Aplikasi Vektor : Jarak Titik ke Garis

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Aplikasi Vektor : Jarak Titik ke Garis . Aplikasi vektor pertama yang kita bahas adalah jarak titik ke garis lurus. Sebenarnya materi ini sudah kita bahas pada artikel "Jarak Dua Titik dan Titik ke Garis", pada artikel tersebut kita bahas rumusnya dan contoh soalnya. Nah pada artikel ini, kita akan membahas pembuktian rumusnya menggunakan konsep vektor. Tentu juga akan kita bahas contoh-contoh soalnya. Untuk memudahkan mempelajari materi Aplikasi Vektor : Jarak Titik ke Garis, teman-teman harus menguasai materi "pengertian vektor", "panjang vektor", "perkalian dot dua vektor", "proyeksi vektor", dan "vektor normal garis lurus". Materi-materi dasar ini akan kita gunakan dalam pembuktian Rumus Jarak Titik ke Garis. Garis lurus yang dimaksud disini adalah berkaitan dengan persamaannya yaitu biasanya berbentuk $ ax + by + c = 0 $. Berikut penjelasan Aplikasi Vektor : Jarak Titik ke Garis yang berkaitan dengan rumus jaraknya dan pembuktian serta contoh soalnya.

Aplikasi vektor : Jarak titik ke garis lurus
Pada R$^2$ , jarak titik $ A(x_1,y_1) $ ke garis $ ax + by + c = 0 $ adalah
       Jaraknya $ = \left| \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| $
Aplikasi vektor : Jarak titik ke bidang
Pada R$^3$ , jarak titik $ b(x_1,y_1,z_1) $ ke bidang $ ax + by + cz + d = 0 $ adalah
       Jaraknya $ = \left| \frac{ax_1+by_1+cz_1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \right| $

$ \spadesuit \, $ Pembuktian jarak titik ke garis lurus :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut,
*). Misalkan kita pilih sembarang titik $ B(x_2,y_2) $ yang terletak pada garis $ ax + by + c = 0 $ . Berikutnya kita buat vektor normal $ \vec{u} = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ yang melalui titik B.
*). Titik $ B(x_2,y_2) $ terletak pada garis, artinya titik B bisa kita substitusikan ke persamaan garis $ ax + by + c = 0 $ yaitu $ ax_2 + by_2 + c $. Kita peroleh :
$ ax_2 + by_2 + c \rightarrow c = -ax_2 - by_2 \, $ ......(i)
*). Pada gambar, terbentuk vektor $ \vec{BA} $ yaitu
$ \vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x_1 - x_2 \\ y_1 - y_2 \end{matrix} \right) $
*). Kita proyeksikan vektor $ \vec{BA} $ ke vektor normal $ \vec{u} $ sehingga menghasilkan vektor $ \vec{c} $. Jarak titik $ A(x_1,y_1) $ ke garis $ ax+by+c=0 $ sama dengan panjang vektor proyeksi $ \vec{BA} $ ke vektor $ \vec{u} $.
*). Menentukan jarak titik $ A(x_1,y_1) $ ke garis $ ax + by + c = 0 $ dan dengan bentuk $ c = ax_2 - by_2 $ :
$ \begin{align} \text{Jarak } & = panjang \, proyeksi \, vektor \, \vec{BA} \, ke \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{BA} . \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{\left( \begin{matrix} x_1 - x_2 \\ y_1 - y_2 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right)}{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| \\ & = \left| \frac{a(x_1-x_2) + b(y_1 - y_2) }{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| \\ & = \left| \frac{ax_1-ax_2 + by_1 - by_2 }{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| \\ & = \left| \frac{ax_1 + by_1 -ax_2 - by_2 }{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| \\ & = \left| \frac{ax_1 + by_1 + c }{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| \end{align} $
Jadi, terbukti jaraknya $ = \left| \frac{ax_1 + by_1 + c }{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| $.

Dengan cara yang hampir mirip, kita bisa membuktikan rumus jarak titik ke bidang $ ax + by + cz + d = 0 $.

