Pengertian Komposisi Transformasi Geometri

         Blog Koma - Pada artikel sebelumnya kita telah membahas artikel transformasi geometri yang terdiri dari beberapa jenis yaitu translasi, dilatasi, rotasi, refleksi, regangan dan gusuran. Hanya saja pada artikel tersebut kita mebahasnya secara sendiri-sendiri, maksudnya hanya terjadi satu kali transformasi yaitu translasi saja satu kali, dilatasi satu kali, dan yang lainnya. Nah, pada artikel ini kita akan mulai mengenal transformasi geometri yang terjadi lebih dari satu kali. Suatu bangun atau benda dikenakan transformasi lebih dari satu kali kita sebut sebagai Pengertian Komposisi Transformasi Geometri.

         Komposisi Transformasi Geometri merupakan transformasi yang dilakukan lebih dari satu kali atau bisa kita sebut sebagai gabungan transformasi. Misalkan suatu titik A dilakukan transformasi pertama yaitu dilatasi menghasilkan bayangan $ A^\prime $, setelah itu dilanjutkan lagi hasilnya dengan transformasi kedua yaitu pencerminan menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime } $, dan dilanjutkan lagi dengan dilatasi menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime \prime} $ , begitu seterusnya.

Simbol Penulisan Komposisi Transformasi Geometri
       Misalkan ada suatu bangun ditransformasi kita sebut saja $T_1$, dilanjutkan dengan transformasi kedua yaitu $T_2$, hasilnya dilanjutkan lagi ditransformasi ketiga $T_3$, dan dilanjutkan lagi transformasi yang keempat $T_4$, semuanya ini bisa kita tulis dalam bentuk simbol komposisi transformasi yaitu $ T_4 \circ T_3 \circ T_2 \circ T_1 $.

       Ingat, bentuk $ T_4 \circ T_3 \circ T_2 \circ T_1 $ artinya dimulai dari $T_1$ dulu, kemudian $ T_2$, lalu $T_3$, dan terakhir $T_4$ (dibalik pengerjaannya).
Contoh Soal Komposisi Transformasi Geometri :
1). Misalkan $T_1$ menyatakan transformasi berupa dilatasi sebesar $ \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) $, dan $ T_2 $ menyatakan trasformasi berupa pencerminan terhadap sumbu X. Tentukan bayangan titik A(1,5) jika dilakukan komposisi transformasi berupa :
a). $ T_2 \circ T_1 $ .
b). $ T_1 \circ T_2 $.

Penyelesaian :
a). $ T_2 \circ T_1 $ .
Bentuk $ T_2 \circ T_1 $ artinya dilakukan $T_1$ dulu baru dilanjutkan $T_2$.
*). Transformasi $ T_1 $ : dilatasi sebesar $ \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) $
Silahkan baca : Translasi pada transformasi geometri.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga bayangan titik A oleh $T_1$ adalah $ A^\prime (4,3) $.
*). Titik $ A^\prime (4,3) $ kita lanjutkan Transformasi $ T_2 $ : pencerminan terhadap sumbu X, matriks pencerminannya adalah $ \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Silahkan baca : Refleksi atau pencerminan pada transformasi geometri.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga bayangan titik $A^\prime $ oleh $T_2$ adalah $ A^{\prime \prime } (4,-3) $.
Jadi, bayangan titik A oleh komposisi trasnformasi $ T_2 \circ T_1 $ adalah $ A^{\prime \prime } (4,-3) . \, \heartsuit $.

b). $ T_1 \circ T_2 $.
Bentuk $ T_1 \circ T_2 $ artinya dilakukan $T_2$ dulu baru dilanjutkan $T_1$.
*). Titik $ A (1,5) $ kita Transformasi $ T_2 $ : pencerminan terhadap sumbu X, matriks pencerminannya adalah $ \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -5 \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga bayangan titik A oleh $T_2$ adalah $ A^\prime (1, -5) $.
*). Titik $ A^\prime (1 , -5) $ kita lanjutkan Transformasi $ T_1 $ : dilatasi sebesar $ \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -7 \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga bayangan titik $A^\prime $ oleh $T_1$ adalah $ A^{\prime \prime } (4,-7) $.
Jadi, bayangan titik A oleh komposisi trasnformasi $ T_1 \circ T_2 $ adalah $ A^{\prime \prime } (4,-7) . \, \heartsuit $.

Catatan :
Hasil bayangan oleh komposisi transformasi $ T_2 \circ T_1 $ tidak sama dengan $ T_1 \circ T_2 $, ini terjadi memang karena berdasarkan urutan pengerjaan transformasinya. Penting untuk kita ingat, Urutan pengerjaan Transformasi berpengaruh pada hasil bayangan akhirnya.

2). Misalkan Persamaan garis $ 2x - 3y = 5 $ ditransformasi berupa dilatasi dengan faktor skala $ 4 $, kemudian hasilnya dilanjutkan lagi dengan rotasi berlawanan arah jarum jam sebesar $ 90^\circ $. Tentukan simbol komposisi transformasinya dan tentukan bayangan akhir dari persamaan garis tersebut!

Penyelesaian :
*). Menentukan simbol komposisi transformasinya :
Misalkan :
$T_1 $ menyatakan transformasi yang pertama yaitu dilatasi, dan $T_2$ menyatakan transformasi yang kedua yaitu rotasi, sehingga simbol komposisi transformasinya adalah $ T_2 \circ T_1 $.
*). Kita kerjakan $ T_1 $ dulu : dilatasi dengan faktor skala $ 4 $, matriksnya $ \left( \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right) $.
silahkan baca : Dilatasi pada transformasi geometri.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4x \\ 4y \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Kita lanjutkan dengan $ T_2 $ : rotasi berlawanan arah jarum jam sebesar $ 90^\circ $, matriksnya
$ \left( \begin{matrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & - \sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
silahkan baca : Rotasi pada transformasi geometri.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4x \\ 4y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4y \\ 4x \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bentuk akhir yaitu :
$ \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -4y \\ 4x \end{matrix} \right) $
artinya :
$ x^{\prime \prime } = -4y \rightarrow y = - \frac{1}{4} x^{\prime \prime } $
$ y^{\prime \prime } = 4x \rightarrow x = \frac{1}{4} y^{\prime \prime } $.
*). Kita substitusi bentuk terakhir yang kita peroleh ke persamaan awalnya sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} 2x - 3y & = 5 \\ 2(\frac{1}{4} y^{\prime \prime } ) - 3(- \frac{1}{4} x^{\prime \prime }) & = 5 \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 2 y^{\prime \prime } + 3 x^{\prime \prime } & = 20 \\ 3 x^{\prime \prime } + 2 y^{\prime \prime } & = 20 \\ \end{align} $
sehingga bayangannya adalah $ 3 x^{\prime \prime } + 2 y^{\prime \prime } = 20 $ atau $ 3 x + 2 y = 20 $.
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ 3 x + 2 y = 20 . \, \heartsuit $.

       Submateri yang akan kita perlajari yang berkaitan dengan komposisi transformasi geometri yaitu :
*). Komposisi Transformasi dengan Matriks,
*). Komposisi Translasi,
*). Komposisi Pencerminan garis vertikal atau horizontal,
*). Komposisi Pencerminan dua garis sembarang,
*). Komposisi Dilatasi,
*). Komposisi Rotasi sepusat.

       Demikian pembahasan materi Pengertian Komposisi Transformasi Geometri dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca submateri yang terkait dengan komposisi transformasi dengan mengikuti link di atas atau mengikuti artikel terkait di bagian bawah setiap artikel. Semoga materi ini bermanfaat, Terima Kasih.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar