Pembahasan Soal Eksponen UK 1.2 (Bentuk Akar) Kurikulum 2013 Kelas X ini khusus membahas soal-soal yang berkaitan langsung dengan bentuk akar yang merupakan bagian dari materi eksponen (perpangkatan). Pada materi bentuk akar, hal mendasar yang harus kita kuasai adalah sifat-sifat dan operasinya. Selain itu juga ada yang namanya "bentuk akar dalam akar" yang tentu akan sangat seru dari segi teori dan juga aplikasinya. Pembahasan UK 1.2 ini kita sajikan untuk memudahkan dan menjadi bahan alternatif untuk penyelesaian soal-soalnya yang terdapat pada buku matematika wajib kelas X kurikulum 2013.
Soal-soal Eksponen UK 1.2 (Bentuk Akar) Kurikulum 2013 Kelas X yang ada pada buku K13 menurut kami tipenya sangat menantang dan bahkan ada yang selevel soal olimpiade. Tentu banyak siswa akan kesulitan untuk menjawab soal-soal tersebut, apalagi soal-soal tantangannya. Semoga dengan adanya pembahasan ini, akan bisa membantu kita semua dalam mengerjakan soal-soalnya, dan bisa menjadi koreksi kita bersama jika ada kesalahan dalam pembahasannya.
Soal no. 1
Jika $ \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = a+b\sqrt{6}, \, $ tentukan nilai $ a + b \, $ !
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Kita akan memodifikasi ruas kiri (RKi) menjadi bentuk ruas kanan (RKa) dengan merasionalkan penyebut RKi.
$ \begin{align} \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} & = a+b\sqrt{6} \\ \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}& = a+b\sqrt{6} \\ \frac{2 + 3 - 2\sqrt{6}}{2-3} & = a+b\sqrt{6} \\ \frac{5 - 2\sqrt{6}}{-1} & = a+b\sqrt{6} \\ -5 + 2\sqrt{6} & = a+b\sqrt{6} \end{align} $
artinya nilai $ a = -5 \, $ dan $ b = 2 $
Sehingga nilai $ a + b = -5 + 2 = -3 $
Jadi, nilai $ a+b = -3 . \heartsuit $
Soal no. 2 $\spadesuit \, $ Kita akan memodifikasi ruas kiri (RKi) menjadi bentuk ruas kanan (RKa) dengan merasionalkan penyebut RKi.
$ \begin{align} \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} & = a+b\sqrt{6} \\ \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}& = a+b\sqrt{6} \\ \frac{2 + 3 - 2\sqrt{6}}{2-3} & = a+b\sqrt{6} \\ \frac{5 - 2\sqrt{6}}{-1} & = a+b\sqrt{6} \\ -5 + 2\sqrt{6} & = a+b\sqrt{6} \end{align} $
artinya nilai $ a = -5 \, $ dan $ b = 2 $
Sehingga nilai $ a + b = -5 + 2 = -3 $
Jadi, nilai $ a+b = -3 . \heartsuit $
Sederhanakanlah bentuk akar berikut!
$\clubsuit \,$ Untuk menyelesaikan soalnya, kita menggunakan bentuk akar dalam akar berikut :
$\sqrt{(a+b) + 2\sqrt{a\times b}} = \sqrt{a}+\sqrt{b} \, $ atau
$\sqrt{(a+b) - 2\sqrt{a\times b}} = \sqrt{a}-\sqrt{b} $
serta $ a\sqrt{b} = \sqrt{a^2\times b} $
a). $ \sqrt{19 + 8\sqrt{3}} $
$ \begin{align} \sqrt{19 + 8\sqrt{3}} & = \sqrt{19 + 2 \times 4\sqrt{3}} \\ & = \sqrt{19 + 2 \times \sqrt{16\times 3}} \\ & = \sqrt{(16+3) + 2 \sqrt{16\times 3}} \\ & = \sqrt{16} + \sqrt{3} = 4 + \sqrt{3} \end{align} $
b). $ \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} $
$ \begin{align} \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} & = \sqrt{(3+2) + 2\sqrt{3 \times 2}} \\ & = \sqrt{3} + \sqrt{2} \end{align} $
c). $ \sqrt{43 + 12\sqrt{7}} $
$ \begin{align} \sqrt{43 + 12\sqrt{7}} & = \sqrt{43 + 2 \times 6\sqrt{3}} \\ & = \sqrt{43 + 2 \sqrt{36\times 7}} \\ & = \sqrt{(36+7) + 2 \sqrt{36\times 7}} \\ & = \sqrt{36} + \sqrt{7} = 6 + \sqrt{7} \end{align} $
d). $ \sqrt{21 - 4\sqrt{5}} $
$ \begin{align} \sqrt{21 - 4\sqrt{5}} & = \sqrt{21 - 2 \times 2\sqrt{5}} \\ & = \sqrt{21 - 2 \sqrt{4\times 5}} \\ & = \sqrt{21 - 2 \sqrt{20}} \\ & = \sqrt{(20 + 1) - 2 \sqrt{20 \times 1}} \\ & = \sqrt{20} - \sqrt{1} = \sqrt{20} - 1 = 2\sqrt{5} - 1 \end{align} $
