Menentukan nilai sin cos 21 dan 24 derajat

         Blog Koma - Setelah membahas cara menghitung nilai trigonometri sudut 18 derajat, kita lanjutkan lagi Menentukan nilai sin cos 21 dan 24 derajat pada pembahasan kali ini. Nilai trigonometri sudut 21 derajat dan 24 derajat akan kita hitung dari sudut 42 dan 48 derajat menggunakan rumus dasar sudut ganda. Nilai trigonmetri yang kita butuhkan adalah nilai cos 42 derajat dan cos 48 derajat. Mungkin yang sulit adalah perhitungan nilainya karena akan melibatkan bentuk akar. Langsung saja kita simak pembahasannya berikut ini.

Rumus Dasar Trigonometri

$\spadesuit \, $ Rumus Sudut Ganda
$ \sin A = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \, \, $ dan $ \cos A = \sqrt{ \frac{1+\cos 2A}{2}} $
*). Nilai Cos 42 derajat dan cos 48 derajat
$ \cos 42^\circ = \frac{1}{8} ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) $
$ \cos 48^\circ = \frac{1}{8} ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) $

Nilai sin 21 derajat dan sin 24 derajat

$ \sin 21^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{ 8 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } + \sqrt{3} - \sqrt{15} } $
$ \sin 24^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } $

Menentukan nilai sin dan cos 21 derajat
*). Nilai sin 21 derajat :
$ \begin{align} \sin A & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \\ \sin 21^\circ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2 \times 21^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 42^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1- \frac{1}{8} ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{\frac{8}{8}- \frac{1}{8} ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{8} ( 8 - ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{8} ( 8 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } + \sqrt{3} - \sqrt{15} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1}{16} ( 8 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } + \sqrt{3} - \sqrt{15} ) } \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{ 8 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } + \sqrt{3} - \sqrt{15} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 21^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{ 8 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } + \sqrt{3} - \sqrt{15} } $
*). Nilai cos 21 derajat :
$ \begin{align} \cos A & = \sqrt{ \frac{1+\cos 2A}{2}} \\ \cos 21^\circ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 2 \times 21^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 42^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+ \frac{1}{8} ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{\frac{8}{8}+ \frac{1}{8} ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{8} ( 8 + ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{8} ( 8 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1}{16} ( 8 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) } \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{ 8 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 21^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{ 8 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} } $

Menentukan nilai sin dan cos 24 derajat
*). Nilai sin 24 derajat :
$ \begin{align} \sin A & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \\ \sin 24^\circ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2 \times 24^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 48^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1- \frac{1}{8} ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{\frac{8}{8}- \frac{1}{8} ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{8} ( 8 - ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{8} ( 8 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } - 1 + \sqrt{5} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{8} ( 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1}{16} ( 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} ) } \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 24^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } $

*). Nilai cos 24 derajat :
$ \begin{align} \cos A & = \sqrt{ \frac{1+\cos 2A}{2}} \\ \cos 24^\circ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 2 \times 24^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 48^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+ \frac{1}{8} ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{\frac{8}{8}+ \frac{1}{8} ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{8} ( 8 + ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{8} ( 8 + \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{8} ( 9 + \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } - \sqrt{5} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1}{16} ( 9 + \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } - \sqrt{5} ) } \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{ 9 + \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } - \sqrt{5} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 24^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{ 9 + \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } - \sqrt{5} } $

       Menentukan nilai sin cos 21 dan 24 derajat sebenarnya tidaklah terlalu sulit dengan catatan kita sudah mengetahui silai eksak trigonometri untuk cos 42 derajat dan cos 48 derajat. Hanya saja hasilnya tidak simpel karena melibatkan bentuk akar dimana didalam akar ada akar lagi. Tapi paling tidak, kita sudah mengetahui nilai eksak dari sin 21 derajat, cos 21 derajat dan sin 24 derajat, cos 24 derajat