Kamis, 10 November 2016

Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "menggambar grafik fungsi eksponen", kita lanjutkan dengan membahas materi Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya. Pada materi menggambar grafik fungsi eksponen, akan diketahui fungsi eksponennya dan kita diminta untuk menggambar grafiknya. Hal sebaliknya terjadi untuk materi menentukan fungsi eksponen dari grafiknya, kita disajikan grafik fungsi eksponennya dan kita akan menentukan fungsi eksponennya. Menentukan fungsi eksponen dari grafiknya juga merupakan salah satu tipe soal yang dikeluarkan dalam Ujian Nasional.

         Sebenarnya untuk ujian Nasional, Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya tidaklah sulit karena kita tidak perlu menghafal banyak rumus, namun cukup dengan TEKNIK SUBSTITUSI titik-titik yang dilalui oleh grafik fungsi eksponen pada opsionnya (pilihan gandanya) langsung. Nanti akan kita coba beberapa tipe soal yang ada pilihan gandanya. Modal utama yang kita butuhkan di sini hanya kecakapan dalam berhitung saja.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya, teman-teman harus menguasai sifat-sifat eksponen dalam keperluan untuk menghitung, bentuk fungsi eksponen, dan terakhir adalah menyelesaikan sistem persamaan. Pada pembahasan di blog koma ini, secara garis besar kita bagi menjadi dua jenis grafik. Untuk lebih jelasnya kita ikuti pembahasannya berikut ini.

Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya I
       Secara umum ada dua fungsi eksponen yang akan kita gunakan sebagai permisalan yaitu $ f(x) = b \times a^x \, $ dan $ \, f(x) = b \times a^x + c $ . Bentuk $ f(x) = b \times a^x \, $ kita gunakan jika pada grafik fungsi eksponennya melalui dua titik saja. Dan bentuk $ \, f(x) = b \times a^x + c \, $ kita gunakan jika grafiknya melalui lebih dari dua titik. Catatan penting, grafik eksponen yang kita bahas dalam artikel ini adalah grafik eksponen yang monoton, baik monoton naik ataupun monoton turun.

Contoh soal :
1). Tentukan fungsi eksponen dari grafik berikut ini.

Penyelesaian :
*). Grafik pada gambar contoh soal 1 ini melalui dua titik yaitu (0,1) dan (1,3), sehingga permisalan fungsi ekponen yang kita gunakan adalah $ f(x) = b \times a^x $. Kita substitusikan kedua titik tersebut.
$ \begin{align} (x,y)=(0,1) \rightarrow f(x) & = b \times a^x \\ 1 & = b \times a^0 \\ 1 & = b \times 1 \\ 1 & = b \end{align} $
Sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = b \times a^x \rightarrow f(x) = a^x $.
$ \begin{align} (x,y)=(1,3) \rightarrow f(x) & = a^x \\ 3 & = a^1 \\ 3 & = a \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = a^x \rightarrow f(x) = 3^x $.
Jadi, fungsi eksponen dari grafik tersebut adalah $ f(x) = 3^x $.

2). Tentukan fungsi eksponen dari grafik berikut ini.

Penyelesaian :
*). Grafik pada gambar contoh soal 2 ini melalui dua titik yaitu (1,6) dan (2,12), sehingga permisalan fungsi ekponen yang kita gunakan adalah $ f(x) = b \times a^x $. Kita substitusikan kedua titik tersebut.
$ \begin{align} (x,y)=(1,6) \rightarrow f(x) & = b \times a^x \\ 6 & = b \times a^1 \\ 6 & = b a \\ a & = \frac{6}{b} \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
$ \begin{align} (x,y)=(2,12) \rightarrow f(x) & = b \times a^x \\ 12 & = b \times a^2 \\ 12 & = b a^2 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
Substitusi $ a = \frac{6}{a} \, $ ke pers(ii) :
$ \begin{align} 12 & = b a^2 \\ 12 & = b \left( \frac{6}{b} \right)^2 \\ 12 & = b \left( \frac{36}{b^2} \right) \\ 12 & = \frac{36}{b} \\ b & = \frac{36}{12} = 3 \end{align} $
Sehingga nilai $ a = \frac{6}{b} = \frac{6}{3} = 2 $.
Artinya fungsinya : $ f(x) = b \times a^x = 3 \times 2^x $ .
Jadi, fungsi eksponen dari grafik tersebut adalah $ f(x) = 3 \times 2^x $.


3). Tentukan fungsi eksponen dari grafik berikut ini.

Penyelesaian :
*). Grafik pada gambar contoh soal 3 ini melalui dua titik yaitu (0,4) dan (1,2), sehingga permisalan fungsi ekponen yang kita gunakan adalah $ f(x) = b \times a^x $. Kita substitusikan kedua titik tersebut.
$ \begin{align} (x,y)=(0,4) \rightarrow f(x) & = b \times a^x \\ 4 & = b \times a^0 \\ 4 & = b \times 1 \\ 4 & = b \end{align} $
Sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = b \times a^x \rightarrow f(x) = 4 \times a^x $.
$ \begin{align} (x,y)=(1,2) \rightarrow f(x) & = 4 \times a^x \\ 2 & = 4 \times a^1 \\ 2 & = 4a \\ a & = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = 4 \times a^x \rightarrow f(x) = 4 \times \left( \frac{1}{2} \right)^x $.
*). Kita sederhanakan bentuk fungsi yang kita peroleh :
$ \begin{align} f(x) & = 4 \times \left( \frac{1}{2} \right)^x \\ f(x) & = 2^2 \times \left( 2^{-1}\right)^x \\ f(x) & = 2^2 \times 2^{-x} \\ f(x) & = 2^{2 - x} \end{align} $
Jadi, fungsi eksponen dari grafik tersebut adalah $ f(x) = 2^{2 - x} $.