e). $ \sqrt{18 + 8\sqrt{2}} + \sqrt{11 - 6\sqrt{2}} $
$ \begin{align} & \sqrt{18 + 8\sqrt{2}} + \sqrt{11 - 6\sqrt{2}} \\ & = \sqrt{18 + 2 \times 4\sqrt{2}} + \sqrt{11 - 2 \times 3\sqrt{2}} \\ & = \sqrt{18 + 2 \sqrt{16\times 2}} + \sqrt{11 - 2 \sqrt{9 \times 2}} \\ & = \sqrt{(16+2) + 2 \sqrt{16\times 2}} + \sqrt{(9+2) - 2 \sqrt{9 \times 2}} \\ & = (4 + \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2}) \\ & = (\sqrt{16} + \sqrt{2}) + (\sqrt{9} - \sqrt{2}) \\ & = 4 + 3 = 7 \end{align} $
f). $ \frac{3-\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}}{\sqrt{21 + 12\sqrt{3}}} $
$ \begin{align} \frac{3-\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}}{\sqrt{21 + 12\sqrt{3}}} & = \frac{3-\sqrt{14 + 2\times 3\sqrt{5}}}{\sqrt{21 + 2\times 6\sqrt{3}}} \\ & = \frac{3-\sqrt{14 + 2\sqrt{9\times 5}}}{\sqrt{21 + 2\sqrt{36\times 3}}} \\ & = \frac{3-\sqrt{(9+5) + 2\sqrt{9\times 5}}}{\sqrt{(12+9) + 2\sqrt{6 \times 6 \times 3}}} \\ & = \frac{3-\sqrt{(9+5) + 2\sqrt{9\times 5}}}{\sqrt{(12+9) + 2\sqrt{12 \times 9}}} \\ & = \frac{3-(\sqrt{9}+\sqrt{5})}{\sqrt{12} + \sqrt{9}} \\ & = \frac{3-(3+\sqrt{5})}{2\sqrt{3} + 3} \\ & = \frac{-\sqrt{5}}{2\sqrt{3} + 3} \\ & = \frac{-\sqrt{5}}{2\sqrt{3} + 3} \times \frac{2\sqrt{3} - 3}{2\sqrt{3} - 3} \\ & = \frac{-2\sqrt{15} + 3\sqrt{5}}{12 - 9} \\ & = \frac{-2\sqrt{15} + 3\sqrt{5}}{3} \end{align} $
$\sqrt{(a+b) + 2\sqrt{a\times b}} = \sqrt{a}+\sqrt{b} \, $ atau
$\sqrt{(a+b) - 2\sqrt{a\times b}} = \sqrt{a}-\sqrt{b} $
serta $ a\sqrt{b} = \sqrt{a^2\times b} $
a). $ \sqrt{19 + 8\sqrt{3}} $
$ \begin{align} \sqrt{19 + 8\sqrt{3}} & = \sqrt{19 + 2 \times 4\sqrt{3}} \\ & = \sqrt{19 + 2 \times \sqrt{16\times 3}} \\ & = \sqrt{(16+3) + 2 \sqrt{16\times 3}} \\ & = \sqrt{16} + \sqrt{3} = 4 + \sqrt{3} \end{align} $
b). $ \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} $
$ \begin{align} \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} & = \sqrt{(3+2) + 2\sqrt{3 \times 2}} \\ & = \sqrt{3} + \sqrt{2} \end{align} $
c). $ \sqrt{43 + 12\sqrt{7}} $
$ \begin{align} \sqrt{43 + 12\sqrt{7}} & = \sqrt{43 + 2 \times 6\sqrt{3}} \\ & = \sqrt{43 + 2 \sqrt{36\times 7}} \\ & = \sqrt{(36+7) + 2 \sqrt{36\times 7}} \\ & = \sqrt{36} + \sqrt{7} = 6 + \sqrt{7} \end{align} $
d). $ \sqrt{21 - 4\sqrt{5}} $
$ \begin{align} \sqrt{21 - 4\sqrt{5}} & = \sqrt{21 - 2 \times 2\sqrt{5}} \\ & = \sqrt{21 - 2 \sqrt{4\times 5}} \\ & = \sqrt{21 - 2 \sqrt{20}} \\ & = \sqrt{(20 + 1) - 2 \sqrt{20 \times 1}} \\ & = \sqrt{20} - \sqrt{1} = \sqrt{20} - 1 = 2\sqrt{5} - 1 \end{align} $
e). $ \sqrt{18 + 8\sqrt{2}} + \sqrt{11 - 6\sqrt{2}} $
$ \begin{align} & \sqrt{18 + 8\sqrt{2}} + \sqrt{11 - 6\sqrt{2}} \\ & = \sqrt{18 + 2 \times 4\sqrt{2}} + \sqrt{11 - 2 \times 3\sqrt{2}} \\ & = \sqrt{18 + 2 \sqrt{16\times 2}} + \sqrt{11 - 2 \sqrt{9 \times 2}} \\ & = \sqrt{(16+2) + 2 \sqrt{16\times 2}} + \sqrt{(9+2) - 2 \sqrt{9 \times 2}} \\ & = (4 + \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2}) \\ & = (\sqrt{16} + \sqrt{2}) + (\sqrt{9} - \sqrt{2}) \\ & = 4 + 3 = 7 \end{align} $
f). $ \frac{3-\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}}{\sqrt{21 + 12\sqrt{3}}} $
$ \begin{align} \frac{3-\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}}{\sqrt{21 + 12\sqrt{3}}} & = \frac{3-\sqrt{14 + 2\times 3\sqrt{5}}}{\sqrt{21 + 2\times 6\sqrt{3}}} \\ & = \frac{3-\sqrt{14 + 2\sqrt{9\times 5}}}{\sqrt{21 + 2\sqrt{36\times 3}}} \\ & = \frac{3-\sqrt{(9+5) + 2\sqrt{9\times 5}}}{\sqrt{(12+9) + 2\sqrt{6 \times 6 \times 3}}} \\ & = \frac{3-\sqrt{(9+5) + 2\sqrt{9\times 5}}}{\sqrt{(12+9) + 2\sqrt{12 \times 9}}} \\ & = \frac{3-(\sqrt{9}+\sqrt{5})}{\sqrt{12} + \sqrt{9}} \\ & = \frac{3-(3+\sqrt{5})}{2\sqrt{3} + 3} \\ & = \frac{-\sqrt{5}}{2\sqrt{3} + 3} \\ & = \frac{-\sqrt{5}}{2\sqrt{3} + 3} \times \frac{2\sqrt{3} - 3}{2\sqrt{3} - 3} \\ & = \frac{-2\sqrt{15} + 3\sqrt{5}}{12 - 9} \\ & = \frac{-2\sqrt{15} + 3\sqrt{5}}{3} \end{align} $
