Komposisi Transformasi Geometri merupakan transformasi yang dilakukan lebih dari satu kali atau bisa kita sebut sebagai gabungan transformasi. Misalkan suatu titik A dilakukan transformasi pertama yaitu dilatasi menghasilkan bayangan $ A^\prime $, setelah itu dilanjutkan lagi hasilnya dengan transformasi kedua yaitu pencerminan menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime } $, dan dilanjutkan lagi dengan dilatasi menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime \prime} $ , begitu seterusnya.
Simbol Penulisan Komposisi Transformasi Geometri
Misalkan ada suatu bangun ditransformasi kita sebut saja $T_1$, dilanjutkan dengan transformasi kedua yaitu $T_2$,
hasilnya dilanjutkan lagi ditransformasi ketiga $T_3$, dan dilanjutkan lagi transformasi yang keempat $T_4$, semuanya ini bisa kita tulis dalam bentuk
simbol komposisi transformasi yaitu $ T_4 \circ T_3 \circ T_2 \circ T_1 $.
Ingat, bentuk $ T_4 \circ T_3 \circ T_2 \circ T_1 $ artinya dimulai dari $T_1$ dulu, kemudian $ T_2$, lalu $T_3$, dan terakhir $T_4$ (dibalik pengerjaannya).
Ingat, bentuk $ T_4 \circ T_3 \circ T_2 \circ T_1 $ artinya dimulai dari $T_1$ dulu, kemudian $ T_2$, lalu $T_3$, dan terakhir $T_4$ (dibalik pengerjaannya).
1). Misalkan $T_1$ menyatakan transformasi berupa dilatasi sebesar $ \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) $, dan $ T_2 $ menyatakan trasformasi berupa pencerminan terhadap sumbu X. Tentukan bayangan titik A(1,5) jika dilakukan komposisi transformasi berupa :
a). $ T_2 \circ T_1 $ .
b). $ T_1 \circ T_2 $.
Penyelesaian :
a). $ T_2 \circ T_1 $ .
Bentuk $ T_2 \circ T_1 $ artinya dilakukan $T_1$ dulu baru dilanjutkan $T_2$.
*). Transformasi $ T_1 $ : dilatasi sebesar $ \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) $
Silahkan baca : Translasi pada transformasi geometri.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga bayangan titik A oleh $T_1$ adalah $ A^\prime (4,3) $.
*). Titik $ A^\prime (4,3) $ kita lanjutkan Transformasi $ T_2 $ : pencerminan terhadap sumbu X, matriks pencerminannya adalah $ \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Silahkan baca : Refleksi atau pencerminan pada transformasi geometri.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga bayangan titik $A^\prime $ oleh $T_2$ adalah $ A^{\prime \prime } (4,-3) $.
Jadi, bayangan titik A oleh komposisi trasnformasi $ T_2 \circ T_1 $ adalah $ A^{\prime \prime } (4,-3) . \, \heartsuit $.
b). $ T_1 \circ T_2 $.
Bentuk $ T_1 \circ T_2 $ artinya dilakukan $T_2$ dulu baru dilanjutkan $T_1$.
*). Titik $ A (1,5) $ kita Transformasi $ T_2 $ : pencerminan terhadap sumbu X, matriks pencerminannya adalah $ \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -5 \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga bayangan titik A oleh $T_2$ adalah $ A^\prime (1, -5) $.
*). Titik $ A^\prime (1 , -5) $ kita lanjutkan Transformasi $ T_1 $ : dilatasi sebesar $ \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -7 \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga bayangan titik $A^\prime $ oleh $T_1$ adalah $ A^{\prime \prime } (4,-7) $.
Jadi, bayangan titik A oleh komposisi trasnformasi $ T_1 \circ T_2 $ adalah $ A^{\prime \prime } (4,-7) . \, \heartsuit $.
Catatan :
Hasil bayangan oleh komposisi transformasi $ T_2 \circ T_1 $ tidak sama dengan $ T_1 \circ T_2 $, ini terjadi memang karena berdasarkan urutan pengerjaan transformasinya. Penting untuk kita ingat, Urutan pengerjaan Transformasi berpengaruh pada hasil bayangan akhirnya.
2). Misalkan Persamaan garis $ 2x - 3y = 5 $ ditransformasi berupa dilatasi dengan faktor skala $ 4 $, kemudian hasilnya dilanjutkan lagi dengan rotasi berlawanan arah jarum jam sebesar $ 90^\circ $. Tentukan simbol komposisi transformasinya dan tentukan bayangan akhir dari persamaan garis tersebut!
Penyelesaian :
*). Menentukan simbol komposisi transformasinya :
Misalkan :
$T_1 $ menyatakan transformasi yang pertama yaitu dilatasi, dan $T_2$ menyatakan transformasi yang kedua yaitu rotasi, sehingga simbol komposisi transformasinya adalah $ T_2 \circ T_1 $.
*). Kita kerjakan $ T_1 $ dulu : dilatasi dengan faktor skala $ 4 $, matriksnya $ \left( \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right) $.
silahkan baca : Dilatasi pada transformasi geometri.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4x \\ 4y \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Kita lanjutkan dengan $ T_2 $ : rotasi berlawanan arah jarum jam sebesar $ 90^\circ $, matriksnya
$ \left( \begin{matrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & - \sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
silahkan baca : Rotasi pada transformasi geometri.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4x \\ 4y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4y \\ 4x \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bentuk akhir yaitu :
$ \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -4y \\ 4x \end{matrix} \right) $
artinya :
$ x^{\prime \prime } = -4y \rightarrow y = - \frac{1}{4} x^{\prime \prime } $
$ y^{\prime \prime } = 4x \rightarrow x = \frac{1}{4} y^{\prime \prime } $.
*). Kita substitusi bentuk terakhir yang kita peroleh ke persamaan awalnya sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} 2x - 3y & = 5 \\ 2(\frac{1}{4} y^{\prime \prime } ) - 3(- \frac{1}{4} x^{\prime \prime }) & = 5 \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 2 y^{\prime \prime } + 3 x^{\prime \prime } & = 20 \\ 3 x^{\prime \prime } + 2 y^{\prime \prime } & = 20 \\ \end{align} $
sehingga bayangannya adalah $ 3 x^{\prime \prime } + 2 y^{\prime \prime } = 20 $ atau $ 3 x + 2 y = 20 $.
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ 3 x + 2 y = 20 . \, \heartsuit $.
Submateri yang akan kita perlajari yang berkaitan dengan komposisi transformasi geometri yaitu :
*). Komposisi Transformasi dengan Matriks,
*). Komposisi Translasi,
*). Komposisi Pencerminan garis vertikal atau horizontal,
*). Komposisi Pencerminan dua garis sembarang,
*). Komposisi Dilatasi,
*). Komposisi Rotasi sepusat.
Demikian pembahasan materi Pengertian Komposisi Transformasi Geometri dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca submateri yang terkait dengan komposisi transformasi dengan mengikuti link di atas atau mengikuti artikel terkait di bagian bawah setiap artikel. Semoga materi ini bermanfaat, Terima Kasih.
