Cara Menemukan Persamaan Parabola

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Cara Menemukan Persamaan Parabola, kita akan menyusun dari awal sehingga kita peroleh rumusnya dengan lengkap. Parabola merupakan salah satu hasil pada irisan kerucut dengan mengiriskan bidang datar dengan sebuah bangun ruang kerucut. Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik (misalkan P) sedemikian sehingga jarak titik P dengan titik fokus (titik F) sama dengan jarak titik P ke garis direktris (garis arahnya). Lalu bagaimana Cara Menemukan Persamaan Parabola? Untuk menemukan persamaan parabola, salah satu yang kita butuhkan adalah rumus jarak antara dua titik. Misalkan ada titik $ A(x_1,y_1) $ dan titik $ A(x_2,y_2) $ , jarak antara titik A dan B adalah $ |AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 +(y_2-y_1)^2} $. Untuk contohnya, silahkan teman-teman baca pada artikel "Jarak Dua Titik dan Titik ke Garis ".

         Untuk memudahkan dalam Cara Menemukan Persamaan Parabola, kita akan konstruksi ilustrasi gambar kurva parabolanya. Misalkan titik fokus $ F(p,0) $ , titik puncak $ O(0,0) $ , garis direktris (garis arah) yaitu garis $ g $ dan kita pilih titik $ R(-p,y) $ pada garis $ g $, kita pilih sembarang titik $ P(x,y) $ yang ada pada parabola. Berikut ilustrasi gambarnya .

$\spadesuit \, $ Cara Menemukan Persamaan Parabola dengan Titik Puncak $(0,0) $ :
    Sesuai dengan pengertian parabola, jarak titik P ke titik Fokus ($|PF|$) sama dengan jarak titik P ke titik R ($|PR|$).
$ \begin{align} |PF| & = |PR| \\ \sqrt{(x - p)^2 + (y - 0)^2} & = \sqrt{(x - (-p))^2 + (y - y)^2 } \\ \sqrt{(x - p)^2 + y^2} & = \sqrt{(x + p)^2 + (0)^2 } \\ \sqrt{(x - p)^2 + y^2} & = \sqrt{(x + p)^2 } \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (x - p)^2 + y^2 & = (x + p)^2 \\ x^2 - 2px + p^2 + y^2 & = x^2 + 2px + p^2 \\ y^2 & = 2px + 2px \\ y^2 & = 4px \end{align} $
Sehingga persamaan parabolanya $ y^2 = 4px $.

       Persamaan parabola dengan titik puncak $ O(0,0) $ dengan titik fokus $ F(p,0) $ dan parabola menghadap kearah kanan (arah sumbu X positif) adalah : $ y^2 = 4px $

Dengan cara penghitungan yang mirip dengan cara di atas, maka kita akan dapat menentukan tiga persamaan parabola lainnya yang menghadap ke arah yang berbeda. Berikut adalah ilustrasi kurva parabola yang ada empat jenis dengan menghadap ke kanan, ke kiri, ke atas, dan ke bawah lengkap dengan persamaannya. Untuk Cara Menemukan Persamaan Parabola, silahkan teman-teman lakukan seperti perhitungan di atas yatu $ |PF| = |PR| $.

$\clubsuit \, $ Cara Menemukan Persamaan Parabola dengan Titik Puncak $M(a,b) $ :
       Cara Menemukan Persamaan Parabola dengan Titik Puncak $M(a,b) $ yaitu dengan cara menggeser persamaan parabola yang titik puncaknya $ O(0,0) $ ke titik puncak $ M(a,b) $. Untuk memudahkan, kita gunakan konsep translasi (pergeseran). Silahkan baca materi translasi pada artikel "Translasi pada Transformasi Geometri". Perhatikan ilustrasi kurva parabola dengan titik puncak $ M(a,b) $ dan titik Fokus $ F(a+p,b) $ .

Sesuai dengan konsep translasi, menggeser sejauh $ a $ satuan searah sumbu X dan sejauh $ b $ satuan searah sumbu Y, matriks translasinya dapat ditulis $ T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
*). Hubungan titik awal dan bayangannya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a + x \\ b + y \end{matrix} \right) \\ x^\prime & = a + x \rightarrow x = x^\prime - a \\ y^\prime & = b + y \rightarrow y = y^\prime - b \end{align} $
*). Persamaan awal untuk kurva parabola menghadap ke kanan : $ y^2 = 4px $, sehingga persamaan baru setelah digeser yaitu :
$ \begin{align} y^2 & = 4px \\ (y^\prime - b)^2 & = 4p(x^\prime - a) \\ \text{ atau } & \text{ dapat ditlis} \\ (y-b)^2 & = 4p(x-a) \end{align} $
Berikut rumus persamaan parabola dengan titik puncak $ M(a,b) $ :

Persamaan Parabola dengan titik Puncak $ M(a,b) $

*). Parabola menghadap ke kanan (arah sumbu X positif)
$ \, \, \, \, \, (y-b)^2 = 4p(x-a) $
*). Parabola menghadap ke kiri (arah sumbu X negatif)
$ \, \, \, \, \, (y-b)^2 = -4p(x-a) $
*). Parabola menghadap ke atas (arah sumbu Y positif)
$ \, \, \, \, \, (x - a)^2 = 4p(y-b) $
*). Parabola menghadap ke bawah (arah sumbu Y negatif)
$ \, \, \, \, \, (x - a)^2 = -4p(y-b) $

       Demikian pembahasan materi Cara Menemukan Persamaan Parabola , di sini hanya kita bahas cara menyusun persamaannya saja tanpa kita berikan contoh soalnya. Untuk Contoh soal persamaan kuadrat secara mendalam, silahkan teman-teman baca pada artikel "Persamaan Parabola dan Unsur-unsurnya". Terimakasih.