Contoh soal Aplikasi Vektor : Jarak Titik ke Garis :

1). Tentukan jarak titik $ A(-1,2) $ ke garis $ 3x - 4y + 9 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Ada dua cara yang akan kita gunakan untuk menentukan jaraknya yaitu :
Cara I : menggunakan konsep vektor
-). vektor normal dari $ 3x - 4y + 9 = 0 $ adalah $ \vec{u} = \left( \begin{matrix} 3 \\ -4 \end{matrix} \right) $
-). kita pilih titik yang terletak pada garis yaitu $ B(1,3) $.
-). Vektor $ \vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2 \\ -1 \end{matrix} \right) $
-). Jarak titik $ A(-1,2) $ ke garis $ 3x - 4y + 9 = 0 $ sama dengan panjang proyeksi vektor $ \vec{BA} $ ke vektor $ \vec{u} $ :
$ \begin{align} \text{Jarak } & = panjang \, proyeksi \, vektor \, \vec{BA} \, ke \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{BA} . \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{\left( \begin{matrix} -2 \\ -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 3 \\ -4 \end{matrix} \right)}{\sqrt{3^2 + (-4)^2} } \right| \\ & = \left| \frac{-2.3 + (-1).(-4) }{\sqrt{9 + 16} } \right| \\ & = \left| \frac{-6 + 4 }{\sqrt{25} } \right| \\ & = \left| \frac{-2}{5} \right| = \frac{2}{5} \end{align} $
Jadi, jarak titik $ A(-1,2) $ ke garis $ 3x - 4y + 9 = 0 $ adalah $ \frac{2}{5} $ satuan.

Cara II : Rumus jarak titik ke garis :
-). jarak titik $ A(-1,2) $ ke garis $ 3x - 4y + 9 = 0 $ :
artinya titik $ (x_1,y_1) + (-1,2) $ dan $ a = 3, b = -4 $.
-). Menenetukan jaraknya :
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{ax_1 + by_1 + c }{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| \\ & = \left| \frac{3.(-1) - 4.2 + 9}{\sqrt{3^2 + (-4)^2} } \right| \\ & = \left| \frac{-3 -8 + 9}{\sqrt{25} } \right| \\ & = \left| \frac{-2}{5} \right| = \frac{2}{5} \end{align} $
Jadi, jarak titik $ A(-1,2) $ ke garis $ 3x - 4y + 9 = 0 $ adalah $ \frac{2}{5} $ satuan.

2). Tentukan jarak titik $ P(-1,2,3) $ ke bidang yang memiliki persamaan $ 2x - y + 2z - 8 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). kita langsung menggunakan rumus jaraknya,
*). Diketahui titiknya $ (x_1,y_1,z_1) = ( -1,2,3) $
*). persamaan bidangnya : $ 2x - y + 2z - 8 = 0 \rightarrow a = 2, b = -1 , c = 2 $
*). Menentukan jaraknya :
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 }{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} } \right| \\ & = \left| \frac{ 2.(-1) - 2 + 2.3 - 8}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} } \right| \\ & = \left| \frac{-2 -2 + 6 - 8}{\sqrt{25} } \right| \\ & = \left| \frac{-6}{5} \right| = \frac{6}{5} \end{align} $
Jadi, jarak titik $ P(-1,2,3) $ ke bidang yang memiliki persamaan $ 2x - y + 2z - 8 = 0 $ adalah $ \frac{6}{5} $ satuan.

3). Jika jarak titik $ Q(1,k) $ ke garis $ 12x - 5y + 11 = 0 $ adalah 1 satuan dengan $ k < 5 $, maka tentukan nilai $ k^2 - 2k + 3$!
Penyelesaian :
*). Sifat nilai mutlak :
$ |x| = a \rightarrow x = \pm a $
*). Menentukan nilai $ k $ :
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{ax_1 + by_1 + c }{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| \\ 1 & = \left| \frac{12.1 - 5.k + 11}{\sqrt{12^2 + (-5)^2} } \right| \\ 1 & = \left| \frac{12 - 5k + 11}{\sqrt{169} } \right| \\ 1 & = \left| \frac{23 - 5k }{\sqrt{169} } \right| \\ 1 & = \left| \frac{23 - 5k }{13} \right| \\ 13 & = | 23 - 5k| \\ \pm 13 & = 23 - 5k \end{align} $
$ 23 - 5k = 13 \rightarrow 5k = 10 \rightarrow k = 2 $
$ 23 - 5k = -13 \rightarrow 5k = 36 \rightarrow k = \frac{36}{5} $
Karena $ k < 5 $, maka $ k = 2 $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ k^2 - 2k + 3 $ !
$ k^2 - 2k + 3 = 2^2 - 2.2 + 3 = 3 $ .
Jadi, nilai $ k^2 - 2k + 3 = 3 $.

Aplikasi Vektor : Jarak titik ke Garis pada dimensi Tiga
Misalkan jarak titik P ke garis $ g $ seperti gambar berikut :
Kita pilih titik A dan B yang ada pada garis $ g $ dimana vektor $ \vec{AB} $ mewakili garis $ g $. Kita bentuk vektor yang menghubungkan titik P ke garis $ g $, misalkan kita pilih vektor $ \vec{AP} $. Jarak titik P ke garis $ g $ adalah panjang vektor "komponen tegak lurus vektor $ \vec{AP} $ terhadap vektor $ \vec{AB}$" yaitu :
Jarak $ = \left| \vec{AP} - \left( \frac{\vec{AP}.\vec{AB}}{|\vec{AB}|^2} \right) \vec{AB} \right| $

Contoh soal Aplikasi vektor : jarak titik ke garis

4). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm, tentukan jarak titik E ke garis AG!
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar
*). Menentukna titik sudut E, A, dan G serta vektornya :
E(8, 0, 8); A(8, 0, 0) dan G(0, 8, 8)
$ \vec{AE} = (0, 0, 8) $ dan $ \vec{AG} = (-8, 8, 8) $
*). Menentukan jarak titik E ke garis AG :
jarak = panjang komponen tegak lurus vektor $ \vec{AE} $ terhadap $ \vec{AG} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \left| \vec{AE} - \left( \frac{\vec{AE}.\vec{AG}}{|\vec{AG}|^2} \right) \vec{AG} \right| \\ & = \left| (0, 0, 8) - \left( \frac{(0, 0, 8).(-8, 8, 8)}{(\sqrt{(-8)^2 + 8^2 + 8^2})^2} \right) (-8, 8, 8) \right| \\ & = \left| (0, 0, 8) - \left( \frac{0 + 0 + 64}{(\sqrt{3 . 64})^2} \right) (-8, 8, 8) \right| \\ & = \left| (0, 0, 8) - \left( \frac{64}{ 3 . 64 } \right) (-8, 8, 8) \right| \\ & = \left| (0, 0, 8) - \left( \frac{1}{ 3 } \right) (-8, 8, 8) \right| \\ & = \left| (0, 0, 8) - \left( -\frac{8}{ 3 } , \frac{8}{ 3 } , \frac{8}{ 3 } \right) \right| \\ & = \left| \left( \frac{8}{ 3 } , -\frac{8}{ 3 } , \frac{2. 8}{ 3 } \right) \right| \\ & = \sqrt{ (\frac{8}{ 3 } )^2 +( -\frac{8}{ 3 })^2 + ( \frac{2. 8}{ 3 } )^2 } \\ & = \sqrt{ 6. (\frac{8}{ 3 } )^2 } = \frac{8}{ 3 } \sqrt{ 6 } \end{align} $
Jadi, jarak titik E ke AG adalah $ \frac{8}{ 3 } \sqrt{ 6 } \, $ cm.

Silahkan baca cara menentukan jarak titik ke garis dengan konsep pada dimensi tiga yaitu pada artikel "konsep jarak pada dimensi tiga"

       Demikian pembahasan materi Aplikasi Vektor : Jarak Titik ke Garis dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA" yaitu "aplikasi vektor : Luas bangun datar".