Menentukan fungsi invers dari grafiknya artinya diketahui grafik suatu fungsi dan kita diminta mencari fungsi inversnya langsung. Untuk memudahkan dalam pengerjaannya, sebaiknya teman-teman memepelajari materi invers fungsi eksponen dan logaritma.
Cara Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya
Ada dua cara dalam menentukan fungsi invers dari grafiknya, yaitu :
$\clubsuit $ Cara I : Menentukan fungsi awal
Kita tentukan dulu fungsi awal (fungsi asli) dari grafiknya, setelah itu baru kita cari inversnya.
$\spadesuit $ Cara II : Teknik Substitusi
Kita substitusikan langsung titik yang dilalui oleh grafiknya ke pilihan gandanya.
*). Untuk menentukan fungsi awal, kita substiusi $x$ dan hasilnya $y$, teknik ini sudah kita aplikasikan pada materi menetukan fungsi eksponen dan fungsi logaritma dari grafiknya.
*). Untuk menentukan fungsi invers, kita substitusikan $y$ dan hasilnya $x$, teknik ini akan kita terapkan pada artikel ini.
$\clubsuit $ Cara I : Menentukan fungsi awal
Kita tentukan dulu fungsi awal (fungsi asli) dari grafiknya, setelah itu baru kita cari inversnya.
$\spadesuit $ Cara II : Teknik Substitusi
Kita substitusikan langsung titik yang dilalui oleh grafiknya ke pilihan gandanya.
*). Untuk menentukan fungsi awal, kita substiusi $x$ dan hasilnya $y$, teknik ini sudah kita aplikasikan pada materi menetukan fungsi eksponen dan fungsi logaritma dari grafiknya.
*). Untuk menentukan fungsi invers, kita substitusikan $y$ dan hasilnya $x$, teknik ini akan kita terapkan pada artikel ini.
Soal-soal yang akan kita bahas adalah tipe-tipe soal yang ada pilihan gandanya, dimana tipe soal inilah yang sering diujikan di Ujian Nasional. Dan perlu teman-teman ketahui, cara II : teknik substitusi hanya bisa dilakukan untuk soal yang ada fungsinya yaitu pada pilihan gandanya.
Contoh Soal :
1). Perhatikan grafik fungsi berikut ini.
A). $ g(x) = 3^{x-2} - 9 $
B). $ g(x) = {}^2 \log \left( \frac{x-1}{3} \right) $
C). $ g(x) = 2^x - 1 $
D). $ g(x) = 5^{x - 4} + 1 $
E). $ g(x) = {}^3 \log (x+5) $
Penyelesaian :
Cara I : Menentukan fungsi awal,
*). Contoh soal 1 ini sama dengan contoh soal nomor 4 pada artikel "menentukan fungsi eksponen dari grafiknya", dima fungsi awal (fungsi asli) dari grafik tersebut adalah $ f(x) = 3 \times 2^x + 1 $. Silahkan teman-teman baca penjelasannya pada artikel tersebut.
*). Kita tentukan invers dari fungsi awal : $ f(x) = 3 \times 2^x + 1 $. Silahkan baca cara menginverskan fungsi eksponen dan fungsi logaritma.
$ \begin{align} f(x) & = 3 \times 2^x + 1 \\ y & = 3 \times 2^x + 1 \\ 3 \times 2^x & = y - 1 \\ 2^x & = \frac{y - 1}{3} \\ x & = {}^2 \log \frac{y - 1}{3} \end{align} $
Sehingga inversnya adalah $ g(x) = {}^2 \log \frac{x - 1}{3} $ .
Jadi, invers dari grafik tersebut adalah opsion B yaitu $ g(x) = {}^2 \log \frac{x - 1}{3} $ .
Catatan : Cara I ini tingkat kesulitannya adalah untuk menentukan fungsi awal dan lalu mencari fungsi inversnya.
Cara II: Teknik Substitusi,
*). Grafik melalui titik $(0,4), \, (1,7), \, $ dan $ (2,13)$. Karena yang ditanya fungsi inversnya, maka kita substitusikan $y$ dan hasilnya $x$.
Titik pertama $(0,4) $, kita substitusikan $ x = 4 $ dan hasilnya harus 0 :
A). $ g(x) = 3^{x-2} - 9 = 3^{4-2} - 9 = 9 - 9 =0 $ (BENAR)
B). $ g(x) = {}^2 \log \left( \frac{x-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{4-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{3}{3} \right) = {}^2 \log 1 = 0 $ (BENAR)
C). $ g(x) = 2^x - 1 = 2^4 - 1 = 16 - 1 =15 $ (SALAH)
D). $ g(x) = 5^{x - 4} + 1 = 5^{4 - 4} + 1 = 5^0 + 1 = 1 + 1 = 2 $ (SALAH)
E). $ g(x) = {}^3 \log (x+5) = {}^3 \log (4+5) = {}^3 \log 9 = 2 $ (SALAH)
*). Yang BENAR tersisa pilihan (A) dan (B), kita lanjutkan substitusi titik lainnya ke kedua pilihan tersebut.
Titik kedua $(1,7) $ , kita substitusi $ x = 7 $ dan hasilnya harus 1 :
A). $ g(x) = 3^{x-2} - 9 = 3^{7-2} - 9 = 3^5 - 9 = 243 - 9 = 234 $ (SALAH)
B). $ g(x) = {}^2 \log \left( \frac{x-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{7-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{6}{3} \right) = {}^2 \log 2 = 1 $ (BENAR)
Yang tersisa BENAR adalah pilihan B, sehingga itulah jawabannya.
Jadi, invers dari grafik tersebut adalah opsion B yaitu $ g(x) = {}^2 \log \frac{x - 1}{3} $ .
2).Jika $g(x) $ adalah fungsi invers dari grafik fungsi berikut ini, maka tentukan fungsi $ g(x) $ tersebut!
A). $ g(x) = 3^x - 1 $
B). $ g(x) = {}^3 \log (2x+3) + 1 $
C). $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) $
D). $ g(x) = 5^{x+1} - 3 $
E). $ g(x) = {}^2 \log (x+2) - 3 $
Penyelesaian :
*). Untuk contoh soal nomor 2 ini kita langsung menggunakan cara II yaitu teknik substitusi. Namun, bagi teman-teman yang ingin mencoba cara pertama silahkan saja, untuk perbandingan hasil akhirnya apakah sama atau tidak. Dan untuk fungsi awal dari grafiknya sama dengan contoh soal nomor 2 pada artikel "menentukan fungsi logaritma dari grafiknya", silahkan teman-teman lihat artikelnya untuk pembahasannya.
*). Grafik melalui titik-titik : $(-2,0), \, (-1,-1) $ dan $ (2,-2) $.
Karena yang ditanya fungsi inversnya, maka kita substitusikan $y$ dan hasilnya $x$.
Titik pertama $(-2,0) $, kita substitusikan $ x = 0 $ dan hasilnya harus $-2$ :
A). $ g(x) = 3^x - 1 = 3^0 - 1 = 1 - 1 = 0 $ (SALAH)
B). $ g(x) = {}^3 \log (2x+3) + 1 = {}^3 \log (2 \times 0 +3) + 1 = {}^3 \log 3 + 1 = 1 + 1 = 2$ (SALAH)
C). $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3^{-0} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( -4 \right) = -2 $ (BENAR)
D). $ g(x) = 5^{x+1} - 3 = 5^{0+1} - 3 = 5^{1} - 3 = 2 $ (SALAH)
E). $ g(x) = {}^2 \log (x+2) - 3 = {}^2 \log (0+2) - 3 = {}^2 \log ( 2) - 3 = 1 - 3 = -2 $ (BENAR)
*). Yang BENAR tersisa pilihan (C) dan (D), kita lanjutkan substitusi titik lainnya ke kedua pilihan tersebut.
Titik kedua $(2,-2) $ , kita substitusi $ x = -2 $ dan hasilnya harus 2 :
C). $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3^{-(-2)} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3^2 - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 9 - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 4 \right) = 2 $ (BENAR)
E). $ g(x) = {}^2 \log (x+2) - 3 = {}^2 \log (-2+2) - 3 = {}^2 \log ( 0) - 3 $ (SALAH) karena numerus tidak boleh 0.
Yang tersisa BENAR adalah pilihan C, sehingga itulah jawabannya.
Jadi, invers dari grafik tersebut adalah opsion C yaitu $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) $ .
Demikian pembahasan materi Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan fungsi dan grafiknya. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.