Soal Tantangan
Soal no. 1
Tentukan nilai dari :
Penyelesaian : Sifat : $ \sqrt[n]{a} = b \rightarrow a = b^n $
$\spadesuit \, $ Untuk menyelesaikan soal tantangan nomor 1 ini, kita menggunakan permisalan.
a). $ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{...}}}}}}} $
misalkan $ x = \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{...}}}}}}} $
kita substitusi ke soalnya ,
$\begin{align} x & = \sqrt[3]{2\sqrt{3 \underbrace{\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{...}}}}}}_{\text{sama dengan } x} }} \\ x & = \sqrt[3]{2\sqrt{3 x }} \\ x^3 & = 2\sqrt{3 x } \\ (x^3)^2 & = (2\sqrt{3 x }^2 \\ x^6 & = 4\times 3 x \\ x^6 - 12x & = 0 \\ x(x^5 - 12 ) & = 0 \\ x = 0 \vee x^5 & = 12 \rightarrow x = \sqrt[5]{12} \end{align} $
Karena nilai $ x \, $ tidak mungkin sama dengan nol, sehingga yang memenuhi adalah $ x = \sqrt[5]{12} $
Jadi, nilai $ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{...}}}}}}} = \sqrt[5]{12} . \heartsuit $
b). $ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{...}}}}}} $
misalkan $ y = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{...}}}}}} $
kita substitusi ke soalnya ,
$\begin{align} y & = \sqrt{2 + \underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{...}}}}}}_{\text{sama dengan } y} } \\ y & = \sqrt{2 + y } \\ y^2 & = 2 + y \\ y^2 - y - 2 & = 0 \\ (y+1)(y-2) & = 0 \\ y = -1 \vee y = 2 \end{align} $
Karena nilai $ y \, $ positif (hasil akar genap selalu positif), sehingga yang memenuhi adalah $ y = 2 $
Jadi, nilai $ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{...}}}}}} = 2 . \heartsuit $
c). $ 1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{...}}}}}} $
Kita hitung dulu bentuk akarnya : $ \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{...}}}}} $
$\clubsuit \,$ Rumus Cardano (Cardano's Formula) :
Penyelesaian dari persamaan $ x^3 + px + q = 0 \, $ adalah
$\begin{align} x = \sqrt[3]{\frac{-q}{2}+ \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{-q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} \end{align} $
misalkan $ z = \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{...}}}}} $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ z $
$\begin{align} z & = \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{...}}}}} \\ z & = \sqrt{1 + \frac{1}{ \underbrace{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{...}}}}_{\text{sama dengan } z} }} \\ z & = \sqrt{1 + \frac{1}{z}} \\ z^2 & = 1 + \frac{1}{z} \\ z^3 & = z + 1 \\ z^3 & - z - 1 = 0 \\ p & =-1 , \, q = -1 \\ z & = \sqrt[3]{\frac{-q}{2}+ \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{-q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} \\ z & = \sqrt[3]{\frac{-(-1)}{2}+ \sqrt{\frac{(-1)^2}{4} + \frac{(-1)^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{-(-1)}{2} - \sqrt{\frac{(-1)^2}{4} + \frac{(-1)^3}{27}}} \\ z & = \sqrt[3]{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} }} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{23}{108}}} \end{align} $
$\clubsuit \,$ Menentukan hasilnya
gunakan : $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2 ) $
$ (\sqrt[3]{p})^3 + (\sqrt[3]{q})^3 = ((\sqrt[3]{p})+(\sqrt[3]{q}))((\sqrt[3]{p})^2 - (\sqrt[3]{p})(\sqrt[3]{q}) + (\sqrt[3]{q})^2 ) $
