-\frac{1}{2})\pi $
(C) $U_n=-\cos (n-1)\pi $
(D) $U_n=-\sin (n-1)\pi $
(E) $U_n= \left\{ \begin{array}{c} -1, \, \text{jika} \, n \, \text{ganjil} \\ 1, \, \text{jika} \, n \, \text{genap} \end{array} \right. $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Cek setiap pilihan dengan menggantikan nilai $n$
$U_n=\left\langle -1,1,-1,1,... \right\rangle $
artinya : $U_1 = -1, U_2=1, U_3=-1, ....$
Cukup dicek untuk $n=1$ dan hasilnya harus $ \, -1 \, $ karena $U_1=-1$
A. $U_n=(-1)^n \rightarrow U_1=(-1)^1 = -1 \, \, \, \, \, \, $ (benar)
B. $U_n=-\sin (n-\frac{1}{2})\pi \rightarrow U_1=-\sin (1-\frac{1}{2})\pi = -1 \, \, \, \, \, \, $ (benar)
C. $U_n=-\cos (n-1)\pi \rightarrow U_1=-\cos (1-1)\pi = -1 \, \, \, \, \, \, $ (benar)
D. $U_n=-\sin (n-1)\pi \rightarrow U_1=-\sin (1-1)\pi = 0 \, \, \, \, \, \, $ (salah)
E. $U_n= \left\{ \begin{array}{c} -1, \, \text{jika} \, n \, \text{ganjil} \\ 1, \, \text{jika} \, n \, \text{genap} \end{array} \right. \rightarrow U_1= -1 $ karena $n$ ganjil (benar)
Jadi, opsi yang salah adalah opsi D. $ \heartsuit $
8). Soal SBMPTN 2015 MatDas 617
Diketahui perbandingan suku pertama dan suku ketiga dari suatu barisan aritmetika adalah 2 : 3. Perbandingan suku pertama dan suku kedua dari barisan tersebut adalah .....
A). 1 : 1
B). 2 : 5
C). 3 : 5
D). 4 : 5
E). 5 : 4

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Barisan aritmetika : $ u_n = a + (n-1)b $
sehingga :
$ u_1 = a + (1-1)b = a $
$ u_2 = a + (2-1)b = a + b $
$ u_3 = a + (3-1)b = a + 2b $
$\spadesuit \, $ Menentukan hubungan $ a \, $ dan $ b $
$\begin{align} \frac{\text{suku pertama}}{\text{suku ketiga}} & = \frac{2}{3} \\ \frac{u_1}{u_3} & = \frac{2}{3} \\ \frac{a}{a+2b} & = \frac{2}{3} \\ 3a & = 2 (a+2b) \\ 3a & = 2a + 4b \\ a & = 4b \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya dengan substitusi $ a = 4b $
$ \begin{align} \frac{u_1}{u_2} = \frac{a}{a+b } = \frac{4b}{4b+b} = \frac{4b}{5b} = \frac{4}{5} \end{align} $
Artinya perbandingan suku pertama dan kedua adalah 4 : 5.
Jadi, perbandingannya adalah $ u_1 : u_2 = 4 : 5. \heartsuit $
9). Soal SBMPTN 2016 MatIPA 246
Suatu barisan geometri semua sukunya positif. Jika $ \frac{u_1+u_2}{u_3+u_4}=\frac{1}{9} \, $ maka $ \frac{u_1 + u_2+u_3+u_4}{u_2+u_3}= .... $
A). $ \frac{10}{9} \, $
B). $ 3 \, $
C). $ \frac{10}{3} \, $
D). $ 4 \, $
E). $ 10 $

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri dan Eksponen
*). Barisan geometri :
$ u_n = ar^{n-1} \, $
*). Sifat eksponen :
$ a^2 = b \rightarrow a = \sqrt{b} $

*). Menentukan nilai rasio ($r$) :
$\begin{align} \frac{u_1+u_2}{u_3+u_4} & = \frac{1}{9} \\ \frac{a+ar}{ar^2+ar^3} & = \frac{1}{9} \\ \frac{a(1+r)}{ar^2( 1 +r)} & = \frac{1}{9} \\ \frac{1}{r^2} & = \frac{1}{9} \\ r^2 & = 9 \\ r & = 3 \end{align} $
*). Menentukan Hasilnya :
$\begin{align} \frac{u_1 + u_2+u_3+u_4}{u_2+u_3} & = \frac{a + ar+ar^2+ar^3}{ar+ar^2} \\ & = \frac{a (1 + r+r^2+r^3)}{a(r+r^2)} \\ & = \frac{1 + r+r^2+r^3}{r+r^2} \\ & = \frac{1 + 3+3^2+3^3}{3+3^2} \\ & = \frac{1 + 3+9+27}{3+9} \\ & = \frac{40}{12} \\ & = \frac{10}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{u_1 + u_2+u_3+u_4}{u_2+u_3} = \frac{10}{3} . \, \heartsuit $
10). Soal SBMPTN 2018 MatDas 526
Empat bilangan membentuk suatu barisan aritmetika. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua tetap, serta bilangan ketiga ditambah bilangan pertama dan bilangan keempat dikali 2, maka terbentuk suatu barisan geometri. Jika beda suku-suku pada barisan aritmatika adalah 2, maka jumlah empat bilangan pertama pada barisan geometri tersebut adalah ...
A). $ 8 \, $
B). $ 20 \, $
C). $ 24 \, $
D). $ 30 \, $
E). $ 36 $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Diketahui barisan : $ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, .... $
*). Barisan aritmetika memiliki selisih dua suku berdekatan sama.
$ u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = u_4 - u_3 = u_5 - u_4 = ... $
*). Barisan geometri memiliki perbandingan dua suku berdekatan sama.
$ \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = \frac{u_4}{u_3} = \frac{u_5}{u_4} = .... $

*). Diketahui beda dari barisan aritmetika $ = 2 $ , sehingga 4 suku barisan aritmetikanya yaitu :
$ a, a + 2, a + 4 , a + 6 $
*). Barisan aritmetika di atas mengalami perubahan sehingga membentuk barisan geometri yaitu :
$ a, a + 2, a+4 + a, 2(a+6) $
$ a, a + 2, 2a+4, 2a+ 12 $
*). Menentukan nilai $ a $ dari barisan geometrinya :
$\begin{align} \frac{u_2}{u_1} & = \frac{u_3}{u_2} \\ \frac{a+2}{a} & = \frac{2a+4}{a+2} \\ a(2a+4) & = (a+2)^2 \\ 2a^2 + 4a & = a^2 + 4a + 4 \\ a^2 & = 4 \\ a & = 2 \end{align} $
-). Sehingga barisan geometrinya :
$ a, a + 2, 2a+4, 2a+ 12 $
$ 2, 4, 8, 16 $
*). Menentukan jumlah keempat suku barisan geometrinya :
$\begin{align} \text{jumlah } & = 2 + 4 + 8 + 16 = 30 \end{align} $
Jadi, jumlah suku-sukunya adalah $ 30 . \, \heartsuit $
(C). Sisipan
       Awalnya terdapat barisan : $ u_1, u_2, u_3, ... $
Kemudian disisipkan $ k $ suku atau $ k $ bilangan diantara dua suku yang berdekatan, sehingga diperoleh barisan baru.
$ \underbrace{u_1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, u_2}_{\text{sisipkan } k \text{ suku}} \, \underbrace{ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, u_3}_{\text{sisipkan } k \text{ suku}} \, \underbrace{ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, u_4}_{\text{sisipkan } k \text{ suku}} \, \, \, \, ... \, ... $

Diperoleh beda baru ($b^*$) dan rasio baru ($r^*$):
$ b^* = \frac{b}{k+1} $
$ r^* = \sqrt[k+1]{r} \, $ atau $ r^* = r^\frac{1}{k+1} $

Keterangan:
$ b^* = \, $ beda baru
$ r^* = \, $ rasio baru
$ b = \, $ beda awal
$ r = \, $ rasio awal

Contoh soal umptn:

11). Soal UMB 2008 MatDas 441
Jika di antara 7 dan 448 disisipkan lima bilangan positif sehingga membentuk suatu barisan geometri, maka jumlah suku kedua dan suku keenamnya sama dengan ... ?
A). 126
B). 231
C). 238
D). 455
E). 462

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Menenentukan rasio awal
$ r = \frac{448}{7} = 64 $
*). Menentukan rasio baru dengan $ k = 5 $
$ r^* = \sqrt[k+1]{r} = \sqrt[5+1]{64} = \sqrt[6]{64} = 2 $
Sehingga barisannya menjadi:
$ \underbrace{7, \, 14}_{\times 2} \, \underbrace{, \, 28 }_{\times 2} \, \underbrace{, \, 56 }_{\times 2} \, \underbrace{, \, 112 }_{\times 2} \, \underbrace{, \, 224 }_{\times 2} \, \underbrace{, \, 448 }_{\times 2} $
Artinya $ u_2 = 14 $ dan $ u_6 = 224 $
Nilai $ u_2 + u_6 = 14 + 224 = 238 $.
Jadi, nilai $ u_2 + u_6 = 238. \heartsuit $
(D). Rumus Jumlah $ n $ Suku Pertama ($s_n$)
(i). Deret Aritmetika:
       (1). $ s_n = \frac{n}{2} (a + u_n) $
       (2). $ s_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b) $
       (3). $ s_n = n. u_t $

(ii). Deret Geometri:
       $ s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \, $ untuk $ r > 1 $
       $ s_n = \frac{a(1 - r^n )}{1 - r} \, $ untuk $ r < 1 $

(iii). Hubungan $ u_n $ dan $ s_n $ :
       untuk $ n = 1 \rightarrow u_1 = s_1 $
       untuk $ n > 1 \rightarrow u_n = s_n - s_{(n-1)} $

(iv). Khusus deret Aritmetika:
Bentuk umum $ s_n $ nya yaitu : $ s_n = pn^2 + qn $
dengan beda: $ b = 2p $

Contoh soal umptn:

12). Soal SBMPTN 2014 MatDas 613
Jumlah suku ke-4 dan suku ke-5 dari suatu barisan aritmetika adalah 55, sedangkan suku ke-9 dikurangi dua kali suku ke-2 bernilai 1. Jumlah tiga suku pertama barisan tersebut adalah ...
A). 17
B). 35
C). 37
D). 40
E). 60

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika : $u_n=a+(n-1)b \, \, $ dan $\, s_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$
$u_4+u_5=55 \Rightarrow (a+3b)+(a+4b)=55 \Rightarrow 2a+7b=55 \, \text{...pes(i)} $
$u_9-2u_2=1 \Rightarrow (a+8b)-2(a+b)=1 \Rightarrow -a+6b=1 \, \text{...pes(ii)} $
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii) , diperoleh $a=17$ dan $b=3$
$\clubsuit \, $ Jumlah 3 suku pertama ($s_3$) :
$s_3=\frac{3}{2}(2a+(3-1)b) \Rightarrow s_3=\frac{3}{2}(2.17+2.3) \Rightarrow s_3= 60$
Jadi, Jumlah 3 suku pertama adalah 60. $\heartsuit $
13). Soal UTBK 2019 Saintek
Suku pertama barisan aritmetika adalah $ a $ dan bedanya $ 2a $. Jika nilai $ U_1 + U_2 + U_3+U_4+U_5 = 100 $ , maka nilai $ U_2 + U_3 + U_4 + ... + U_{20} = .... $
A). $ 1590 \, $
B). $ 1596 \, $
C). $ 1600 \, $
D). $ 1690 \, $
E). $ 1700 $

$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Diketahui $ b = 2a $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$ \begin{align} U_1 + U_2 + U_3+U_4+U_5 & = 100 \\ s_5 & = 100 \\ \frac{5}{2} ( 2a + (5-1)b) & = 100 \\ \frac{5}{2} ( 2a + 4b) & = 100 \\ \frac{5}{2} ( 2a + 4(2a)) & = 100 \\ \frac{5}{2} ( 2a + 8a) & = 100 \\ \frac{5}{2} ( 10a) & = 100 \\ 25a & = 100 \\ a & = 4 \end{align} $
sehingga $ b = 2a = 2 (4) = 8 $
*). Menentukan nilai $ U_2 + U_3 + U_4 + ... + U_{20}$ :
$ \begin{align} & U_2 + U_3 + U_4 + ... + U_{20} \\ & = ( U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + ... + U_{20} ) - U_1 \\ & = s_{20} - U_1 \\ & = s_{20} - a \\ & = \frac{20}{2} ( 2a + (20 -1)b) - a \\ & = 10 ( 2a + 19b) - a \\ & = 10 ( 2 \times 4 + 19 \times 8) - 4 \\ & = 10 ( 160) - 4 \\ & = 1600 - 4 \\ & = 1596 \end{align} $
Jadi, nilai $ U_2 + U_3 + U_4 + ... + U_{20} = 1596. \heartsuit $
14). Soal UM UGM 2014 MatDas 522
Dalam suatu barisan aritmatika, nilai rata-rata dari 4 suku pertama adalah 8 dan nilai rata-rata 9 suku pertama adalah 3. Jumlah $n$ suku pertama barisan tersebut adalah ...
A). $ -10n + n^2 $
B). $ 11n + n^2 $
C). $ 12n - n^2 $
D). $ -10n - n^2 $
E). $ 8n - n^2 $

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika, jumlah $n$ suku pertama : $ S_n=\frac{n}{2}\left( 2a+(n-1)b \right)$
$\clubsuit \, $ Nilai rata-rata dari 4 suku pertama adalah 8 :
$\frac{u_1+u_2+u_3+u_4}{4}=8 \Leftrightarrow \frac{S_4}{4}=8 \Leftrightarrow S_4=32 \Leftrightarrow \frac{4}{2}(2a+3b)=32 \\ \Leftrightarrow 2a+3b=16 ...\text{pers(i)}$
$\clubsuit \, $ Nilai rata-rata dari 9 suku pertama adalah 3 :
$\frac{u_1+u_2+u_3+u_4+...+u_9}{4}=3 \Leftrightarrow \frac{S_9}{9}=3 \Leftrightarrow S_9=27 \Leftrightarrow \frac{9}{2}(2a+8b)=27 \\ \Leftrightarrow a+4b=3 \Leftrightarrow a=3-4b ...\text{pers(ii)}$
$\clubsuit \, $ Substitusi dan eliminasi pers(i) dan (ii) , diperoleh $a=11$ dan $ b=-2$.
$\clubsuit \, $ Menentukan rumus $S_n$ :
$\begin{align*} S_n&=\frac{n}{2}\left( 2a+(n-1)b \right) \\ &=\frac{n}{2}\left( 2.11+(n-1).(-2) \right) \\ &=n(11=+1-n)\\ &=12n-n^2 \end{align*}$
Jadi, $S_n=12n-n^2 \, \heartsuit$
15). Soal SNMPTN 2012 MatDas 122
Jika $S_n=5n^2-6n$ adalah jumlah $n$ suku pertama barisan aritmetika, maka suku ke-5 barisan tersebut adalah ...
A). 51
B). 41
C). 39
D). 29
E). 20

$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Rumus dasar : $U_n = S_n - S_{n-1}$
$\begin{align} U_n & = S_n - S_{n-1} \\ U_5 & = S_5 - S_4 \\ & = (5.5^2-6.5) - (5.4^2-6.4) \\ & = (125-30) - (80 - 24) \\ & = 95 - 56 \\ & = 39 \end{align} $
Jadi, suku ke-5 barisan tersebut adalah 39.$ \heartsuit $
16). Soal SPMB 2006 MatDas
Jika jumlah $n $ suku pertama deret aritmetika adalah $ S_n = 2n^2+3n $ , maka beda deretnya adalah ....
A). 2
B). 3
C). 4
D). 5
E). 6

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
$U_n = S_n - S_{n-1} , \, \, \, U_1 = S_1 , \, \, $ dan $ b = U_2-U_1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan $U_1 \, \, $ dan $U_2 $
$U_1 = S_1 = 2.1^2+3.1 = 2 + 3 = 5 $
$S_2 = 2.2^2+3.2 = 8 + 6 = 14 $
$U_2=S_2 - S_1 = 14 - 5 = 9 $
sehingga : $b = U_2-U_1 = 9 - 5 = 4 $
Jadi, bedanya adalah 4. $ \heartsuit $

Cara II :
$\spadesuit \, $ Konsep : $S_n = pn^2+qn \rightarrow b = 2p $
$S_n = 2n^2+3n \rightarrow b = 2\times 2 = 4 $
Jadi, bedanya adalah 4. $ \heartsuit $
17). Soal SBMPTN 2018 MatIPA 451
Jika $ a+2, \, a - 2, \, 2 $ membentuk barisan geometri, maka jumlah 11 suku pertama yang mungkin adalah ...?
A). 0
B). 1
C). 2
D). 3
E). 4

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Menentukan nilai $ a $ :
Perbandingan dua suku berdekatan sama:
$ \begin{align} \frac{a-2}{a+2} & = \frac{2}{a-2} \\ (a-2)(a-2) & = 2(a+2) \\ a^2 - 4a + 4 & = 2a + 4 \\ a^2 - 6a & = 0 \\ a(a - 6 ) & = 0 \\ a = 0 \vee a & = 6 \end{align} $
-). Untuk $ a = 0 $ , barisannya menjadi:
$ a + 2, \, a - 2, \, 2 $
$ 0 + 2, \, 0 - 2, \, 2 $
$ 2, \, -2, \, 2 , \, $ ...
dengan $ r = \frac{-2}{2} = -1 $
Karena $ r = -1 $, maka barisan sampai suku ke-11:
$ 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, -2 , 2 $
Jika dijumlahkan :
$ s_{11} = 2+(-2)+ 2+(-2)+2+(-2)+2+(-2)+2+(-2)+2 = 2 $
$ s_{11} = 2 $
Karena sudah ada di optionnya, maka tidak perlu menghitung $ s_{11} $ untuk $ a = 6 $.
Jadi, nilai $ s_{11} = 2. \heartsuit $
(E). Deret Geometri Tak Hingga
       Misalkan ada deret $ u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + .... \, $ yang dijumlahkan sampai tak hingga yang disimbolkan dengan $ s_\infty $. Hasil jumlah tak hingganya ($s_\infty$) tergantng dari nilai rasionya ($r$).
a). Jika $ r > 1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = + \infty $
b). Jika $ -1 < r < 1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
c). Jika $ r < -1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = - \infty $

Secara umum nilai jumlah tak hingga deret geometri dengan rasio $ -1 < r < 1 \, $ adalah        $ s_\infty = \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} $

Pada penjumlahan deret geometri tak hingga, ada dua istilah yaitu :
1). Konvergen (deret konvergen) syaratnya $ -1 < r < 1 , \, $ artinya jumlah sampai tak hingganya memberikan hasil angka tertentu (hasilnya bukan $ +\infty \, $ atau $ - \infty $)
2). Divergen (deret divergen) syaratnya $ r < -1 \, $ atau $ r > 1 , \, $ artinya jumlah sampai tak hingganya memberikan hasil $ +\infty \, $ atau $ - \infty $

       Untuk contoh mendetail tentang deret geometri tak hingga, silahkan teman-teman kunjungi link:
Deret Geometri Tak Hingga

Contoh soal umptn:

18). Soal SPMK UB 2013 MatIPA
Jika $x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + ... = 2x $ , maka nilai $x$ yang mungkin adalah ....
(1). $-\sqrt{2} $       (2). -2       (3). $\sqrt{2}$       (4). 2
(Gunakan Petunjuk C untuk menjawab soal ini)

$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Rumus dasar deret geometri tak hingga : $S_\infty = \frac{a}{1-r} $
Bentuk $x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + ... $ adalah deret geometri tak hingga
dengan $ a = x \, $ dan $\, r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{1}{x}}{x} = \frac{1}{x^2} $
$\begin{align*} x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + ... & = S_\infty \\ & = \frac{a}{1-r} = \frac{x}{1- \frac{1}{x^2} } \\ x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + ... & = \frac{x^3}{x^2-1} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukana nilai $x$
$\begin{align*} x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + ... & = 2x \\ \frac{x^3}{x^2-1} & = 2x \, \, \text{(bagi } \, x ) \\ \frac{x^2}{x^2-1} & = 2 \rightarrow x^2 = 2x^2 - 2 \\ x^2 & = 2 \rightarrow x = \pm \sqrt{2} \end{align*}$
Jadi, nilai $x \, $ yang memenuhi adalah $ x= \sqrt{2} \, \text{atau} \, x = -\sqrt{2} . \heartsuit $
(F). Deret Tak Hingga Genap dan Ganjil
       Misalkan ada deret geomeri tak hingga $ u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 .... \, $
Deret tersebut bisa dibagi menjadi dua bagian yaitu suku-suku bernomor genap dan ganjil
$ \begin{align} s_\infty & = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 + u_6 .... \\ s_\infty & = (u_1 + u_3 + u_5+... ) + (u_2 + u_4 + u_6 ....) \\ s_\infty & = s_{\infty \text{ ganjil}} + s_{\infty \text{ genap}} \end{align} $
Artinya jumlah takhingga merupakan penjumlahan jumlah takhingga nomor ganjil dengan jumlah takhingga nomor genap.

Rumus takhingga nomor ganjil dan nomor genap.
$ \begin{align} s_{\infty \text{ ganjil}} & = u_1 + u_3 + u_5+... \\ & = a + ar^2 + ar^3 +... \\ & \left( \text{rasio} = \frac{ar^2}{a} = r^2 \right) \\ & \left( \text{suku pertama} = a \right) \\ & = \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} \\ s_{\infty \text{ ganjil}} & = \frac{a}{1 - r^2} \end{align} $
Sehingga rumus jumlah takhingga nomor ganjil : $ s_{\infty \text{ ganjil}} = \frac{a}{1 - r^2} $
$ \begin{align} s_{\infty \text{ genap}} & = u_2 + u_4 + u_6+... \\ & = ar + ar^3 + ar^5 +... \\ & \text{rasio} = \frac{ar^3}{ar} = r^2 \\ & \text{suku pertama} = ar \\ & = \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} \\ s_{\infty \text{ genap}} & = \frac{ar}{1 - r^2} \end{align} $
Sehingga rumus jumlah takhingga nomor genap : $ s_{\infty \text{ genap}} = \frac{ar}{1 - r^2} $

Menentukan rasio dari jumlah takhingga nomor ganjil dan genap.
$ \begin{align} \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} & = \frac{\frac{ar}{1 - r^2}}{\frac{a}{1 - r^2}} \\ & = \frac{\frac{ar}{1 - r^2}}{\frac{a}{1 - r^2}} \\ & = \frac{ar}{1 - r^2} . \frac{1-r^2}{a} \\ & = \frac{ar(1-r^2)}{a(1 - r^2)} \\ \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} & = r \end{align} $
Artinya untuk menentukan rasionya, cukup gunakan $ r = \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} $

Contoh soal umptn:

19). Soal SBMPTN 2013 MatIPA 326
Diketahui deret geometri tak hingga $u_1+u_2+u_3+...$ . Jika rasio deret tersebut adalah $r$ dengan $ -1 < r < 1 $ , $u_2+u_4+u_6...=4$ , dan $u_2+u_4=3$ , maka nilai $r^2$ adalah ...
A). $ \frac{1}{4} $
B). $ \frac{1}{3} $
C). $ \frac{\sqrt{3}}{2} $
D). $ \frac{1}{2} $
E). $ \frac{3}{4} $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Rumus dasar :
Jumlah geometri tak hingga genap : $S_{\infty} (\text{genap}) = \frac{ar}{1-r^2} $
Suku ke-n : $U_n=ar^{n-1}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk $u_2+u_4+u_6...=4$
$\begin{align*} u_2+u_4+u_6... & = 4 \\ S_{\infty} (\text{genap}) & = 4 \\ \frac{ar}{1-r^2} & = 4 \\ ar & = 4 (1-r^2) \, \, \text{...pers(i)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk $u_2+u_4=3$
$\begin{align*} u_2+u_4 & = 3 \\ ar + ar^3 & = 3 \\ ar(1+r^2) & = 3 \\ ar & = \frac{3}{1+r^2} \, \, \text{...pers(ii)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$\begin{align*} ar & = 4 (1-r^2) \, \, \text{...pers(i)} \\ \frac{3}{1+r^2} & = 4 (1-r^2) \, \, \text{(kali silang)}\\ 3 & = 4 (1-r^2)(1+r^2) \\ 3 & = 4 \left[ 1-(r^2)^2 \right] \\ 3 & = 4 - 4(r^2)^2 \\ 4(r^2)^2 & = 4 - 3 \\ 4(r^2)^2 & = 1 \\ (r^2)^2 & = \frac{1}{4} \\ r^2 & = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \Leftrightarrow r^2 = \pm \frac{1}{2} \end{align*}$
$r^2 = -\frac{1}{2} \, $ (tidak memenuhi karena bentuk kuadrat selalu positif).
$r^2 = \frac{1}{2} \, $ (memenuhi).
Jadi, nilai $ r^2 = \frac{1}{2} . \heartsuit $
20). Soal UMB 2008 MatDas 270
Jumlah semua suku bernomor ganjil dari deret geometri tak hingga adalah 4. Jika jumlah deret itu adalah 6, maka jumlah dua suku pertamanya adalah ...
A). $ \frac{15}{4} $
B). $ \frac{27}{8} $
C). $ \frac{9}{2} $
D). $ \frac{9}{8} $
E). $ \frac{7}{8} $

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Diketahui :
$ S_{\infty} (\text{ganjil}) = 4, \, S_{\infty} = 6 $
Sehingga $ S_{\infty} (\text{genap}) = 6 - 4 = 2 $
Nilai $ r = \frac{S_{\infty} (\text{genap})}{S_{\infty} (\text{ganjil})} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$ \begin{align} S_{\infty} & = 6 \\ \frac{a}{1-r} & = 6 \\ \frac{a}{1- \frac{1}{2}} & = 6 \\ \frac{a}{ \frac{1}{2}} & = 6 \\ a & = \frac{1}{2} \times 6 \\ a & = 3 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ u_1 + u_2 $
$ u_1 + u_2 = a + ar = 3 + 3 \times \frac{1}{2} = \frac{9}{2} $
Jadi, nilai $ u_1 + u_2 = \frac{9}{2}. \heartsuit $
(G). Kejadian Bola dan Ayunan
       Kejadian pelemparan benda yang dimaksud biasanya bola yang dijatuhkan atau bola dilempar ke atas. Berikut penjelasan dua kasus yang dimaksud :

Bola dilempar ke atas
       Misalkan bola dilempar ke atas, terbentuklah lintasan yang dilalui oleh bola tersebut seperti gambar berikut :
keterangan :
$ a = \, $ ketianggian awal yang dicapai oleh bola
$ r = \, $ rasio ketinggian setelah terjadi pantulan dari ketinggian sebelumnya.
Dari lintasan yang dilalui oleh bola, ada bagian yang naik dan ada bagian yang turun. Masing-masing bagian naik total panjang lintasannya adalah $ s_\infty \, $ dan bagian yang turun juga panjang lintasannya $ s_\infty $. Sehingga total panjang lintasan (PL) yang dilalui oleh bola adalah :
$ \begin{align} \text{total panjang lintasan} & = \text{Lintasan naik } + \text{ lintasan turun} \\ PL & = s_\infty + s_\infty \\ PL & = 2s\infty \\ PL & = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) \\ PL & = \frac{2a}{1-r} \end{align} $

Bola dijatuhkan dari ketinggian awal $ a $
       Lintasan yang terbentuk ketika bola dijatuhkan hampir sama dengan lintasan yang terbentuk ketika bola dilempar ke atas. Hanya saja satu lintasan awal (lintasan naik awal) tidak dihitung karena bola langsung dijatukan. Berikut gambar lintasannya :
Dari gambar bola dijatuhkan, terlihat bahwa lintasannya sama dengan bola dilempar ke atas, hanya saja satu lintasan naik ($a$) tidak dihitung. Sehingga total panjang lintasannya adalah :
$ PL = 2s_\infty - a $
$ PL = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) - a $

Panjang Lintasan setelah pantulan ke-$k$
       Untuk kasus panjang lintasan setelah pantulan ke-$k \, $ baik bola dijatuhkan atau dilempar ke atas hasilnya akan selalu sama.

Dari gambar terlihat bahwa setelah pantulan ke-1 maka suku pertamanya adalah suku ke-2 ($u_2$), setelah pantulan ke-2 maka suku pertamanya adalah suku ke-3 ($u_3$), setelah pantulan ke-3 maka suku pertamanya adalah suku ke-4 ($u_4$), dan seterusnya sampai setelah pantulan ke-$k\,$ maka suku pertamanya adalah suku ke-$k+1\,$ ($u_{k+1}$)
Dapat disusun rumus panjang lintasannya dengan $ u_n = ar^{n-1} $ :
Panjang lintasan setelah pantulan ke-1 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_2}{1 - r} = 2. \frac{ar}{1 - r} $
Panjang lintasan setelah pantulan ke-2 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_3}{1 - r} = 2. \frac{ar^2}{1 - r} $
Panjang lintasan setelah pantulan ke-3 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_4}{1 - r} = 2. \frac{ar^3}{1 - r} $
dan seterusnya .....
Panjang lintasan setelah pantulan ke-$k$ :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_{k+1}}{1 - r} = 2. \frac{ar^k}{1 - r} $
Jadi dapat diperumum, panjang lintasan bila bola dijatuhkan atau dilempar ke atas setelah pantulan ke-$k \, $ adalah
                     $ PL = 2 \times \frac{ar^k}{1 - r} $

Untuk kejadian pada ayunan, panjang lintasannya:
PL $ = s_\infty = \frac{a}{1-r} $

Contoh soal umptn:

21). Soal UMPTN 2000 MatDas
Sebuah bola pingpong dijatuhkan kelantai dari ketinggian 2 meter. Setiap kali setiap bola itu memantul ia mencapai ketinggian tiga per empat dari ketinggian yang dicapai sebelumnya. Panjang lintasan bola tersebut dari pantulan ke-3 sampai berhenti adalah ...
A). 3,38 meter
B). 3,75 meter
C). 4,25 meter
D). 6,75 meter
E). 7,75 meter

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Gambar
umptn_matdas_6_2000.png
Pantulan awal dari pantulan ke-3 (suku ke-4) dengan $ a = 2, r = \frac{3}{4} $
$\clubsuit \, $ Menentkan panajang lintasan menggunakan deret tak hingga
Panjang lintasan dihitung dari setelah pantulan ke-3 (garis penuh). Karena lintasan naik dan turun panjangnya sama, serta bola berhenti sampai pantulan tak hingga, maka panjang lintasan (PL) :
$\begin{align} PL & = 2. S_\infty \\ PL & = 2. \frac{Suku pertama}{1-r} \\ & = 2. \frac{U_4}{1-r} \\ & = 2. \frac{ar^3}{1-r} \\ & = 2. \frac{2.(\frac{3}{4})^3}{1-\frac{3}{4}} \\ & = \frac{27}{4} = 6,75 \end{align}$
Jadi, panjang lintasannya adalah 6,75 m . $ \heartsuit $
(H). Penerapan pada Bunga Bank
(i). Rumus Bunga Tunggal :
       $ M_n = M_o (1 + n \times i ) $

(ii). Rumus Bunga Majemuk :
       $ M_n = M_o (1 + i )^n $

Keterangan:
$ M_n = \, $ tabungan/pinjaman/modal akhir
$ M_o = \, $ tabungan/pinjaman/modal awal
$ n = \, $ periode lama menabung
$ i = \, $ suku bunga dalam persen.

Contoh soal umptn:

22). Soal UTBK 2019 Saintek
Budi menabung di bank dengan saldo awal A dengan sistem bunga majemuk, 3 tahun kemudian saldonya menjadi B. Wati menabung di bank yang sama dengan saldo awal $ x $, saldo Wati 6 tahun kemudian menjadi 3 kali dari saldo akhir Budi. Besarnya saldo awal Wati adalah ....
A). $ \frac{2A^2}{B} \, $
B). $ \frac{3A^2}{B} \, $
C). $ 4AB^2 \, $
D). $ \frac{A^2}{4B} \, $
E). $ \frac{A^2}{2B} $

$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Kejadian Bunga Majemuk:
*). Budi : $ M_o = A $ dan $ M_n = B $ untuk $ n = 3 $
$ M_n = M_o (1 + i )^n $
$ B = A (1 + i )^3 \rightarrow (1 + i)^3 = \frac{B}{A} \, $ ...(i)
*). Wati: $ M_o = X $ dan $ M_n = 3B $ untuk $ n = 6 $
$ M_n = M_o (1 + i )^n $
$ 3B = X (1 + i )^6 $
$ 3B = X \left[(1 + i )^3 \right] ^2 \, $ ...(ii)
*). Substitusi pers(i) ke (ii) :
$ \begin{align} 3B & = X \left[(1 + i )^3 \right] ^2 \\ 3B & = X \left[\frac{B}{A}\right] ^2 \\ 3B & = X \left[\frac{B^2}{A^2}\right] \\ X & = 3B . \frac{A^2}{B^2} \\ X& = \frac{3A^2}{B} \end{align} $
Jadi, saldo awal Wati adalah $ \frac{3A^2}{B} . \heartsuit $

       Tentu, beberapa contoh soal di atas masih terasa kurang jika benar-benar ingin menguasai berbagai variasi soal-soal Barisan dan Deret seleksi PTN. Untuk lebih memaksimalkan belajarnya, silahkan sahabat koma kunjungi link berikut :
Kumpulan soal Barisan dan Deret seleksi PTN .

       Demikian pembahasan materi Ringkasan Barisan dan Deret - umptn dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) bidang Matematika pada link Daftar Materi UMPTN Bidang Matematika. Jika ada saran atau kritikan atau lainnya yang sifatnya membangaun, silahkan untuk tulis komen pada kolom komentar dibagian bawah setiap artikel. Semoga artikel ini bermanfaat. Terimakasih.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.