4). Tentukan fungsi eksponen dari grafik berikut ini.


Penyelesaian :
*). Grafik pada gambar contoh soal 4 ini melalui dua titik yaitu (0,4), (1,7), dan (2,13) sehingga permisalan fungsi ekponen yang kita gunakan adalah $ f(x) = b \times a^x + c $. Kita substitusikan kedua titik tersebut.
$ \begin{align} (x,y)=(0,4) \rightarrow f(x) & = b \times a^x + c \\ 4 & = b \times a^0 + c \\ 4 & = b \times 1 + c \\ 4 & = b + c \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ (x,y)=(1,7) \rightarrow f(x) & = b \times a^x + c \\ 7 & = b \times a^1 + c \\ 7 & = b \times a + c \\ 7 & = ba + c \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ (x,y)=(2,13) \rightarrow f(x) & = b \times a^x + c \\ 13 & = b \times a^2 + c \\ 13 & = ba^2 + c \, \, \, \, \, \, \text{...pers(iii)} \\ \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} ba + c = 7 & \\ b + c = 4 & - \\ \hline ba - b = 3 & \end{array} $
Kita peroleh : $ ba - b = 3 \, $ ....pers(iv).
*). Eliminasi pers(ii) dan pers(iii) :
$ \begin{array}{cc} ba^2 + c = 13 & \\ ba + c = 7 & - \\ \hline ba^2 - ba = 6 & \\ a(ba - b) = 6 & \end{array} $
Kita peroleh : $ a(ba - b) = 6 \, $ ....pers(v).
*). Dari pers(iv) dan (v),
$ a(ba - b) = 6 \rightarrow a \times 3 = 6 \rightarrow a = 2 $.
Pers(iv) : $ ba - b = 3 \rightarrow 2b - b = 3 \rightarrow b = 3 $.
Pers(i) : $ b + c = 4 \rightarrow 3 + c = 4 \rightarrow c = 1 $.
Sehingga fungsinya : $ f(x) = b \times a^x + c = 3 \times 2^x + 1 $.
Jadi, fungsi eksponen dari grafik tersebut adalah $ f(x) = 3 \times 2^x + 1 $.

Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya II
       Bagaimana dengan cara menentukan fungsi eksponen yang soal-soalnya dalam bentuk pilihan ganda seperti soal-soal UN? Cara terbaik yang bisa selain menentukan fungsi eksponen dengan cara di atas yaitu dengan langsung mengecek setiap pilihan gandanya dengan cara mensubstitusikan titik yang dilalui oleh grafik eksponennya. Fungsi yang benar adalah fungsi yang melalui semua titik tersebut.

Contoh Soal :
5). Perhatikan grafik fungsi berikut ini.
Dari grafik tersebut, fungsi yang mewakili grafik tersebut adalah ....
A). $ f(x) = 3^x + 1 $
B). $ f(x) = 2^{x - 1} + 3 $
C). $ f(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^x + \frac{7}{2} $
D). $ f(x) = {}^2 \log x + 4 $
E). $ f(x) = {}^3 \log ( x+ 2) + 3 $.

Penyelesaian :
*). Kita substitusi titik yang dilewati oleh grafik ke fungsi-fungsi yang ada pada pilihan gandanya. Trik untuk memilih titik adalah, pilihlah titik yang selain titik pertama karena biasanya akan banyak fungsi di pilihan ganda yang memenuhi. Sehingga kita pilih titik kedua yaitu (2,5). Titik (2,5) artinya ketika kita substitusi $ x = 2 \, $ maka nilai fungsinya harus 5 atau $ f(2) = 5 $.
Pilihan (A) : $ f(2) = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10 \, $ (SALAH).
Pilihan (B) : $ f(2) = 2^{2 - 1} + 3 = 2 + 3 = 5 \, $ (BENAR).
Pilihan (C) : $ f(2) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{7}{2} = \frac{1}{4} + \frac{7}{2} = \frac{19}{4} \, $ (SALAH).
Pilihan (D) : $ f(2) = {}^2 \log 2 + 4 = 1 + 4 = 5 \, $ (BENAR).
Pilihan (E) : $ f(2) = {}^3 \log ( 2+ 2) + 3 = {}^3 \log 4 + 3 = 1, + 4 = 5,.. \, $ (SALAH).
*). Karena yang BENAR masih ada lebih dari satu fungsi, maka kita akan cek untuk titik lain yaitu titik (3,7) untuk pilihan B dan D. Titik (3,7) artinya ketika kita substitusi $ x = 3 \, $ maka nilai fungsinya harus 7 atau $ f(3) = 7 $.
Pilihan (B) : $ f(3) = 2^{3 - 1} + 3 = 4 + 3 = 7 \, $ (BENAR).
Pilihan (D) : $ f(2) = {}^2 \log 3 + 4 = 1, + 4 = 5,.. \, $ (SALAH).
Sehingga yang benar tersisa pilihan B, ini artinya fungsi grafik tersebut adalah $ f(x) = 2^{x - 1} + 3 $.
Jadi, fungsi grafiknya adalah $ f(x) = 2^{x - 1} + 3 $.

         Demikian pembahasan materi Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan eksponen lainnya dengan mengikuti artikel terkait berikut ini.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar