Kamis, 24 November 2016

Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita membahas materi menentukan fungsi eksponen dan fungsi logaritma dari grafiknya, kita lanjutkan dengan pembahasan materi Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya. Pada artikel ini kita akan lebih menekankan pada dua jenis grafik yaitu grafik fungsi eksponen dan grafik fungsi logaritma. Meskipun demikian, sebenarnya cara yang akan kita pelajari pada artikel ini bisa diterapkan pada semua jenis grafik fungsi yang diketahui. Namun, kita lebih fokus ke grafik fungsi eksponen dan grafik fungsi logaritma karena kedua jenis grafik fungsi ini yang biasanya keluar di soal-soal Ujian Nasional.

         Menentukan fungsi invers dari grafiknya artinya diketahui grafik suatu fungsi dan kita diminta mencari fungsi inversnya langsung. Untuk memudahkan dalam pengerjaannya, sebaiknya teman-teman memepelajari materi invers fungsi eksponen dan logaritma.

Cara Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya
       Ada dua cara dalam menentukan fungsi invers dari grafiknya, yaitu :
$\clubsuit $ Cara I : Menentukan fungsi awal
       Kita tentukan dulu fungsi awal (fungsi asli) dari grafiknya, setelah itu baru kita cari inversnya.

$\spadesuit $ Cara II : Teknik Substitusi
       Kita substitusikan langsung titik yang dilalui oleh grafiknya ke pilihan gandanya.
*). Untuk menentukan fungsi awal, kita substiusi $x$ dan hasilnya $y$, teknik ini sudah kita aplikasikan pada materi menetukan fungsi eksponen dan fungsi logaritma dari grafiknya.
*). Untuk menentukan fungsi invers, kita substitusikan $y$ dan hasilnya $x$, teknik ini akan kita terapkan pada artikel ini.
Catatan :
Soal-soal yang akan kita bahas adalah tipe-tipe soal yang ada pilihan gandanya, dimana tipe soal inilah yang sering diujikan di Ujian Nasional. Dan perlu teman-teman ketahui, cara II : teknik substitusi hanya bisa dilakukan untuk soal yang ada fungsinya yaitu pada pilihan gandanya.


Contoh Soal :
1). Perhatikan grafik fungsi berikut ini.
Fungsi invers dari grafik tersebut adalah ....
A). $ g(x) = 3^{x-2} - 9 $
B). $ g(x) = {}^2 \log \left( \frac{x-1}{3} \right) $
C). $ g(x) = 2^x - 1 $
D). $ g(x) = 5^{x - 4} + 1 $
E). $ g(x) = {}^3 \log (x+5) $

Penyelesaian :
Cara I : Menentukan fungsi awal,
*). Contoh soal 1 ini sama dengan contoh soal nomor 4 pada artikel "menentukan fungsi eksponen dari grafiknya", dima fungsi awal (fungsi asli) dari grafik tersebut adalah $ f(x) = 3 \times 2^x + 1 $. Silahkan teman-teman baca penjelasannya pada artikel tersebut.
*). Kita tentukan invers dari fungsi awal : $ f(x) = 3 \times 2^x + 1 $. Silahkan baca cara menginverskan fungsi eksponen dan fungsi logaritma.
$ \begin{align} f(x) & = 3 \times 2^x + 1 \\ y & = 3 \times 2^x + 1 \\ 3 \times 2^x & = y - 1 \\ 2^x & = \frac{y - 1}{3} \\ x & = {}^2 \log \frac{y - 1}{3} \end{align} $
Sehingga inversnya adalah $ g(x) = {}^2 \log \frac{x - 1}{3} $ .
Jadi, invers dari grafik tersebut adalah opsion B yaitu $ g(x) = {}^2 \log \frac{x - 1}{3} $ .

Catatan : Cara I ini tingkat kesulitannya adalah untuk menentukan fungsi awal dan lalu mencari fungsi inversnya.

Cara II: Teknik Substitusi,
*). Grafik melalui titik $(0,4), \, (1,7), \, $ dan $ (2,13)$. Karena yang ditanya fungsi inversnya, maka kita substitusikan $y$ dan hasilnya $x$.
Titik pertama $(0,4) $, kita substitusikan $ x = 4 $ dan hasilnya harus 0 :
A). $ g(x) = 3^{x-2} - 9 = 3^{4-2} - 9 = 9 - 9 =0 $ (BENAR)
B). $ g(x) = {}^2 \log \left( \frac{x-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{4-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{3}{3} \right) = {}^2 \log 1 = 0 $ (BENAR)
C). $ g(x) = 2^x - 1 = 2^4 - 1 = 16 - 1 =15 $ (SALAH)
D). $ g(x) = 5^{x - 4} + 1 = 5^{4 - 4} + 1 = 5^0 + 1 = 1 + 1 = 2 $ (SALAH)
E). $ g(x) = {}^3 \log (x+5) = {}^3 \log (4+5) = {}^3 \log 9 = 2 $ (SALAH)
*). Yang BENAR tersisa pilihan (A) dan (B), kita lanjutkan substitusi titik lainnya ke kedua pilihan tersebut.
Titik kedua $(1,7) $ , kita substitusi $ x = 7 $ dan hasilnya harus 1 :
A). $ g(x) = 3^{x-2} - 9 = 3^{7-2} - 9 = 3^5 - 9 = 243 - 9 = 234 $ (SALAH)
B). $ g(x) = {}^2 \log \left( \frac{x-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{7-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{6}{3} \right) = {}^2 \log 2 = 1 $ (BENAR)
Yang tersisa BENAR adalah pilihan B, sehingga itulah jawabannya.
Jadi, invers dari grafik tersebut adalah opsion B yaitu $ g(x) = {}^2 \log \frac{x - 1}{3} $ .

2).Jika $g(x) $ adalah fungsi invers dari grafik fungsi berikut ini, maka tentukan fungsi $ g(x) $ tersebut!

A). $ g(x) = 3^x - 1 $
B). $ g(x) = {}^3 \log (2x+3) + 1 $
C). $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) $
D). $ g(x) = 5^{x+1} - 3 $
E). $ g(x) = {}^2 \log (x+2) - 3 $

Penyelesaian :

*). Untuk contoh soal nomor 2 ini kita langsung menggunakan cara II yaitu teknik substitusi. Namun, bagi teman-teman yang ingin mencoba cara pertama silahkan saja, untuk perbandingan hasil akhirnya apakah sama atau tidak. Dan untuk fungsi awal dari grafiknya sama dengan contoh soal nomor 2 pada artikel "menentukan fungsi logaritma dari grafiknya", silahkan teman-teman lihat artikelnya untuk pembahasannya.
*). Grafik melalui titik-titik : $(-2,0), \, (-1,-1) $ dan $ (2,-2) $.
Karena yang ditanya fungsi inversnya, maka kita substitusikan $y$ dan hasilnya $x$.
Titik pertama $(-2,0) $, kita substitusikan $ x = 0 $ dan hasilnya harus $-2$ :
A). $ g(x) = 3^x - 1 = 3^0 - 1 = 1 - 1 = 0 $ (SALAH)
B). $ g(x) = {}^3 \log (2x+3) + 1 = {}^3 \log (2 \times 0 +3) + 1 = {}^3 \log 3 + 1 = 1 + 1 = 2$ (SALAH)
C). $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3^{-0} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( -4 \right) = -2 $ (BENAR)
D). $ g(x) = 5^{x+1} - 3 = 5^{0+1} - 3 = 5^{1} - 3 = 2 $ (SALAH)
E). $ g(x) = {}^2 \log (x+2) - 3 = {}^2 \log (0+2) - 3 = {}^2 \log ( 2) - 3 = 1 - 3 = -2 $ (BENAR)
*). Yang BENAR tersisa pilihan (C) dan (D), kita lanjutkan substitusi titik lainnya ke kedua pilihan tersebut.
Titik kedua $(2,-2) $ , kita substitusi $ x = -2 $ dan hasilnya harus 2 :
C). $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3^{-(-2)} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3^2 - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 9 - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 4 \right) = 2 $ (BENAR)
E). $ g(x) = {}^2 \log (x+2) - 3 = {}^2 \log (-2+2) - 3 = {}^2 \log ( 0) - 3 $ (SALAH) karena numerus tidak boleh 0.
Yang tersisa BENAR adalah pilihan C, sehingga itulah jawabannya.
Jadi, invers dari grafik tersebut adalah opsion C yaitu $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) $ .

         Demikian pembahasan materi Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan fungsi dan grafiknya. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.

Rabu, 23 November 2016

Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya

         Blog Koma - Setelah mempelajari artikel "fungsi logaritma dan menggambar grafiknya", kita lanjutkan pembahasan berikut ini yaitu Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya. Pada artikel ini, akan diketahui grafik fungsi logaritma yang melalui beberapa titik, dan tugas kita untuk menentukan persamaan fungsi logaritmanya. Soal-soal Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya biasanya juga muncul untuk Ujian Nasional, jadi perlu juga kita pelajari secara seksama teman-teman.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya ini, sebaiknya kita harus menguasai dulu materi "definisi logaritma" dan "sifat-sifat pada eksponen" karena akan melibatkan bentuk perpangkatan dalam perhitungannya nanti. Secara garis besar, pembahasan pada artikel Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya kita bagi menjadi dua yaitu pertama dengan menggunakan bentuk umum fungsi logaritma (yang sederhana) dan kedua diketahui soalnya dalam bentuk pilihan ganda yang biasanya keluar di Ujian Nasional.

Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya I
       Secara umum ada dua bentuk fungsi logaritma sebagai permisalan yang akan kita gunakan yaitu $ f(x) = {}^a \log (bx) \, $ dan $ f(x) = {}^a \log (bx+c) $ .
*). Bentuk $ f(x) = {}^a \log (bx) \, $ kita gunakan jika grafik diketahui hanya melalu dua titik saja.
*). Bentuk $ f(x) = {}^a \log (bx + c) \, $ kita gunakan jika grafik diketahui hanya melalu lebih dari dua titik.

       Langkah kerjanya adalah kita substitusi semua titik yang dilalui oleh grafik sehingga membentuk beberapa persamaan, setelah itu kita selesaikan persamaan yang terbentuk dengan teknik substitusi dan eliminasi.

Adapun rumus-rumus dasar yang paling berperan disini adalah :
*). Definisi logaritma :
       $ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
dengan syarat : $ a > 0, \, a \neq 1, \, $ dan $ b > 0 $.
*). Sifat-sifat eksponen :
$ a^ 0 = 1 \, $ dengan $ a \neq 0 $.
$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $

Contoh Soal :
1). Tentukan fungsi logaritma dari grafik di bawah ini.

Penyelesaian :
*). Karena grafik hanya melalui dua titik, maka kita gunakan fungsi $ f(x) = {}^a \log (bx) $.
*). Grafik melalui titik $(\frac{1}{3},0) \, $ dan $ (\frac{4}{3},2) $. Kita substitusikan kedua titik tersebut ke fungsi logaritmanya.
Substitusi titik pertama :
$ \begin{align} (x,y) = (\frac{1}{3},0) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx) \\ 0 & = {}^a \log (b \frac{1}{3} ) \\ 0 & = {}^a \log (\frac{b}{3} ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ \frac{b}{3} & = a^0 \\ \frac{b}{3} & = 1 \\ b & = 3 \times 1 = 3 \end{align} $
Sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = {}^a \log (bx) = {}^a \log (3x) $
Substitusi titik kedua :
$ \begin{align} (x,y) = (\frac{4}{3},2) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (3x) \\ 2 & = {}^a \log (3 \times \frac{4}{3} ) \\ 2 & = {}^a \log 4 \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ a^2 & = 4 \\ a & = \pm \sqrt{4} \\ a & = \pm 2 \end{align} $
Karena syarat basis adalah positif, maka yang memenuhi $ a = 2 $.
Sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = {}^a \log (3x) = {}^2 \log (3x) $
Jadi, fungsi logaritma dari grafik tersebut di atas adalah $ f(x) = {}^2 \log (3x) $.


2). Tentukan fungsi logaritma dari grafik berikut ini.

Penyelesaian :
*). Karena grafik melalui leih dari dua titik, maka kita gunakan fungsi $ f(x) = {}^a \log (bx + c) $.
*). Grafik melalui titik $(-2,0) , \, (-1,-1)$, dan $ (2,-2) $. Kita substitusikan ketiga titik tersebut ke fungsi logaritmanya.
Substitusi titik pertama :
$ \begin{align} (x,y) = (-2,0) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx + c) \\ 0 & = {}^a \log (b \times (-2) + c ) \\ 0 & = {}^a \log (-2b + c ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ -2b + c & = a^0 \\ -2b + c & = 1 \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
Substitusi titik kedua :
$ \begin{align} (x,y) = (-1,-1) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx + c) \\ -1 & = {}^a \log (b \times (-1) + c ) \\ -1 & = {}^a \log (-b + c ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ -b + c & = a^{-1} \\ -b + c & = \frac{1}{a} \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
Substitusi titik ketiga :
$ \begin{align} (x,y) = (2,-2) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx + c) \\ -2 & = {}^a \log (b \times (2) + c ) \\ -2 & = {}^a \log (2b + c ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ 2b + c & = a^{-2} \\ 2b + c & = \frac{1}{a^2} \, \, \, \, \, \text{....(iii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(iii) :
Kurangkan :
$\begin{array}{cc} -2b + c = 1 & \\ 2b + c = \frac{1}{a^2} & - \\ \hline -4b = 1 - \frac{1}{a^2} & \\ b = -\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{a^2}) & \end{array} $
Jumlahkan :
$\begin{array}{cc} -2b + c = 1 & \\ 2b + c = \frac{1}{a^2} & + \\ \hline 2c = 1 + \frac{1}{a^2} & \\ c = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) & \end{array} $
*). Dari pers(ii) , kita substitusi bentuk $ b $ dan $ c $ yang kita peroleh:
$ \begin{align} -b + c & = \frac{1}{a} \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \\ -[-\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{a^2})] + \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) & = \frac{1}{a} \, \, \, \, \, \, \text{(kalikan } 4a^2) \\ 4a^2 \times [\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{a^2})] + 4a^2 \times \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) & = 4a^2 \times \frac{1}{a} \\ a^2 \times (1 - \frac{1}{a^2}) + 2a^2 \times (1 + \frac{1}{a^2}) & = 4a \\ a^2 - 1 + 2a^2 + 2 & = 4a \\ 3a^2 - 4a + 1 & = 0 \\ (3a - 1)(a-1) & = 0 \\ a = \frac{1}{3} \vee a & = 1 \end{align} $
Karena syarat basis tidak sama dengan 1, maka $ a = \frac{1}{3} \, $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ b $ dan $ c $ :
$ b = -\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{a^2}) = -\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{\frac{1}{9}}) = -\frac{1}{4}(1 - 9) = 2 $
$ c = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{\frac{1}{9}}) = \frac{1}{2}(1 + 9) = 5 $
Sehingga fungsinya :
$ f(x) = {}^a \log (bx + c) \rightarrow f(x) = {}^\frac{1}{3} \log (2x + 5) $
Jadi, fungsi logaritma dari grafik tersebut di atas adalah $ f(x) = {}^\frac{1}{3} \log (2x + 5) $.

       Dari contoh penghitungan untuk soal nomor (2) di atas, terlihat bahwa proses menyelesaikan persamaannya yang agak sulit. Namun, dengan penuh kesabaran, pasti kita akan bisa menyelesaikannya dengan baik dan benar. Memang untuk bentuk fungsi logaritma lebih sulit dibandingkan dengan materi "menentukan fungsi eksponen dari grafiknya".

Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya II
       Tipe-tipe soal menentukan fungsi logaritma dari grafiknya juga bisa muncul di UJIAN NASIONAL. Namun di soal-soal Ujian Nasional biasanya dalam bentuk pilihan ganda, sehingga akan memudahkan kita untuk menentukan fungsi dari sebuah grafik yaitu dengan cara langsung SUBSTITUSI titik yang dilewati oleh grafik ke opsionnya (pilihan gandanya), dan kita pilih yang sesuai hasil dengan titik yang dilalui. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal :
3). Perhatikan grafik fungsi berikut ini.
Fungsi yang sesuai dengan grafik di atas adalah .....
A). $ y = {}^3 \log ( x + 1) $
B). $ y = 2^x - 1 $
C). $ y = {}^2 \log x + 1 $
D). $ y = \left( \frac{1}{2} \right)^{-x + 1} - 2 $
E). $ y = {}^2 \log (x - 1) $

Penyelesaian :
*). Titik - titik yang dilalui oleh grafik yaitu $(2,0) \, $ dan $ (3,1) $.
*). Kita substitusi titik pertama $(2,0)$ , untuk $ x = 2 \, $ maka nilai $ y \, $ haruslah $ 0 $.
Pilihan A: $ y = {}^3 \log ( x + 1) = {}^3 \log ( 2 + 1) = {}^3 \log 3 = 1 $ (SALAH).
Pilihan B: $ y = 2^x - 1 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 $ (SALAH)
Pilihan C: $ y = {}^2 \log x + 1 = {}^2 \log 2 + 1 = 1 + 1 = 2$ (SALAH)
Pilihan D: $ y = \left( \frac{1}{2} \right)^{-x + 1} - 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2 + 1} - 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{- 1} - 2 = 2 - 2 = 0 $ (BENAR)
Pilihan E: $ y = {}^2 \log (x - 1) = {}^2 \log (2 - 1) = {}^2 \log 1 = 0 $ (BENAR)
*). Karena opsi D dan E BENAR, maka kita substitusi titik lain ke kedua opsion yang benar tersebut.
*). Kita substitusi titik kedua $(3,1)$ , untuk $ x = 3 \, $ maka nilai $ y \, $ haruslah $ 1 $.
Pilihan D: $ y = \left( \frac{1}{2} \right)^{-x + 1} - 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-3 + 1} - 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} - 2 = 4 - 2 = 2 $ (SALAH)
Pilihan E: $ y = {}^2 \log (x - 1) = {}^2 \log (3 - 1) = {}^2 \log 2 = 1 $ (BENAR)
Sehingga opsion yang tersisa benar adalah opsi E.
Jadi, persamaan fungsi dari grafik tersebut adalah $ f(x) = {}^2 \log (x-1) $, yaitu opsion E.

         Demikian pembahasan materi Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan logaritma. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.

Kamis, 10 November 2016

Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "menggambar grafik fungsi eksponen", kita lanjutkan dengan membahas materi Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya. Pada materi menggambar grafik fungsi eksponen, akan diketahui fungsi eksponennya dan kita diminta untuk menggambar grafiknya. Hal sebaliknya terjadi untuk materi menentukan fungsi eksponen dari grafiknya, kita disajikan grafik fungsi eksponennya dan kita akan menentukan fungsi eksponennya. Menentukan fungsi eksponen dari grafiknya juga merupakan salah satu tipe soal yang dikeluarkan dalam Ujian Nasional.

         Sebenarnya untuk ujian Nasional, Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya tidaklah sulit karena kita tidak perlu menghafal banyak rumus, namun cukup dengan TEKNIK SUBSTITUSI titik-titik yang dilalui oleh grafik fungsi eksponen pada opsionnya (pilihan gandanya) langsung. Nanti akan kita coba beberapa tipe soal yang ada pilihan gandanya. Modal utama yang kita butuhkan di sini hanya kecakapan dalam berhitung saja.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya, teman-teman harus menguasai sifat-sifat eksponen dalam keperluan untuk menghitung, bentuk fungsi eksponen, dan terakhir adalah menyelesaikan sistem persamaan. Pada pembahasan di blog koma ini, secara garis besar kita bagi menjadi dua jenis grafik. Untuk lebih jelasnya kita ikuti pembahasannya berikut ini.

Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya I
       Secara umum ada dua fungsi eksponen yang akan kita gunakan sebagai permisalan yaitu $ f(x) = b \times a^x \, $ dan $ \, f(x) = b \times a^x + c $ . Bentuk $ f(x) = b \times a^x \, $ kita gunakan jika pada grafik fungsi eksponennya melalui dua titik saja. Dan bentuk $ \, f(x) = b \times a^x + c \, $ kita gunakan jika grafiknya melalui lebih dari dua titik. Catatan penting, grafik eksponen yang kita bahas dalam artikel ini adalah grafik eksponen yang monoton, baik monoton naik ataupun monoton turun.

Contoh soal :
1). Tentukan fungsi eksponen dari grafik berikut ini.

Penyelesaian :
*). Grafik pada gambar contoh soal 1 ini melalui dua titik yaitu (0,1) dan (1,3), sehingga permisalan fungsi ekponen yang kita gunakan adalah $ f(x) = b \times a^x $. Kita substitusikan kedua titik tersebut.
$ \begin{align} (x,y)=(0,1) \rightarrow f(x) & = b \times a^x \\ 1 & = b \times a^0 \\ 1 & = b \times 1 \\ 1 & = b \end{align} $
Sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = b \times a^x \rightarrow f(x) = a^x $.
$ \begin{align} (x,y)=(1,3) \rightarrow f(x) & = a^x \\ 3 & = a^1 \\ 3 & = a \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = a^x \rightarrow f(x) = 3^x $.
Jadi, fungsi eksponen dari grafik tersebut adalah $ f(x) = 3^x $.

2). Tentukan fungsi eksponen dari grafik berikut ini.

Penyelesaian :
*). Grafik pada gambar contoh soal 2 ini melalui dua titik yaitu (1,6) dan (2,12), sehingga permisalan fungsi ekponen yang kita gunakan adalah $ f(x) = b \times a^x $. Kita substitusikan kedua titik tersebut.
$ \begin{align} (x,y)=(1,6) \rightarrow f(x) & = b \times a^x \\ 6 & = b \times a^1 \\ 6 & = b a \\ a & = \frac{6}{b} \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
$ \begin{align} (x,y)=(2,12) \rightarrow f(x) & = b \times a^x \\ 12 & = b \times a^2 \\ 12 & = b a^2 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
Substitusi $ a = \frac{6}{a} \, $ ke pers(ii) :
$ \begin{align} 12 & = b a^2 \\ 12 & = b \left( \frac{6}{b} \right)^2 \\ 12 & = b \left( \frac{36}{b^2} \right) \\ 12 & = \frac{36}{b} \\ b & = \frac{36}{12} = 3 \end{align} $
Sehingga nilai $ a = \frac{6}{b} = \frac{6}{3} = 2 $.
Artinya fungsinya : $ f(x) = b \times a^x = 3 \times 2^x $ .
Jadi, fungsi eksponen dari grafik tersebut adalah $ f(x) = 3 \times 2^x $.


3). Tentukan fungsi eksponen dari grafik berikut ini.

Penyelesaian :
*). Grafik pada gambar contoh soal 3 ini melalui dua titik yaitu (0,4) dan (1,2), sehingga permisalan fungsi ekponen yang kita gunakan adalah $ f(x) = b \times a^x $. Kita substitusikan kedua titik tersebut.
$ \begin{align} (x,y)=(0,4) \rightarrow f(x) & = b \times a^x \\ 4 & = b \times a^0 \\ 4 & = b \times 1 \\ 4 & = b \end{align} $
Sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = b \times a^x \rightarrow f(x) = 4 \times a^x $.
$ \begin{align} (x,y)=(1,2) \rightarrow f(x) & = 4 \times a^x \\ 2 & = 4 \times a^1 \\ 2 & = 4a \\ a & = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = 4 \times a^x \rightarrow f(x) = 4 \times \left( \frac{1}{2} \right)^x $.
*). Kita sederhanakan bentuk fungsi yang kita peroleh :
$ \begin{align} f(x) & = 4 \times \left( \frac{1}{2} \right)^x \\ f(x) & = 2^2 \times \left( 2^{-1}\right)^x \\ f(x) & = 2^2 \times 2^{-x} \\ f(x) & = 2^{2 - x} \end{align} $
Jadi, fungsi eksponen dari grafik tersebut adalah $ f(x) = 2^{2 - x} $.

4). Tentukan fungsi eksponen dari grafik berikut ini.


Penyelesaian :
*). Grafik pada gambar contoh soal 4 ini melalui dua titik yaitu (0,4), (1,7), dan (2,13) sehingga permisalan fungsi ekponen yang kita gunakan adalah $ f(x) = b \times a^x + c $. Kita substitusikan kedua titik tersebut.
$ \begin{align} (x,y)=(0,4) \rightarrow f(x) & = b \times a^x + c \\ 4 & = b \times a^0 + c \\ 4 & = b \times 1 + c \\ 4 & = b + c \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ (x,y)=(1,7) \rightarrow f(x) & = b \times a^x + c \\ 7 & = b \times a^1 + c \\ 7 & = b \times a + c \\ 7 & = ba + c \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ (x,y)=(2,13) \rightarrow f(x) & = b \times a^x + c \\ 13 & = b \times a^2 + c \\ 13 & = ba^2 + c \, \, \, \, \, \, \text{...pers(iii)} \\ \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} ba + c = 7 & \\ b + c = 4 & - \\ \hline ba - b = 3 & \end{array} $
Kita peroleh : $ ba - b = 3 \, $ ....pers(iv).
*). Eliminasi pers(ii) dan pers(iii) :
$ \begin{array}{cc} ba^2 + c = 13 & \\ ba + c = 7 & - \\ \hline ba^2 - ba = 6 & \\ a(ba - b) = 6 & \end{array} $
Kita peroleh : $ a(ba - b) = 6 \, $ ....pers(v).
*). Dari pers(iv) dan (v),
$ a(ba - b) = 6 \rightarrow a \times 3 = 6 \rightarrow a = 2 $.
Pers(iv) : $ ba - b = 3 \rightarrow 2b - b = 3 \rightarrow b = 3 $.
Pers(i) : $ b + c = 4 \rightarrow 3 + c = 4 \rightarrow c = 1 $.
Sehingga fungsinya : $ f(x) = b \times a^x + c = 3 \times 2^x + 1 $.
Jadi, fungsi eksponen dari grafik tersebut adalah $ f(x) = 3 \times 2^x + 1 $.

Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya II
       Bagaimana dengan cara menentukan fungsi eksponen yang soal-soalnya dalam bentuk pilihan ganda seperti soal-soal UN? Cara terbaik yang bisa selain menentukan fungsi eksponen dengan cara di atas yaitu dengan langsung mengecek setiap pilihan gandanya dengan cara mensubstitusikan titik yang dilalui oleh grafik eksponennya. Fungsi yang benar adalah fungsi yang melalui semua titik tersebut.

Contoh Soal :
5). Perhatikan grafik fungsi berikut ini.
Dari grafik tersebut, fungsi yang mewakili grafik tersebut adalah ....
A). $ f(x) = 3^x + 1 $
B). $ f(x) = 2^{x - 1} + 3 $
C). $ f(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^x + \frac{7}{2} $
D). $ f(x) = {}^2 \log x + 4 $
E). $ f(x) = {}^3 \log ( x+ 2) + 3 $.

Penyelesaian :
*). Kita substitusi titik yang dilewati oleh grafik ke fungsi-fungsi yang ada pada pilihan gandanya. Trik untuk memilih titik adalah, pilihlah titik yang selain titik pertama karena biasanya akan banyak fungsi di pilihan ganda yang memenuhi. Sehingga kita pilih titik kedua yaitu (2,5). Titik (2,5) artinya ketika kita substitusi $ x = 2 \, $ maka nilai fungsinya harus 5 atau $ f(2) = 5 $.
Pilihan (A) : $ f(2) = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10 \, $ (SALAH).
Pilihan (B) : $ f(2) = 2^{2 - 1} + 3 = 2 + 3 = 5 \, $ (BENAR).
Pilihan (C) : $ f(2) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{7}{2} = \frac{1}{4} + \frac{7}{2} = \frac{19}{4} \, $ (SALAH).
Pilihan (D) : $ f(2) = {}^2 \log 2 + 4 = 1 + 4 = 5 \, $ (BENAR).
Pilihan (E) : $ f(2) = {}^3 \log ( 2+ 2) + 3 = {}^3 \log 4 + 3 = 1, + 4 = 5,.. \, $ (SALAH).
*). Karena yang BENAR masih ada lebih dari satu fungsi, maka kita akan cek untuk titik lain yaitu titik (3,7) untuk pilihan B dan D. Titik (3,7) artinya ketika kita substitusi $ x = 3 \, $ maka nilai fungsinya harus 7 atau $ f(3) = 7 $.
Pilihan (B) : $ f(3) = 2^{3 - 1} + 3 = 4 + 3 = 7 \, $ (BENAR).
Pilihan (D) : $ f(2) = {}^2 \log 3 + 4 = 1, + 4 = 5,.. \, $ (SALAH).
Sehingga yang benar tersisa pilihan B, ini artinya fungsi grafik tersebut adalah $ f(x) = 2^{x - 1} + 3 $.
Jadi, fungsi grafiknya adalah $ f(x) = 2^{x - 1} + 3 $.

         Demikian pembahasan materi Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan eksponen lainnya dengan mengikuti artikel terkait berikut ini.

Sabtu, 05 November 2016

Invers Fungsi Eksponen dan Logaritma

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita membahas artikel "fungsi invers dan komposisi", kita lanjutkan dengan pembahasan materi Invers Fungsi Eksponen dan Logaritma. Invers fungsi eksponen dan logaritma ini sengaja kita bahas sendiri karena bentuknya yang unik dan perlu teman-teman ketahui bahwa fungsi eksponen dan fungsi logaritma adalah dua fungsi yang saling invers. Ini artinya, invers fungsi eksponen adalah fungsi logartima, dan berlaku juga sebaliknya yaitu invers fungsi logaritma adalah fungsi eksponen.

         Materi-materi yang harus kita kuasai untuk memudahkan mempelajari materi Invers Fungsi Eksponen dan Logaritma yaitu definisi logaritma, definisi invers fungsi, dan invers fungsi komposisi. Mari kita simak penjelasannya berikut ini.

Definisi logaritma
       Definisi logartima :
$ \begin{align} {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
dengan $ a, \, b, \, c \, $ adalah bilangan real
dan syaratnya $ a > 0, \, a \neq 1 , \, $ dan $ b > 0 $.
Definisi Invers Fungsi
       Misalkan ada fungsi $ y = f(x) \, $ yang bijektif, maka invers fungsinya adalah :
$ \begin{align} y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1} (y) \end{align} $
Invers Fungsi Komposisi
       Berikut adalah invers fungsi komposisi :
$ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) & = (g^{-1} \circ f^{-1} ) (x) \\ (g \circ f)^{-1} (x) & = (f^{-1} \circ g^{-1} ) (x) \end{align} $

Contoh soal invers fungsi eksponen dan logaritma :
1). Tentukan invers dari fungsi $ f(x) = 3^x $?
Penyelesaian :
*). Untuk menentukan invers fungsi, kita ubah $ f(x) = y $ setelah itu kita gunakan definisi invers fungsi sehingga menjadi $ x = f^{-1} (y) $. Untuk bisa menentukan inversnya, kita harus menggunakan definisi logaritma.
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} f(x) & = 3^x \\ y & = 3^x \end{align} $
Definisi logaritma :
$ \begin{align} {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
atau
$ \begin{align} b = a^c \Leftrightarrow c = {}^a \log b \end{align} $
Sehingga :
$ \begin{align} y = 3^x \Leftrightarrow x = {}^3 \log y \end{align} $
Artinya $ f^{-1} (y) = {}^3 \log y \, $ atau $ f^{-1} (x) = {}^3 \log x $ .
Jadi, invers dari $ f(x) = 3^x \, $ adalah $ f^{-1} (x) = {}^3 \log x. \, \heartsuit $

2). Tentukan invers dari fungsi eksponen $ g(x) = 5^{2x + 1} $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} g(x) & = 5^{2x + 1} \\ y & = 5^{2x + 1} \, \, \, \, \, \, \, \text{(definisi logaritma)} \\ 2x + 1 & = {}^5 \log y \\ 2x & = {}^5 \log y - 1 \\ 2x & = {}^5 \log y - {}^5 \log 5 \, \, \, \, \, \, \, \text{(sifat logaritma)} \\ 2x & = {}^5 \log \frac{y}{5} \\ x & = \frac{1}{2} \times {}^5 \log \frac{y}{5} \, \, \, \, \, \, \, \text{(sifat logaritma)} \\ x & = {}^5 \log \left( \frac{y}{5} \right)^\frac{1}{2} \\ x & = {}^5 \log \sqrt{\frac{y}{5} } \\ g^{-1} (y) & = {}^5 \log \sqrt{\frac{y}{5} } \\ \text{ atau } & \\ g^{-1} (x) & = {}^5 \log \sqrt{\frac{x}{5} } \end{align} $
Jadi, invers fungsi $ g(x) = 5^{2x + 1} \, $ adalah $ g^{-1} (x) = {}^5 \log \sqrt{\frac{x}{5} } $.


3). Tentukan invers dari fungsi eksponen $ f(x) = {}^2 \log x $ ?
Penyelesaian :
*). Definisi logaritma :
$ \begin{align} {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
atau
$ \begin{align} c = {}^a \log b \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} f(x) & = {}^2 \log x \\ y & = {}^2 \log x \, \, \, \, \, \, \, \text{(definisi logaritma)} \\ x & = 2^y \\ f^{-1} (y) & = 2^y \\ \text{atau} & \\ f^{-1} (x) & = 2^x \end{align} $
Jadi, invers fungsi $ f(x) = {}^2 \log x \, $ adalah $ f^{-1} (x) = 2^x $.

4). Tentukan invers dari fungsi eksponen $ h(x) = {}^7 \log ( 3x - 5) $ ?
Penyelesaian :
*). Definisi logaritma :
$ \begin{align} {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
atau
$ \begin{align} c = {}^a \log b \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} h(x) & = {}^7 \log ( 3x - 5) \\ y & = {}^7 \log ( 3x - 5) \, \, \, \, \, \, \, \text{(definisi logaritma)} \\ 3x - 5 & = 7^y \\ 3x & = 7^y + 5 \\ x & = \frac{7^y + 5}{3} \\ x & = \frac{1}{3}(7^y + 5) \\ h^{-1}(y) & = \frac{1}{3}(7^y + 5) \\ \text{atau} & \\ h^{-1}(x) & = \frac{1}{3}(7^x + 5) \end{align} $
Jadi, invers fungsi $ h(x) = {}^7 \log ( 3x - 5) \, $ adalah $ h^{-1}(x) = \frac{1}{3}(7^x + 5) $.

5). Diketahui fungsi $ f(x) = 3^x \, $ dan $ g(x) = {}^2 \log x $.
Tentukan :
a). $ (f \circ g)^{-1} (x) $
b). $ (g \circ f)^{-1} (x) $
Penyelesaian :
*). Menentukan invers masing-masing fungsi terlebih dahulu :
Invers fungsi $ f(x) = 3^x $ :
$ \begin{align} f(x) & = 3^x \\ y & = 3^x \\ x & = {}^3 \log y \\ f^{-1}(x) & = {}^3 \log x \end{align} $
Invers fungsi $ g(x) = {}^2 \log x $ :
$ \begin{align} g(x) & = {}^2 \log x \\ y & = {}^2 \log x \\ x & = 2^y \\ g^{-1}(x) & = 2^x \end{align} $
*). Menentukan invers komposisi dengan sifat invers komposisinya :
a). Hasil bentuk $ (f \circ g)^{-1} (x) $
$ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) & = (g^{-1} \circ f^{-1})(x) \\ & = g^{-1}(f^{-1}(x)) \\ & = g^{-1}({}^3 \log x ) \\ & = 2^{{}^3 \log x} \end{align} $
Jadi, bentuk $ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) = 2^{{}^3 \log x} \end{align} $

b). Hasil bentuk $ (g \circ f)^{-1} (x) $
$ \begin{align} (g \circ f)^{-1} (x) & = (f^{-1} \circ g^{-1})(x) \\ & = f^{-1}(g^{-1}(x)) \\ & = f^{-1}(2^x ) \\ & = {}^3 \log 2^x \end{align} $
Jadi, bentuk $ \begin{align} (g \circ f)^{-1} (x) = {}^3 \log 2^x \end{align} $

6). Diketahui fungsi $ f(x) = {}^3 \log x \, $ dan $ g(x) = \frac{5x - 2}{4x + 7} $. Tentukan hasil $ (f \circ g)^{-1} (x) $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan invers masing-masing fungsi :
Invers fungsi $ f(x) = {}^3 \log x $ :
$ \begin{align} f(x) & = {}^3 \log x \\ y & = {}^3 \log x \\ x & = 3^y \\ f^{-1} (x) & = 3^x \end{align} $
Invers fungsi $ g(x) = \frac{5x - 2}{4x + 7} $ :
$ \begin{align} g(x) & = \frac{5x - 2}{4x + 7} \\ y & = \frac{5x - 2}{4x + 7} \\ y(4x + 7) & = 5x - 2 \\ 4xy + 7y & = 5x - 2 \\ 4xy - 5x & = -7y - 2 \\ x(4y - 5) & = -7y - 2 \\ x & = \frac{-7y - 2}{4y - 5} \\ g^{-1} & = \frac{-7x - 2}{4x - 5} \end{align} $
*). Menentukan hasil $ (f \circ g)^{-1} (x) $ :
$ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) & = (g^{-1} \circ f^{-1}) (x) \\ & = g^{-1} ( f^{-1}(x)) \\ & = g^{-1} (3^x) \\ & = \frac{-7 \times 3^x - 2}{4 \times 3^x - 5} \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) = \frac{-7 \times 3^x - 2}{4 \times 3^x - 5} \end{align} $

         Demikian pembahasan materi Invers Fungsi Eksponen dan Logaritma beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan fungsi dan invers fungsi. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.

Jumat, 04 November 2016

Grafik Fungsi Eksponen dan Logaritma

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi grafik fungsi eksponen dan logaritma. Grafik fungsi eksponen merupakan suatu grafik yang bentuknya monoton yaitu monoton naik atau monoton turun. Namun pada artikel Grafik Fungsi Eksponen dan Logaritma yang kita bahas hanya grafik fungsi eksponennya saja. Dan untuk grafik fungsi logaritma, sebenarnya sudah kami share sebelumnya dengan artikel yang berjudul "fungsi logaritma". Silahkan teman-teman langsung ke link artikel tersebut untuk mempelajari grafik fungsi logaritma.

         Untuk menggambar Grafik Fungsi Eksponen tidaklah begitu sulit teman-teman. Bentuk fungsi eksponen yang paling sederhana adalah $ f(x) = a^x \, $. Silahkan teman-teman baca juga materi "fungsi eksponen" agar lebih memudahkan dalam mempelajari dan membuat/menggambar grafik fungsi eksponen. Hal utama yang menentukan bentuk grafik fungsi eksponen adalah nilai $ a \, $ nya atau biasa disebut basis (silahkan baca : Bentuk Umum Eksponen atau Perpangkatan), jika nilai $ a > 1 \, $ maka grafik umumnya monoton naik dan jika $ 0 < a < 1 \, $ maka grafik monoton turun.

Grafik Fungsi Eksponen $ f(x) = a^x$
Grafik fungsi eksponen $ f(x) = a^x \, $ dapat dilihat dari nilai $ a \, $ yaitu :
$ \clubsuit \, $ Untuk nilai $ a > 1 $ :
       Grafik memotong sumbu Y di $ y = 1 $ dan monoton naik.
Bentuk grafiknya :
$ \clubsuit \, $ Untuk nilai $ 0 < a < 1 $ :
       Grafik memotong sumbu Y di $ y = 1 $ dan monoton turun.
Bentuk grafiknya :

Catatan :
Kita boleh mengambil beberapa titik $(x,y)$ yang memenuhi fungsi eksponen tersebut dengan cara mensubstitusikan nilai $ x \, $ yang kita pilih terlebih dahulu sehingga setelah kita substitusikan maka kita akan mendapatkan nilai $ y \, $ nya. Titik-titik ini akan membantu kita dalam memudahkan menggambar grafiknya.
Contoh Soal :
1). Buatlah grafik dari fungsi eksponen berikut ini :
a). $ f(x) = 2^x $
b). $ f(x) = 5^x $
c). $ f(x) = 9^x $
d). $ f(x) = \left(\frac{1}{2} \right)^x $
e). $ f(x) = \left(\frac{1}{5} \right)^x $
f). $ f(x) = \left(\frac{1}{9} \right)^x $

Penyelesaian :
*). Untuk fungsi $ f(x) = 2^x, \, f(x) = 5^x, \, $ dan $ f(x) = 9^x \, $ memiliki basis lebih dari 1 sehingga grafiknya monoton naik seperti gambar berikut ini.
*). Untuk fungsi $ f(x) = \left(\frac{1}{2} \right)^x , \, f(x) = \left(\frac{1}{5} \right)^x , \, $ dan $ f(x) = \left(\frac{1}{9} \right)^x \, $ memiliki basis lebih dari 1 sehingga grafiknya monoton naik seperti gambar berikut ini.

Catatan :
grafik fungsi $ \begin{align} f(x) = \left( \frac{1}{a} \right) ^x \end{align} \, $ bisa diperoleh dengan mencerminkan bentuk grafik $ f(x) = a^x \, $ dan berlaku sebaliknya.

Grafik Fungsi Eksponen $ f(x) = b \times a^x$
Grafik fungsi eksponen $ f(x) = b \times a^x \, $ dapat dilihat dari nilai $ a \, $ yaitu :
$ \clubsuit \, $ Untuk nilai $ a > 1 $ :
       Grafik memotong sumbu Y di $ y = b $ dan monoton naik.
Bentuk grafiknya :
$ \clubsuit \, $ Untuk nilai $ 0 < a < 1 $ :
       Grafik memotong sumbu Y di $ y = b $ dan monoton turun.
Bentuk grafiknya :

Contoh Soal :
2). Buatlah grafik fungsi eksponen dari fungsi $ f(x) = 2 \times 5^x \, $ dan $ f(x) = 2 \times \left( \frac{1}{5} \right)^x $!.
Penyelesaian :
grafiknya sebagai berikut.

Grafik Fungsi Eksponen $ f(x) = b \times a^x + c $
Grafik fungsi eksponen $ f(x) = b \times a^x + c \, $ dapat dilihat dari nilai $ a \, $ yaitu :
$ \clubsuit \, $ Untuk nilai $ a > 1 $ :
       Grafik memotong sumbu Y di $ y = b + c $ dan monoton naik.
$ \clubsuit \, $ Untuk nilai $ 0 < a < 1 $ :
       Grafik memotong sumbu Y di $ y = b + c $ dan monoton turun.
Contoh Soal :
3). Gambarlah grafik fungsi eksponen berikut ini :
a). $ f(x) = 2 \times 3^x + 1 $
b). $ f(x) = 2 \times 3^x - 3 $
c). $ f(x) = 2 \times \left( \frac{1}{3} \right)^x + 1 $
d). $ f(x) = 2 \times \left( \frac{1}{3} \right)^x - 3 $
Penyelesaian :
*). Gambar (a) dan (c): nilai $ b = 2 \, $ dan $ c = 1 \, $ sehingga titik potong sumbu Y adalah $ y = 2 + 1 \rightarrow y = 3 $
*). Gambar (b) dan (d): nilai $ b = 2 \, $ dan $ c = -3 \, $ sehingga titik potong sumbu Y adalah $ y = 2 - 3 \rightarrow y = -1 $
grafik gambar (a) dan (b) monoton naik yaitu :
grafik gambar (c) dan (d) monoton turun yaitu :

Grafik Fungsi Eksponen Negatif
Grafik fungsi eksponen $ f(x) = -a^x, \, f(x) = -b \times a^x \, $ dan $ f(x) = - ( b \times a^x + c ) \, $ diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi eksponen $ f(x) = a^x, \, f(x) = b \times a^x \, $ dan $ f(x) = b \times a^x + c \, $ terhadap sumbu X.
Contoh Soal :
4). Gambarlah grafik fungsi eksponen berikut ini :
a). $ f(x) = - 2 \times 3^x $
b). $ f(x) = - 2 \times 3^x + 3 $
Penyelesaian :
a). Grafik $ f(x) = -2\times 3^x \, $ diperoleh dengan mencerminkan grafik $ f(x) = 2\times 3^x $ . Kita peroleh seperti gambar berikut ini.
b). Grafik $ f(x) = -2\times 3^x + 3 = -(2\times 3^x - 3) \, $ diperoleh dengan mencerminkan grafik $ f(x) = 2\times 3^x - 3 $ . Kita peroleh seperti gambar berikut ini.


         Demikian pembahasan materi Grafik fungsi eksponen dan logaritma beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan menentukan fungsi eksponen dari grafiknya. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.