Cara Menggambar atau Melukis Kubus

         Kubus adalah salah satu bangun ruang dimensi tiga yang memiliki semua rusuk sama panjang. Pernahkan teman-teman diminta untuk menggambar atau melukis sebuah kubus? Jika kita diminta untuk menggambar atau melukis sebuah kubus, maka setiap orang pasti akan menghasilkan bentuk yang berbeda seperti pada gambar 1 di bawah ini. Dari gambar 1 di bawah ini, manakah yang paling benar menurut kalian? Jika tidak ada syarat khusus, maka semua gambar kubus benar. Namun, jika ada ketentuan khusus yang diminta dalam membuat kubus, maka hanya salah satu yang benar. Pada artikel ini kita akan membahas materi Cara Menggambar atau Melukis Kubus.
gambar 1 beberapa bentuk kubus.

Isitilah-istilah dalam menggambar Kubus
       Berikut ini beberapa istilah yang harus kita ketahui dalam menggambar atau melukis kubus yaitu : Bidang gambar, bidang frontal, bidang orthogonal, garis frontal, garis orthogonal, sudut surut atau sudut miring atau sudut menyisi, dan perbandingan orthogonal. Untuk penjelasannya, kita simak berikut ini.

Penjelasan Isitilah-istilah dalam menggambar Kubus

Berikut penjelasan masing-maasing istilah pada menggambar kubus :
1). Bidang Gambar
       Bidang gambar adalah suatu bidang tempat untuk menggambar atau melukis suatu bangun ruang (kubus). Bidang gambar selalu ada di hadapan pengamat. Perhatikan kubus berikut ini, bidang gambar ditunjukkan oleh bidang $ \beta $ yaitu bidang yang dibatasi warna biru.

2). Bidang Frontal
       Bidang Frontal adalah bidang yang sejajar dengan bidang gambar. Ukuran bidang frontal sesuai dengan ukuran pada kubusnya. perhatikan contoh berikut ini, bidang frontal ditunjukkan oleh bidang ABFE dan bidang CDHG.

3). Bidang Orthogonal
       Bidang orthogonal adalah bidang yang tegak lurus dengan bidang gambar. Bidang orthogonal digambarkan tidak sesuai dengan ukuran sebenarnya. pada gambar berikut, bidang orthogonalnya adalah ABCD, EFGH, BCGF, dan ADHE.

4). Garis frontal
       Garis frontal adalah garis yang terletak pada bidang frontal (sejajar bidang frontal). Pada gambar berikut ini, garis frontalnya yaitu : garis frontal horizontal adalah AB, EF, CD, dan GH, garis frontal vertikal adalah AE, BF, CG, dan DH.

5). Garis Orthogonal
       Garis orthogonal adalah garis yang tegak lurus dengan bidang frontal (sejajar bidang orthogonal). Panjang garis frontal tidak sama dengan panjang sebenarnya. Panjang garis ortogonal ditentukan dengan menggunakan perbandingan ortogonalnya.

Pada gambar berikut ini, garis orthogonalnya yaitu AD, BC, FG, dan EH.

6). Sudut Surut
       Sudut surut adalah sudut dalam gambar yang besarnya ditentukan oleh garis frontal horisontal ke kanan dengan garis ortogonal ke belakang. Perhatikan gambar berikut, sudut surutnya adalah sudut BAD dan sudut FEH.



7). Perbandingan Orthogonal
       Perbandingan ortogonal adalah perbandingan antara panjang garis ortogonal yang dilukiskan atau digambar dengan panjang garis ortogonal yang sebenarnya.
Pada gambar, ada 4 garis orthogonalnya yang memiliki panjang sama yaitu AD=BC=FG=EH.
Perbandingan orthogonal dapat dirumuskan :
$ \frac{\text{panjang garis yang dilukiskan}}{\text{panjang garis yang sebenarnya}}$.

Misalkan panjang AD sebenarnya adalah 6 cm dan perbandingan orthogonalnya adalah $ \frac{2}{3} $ , maka panjang AD yang dilukis dapat dihitung yaitu :
$ \begin{align} \text{perbandingan orthogonal} & = \frac{2}{3} \\ \frac{\text{AD dilukis}}{\text{AD sebenarnya}} & = \frac{2}{3} \\ \frac{\text{AD dilukis}}{6} & = \frac{2}{3} \\ \text{AD dilukis} & = \frac{2}{3} \times 6 \\ \text{AD dilukis} & = 4 \end{align} $
Artinya pada gambar, panjang AD yang kita lukis adalah 4 cm.

Contoh soal :
Lukislah atau gambarlah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm, sudut surut 45$^\circ \, $ dan perbandingan ortogonalnya $ \frac{2}{3} $.

Penyelesaian :
Langkah-langkah menggambar kubus ABCD.EFGH adalah :
1). Gambar bidang ABFE berupa persegi dengan panjang AB = 9 cm, AE = 9 cm
2). Gambar garis AD yang akan dilukis dengan perbandingan ortogonalnya $ \frac{2}{3} $.
panjang AD yang dilukis = $ \frac{2}{3} \times 9 = 6 \, $ cm.
3). Gambar garis AD yang membentuk sudut 45$^\circ \, $ (sudut surutnya) dengan garis horisontal AB.
4). Buat garis BC sejajar AD, CD sejajar AB, CG dan DH sejajar AE.
5). Lengkapkan garis-garis yang belum ada sehingga lengkap membentuk kubus berikut ini.

       Demikian pembahasan materi Cara Menggambar atau Melukis Kubus dan contohnya. Semoga materi ini bisa bermanfaat buat kita.

Penyusutan Nilai Barang

         Blog Koma - Misalkan kita membeli sebuah barang yaitu sebuah sepeda dengan harga Rp1.000.000,00, maka setelah beberapa tahun sepeda itu kita pakai, pasti harganya tdak mungkin akan tetap Rp1.000.000,00. Dengan kata lain terjadi penurunan harga dari harga semula yang kita beli. Penurunan harga jual terjadi dikarenakan setelah kita pakai beberapa lama mungkin saja terjadi kerusakan atau keausan pada sepeda tersebut. Penurunan nilai pada umumnya hampir terjadi pada semua jenis barang. Sebagai contoh kita membeli mesin jahit, maka nilainya pasti akan turun dikemudian hari setelah kita menggunakannya dalam beberapa waktu tertentu dibandingkan dengan hariga diawal kita membelinya. Penurunan nilai barang inilah yang kita sebut sebagai penyusutan nilai barang.

         Pada artikel ini kita akan membahas materi Penyusutan Nilai Barang. Pada penyusutan, ada beberapa istilah penting yang harus kita ketahui yaitu aktiva, nilai beli, dan nilai buku. Aktiva adalah segala sumber daya ekonomi dari suatu perusahaan atau perorangan yang berupa harta (benda) maupun hak-hak yang di miliki berdasarkan kekuatan hukum. Nilai beli adalah harga diawal ketika kita melakukan pembelian suatu barang. Sedangkan nilai buku adalah nilai setelah terjadi penyusutan dimana semakin lama nilai bukun suatu aktiva akan semakin kecil.

         Pada pembahasan penyusutan nilai barang pada blog koma ini, akan kita bahas dua cara untuk menghitung besarnya penyusutan yaitu :
1). metode garis lurus (persen tetap dari harga beli),
2). metode persen tetap dari nilai buku.


Besarnya Penyusutan dari Harga Beli
       Penyusutan dari harga beli merupakan penyusutan yang besarnya selalu tetap setiap periode yaitu sebesar perkalian persentase penyusutan terhadap harga beli. Bentuk penyusutan ini menggunakan konsep barisan dan deret aritmetika (mirip dengan bunga tunggal). Misalkan harga beli di awal sebesar A dengan persentase penyusutan sebesar $ p = i\% \, $ dan besarnya harga setelah penyusutan ke-$n$ (nilai buku ke-$n$) adalah $ S_n $ , maka dapat dirumuskan :
       $ S_n = A(1 - n p) $.
Keterangan :
$ S_n = \, $ nilai buku akhir periode ke-$n$ (nilai aktiva setelah terjadi penyusutan k-$n$).
$ A = \, $ harga beli (harga awal).
$ n = \, $ periode akhir ke-$n$
$ p = \, $ persentase penyusutan dengan $ p = i\% $.

Contoh soal penyusutan nilai barang :
1). Sebuah mesin penggilingan padi dibeli dengan harga Rp3.000.000,00. Hitunglah berapa nilai bukunya pada akhir tahun ke-2, ke-5, dan ke-9 jika diperkirakan besarnya penyusutan adalah 3% per tahun dari harga belinya dan buatlah daftar peyusutan lengkap dengan akumulasi penyusutannya!

Penyelesaian :
*). Diketahui : A = 3.000.000, dan $ p = 3\% = 0,03 $.
*). Menentukan nilai buku (harga mesin setelah terjadi penyusutan) :
a). Akhir tahun ke-2, artinya $ n = 2 $ :
$ \begin{align} S_n & = A(1 - n p) \\ S_2 & = 3.000.000 \times (1 - 2 \times 0,03) \\ & = 3.000.000 \times (1 - 0,06) \\ & = 3.000.000 \times 0,94 \\ & = 2.820.000 \end{align} $
Artinya diakhir tahun ke-2 harga mesin penggilangan padi tersebut menjadi Rp2.820.000,00 yang disebut juga nilai buku pada akhir tahun ke-2.

b). Akhir tahun ke-5, artinya $ n = 5 $ :
$ \begin{align} S_n & = A(1 - n p) \\ S_5 & = 3.000.000 \times (1 - 5 \times 0,03) \\ & = 3.000.000 \times (1 - 0,15) \\ & = 3.000.000 \times 0,85 \\ & = 2.550.000 \end{align} $
Jadi, nilai buku diahkir tahun ke-5 adalah Rp2.550.000,00.

b). Akhir tahun ke-9, artinya $ n = 9 $ :
$ \begin{align} S_n & = A(1 - n p) \\ S_9 & = 3.000.000 \times (1 - 9 \times 0,03) \\ & = 3.000.000 \times (1 - 0,27) \\ & = 3.000.000 \times 0,73 \\ & = 2.190.000 \end{align} $
Jadi, nilai buku diahkir tahun ke-9 adalah Rp2.190.000,00.

*). Daftar peyusutan lengkap dengan akumulasi penyusutannya!
Beban penyusutan setiap periode (setiap tahun) :
$ = 3\% \times A = \frac{3}{100} \times 3.000.000 = 90.000 $

2). Sebuah perusahaan membeli mesik ketik seharga Rp2.500.000,00. Berapa besarkah persentase penyusutan dan besarnya penyusutan setiap tahun menurut harga belinya jika ditaksir mesin tersebut akan berumur 5 tahun dan bernilai sisa Rp500.000,00?

Penyelesaian :
*). Diketahui : A = 2.500.000, $ n = 5 \, $ dan $ S_5 = 500.000 $.
*). Menentukan nilai persentase penyusutan ($p$) :
$ \begin{align} S_n & = A(1 - n p) \\ S_5 & = 500.000 \\ 2.500.000 \times (1 - 5 \times \frac{i}{100}) & = 500.000 \\ (1 - 5 \times \frac{i}{100}) & = \frac{500.000}{2.500.000} \\ 1 - 5 \times \frac{i}{100} & = 0,2 \\ 5 \times \frac{i}{100} & = 1 - 0,2 \\ 5 \times \frac{i}{100} & = 0,8 \\ 5 i & = 0,8 \times 100 \\ 5 i & = 80 \\ i & = \frac{80}{5} = 16 \end{align} $
Jadi, besarnya persentase penyusutannya adalah 16% per tahun.
*). Besarnya penyusutan setiap tahun :
$ = 16\% \times A = \frac{16}{100} \times 2.500.000 = 400.000$
Jadi, setiap tahun ternadi penyusutan sebesar Rp400.000,00.

3). Pada awal tahun 2005 PT Adil dan Sejahtera membeli sebuah aktiva seharga Rp15.000.000,00. Aktiva tersebut menyusut 12,5% tiap tahun dari harga beli. Tentukan:
a. Nilai aktiva pada awal tahun 2010!
b. Akumulasi penyusutan selama 6 tahun!
c. Umur aktiva jika aktiva tidak bernilai lagi!

Penyelesaian :
*). Diketahui : A = 15.000.000 dan $ p = 12,5\% = 0,125 $
a). Dari awal tahun 2005 sampai awal tahun 2010 = 5 tahun ($n = 5$)
$ \begin{align} S_n & = A(1 - n p) \\ S_5 & = 15.000.000 \times (1 - 5 \times 0,125) \\ & = 15.000.000 \times (1 - 0,625) \\ & = 15.000.000 \times 0,375 \\ & = 5.625.000 \end{align} $
Jadi, harga aktiva pada awal tahun 2010 adalah Rp5.625.000,00.

b). Untuk menghitung akumulasi (total) penyusutan selama 6 tahun, ada dua cara :
Cara I :
Penyusutan setiap tahun = $ 12,5\% \times 15.000.000 = 1.875.000$
total penyusutan 6 tahun = $ 6 \times 1.875.000 = 11.250.000 $
Jadi, total penyusutan selama 6 tahun adalah Rp11.250.000,00.

Cara II :
Total penyusutan selama 6 tahun bisa dihitung dengan menghitung total persentase penyusutan selama 6 tahun.
Total persentase 6 tahun = $ 6 \times 12,5\% = 75\%$.
Total penyusutan selama 6 tahun $ = 75\% \times 15.000.000 = 11.250.000 $ .

Dari contoh soal 3b, maka total penyusutan dapat dihitung dengan rumus :
Total penyusutan selama $ n \, $ periode $ = n \times i\% \times A $.

c). Umur aktiva jika aktiva tidak bernilai lagi, artinya kita menentukan $ n \, $ pada saat nilai bukunya 0 atau $ S_n = 0 $
$ \begin{align} S_n & = A(1 - n p) \\ S_n & = 0 \\ A(1 - n p) & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi A)} \\ 1 - n p & = 0 \\ 1 - n \times 12,5\% & = 0 \\ n \times 12,5\% & = 1 \\ n \times \frac{12,5}{100} & = 1 \\ n & = \frac{100}{12,5} \\ n & = 8 \end{align} $
Jadi, ketika berumur 8 tahun, maka nilai buku dari aktiva tersebut Rp0.


Besarnya Penyusutan dari Nilai Buku Sebelumnya
       Penyusutan dari Nilai Buku Sebelumnya merupakan penyusutan yang besarnya selalu berubah setiap periode yaitu sebesar perkalian persentase penyusutan terhadap nilai bukunya. Bentuk penyusutan ini menggunakan konsep barisan dan deret geometri (mirip dengan bunga majemuk). Misalkan harga beli di awal sebesar A dengan persentase penyusutan sebesar $ p = i\% \, $ dan besarnya harga setelah penyusutan ke-$n$ (nilai buku ke-$n$) adalah $ S_n $ , maka dapat dirumuskan :
       $ S_n = A(1 - p)^n $.
Keterangan :
$ S_n = \, $ nilai buku akhir periode ke-$n$ (nilai aktiva setelah terjadi penyusutan k-$n$).
$ A = \, $ harga beli (harga awal).
$ n = \, $ periode akhir ke-$n$
$ p = \, $ persentase penyusutan dengan $ p = i\% $.

Dari rumus $ S_n = A(1 - p)^n \, $ maka persentase penyusutan ($p$) bisa kita hitung:
$\begin{align} S_n & = A(1 - p)^n \\ (1 - p)^n & = \frac{S_n}{A} \\ 1 - p & = \sqrt[n]{\frac{S_n}{A}} \\ p & = 1 - \sqrt[n]{\frac{S_n}{A}} \\ p & = (1 - \sqrt[n]{\frac{S_n}{A}}) \times 100\% \end{align} $

Contoh soal penyusutan :
4). Pada awal tahun 2005 PT Adil dan Sejahtera membeli sebuah aktiva seharga Rp15.000.000,00. Aktiva tersebut menyusut 7,5% tiap tahun dari nilai buku. Tentukan:
a. Nilai aktiva setelah menyusut selama 5 tahun!
b. Setelah berapa tahun nilai aktiva menjadi Rp 11.871.796,88?

Penyelesaian :
*). Diketahui : A = 15.000.000, dan $ p = 7,5\% = 0,075 $
a). Nilai aktiva setelah menyusut selama 5 tahun ($ n = 5 $)
$ \begin{align} S_n & = A(1 - p)^n \\ S_5 & = 15.000.000 \times (1 - 0,075)^5 \\ & = 15.000.000 \times 0,925^5 \\ & = 15.000.000 \times 0,677187080 \\ & = 10.157.806,20 \end{align} $
Jadi, nilai buku pada akhir tahun kelima adalah Rp10.157.806,20.

b). Menentukan $ n \, $ dengan $ S_n = 11.871.796,88 $
$ \begin{align} S_n & = A(1 - p)^n \\ S_n & = 11.871.796,88 \\ A(1 - p)^n & = 11.871.796,88 \\ 15.000.000 \times (1 - 0,075)^n & = 11.871.796,88 \\ (0,925)^n & = \frac{11.871.796,88}{15.000.000} \\ (0,925)^n & = 0,791453125 \, \, \, \, \, \text{(beri log)} \\ \log (0,925)^n & = \log 0,791453125 \, \, \, \, \, \text{(sifat log pangkat)} \\ n \times \log (0,925) & = \log (0,791453125) \\ n & = \frac{\log (0,791453125)}{\log (0,925)} \\ n & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai aktiva menjadi Rp 11.871.796,88 setelah 3 tahun.

5). Sebuah aktiva dengan biaya perolehan Rp20.000.000,00. Setelah beroperasi selama 6 tahun ditaksir nilai sisanya Rp5.000.000,00. Dengan mengunakan metode persentase tetap dari nilai buku, tentukan:
a. Tingkat penyusutan tiap tahun!
b. Nilai buku atau harga aktiva pada akhir tahun ke-4!
c. Daftar penyusutannya!

Penyelesaian :
*). Diketahui : A = 20.000.000, $n = 6 \, $ dan $ S_6 = 5.000.000 $
a). Menentukan tingkat penyusutan tiap tahun (persentasenya) :
$ \begin{align} p & = (1 - \sqrt[n]{\frac{S_n}{A}}) \times 100\% \\ & = (1 - \sqrt[6]{\frac{S_6}{A}}) \times 100\% \\ & = (1 - \sqrt[6]{\frac{5.000.000}{20.000.000}}) \times 100\% \\ & = (1 - \sqrt[6]{0,25}) \times 100\% \\ & = (1 - 0,7937) \times 100\% \\ & = 20,63\% \end{align} $
Jadi, besar penyusutan tiap tahun adalah 20,63% dari nilai buku.

b). Menentukan nilai buku atau harga aktiva pada akhir tahun ke-4!
$ \begin{align} S_n & = A(1 - p)^n \\ S_4 & = 20.000.000 \times (1 - 20,63%)^4 \\ & = 20.000.000 \times 0,7937^4 \\ & = 20.000.000 \times 0,396849211 \\ & = 7.936.984,22 \end{align} $
Jadi, nilai buku pada akhir tahun ke-4 adalah Rp7.936.984,22.

c). Daftar penyusutannya :
Keterangan :
Beban penyusutan tahun ke-1 $ = 20,63\% \times 20.000.000 = 4.126.000,00 $
Beban penyusutan tahun ke-2 $ = 20,63\% \times 15.874.000,00 = 3.274.806,20 $
Beban penyusutan tahun ke-3 $ = 20,63\% \times 12.599.193,80 = 2.599.213,68 $
Beban penyusutan tahun ke-4 $ = 20,63\% \times 9.999.980,12 = 2.062.995,90 $
begitu seterusnya.
Dengan kata lain, rumus beban penyusutan tahun ke-$n$
= $ p \times \, \text{ nilai buku tahun ke-}(n-1) $
atau dengan rumus
= $ p \times \, \text{ biaya perolehan tahun ke-}n $

         Demikian pembahasan materi Penyusutan Nilai Barang beserta contoh-contohnya, dimana materi ini juga merupakan bagian dari materi matematika keuangan. Semoga bermanfaat. Terima kasih.

Penerapan Anuitas pada Obligasi

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas Penerapan Anuitas pada Obligasi. Pembayaran obligasi oleh penerbit obligasi salah satunya bisa menggunakan penghitungan secara anuitas. Hal-hal yang akan kita bahas dalam artikel Penerapan Anuitas pada Obligasi yaitu : pengenalan obligasi secara umum dan pelunasan abligasi secara anuitas.

         Obligasi adalah surat pinjaman (surat berharga) yang dikeluarkan oleh pemerintah atau perusahaan swasta dan memiliki tingkat suku bunga tertentu yang biasanya berbentuk lembaran (setiap lembar obligasi memiliki nominal tertentu). Dengan kata lain, obligasi memiliki sifat perjanjian pinjaman tertulis. Obligasi dapat diperjualbelikan. Beberapa contoh obligasi yaitu SUN (surat utang negara), ORI (obligasi ritel Indonesia), SPN (surat perbendaharaan negara), dan lainnya. Perbedaan Obligasi dan saham : Obligasi perusahaan tidak sama dengan saham. Orang yang memiliki saham artinya masuk ke dalam jajaran pemilik saham perusahaan, sehingga berlaku ikatan dan kode etik tertentu. Sedangkan obligasi tidak, pembeli obligasi hanya memberikan pinjaman dalam jangka waktu tertentu sesuai jatuh tempo obligasi.

         Dalam obligasi ada yang namanya penerbit obligasi dan pemegang obligasi. Penerbit obligasi adalah pihak yang mengeluarkan obligasi, biasanya pihak ini membutuhkan uang untuk keperluan perusahaannya. Pemegang obligasi adalah pihak yang memberikan pinjaman uang kepada penerbit obligasi atau bisa disebut juga pihak yang membeli obligasi. Setelah melakukan pembelian obligasi, maka penerbit obligasi wajib melakukan pembayaran (pengembalian) kepada pemegang obligasi berdasarkan perjanjian obligasi yang ada.

Ada beberapa istilah dalam obligasi yaitu :
1). Waktu jatuh tempo.
       adalah waktu jatuh tempo obilasi yang disepakati oleh penerbit obligasi dan pemegang obligasi. Nilai pokok obligasi harus lunas ketika jatuh tempo.
2). Periode pembayaran obligasi
       adalah waktu dimana penerbit obligasi membayarkan bunga (atau beserta angsurannya) kepada pemegang obilasi secara periodik sesuai dengan nilai kupon.
3). Face Value (FV) atau nilai nominal
       adalah nilai nominal obligasi yang ditawarkan penerbit obligasi. Sedangkan pemegang obligasi hanya membayar sejumlah harga obligasi yang besarnya dibawah FV
4). Tarif kupon (YTM)
       adalah nilai tarif (dalam persen) yang ditetapkan oleh penerbit obligasi
5). Suku bunga
       adalah besarnya bunga (dalam %) yang harus dibayar pada tanggal-tanggal tertentu (setiap satu periode) yang telah ditentukan. Misalkan suku bunga 5% yang harus dibayarkan pada tanggal-tanggal 1 Januari, 1 April, 1 Juli, dan 1 Oktober yang biasanya disingkat menjadi "5% JAJO". Ini artinya pembayaran dilakukan setiap 3 bulan dalam setahun sehingga terjadi 4 kali pembayaran (4 periode) dengan besar suku bunga 5% setiap periode. Untuk pembayaran setap 4 bulan sekali dalam setahun maka terjadi tiga kali pembayaran, misalkan suku bunga 7% dibayar pada tanggal-tanggal 1 Januari, 1 Mei, dan 1 September bisa disngkat "7% JMS".
6). Nilai emisi
       Nilai emisi dinyatakan dalam persen (tanpa tulisan %) yaitu persentase dari nilai nominalnya (FV).
7). Nilai kupon / bunga (C)
       adalah besarnya bunga yang diperoleh yaitu dengan mengalikan suku bunga dan nilai nominal (FV).

Contoh soal obligasi :
1). Seorang kreditur akan membeli selembar obligasi dengan nilai nominal sebesar Rp.100.000.000 dan bunga 6% setahun, dengan periode pembayaran setiap 4 bulan untuk jangka waktu tertentu. Jika setiap periode tersebut, kreditur akan menerima keuntungan berbentuk bunga, maka tentukanlah besar bunga yang akan diterimanya seperti yang tertera pada nilai kupon?

Penyelesaian :
*). Diketahui : FV = 100.000.000
pembayaran setiap 4 bulan, artinya selama setahun ada $ \frac{12 \text{ bulan}}{4 \text{ bulan}} = 3 \, $ kali pembayaran, sehingga besarnya suku bunga setiap periode (setiap 4 bulan) :
$ i = \frac{6\%}{3} = 2\% = 0,02 $.
*). Menentukan besarnya bunga/nilai kupon (C) :
$ C = i \times FV = 0,02 \times 100.000.000 = 2.000.000 $ .
Jadi, besarnya bunga atau nilai kupon adalah Rp2.000.000,00.

2). Pinjaman berupa obligasi sebesar Rp10.000.000,00, suku bunga 6% per tahun, yang dibayarkan pada setiap tanggal 1 Januari, 1 Mei, dan 1 September dengan tanggal pelunasannya adalah tanggal 1 September, dan kesanggupan membayar kembali dengan nilai emisi 105.
a). Apakah maksud dari nilai emisi?
b). Berapakah besarnya uang yang dibayarkan sesuai dengan perjanjian tersebut?

Penyelesaian :
*). Diketahui : FV = 10.000.000, $ i = 6\% \, $ per tahun.
a). Nilai emisinya adalah 105, maksudnya adalah 105% dari nilai nominalnya (FV).

b). Besarnya uang yang dibayarkan adalah besarnya bunga + nilai emisinya.
*). Besarnya bunga dalam 1 tahu :
bunga $ = 6\% \times 10.000.000 = 600.000 $
*). Besarnya nilai emisi :
$ = 105\% \times 10.000.000 = 10.500.000 $
sehingga besarnya uang yang harus dibayar pada tanggal 1 September adalah :
$ = 600.000 + 10.500.000 = 11.100.000 $
Jadi, besarnya uang yang harus dibayarkan adalah Rp11.100.000,00 .


Rumus Menghitung Harga Obligasi
       Selain dalam bentuk bunga, pemegang obligasi akan menerima keuntungan lain dalam bentuk selisih nilai nominal obligasi (FV) dan harga obigasi. Harga obligasi adalah jumlah uang yang harus ditebus oleh pemegang obligasi sebagai harga dari selembar surat perjanjian obligasi. Harga obligasi ini dibawah nilai nominal obligasi (FV)

Rumus menghitung Harga obligasi :
Harga Obligasi $ = C \times \frac{1 - (1 + r)^{-t}}{r} + FV \times (1+r)^{-t} $

Keterangan :
C = Nilai kupon / bunga
FV = Nilai nominal obligasi
$ r = $ Tarif kupon
$ t = $ Banyaknya periode pembayaran kupon

Contoh soal harga obligasi :
3). Pak Budi berencana membeli surat pinjaman obligasi dari suatu perusahaan dengan nilai nominal sebesar Rp. 10.000.000 dan bunga 12% setahun, dengan periode pembayaran setiap 6 bulan untuk jangka waktu 5 tahun. Jika tarif kupon (YTM) 16%, maka tentukanlah harga obligasi perusahaan tersebut yang harus ditebus pak Budi ?

Penyelesaian :
*). Diketahui :
Jumlah periode dalam setahun $ = \frac{12 \text{ bulan}}{6 \text{ bulan}} = 2 $
$ C = \frac{12\%}{2} \times 10.000.000 = 600.000 $
FV = Rp10.000.000
$ r = \frac{16\%}{2} = 8\% = 0,08 $
$ t = 5 \times 2 = 10 $
*). Menentukan harga obligasi (HO) :
$ \begin{align} \text{HO } & = C \times \frac{1 + (1 + r)^{-t}}{r} + FV \times (1+r)^{-t} \\ & = 600.000 \times \frac{1 - (1 + 0,08)^{-10}}{0,08} + 10.000.000 \times (1+0,08)^{-10} \\ & = 600.000 \times \frac{1 - 0,463}{0,08} + 10.000.000 \times 0,463 \\ & = 600.000 \times \frac{0,537}{0,08} + 4.631.934,88 \\ & = 4.026.048,84 + 4.631.934,88 \\ & = 8.657.983,72 \end{align} $
Jadi, pak Budi hanya perlu membayar sejumlah Rp8.657.983,72.

         Selanjutnya, setelah obligasi dibeli oleh pemberi pinjaman (pemegang obligasi), maka pihak penerbit obligasi berkewajiban melakukan pembayaran sesuai waktu yang disepakati. Umumnya yang dibayarkan secara periodik adalah bunga (kupon) obligasi. Tetapi dapat pula pembayaran dilakukan dengan sistem anuitas yaitu dalam pembayaran jumlah tetap yang terdiri dari pokok pinjaman dan bunga. Jika pinjaman obligasi ini akan dilunasi dengan sistem anuitas atau suatu pinjaman anuitas akan dilunasi dengan obligasi, maka biasanya nilai nominal obligasi akan dipecah menjadi nilai nominal yang lebih kecil, misalkan pinjaman obligasi Rp10.000.000,00 dipecah menjadi Rp10.000,00 sehingga banyaknya obligasi adalah 1.000 lembar.

Penerapan Anuitas pada Obligasi

         Jika jumlah yang dicicil bukan merupakan kelipatan dari pecahan nominal obligasi, maka sisa yang bukan merupakan kelipatan obligasi akan dibayarkan pada anuitas berikutnya. Menentukan besarnya angsuran dapat dihitung sebagai berikut:

Contoh Soal penerapan anuitas pada obligasi :
4). Pinjaman obligasi Rp12.000.000,00 yang terpecah menjadi 1.200 lembar obligasi yang masing-masing sebesar Rp10.000,00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 10%/tahun selama 5 tahun. Tentukan tabel rencana pelunasannya!

Penyelesaian :
*). Diketahui :
M = Rp12.000.000,00 , $ i = 10\% = 0,1 \, $/tahun, dan $ n = 5 \, $ tahun.
*). Menentukan besarnya anuitas (A) :
$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{12.000.000 \times 0,1}{1 - (1+0,1)^{5}} \\ & = \frac{1.200.000 }{1 - (1,1)^{5}} \\ & = \frac{1.200.000 }{1 - 0.620921323} \\ & = 3.165.569,77 \end{align} $
*). Rencana pelunasannya sebagai berikut:
*). Tabel pelunasan obligasi secara anuitas :

         Demikian pembahasan materi Penerapan Anuitas pada Obligasi beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan matematika keuangan yaitu penyusutan.

Tabel Pelunasan Anuitas

         Blog Koma - Hallow teman-teman, bagaimana keadaannya hari ini? Pasti baik-baik saja kan!. Nah, masih berkaitan dengan maatematika keuangan yaitu anuitas, pada artikel ini kita akan membahas materi Tabel Pelunasan Anuitas. Untuk memberi gambaran bagi peminjam terhadap rencana pelunasannya, biasanya digunakan tabel pelunasan anuitas dan biasanya anuitas yang dicantumkan dalam tabel merupakan anuitas pembulatan. Dengan mengetahui tabel pelunasan anuitas ini, maka kita sebagai peminjam akan tahu kapan pinjaman kita akan lunas dan dalam periode yang berapa lama.

         Adapun rumus-rumus dasar yang digunakan dalam perhitungan pada tabel pelunasan anuitas yaitu rumus anuitas, bunga, dan sisa pinjaman. Besarnya anuitas : $ A = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \, $ . Nilai A yang dipakai adalah pembulatan ke atas yaitu nilai A$^+$. Untuk besar bunga kita gunakan rumus $ b_1 = M \times i, \, b_2 = S_1 \times i, ... , b_{m+1} = S_m \times i $ . Sedangakan untuk besar angsuran kita gunakan rumus $ A^+ = a_1 + b_1, A^+ = a_2 + b_2, ..., A^+ = a_n + b_n $. Dan untuk sisa pinjaman kita gunakan rumus $ S_1 = M - a_1, \, S_2 = S_1 - a_2, ... , S_{m+1} = S_m - a_{m+1} $.

Adapun langkah-langkah pengisian tabel pelunasan anuitas :
a). Tentukan nilai A, kemudian dibulatkan ke atas.
b). Tentukan bunga pertama ($b_1$) dengan rumus $b_1 = M \times i $
c). Tentukan angsuran pertama ($a_1$) dengan rumus $A^+ = a_1 + b_1 $.
d). Tentukan sisa pinjaman pertama ($S_1$) dengan rumus $ S_1 = M - a_1 $
e). Tentukan bunga kedua ($b_2$ dengan rumus $ b_2 = S_1 \times i $.
f). Tentukan angsuran kedua ($a_2$) dengan rumus $ A^+ = a_2 + b_2 $
g). Tentukan sisa pinjaman kedua ($S_2$) dengan rumus $ S_2 = S_1 - a_2 $
begitu seterusnya sehingga sisa pinjaman nol.


Contoh Soal Tabel pelunasan anuitas :
1). Suatu pinjaman Rp10.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 12%/tahun selama 8 tahun. Jika pembayaran anuitas dibulatkan ke atas dalam ratusan ribu, tentukan:
a. Besarnya nilai anuitas sebelum dan sesudah dibulatkan
b. Tabel rencana pelunasan anuitas
c. Pembayaran anuitas terakhir!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 10.000.000, $ i = 12\% = 0,12 \, $/tahun, dan $ n = 8 \, $ tahun
a). Menentukan nilai anuitasnya :
$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{10.000.000 \times 0,12}{1 - (1+0,12)^{-8}} \\ & = \frac{1.200.000}{1 - (1,12)^{-8}} \\ & = \frac{1.200.000}{1 - 0,403883228} \\ & = 2.013.028,41 \end{align} $
Artinya kita peroleh anuitas : A = Rp2.013.028,41
Jika dibulatkan ke atas dalam ratusan ribu, maka A$^+$ = Rp2.100.000,00

b. Tabel rencana pelunasan anuitas:
Keterangan Tabel:
*). Pinjaman awal tahun ke-2 = sisa pinjaman akhir tahun ke-1.
Pinjaman awal tahun ke-3 = sisa pinjaman akhir tahun ke-2, dan seterusnya.
*). Bunga + angsuran masing-masing kelas = anuitas hasil pembulatan (A$^+$), kecuali pada baris terakhir (baris ke-8).
*). Sisa pinjaman akhir tahun ke-1 = (pinjaman awal tahun ke-1) - (angsuran ke-1).
Sisa pinjaman akhir tahun ke-2 = (pinjaman awal tahun ke-2) - (angsuran ke-2).
*). Angsuran terakhir = pinjaman awal tahun terakhir.

c. Pembayaran anuitas terakhir (At) :
At = 110.386,73 + 919.889,44 = Rp 1.030.276,17 .

2). Suatu pinjaman Rp12.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 15%/tahun selama 7 tahun. Jika pembayaran anuitas dibulatkan ke bawah dalam ratusan ribu. Tentukan:
a. Besarnya nilai anuitas sebelum dan sesudah dibulatkan
b. Tabel rencana pelunasan anuitas
c. Pembayaran anuitas terakhir!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 12.000.000, $ i = 15\% = 0,15 \, $/tahun, dan $ n = 7 \, $ tahun
a). Menentukan nilai anuitasnya :
$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{12.000.000 \times 0,15}{1 - (1+0,15)^{-7}} \\ & = \frac{1.800.000}{1 - (1,15)^{-7}} \\ & = \frac{1.800.000}{1 - 0,375937040} \\ & = 2.884.324,36 \end{align} $
Artinya kita peroleh anuitas : A = Rp2.884.324,36
Jika dibulatkan ke bawah dalam ratusan ribu, maka A$^-$ = Rp2.800.000,00

b. Tabel rencana pelunasan anuitas:

c. Pembayaran anuitas terakhir (At) :
At = 486.939,23 + 3.246.261,56 = 3.733.200,79 .

         Demikian pembahasan materi Tabel Pelunasan Anuitas beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan anuitas yaitu penerapan anuitas pada obligasi.

Anuitas yang Dibulatkan

         Blog Koma - Dalam transaksi perbankan, pembayaran pinjaman baik menggunakan sistem anuitas maupun lainnya nilainya bulat. Oleh karena itu, besarnya anuitas dibulatkan ke atas atau ke bawah dengan kelipatan berdasarkan persetujuan penerima hutang dengan pihak perbankan, dengan tujuan agar pembayaran mudah untuk dilaksanakan. Misalkan anuitas dibulatkan ke bawah atau ke atas dengan kelipatan Rp1.000,00 atau Rp100,00 dan lain-lain. Pada artikel ini kita khusus membahas materi anuitas yang dibulatkan.

         Jika anuitas di bulatkan ke atas, maka akan terjadi kelebihan pembayaran. Sebaliknya jika anuitas dibulatkan ke bawah, maka akan terjadi kekurangan pembayaran. Kelebihan atau kekurangan pembayaran tersebut akan diperhitungkan pada pembayaran anuitas terakhir.

a). Anuitas dibulatkan ke atas
       Setiap bilangan yang akan dibulatkan ke atas dalam puluhan, ratusan, ribuan, puluhan ribu atau yang lainnya selalu ditambah satu dari nilai sebelumnya. Lambang untuk pembulatan anuitas ke atas adalah: A$^+$

$\spadesuit \, $ Jika $a_1 = A^+ - b_1 = A^+ - M . i$, maka kelebihan pembayaran dari semua angsuran (NL) adalah:
$ \begin{align} NL & = (a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n) - M \\ & = (a_1 + a_1(1+i) + a_1(1+i)^2 + ... + a_1(1+i)^{n-1}) - M \\ & = (a_1 + a_1[(1+i) +(1+i)^2 + ... + (1+i)^{n-1}]) - M \\ & = (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r]) - M \end{align} $
Keterangan :
NL = Nilai Lebih,
$ \displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r = \, $ daftar nilai akhir rente kolom i% baris (n-1).

$ \clubsuit \, $ Dengan cara lain, jika $ L = A^+ - A$, maka nilai akhir kelebihan dari anuitas pertama sampai anuitas terakhir = nilai akhir rente post numerando, yaitu:
$ \begin{align} NL & = L + L(1+i) + L(1+i)^2 + ... + L(1+i)^{n-1} \\ & = L + L[(1+i) +(1+i)^2 + ... + (1+i)^{n-1}] \\ & = L + L[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] \end{align} $

$ \heartsuit \, $ Besarnya anuitas terakhir (At):
$ At = A - NL $

Contoh soal anuitas dibulatkan ke atas :
1). Hasil perhitungan nilai anuitas diperoleh A = Rp2.351.405,78. Bulatkan anuitas di atas dalam:
a. Puluhan ke atas
b. Ratusan ke atas
c. Ribuan ke atas
d. Puluhan ribu ke atas

Penyelesaian :
a. Dibulatkan puluhan ke atas: A$^+$ = Rp2.351.410,00
b. Dibulatkan ratusan ke atas: A$^+$ = Rp2.351.500,00
c. Dibulatkan ribuan ke atas: A$^+$ = Rp2.352.000,00
d. Dibulatkan puluhan ribu ke atas: A$^+$ = Rp2.360.000,00

2). Suatu pinjaman Rp20.000.000.00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 6%/tahun selama 20 tahun. Jika pembayaran anuitas dibulatkan ke atas dalam puluhan ribu, tentukan:
a. Besarnya nilai anuitas sebelum dan sesudah dibulatkan
b. Total kelebihan pembayaran anuitas
c. Pembayaran anuitas terakhir!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 20.000.000, $ i = 6\% \, $/tahun, dan $ n = 20 \, $ tahun
a). Menentukan nilai anuitasnya :
$ \begin{align} A & = M \times \text{ tabel anuitas kolom 6% baris 20} \\ & = 20.000.000 \times 0,087184557 \\ & = 1.743.691,14 \end{align} $
Artinya kita peroleh anuitas : A = Rp1.743.691,14
Dibulatkan puluhan ribu ke atas: A$^+$ = Rp1.750.000,00

b). Kelebihan tiap anuitas (L) :
$ \begin{align} L & = A^+ - A \\ & = 1.750.000,00 - 1.743.691,14 \\ & = 6.308,86 \end{align} $

Total kelebihan pembayaran anuitas (NL) :
$\begin{align} NL & = L + L[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] \\ NL & = L + L \times \text{ Daftar Nilai akhir rente kolom i% baris (n - 1)} \\ & = 6.308,86 + 6.308,86 \times \text{ Daftar Nilai akhir rente kolom 6% baris 19} \\ & = 6.308,86 + 6.308,86 \times 35,785591204 \\ & = Rp232.075,14 \end{align} $

Dengan menggunakan cara lain:
$ \begin{align} a_1 & = A^+ - M.i \\ & = 1.750.000,00 - 20.000.000,00 \times 6\% \\ & = 1.750.000,00 - 1.200.000,00 \\ & = 550.000,00 \\ NL & = (a_1 + a_1 \times \text{ daftar nilai akhir rente kolom 6% baris (20-1)}) - M \\ NL & = (550.000,00 + 550.000,00 \times 35,785591204) - 20.000.000 \\ & = 232.075,14 \end{align} $
(hasilnya sama yaitu NL = Rp232.075,14).

c). Pembayaran anuitas terakhir (At) :
$ At = A - NL = 1.743.691.14 - 232.075.14 = Rp 1.511.616.00 $


b). Anuitas dibulatkan ke bawah
       Setiap bilangan yang akan dibulatkan ke bawah dalam puluhan, ratusan, ribuan, puluhan ribu atau yang lainnya selalu tetap dari nilai sebelumnya. Lambang untuk pembulatan anuitas ke atas adalah: A$^-$

$\spadesuit \, $ Jika $a_1 = A^- - b_1 = A^- - M . i$, maka kekurangan pembayaran dari semua angsuran (NK) adalah:
$ \begin{align} NL & = M - (a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n) \\ & = M - (a_1 + a_1(1+i) + a_1(1+i)^2 + ... + a_1(1+i)^{n-1}) \\ & = M - (a_1 + a_1[(1+i) +(1+i)^2 + ... + (1+i)^{n-1}]) \\ & = M - (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r]) \end{align} $
Keterangan :
NK = Nilai Kekurangan,
$ \displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r = \, $ daftar nilai akhir rente kolom i% baris (n-1).

$ \clubsuit \, $ Dengan cara lain, jika $ K = A - A^- $, maka nilai akhir kekurangan dari anuitas pertama sampai anuitas terakhir = nilai akhir rente post numerando, yaitu:
$ \begin{align} NK & = K + K(1+i) + K(1+i)^2 + ... + K(1+i)^{n-1} \\ & = K + K[(1+i) +(1+i)^2 + ... + (1+i)^{n-1}] \\ & = K + K[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] \end{align} $

$ \heartsuit \, $ Besarnya anuitas terakhir (At):
$ At = A + NK $

Contoh soal anuitas dibulatkan ke bawah :
3). Hasil perhitungan nilai anuitas diperoleh A = Rp4.357.895,78 Bulatkan anuitas di atas dalam:
a. Puluhan ke bawah
b. Ratusan ke bawah
c. Ribuan ke bawah
d. Puluhan ribu ke bawah

Penyelesaian :
a. Dibulatkan puluhan ke bawah: A$^-$ = Rp4.357.890,00
b. Dibulatkan ratusan ke bawah: A$^-$ = Rp4.357.800,00
c. Dibulatkan ribuan ke bawah: A$^-$ = Rp4.357.000,00
d. Dibulatkan puluhan ribu ke bawah : A$^-$ = Rp4.350.000,00

4). Suatu pinjaman Rp12.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 5%/tahun selama 15 tahun. Jika pembayaran anuitas dibulatkan ke bawah dalam ratusan ribu, tentukan:
a. Besarnya nilai anuitas sebelum dan sesudah dibulatkan
b. Total kekurangan pembayaran anuitas
c. Pembayaran anuitas terakhir!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 12.000.000, $ i = 5\% \, $/tahun, dan $ n = 15 \, $ tahun
a). Menentukan nilai anuitasnya :
$ \begin{align} A & = M \times \text{ tabel anuitas kolom 5% baris 15} \\ & = 12.000.000 \times 0,096342288 \\ & = 1.156.107,46 \end{align} $
Artinya kita peroleh anuitas : A = Rp1.156.107,46
Dibulatkan ratusan ribu ke bawah: A$^-$ = Rp 1.100.000,00

b). Kekurangan tiap anuitas (K) :
$ \begin{align} K & = A - A^- \\ & = 1.156.107,46 - 1.100.000,00 \\ & = 56.107,46 \end{align} $

Total kekurangan pembayaran anuitas (NK):
$\begin{align} NK & = K + K[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] \\ NK & = K + K \times \text{ Daftar Nilai akhir rente kolom i% baris (n - 1)} \\ & = 56.107,46 + 56.107,46 \times \text{ Daftar Nilai akhir rente kolom 5% baris 14} \\ & = 56.107,46 + 56.107,46 \times 20,578563588 \\ & = 1.210.718,39 \end{align} $

Dengan menggunakan cara lain:
$ \begin{align} a_1 & = A^- - M.i \\ & = 1.100.000,00 - 12.000.000,00 \times 5\% \\ & = 1.100.000,00 - 600.000,00 \\ & = Rp500.000,00 \\ NK & = M - (a_1 + a_1 \times \text{ daftar nilai akhir rente kolom 5% baris (15-1)}) \\ NK & = 12.000.000 - (500.000,00 + 500.000,00 \times 20,578563588) \\ & = 1.210.718,21 \end{align} $
(hasilnya hampir sama dengan cara sebelumnya untuk nilai NK).

c). Pembayaran anuitas terakhir (At) :
$ At = A + NK = 1.156.107,46 + 1.210.718,39 = 2.366.825,85 $

Catatan :
Bentuk $ \displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r \, $ bisa dihitung dengan jumlah $ n $ suku pertama deret geometri.

         Demikian pembahasan materi Anuitas yang Dibulatkan beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan anuitas yaitu tabel pelunasan anuitas.