Komposisi Rotasi Sepusat

         Blog Koma - Satu lagi bentuk "komposisi transformasi geometri" yang akan kita bahas yaitu Komposisi Rotasi Sepusat, yang sebelumnya juga telah kita bahas artikel komposisi translasi, komposisi refleksi, dan komposisi dilatasi serta komposisi matriks transformasi yang melibatkan semua jenis transformasi geometri. Komposisi Rotasi Sepusat artinya suatu benda atau objek akan kita rotasi beberapa kali dengan pusat (titik acuan) yang sama sehingga matriks transformasinya bisa kita gabungkan. Jika Komposisi Rotasi Tidak Sepusat, maka pengerjaan komposisinya kita lakukan satu-persatu sehingga bentuk rotasi terakhir.

         Untuk memudahkan mempelajari artikel Komposisi Rotasi Sepusat ini, teman-teman harus menguasai materi "Rotasi pada Transformasi Geometri", "Matriks Transformasi Geometri", dan operasi pada matriks. Untuk Pengerjaannya juga seperti biasa yaitu $ bayangan \, = \, matriks \times awal $. Langsung saja kita simak penjelasannya berikut ini.

Pengerjaan Komposisi Rotasi Sepusat
       Perhatikan ilustrasi gambar komposisi rotasi sepusat di atas, pusat rotasi adalah $(a,b)$ dengan titik awal $A(x,y)$ dilakukan rotasi sebesar $ \theta _1 $ menghasilkan bayangan $A^\prime (x^\prime , y^\prime )$, dilanjutkan lagi rotasi sebesar $ \theta _2 $ menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime } (x^{\prime \prime } , y^{\prime \prime } ) $, dan dilanjutkan lagi rotasi sebesar $ \theta _3 $ menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime \prime } (x^{\prime \prime \prime } , y^{\prime \prime \prime } ) $ .
*). Matriks gabungannya :
$ MT = \left( \begin{matrix} \cos (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) & - \sin (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) \\ \sin (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) & \cos (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) \end{matrix} \right) $
Catatan :
Nilai $ \theta _1 , \, \theta _2 , \, $ dan $ \theta _3 $ bisa bernilai negatif tergantung dari arah putaran terhadap jarum jam.
Jika searah jarum jam, maka sudutnya negatif.
Jika berlawanan arah jarum jam, maka sudutnya positif.

*). titik pusat (0,0)
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = (MT) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
*). titik pusat $(a,b)$
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( MT) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

Contoh Soal Komposisi Rotasi Sepusat :

1). Titik A(1,2) dirotasi sebesar $35^\circ $ berlawanan arah jarum jam, kemudian dilanjutkan lagi dengan rotasi sebesar $ 55^\circ $ berlawanan arah jarum jam. Jika titik pusat kedua rotasi sama yaitu $ (-3,5) $ , maka tentukan bayangan titik A?

Penyelesaian :
*). Matriks gabungannya :
$ \theta _1 = 35^\circ , \, \theta _2 = 55^\circ \, $ dan titik pusat $(a,b) = (-3,5) $.
$\begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos (\theta _1 + \theta _2 ) & - \sin (\theta _1 + \theta _2 ) \\ \sin (\theta _1 + \theta _2 ) & \cos (\theta _1 + \theta _2 ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos (35^\circ + 55^\circ ) & - \sin (35^\circ + 55^\circ ) \\ \sin (35^\circ + 55^\circ ) & \cos (35^\circ + 55^\circ ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos (90^\circ ) & - \sin (90^\circ ) \\ \sin (90^\circ ) & \cos (90^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan bayangan titik A(1,2) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( MT) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 - (-3) \\ 2 - 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 9 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (0,9) . \, \heartsuit $.

2). Persamaan $ y = 3x^4 - 2x - 1 $ dirotasi sebesar $50^\circ $ berlawanan arah jarum jam, kemudian dilanjutkan lagi dengan rotasi sebesar $ 300^\circ $ searah jarum jam, dan dilanjutkan lagi rotasi sebesar $70^\circ $ berlawanan arah jarum jam. Jika titik pusat ketiga rotasi sama yaitu $ (0,0) $ , maka tentukan bayangan persamaan kurva tersebut?

Penyelesaian :
*). Matriks gabungannya :
$ \theta _1 = 50^\circ , \, \theta _2 = -300^\circ, \, \theta _3 = 70^\circ \, $ dan titik pusat $(a,b) = (0,0) $.
$\begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) & - \sin (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) \\ \sin (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) & \cos (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos (50^\circ + (-300^\circ) + 70^\circ ) & - \sin (50^\circ + (-300^\circ) + 70^\circ ) \\ \sin (50^\circ + (-300^\circ) + 70^\circ ) & \cos (50^\circ + (-300^\circ) + 70^\circ ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos (-180^\circ ) & - \sin (-180^\circ ) \\ \sin (-180^\circ ) & \cos (-180^\circ ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos (180^\circ ) & \sin (180^\circ ) \\ - \sin (180^\circ ) & \cos (180^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( MT) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -x \\ -y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = -x \rightarrow x = -x^\prime $ dan $ y^\prime = -y \rightarrow y = -y^\prime $ .
*). Substitusi bentuk $ x = -x^\prime $ dan $ y = -y^\prime $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = 3x^4 - 2x - 1 \\ -y^\prime & = 3(-x^\prime)^4 - 2.(-x^\prime) - 1 \\ -y^\prime & = 3(x^\prime)^4 + 2x^\prime - 1 \\ y^\prime & = - 3(x^\prime)^4 - 2x^\prime + 1 \end{align} $
Sehingga bayangannya $ y^\prime = - 3(x^\prime)^4 - 2x^\prime + 1 $ atau $ y = -3x^4 - 2x + 1 $.
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ y = -3x^4 - 2x + 1 . \, \heartsuit $.

3). Titik B($-2,1$) dirotasi sejauh $ 60^\circ $ dengan titik pusat (1,0) , lalu dilanjutkan lagi dengan rotasi sebesar $ 30^\circ $ dengan titik pusat $ (-1,3) $. Tentukan bayangan titik B?

Penyelesaian :
*). Karena titik pusat rotasinya tidak sama, maka matriks rotasinya tidak bisa kita gabung langsung, artinya kita harus mengerjakan satu demi satu bentuk rotasinya.
*). Rotasi pertama : $ \theta _ 1 = 60^\circ $ dengan pusat $(a,b) = (1,0) $.
$ MT = \left( \begin{matrix} \cos (60^\circ ) & - \sin (60^\circ ) \\ \sin (60^\circ ) & \cos (60^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} ) \end{matrix} \right) $
Bayangan pertama titik $B(-2,1) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( MT) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} ) \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -2 - 1 \\ 1 - 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} ) \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{-3}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{-3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} ) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} ) \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga $ B^\prime ( -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} , -\frac{3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} ) $

*). Rotasi kedua : $ \theta _ 2 = 30^\circ $ dengan pusat $(a,b) = (-1,3) $.
$ MT = \left( \begin{matrix} \cos (30^\circ ) & - \sin (30^\circ ) \\ \sin (30^\circ ) & \cos (30^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} ) \end{matrix} \right) $
Bayangan kedua titik $ B^\prime ( -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} , -\frac{3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{ \prime \prime } \\ y^{ \prime \prime } \end{matrix} \right) & = ( MT) \times \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} ) \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} - (-1) \\ -\frac{3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} - 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} ) \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{3}{2}\sqrt{3} - \frac{5}{2} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{4}\sqrt{3} - \frac{3}{4} + \frac{3}{4}\sqrt{3} + \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\sqrt{3} - \frac{9}{4} - \frac{5}{4}\sqrt{3} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \sqrt{3} + \frac{1}{2} \\ - \frac{7}{4}\sqrt{3} - 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \\ - \frac{7}{4}\sqrt{3} + 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga $ B^{\prime \prime } ( \sqrt{3} - \frac{1}{2} , - \frac{7}{4}\sqrt{3} + 1 ) $
Jadi, bayangan akhir titik B adalah $ B^{\prime \prime } ( \sqrt{3} - \frac{1}{2} , - \frac{7}{4}\sqrt{3} + 1 ) . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Komposisi Rotasi Sepusat dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Komposisi transformasi geometri.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar