Agar memudahkan dalam mempelajari artikel variasi soal kedudukan dua lingkaran, teman-teman harus menguasai materi "persamaan lingkaran" (khususnya menentukan pusat dan jari-jarinya) , jarak antara dua titik (untuk mencari jarak antara dua pusat lingkaran), bentuk mutlak dan sifat pertidaksamaan bentuk mutlak
Beberapa Jenis kedudukan dua lingkaran
Dari artikel "kedudukan dua lingkaran" sebelumnya, ada 8 jenis kedudukan dua lingkaran. Misalkan ada dua lingkaran dengan
jari-jari masing-masing $ r_1 $ dan $ r_2 $, serta jarak kedua pusat lingkarannya adalah $ d $ dan kita tidak tahu lingkaran mana yang lebih besar.
Berikut syarat masing-masing kedudukan dua lingkarannya :
$\spadesuit \, $ Lima jenis kedudukan dua lingkaran
Untuk memudahkan mengingat, perhatikan gambar berikut ini.
Dari gambar, ada 5 kemungkinan kedudukan dua lingkaran. Perhatikan gerakan lingkaran kecil (warna merah), seolah-olah bergerak terus menurus ke arah
kanan lingkaran besar (warna biru) yang tetap. Nah untuk syaratnya, perhatikan garis bilangan di bawahnya, kedudukan (i) berada dipaling kiri $|r_1-r_2|$,
kedudukan (ii) berada tepat di $|r_1-r_2|$, kedudukan (iii) diantara $|r_1-r_2| \, $ dan $ r_1 + r_2 $ , kedudukan (iv) berada tepat di $ r_1+r_2$ , dan
kedudukan (v) berada di kanan $ r_1 + r_2 $.
Kedudukan dan syarat-syaratnya :
(i). Lingkaran berada di dalam lingkaran lain, syaratnya $ d < |r_1 - r_2| $
(ii). bersinggungan dalam, syaratnya $ d = |r_1 - r_2| $
(iii). berotongan, syaratnya $ |r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2 $
(iv). bersinggungan luar, syaratnya $ d = r_1 + r_2 $
(v). tidak berpotongan, syaratnya $ d > r_1 + r_2 $
$\clubsuit \, $ Tiga jenis kedudukan dua lingkaran sisanya
Tiga jenis kedudukan lainnya adalah :
(vi). Kosentris (sepusat), syaratnya kedua pusat lingkaran sama.
(vii). Ortogonal (tegak lurus), syaratnya $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 $
(viii). berpotongan tepat pada diameter, syaratnya $ d^2 = | r_1^2 - r_2^2 | $
$\spadesuit \, $ Lima jenis kedudukan dua lingkaran
Untuk memudahkan mengingat, perhatikan gambar berikut ini.
Kedudukan dan syarat-syaratnya :
(i). Lingkaran berada di dalam lingkaran lain, syaratnya $ d < |r_1 - r_2| $
(ii). bersinggungan dalam, syaratnya $ d = |r_1 - r_2| $
(iii). berotongan, syaratnya $ |r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2 $
(iv). bersinggungan luar, syaratnya $ d = r_1 + r_2 $
(v). tidak berpotongan, syaratnya $ d > r_1 + r_2 $
$\clubsuit \, $ Tiga jenis kedudukan dua lingkaran sisanya
Tiga jenis kedudukan lainnya adalah :
(vi). Kosentris (sepusat), syaratnya kedua pusat lingkaran sama.
(vii). Ortogonal (tegak lurus), syaratnya $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 $
(viii). berpotongan tepat pada diameter, syaratnya $ d^2 = | r_1^2 - r_2^2 | $
*). Untuk gambar kedudukan (vi), (vii), dan (viii), teman-teman langsung bisa melihat gambarnya pada artikel "kedudukan dua lingkaran" sebelumnya.
*). bentuk $ |r_1 - r_2 | $ bertujuan agar hasil pengurangannya selalu positif karena nilai $ d $ (jarak pusat) juga selalu positif.
*). Bentuk mutlak $ |f(x) | = \sqrt{[f(x)]^2} $
*). Sifat pertidaksamaan mutlak yang kita gunakan yaitu :
$ |f(x)| < a , \, $ maka $ -a < f(x) < a \, $ dan
$ | f(x) > a , \, $ maka $ f(x) < -a \, $ atau $ f(x) > a $
berlaku sama juga untuk tanda ketaksamaan $ \leq \, $ dan $ \geq $.
Contoh variasi soal kedudukan dua lingkaran :
1). Diketahui dua lingkaran dengan persamaan masing-masing :
L1 : $ x^2 + y^2 -2px + 4y + p^2 - 5p - 16 = 0 \, $ dan
L2 : $ x^2 + y^2 -2x - 2qy + q^2 - q - 2 = 0 $ .
Jika kedua lingkaran kosentris, maka tentukan nilai $ p + q \, $ dan jari-jari kedua lingkaran!
Penyelesaian :
*). Menentukan jari-jari dan pusat kedua lingkaran :
L1 : $ x^2 + y^2 -2px + 4y + p^2 - 5p - 16 = 0 $
nilai $ A = -2p, B = 4, C = p^2 - 5p - 16 $
Pusat L1,
$ a = -\frac{1}{2}A = - \frac{1}{2}(-2p) = p $
$ b = -\frac{1}{2}B = - \frac{1}{2}(4) = -2 $ Sehingga pusatnya : $ (a,b) = ( p , -2) $
Jari-jari L1,
$ r_1 = \sqrt{a^2 + b^2 - C } = \sqrt{p^2 + (-2)^2 - (p^2 - 5p - 16)} = \sqrt{5p + 20} $
L2 : $ x^2 + y^2 -2x - 2qy + q^2 - q - 2 = 0 $
nilai $ A = -2, B = -2q, C = q^2 - q - 2 $
Pusat L2,
$ a = -\frac{1}{2}A = - \frac{1}{2}(-2) = 1 $
$ b = -\frac{1}{2}B = - \frac{1}{2}(-2q) = q $ Sehingga pusatnya : $ (a,b) = ( 1,q) $
Jari-jari L2,
$ r_2 = \sqrt{a^2 + b^2 - C } = \sqrt{1^2 + q^2 - (q^2 - q - 2)} = \sqrt{q+3} $
*). Kedua lingkaran kosentris, artinya kedua lingkaran memiliki pusat yang sama sehingga :
$ \begin{align} \text{pusat L1 } & = \text{ pusat L_2} \\ ( p , -2) & = ( 1,q) \end{align} $
Artinya nilai $ p = 1 \, $ dan $ q = -2 $.
*). Nilai $ p + q = 1 + (-2) = -1 $.
*). Menentukan besar jari-jari kedua lingkaran :
$ r_1 = \sqrt{5p + 20} = \sqrt{5 . 1 + 20} = \sqrt{25} = 5 $
$ r_2 = \sqrt{q + 3} = \sqrt{-2 + 3} = \sqrt{1} = 1 $
Jadi, nilai $ p + q = -1 \, $ dan $ r_1 = 5, \, r_2 = 1. \, \heartsuit $.
2). Diketahui dua lingkaran dengan persamaan masing-masing
L1 : $ (x+2)^2 + (y-2)^2 = r^2 \, $ dan
L2 : $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9 $.
Tentukan besarnya jari-jari lingkaran kedua jika kedua lingkaran memiliki kedudukan :
a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
b). bersinggungan dalam,
c). berpotongan,
d). bersinggungan luar,
e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
f). ortogonal,
g). berpotngan tepat pada diameter.
Penyelesaian :
*). Menentukan pusat, jarak pusat, dan jari-jari :
L1 : $ (x+2)^2 + (y-2)^2 = r^2 $
Pusat L1 : $(-2,2) \, $ dan $ r_1 = \sqrt{r^2} = r $
L2 : $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9 $
Pusat L2 : $(2,-1) \, $ dan $ r_2 = \sqrt{9} = 3 $
Jarak kedua pusat lingkaran ($d$) :
$ d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{25} = 5 $.
*). Menentukan besar jari-jari lingkaran pertama ($r$) jika
a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
Syarat : $ d < |r_1 - r_2 | $
sehingga :
$ \begin{align} d & < |r_1 - r_2 | \\ 5 & < |r - 3| \, \, \, \, \, \, \text{(atau sama dengan)} \\ |r - 3 | & > 5 \\ r - 3 & < -5 \vee r - 3 > 5 \\ r & < -5 + 3 \vee r > 5 + 3 \\ r & < -2 \vee r > 8 \end{align} $
Karena jari-jari positif, maka yang memenuhi $ r > 8 $.
Jadi, agar salah satu lingkaran ada di dalam lingkaran lainnya, maka jari-jari lingkaran pertama adalah $ r > 8 $.
b). bersinggungan dalam,
Syaratnya $ d = | r_1 - r_2 | $
Sehingga :
$\begin{align} d & = | r_1 - r_2 | \\ 5 & = | r - 3 | \\ | r - 3 | & = 5 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ ( r - 3 )^2 & = 5^2 \\ ( r - 3 )^2 - 5^2 & = 0 \\ ( r - 3 + 5 )(r - 3 - 5) & = 0 \\ ( r +2 )(r- 8) & = 0 \\ r = - 2 \vee r & = 8 \end{align} $
Jadi, jari-jari lingkaran pertama adalah $ r = 8 $.
c). berpotongan,
Syarat $ |r_1 - r_2 | < d < r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} |r_1 - r_2 | < & d < r_1 + r_2 \\ |r - 3 | < & 5 < r + 3 \\ |r - 3 | < 5 & \cap 5 < r + 3 \\ -5 < r - 3 < 5 & \cap r + 3 > 5 \\ -5 + 3 < r - 3 + 3 < 5 + 3 & \cap r > 5 - 3 \\ -2 < r < 8 & \cap r > 2 \end{align} $
solusinya adalah irisan dari $ -2 < r < 8 \, $ dan $ r > 2 $ yaitu $ 2 < r < 8 $.
Jadi, agar kedua lingkaran berpotongan, maka besar jari-jarinya adalah $ 2 < r < 8 $.
d). bersinggungan luar,
Syarat $ d = r_1 + r_2 $
sehingga : $ d = r_1 + r_2 \rightarrow 5 = r + 3 \rightarrow r = 2 $.
Jadi, agar kedua bersinggungan luar, maka jari-jari lingkaran pertama $ r = 2 $.
e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
Syarat : $ d > r_1 + r_2 $.
sehingga :
$ \begin{align} d & > r_1 + r_2 \\ 5 & > r + 3 \, \, \, \, \, \, \text{(atau sama dengan)} \\ r + 3 & < 5 \\ r & < 5 - 3 \\ r & < 2 \end{align} $
Jadi, agar kedua lingkaran tidak berpotongan maka jari-jari lingkaran pertama adalah $ 0 < r < 2 $.
f). ortogonal,
Syarat : $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 $.
sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = r_1^2 + r_2^2 \\ 5^2 & = r^2 + 3^2 \\ 25 & = r^2 + 9 \\ r^2 & = 16 \\ r & = 4 \end{align} $
Jadi, agar kedua lingkaran ortogonal maka jari-jari lingkaran pertama adalah $ r = 4 $.
g). berpotngan tepat pada diameter.
Syarat : $ d^2 = |r_1^2 - r_2^2| $.
sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = |r_1^2 - r_2^2| \\ 5^2 & = |r^2 - 3^2| \\ 25 & = |r^2 - 9| \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 25^2 & = (r^2 - 9)^2 \\ (r^2 - 9 + 25)(r^2 - 9 - 25) & = 0 \\ (r^2 + 16)(r^2 -34) & = 0 \\ r^2 = - 16 \vee r^2 = 34 \end{align} $
yang memenuhi $ r^2 = 34 \rightarrow r = \sqrt{34} $
Jadi, jari-jari lingkaran pertama adalah $ r = \sqrt{34} $ .
a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
b). bersinggungan dalam,
c). berpotongan,
d). bersinggungan luar,
e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
f). ortogonal,
g). berpotngan tepat pada diameter.
Penyelesaian :
a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
Syarat : $ d < |r_1 - r_2 | $
Sehingga :
$ \begin{align} d & < |r_1 - r_2 | \\ d & < |4 - 7 | \\ d & < | - 3 | \\ d & < 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ 0 < d < 3 \, $ karena selalu positif.
b). bersinggungan dalam,
Syarat : $ d = |r_1 - r_2 | $
Sehingga :
$ \begin{align} d & = |r_1 - r_2 | \\ d & = |4 - 7 | \\ d & = |-3| \\ d & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ d = 3 $.
c). berpotongan,
Syarat : $ |r_1 - r_2 | < d < r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} |r_1 - r_2 | < & d < r_1 + r_2 \\ |4 - 7 | < & d < 4 + 7 \\ |-3 | < & d < 11 \\ 3 < & d < 11 \end{align} $
Jadi, nilai $ d $ adalah $ 3 < d < 11 $.
d). bersinggungan luar,
Syarat : $ d = r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d & = r_1 + r_2 \\ d & = 4 + 7 \\ d & = 11 \end{align} $
Jadi, nilai $ d = 11 $.
e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
Syarat : $ d > r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d & > r_1 + r_2 \\ d & > 4 + 7 \\ d & > 11 \end{align} $
Jadi, nilai $ d > 11 $.
f). ortogonal,
Syarat : $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = r_1^2 + r_2^2 \\ d & = \sqrt{4^2 + 7^2 } \\ & = \sqrt{16 + 49 } \\ & = \sqrt{65 } \end{align} $
Jadi, nilai $ d =\sqrt{65} $
g). berpotngan tepat pada diameter.
Syarat : $ d^2 = |r_1^2 - r_2^2| $
Sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = |r_1^2 - r_2^2| \\ d & = \sqrt{|4^2 - 7^2| } \\ & = \sqrt{|16 - 49| } \\ & = \sqrt{|-33| } \\ & = \sqrt{33 } \end{align} $
Jadi, nilai $ d =\sqrt{33} $
4). Diketahui dua lingkaran dengan persamaan
L1 : $(x-p)^2 + y^2 = 25 \, $ dan
L2 : $ x^2 + y^2 = 9 $.
Tentukan nilai $ p \, $ jika kedudukan kedua lingkarannya :
a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
b). bersinggungan dalam,
c). berpotongan,
d). bersinggungan luar,
e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
f). ortogonal,
g). berpotngan tepat pada diameter.
Penyelesaian :
*). Menentukan pusat, jarak pusat, dan jari-jari lingkarannya :
L1 : $(x-p)^2 + y^2 = 25 \, $ dan
Pusat L1 : $( p,0) \, $ dan $ r_1 = \sqrt{25} = 5 $
L2 : $ x^2 + y^2 = 9 $.
Pusat L2 : $ ( 0,0 ) \, $ dan $ r_2 = \sqrt{9} = 3 $
Jarak kedua pusat ($d$) :
$ d =\sqrt{(p-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{p^2} = |p| $
a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
Syarat : $ d < |r_1 - r_2 | $
Sehingga :
$ \begin{align} d & < |r_1 - r_2 | \\ |p| & < |5 - 3 | \\ |p| & < 2 \\ -2 < p & < 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ -2 < d < 2 \, $ untuk kedudukan pertama ini.
b). bersinggungan dalam,
Syarat : $ d = |r_1 - r_2 | $
Sehingga :
$ \begin{align} d & = |r_1 - r_2 | \\ |p| & = |5-3| \\ |p| & = 2 \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ p^2 & = 2^2 \\ p & = \pm \sqrt{4} \\ p & = \pm 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ p= -2 \, $ atau $ p = 2 $.
c). berpotongan,
Syarat : $ |r_1 - r_2 | < d < r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} |r_1 - r_2 | < & d < r_1 + r_2 \\ |5 - 3 | < & |p| < 5 + 3 \\ 2 < & |p| < 8 \\ 2 < & p < 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p $ adalah $ 2 < p < 8 $.
d). bersinggungan luar,
Syarat : $ d = r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d & = r_1 + r_2 \\ |p| & = 5 + 3 \\ p & = \pm 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = -8 \, $ atau $ p = 8 $.
e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
Syarat : $ d > r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d & > r_1 + r_2 \\ |p| & > 5 + 3 \\ |p| & > 8 \\ p < -8 & \vee p > 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p < -8 \, $ atau $ p > 8 $.
f). ortogonal,
Syarat : $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = r_1^2 + r_2^2 \\ |p|^2 & = 5^2 + 3^2 \\ p ^2 & = 34 \\ p & = \pm \sqrt{34} \end{align} $
Jadi, nilai $ p = \sqrt{34} \, $ atau $ p = \sqrt{34} $
g). berpotngan tepat pada diameter.
Syarat : $ d^2 = |r_1^2 - r_2^2| $
Sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = |r_1^2 - r_2^2| \\ |p|^2 & = |5^2 - 3^2| \\ p^2 & = |16| \\ p^2 & = 16 \\ p & = \pm 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = -4 \, $ atau $ p = 4 $.
Demikian pembahasan materi Variasi Soal Kedudukan Dua Lingkaran beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan irisan dua lingkaran. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.