$ (\sqrt[3]{p})^3 + (\sqrt[3]{q})^3 = ((\sqrt[3]{p})+(\sqrt[3]{q}))((\sqrt[3]{p^2}) + (\sqrt[3]{q^2}) ) - (\sqrt[3]{pq}) $
Substitusi nilai $ z \, $ ke soalnya dan rasionalkan.
$\begin{align} & 1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{...}}}}}} \\ & = 1 + \frac{1}{z} \\ & = 1 + \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} }} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{23}{108}}}} \\ & \text{Misalkan : } p = \frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} } , \, q = \frac{1}{2} - \sqrt{\frac{23}{108} } \\ & = 1 + \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} }} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{23}{108}}}} \times \frac{\sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })^2} + \sqrt[3]{(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })^2} - \sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })}}{\sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })^2} + \sqrt[3]{(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })^2} - \sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })}} \\ & = 1 + \frac{\sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })^2} + \sqrt[3]{(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })^2} - \sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })}}{(\sqrt[3]{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} }})^3 + (\sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{23}{108}}})^3} \\ & = 1 + \frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{25}{54} - \frac{\sqrt{69}}{18}} - \frac{1}{3}}{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} }) + (\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{23}{108}})} \\ & = 1 + \frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{25}{54} - \frac{\sqrt{69}}{18}} - \frac{1}{3}}{1} \\ & = 1 + \sqrt[3]{\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{25}{54} - \frac{\sqrt{69}}{18}} - \frac{1}{3} \\ & = \sqrt[3]{\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{25}{54} - \frac{\sqrt{69}}{18}} + \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ 1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{...}}}}}} = \sqrt[3]{\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{25}{54} - \frac{\sqrt{69}}{18}} + \frac{2}{3} . \heartsuit $
Soal no. 2 $\spadesuit \, $ Untuk menyelesaikan soal tantangan nomor 1 ini, kita menggunakan permisalan.
a). $ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{...}}}}}}} $
misalkan $ x = \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{...}}}}}}} $
kita substitusi ke soalnya ,
$\begin{align} x & = \sqrt[3]{2\sqrt{3 \underbrace{\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{...}}}}}}_{\text{sama dengan } x} }} \\ x & = \sqrt[3]{2\sqrt{3 x }} \\ x^3 & = 2\sqrt{3 x } \\ (x^3)^2 & = (2\sqrt{3 x }^2 \\ x^6 & = 4\times 3 x \\ x^6 - 12x & = 0 \\ x(x^5 - 12 ) & = 0 \\ x = 0 \vee x^5 & = 12 \rightarrow x = \sqrt[5]{12} \end{align} $
Karena nilai $ x \, $ tidak mungkin sama dengan nol, sehingga yang memenuhi adalah $ x = \sqrt[5]{12} $
Jadi, nilai $ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{...}}}}}}} = \sqrt[5]{12} . \heartsuit $
b). $ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{...}}}}}} $
misalkan $ y = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{...}}}}}} $
kita substitusi ke soalnya ,
$\begin{align} y & = \sqrt{2 + \underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{...}}}}}}_{\text{sama dengan } y} } \\ y & = \sqrt{2 + y } \\ y^2 & = 2 + y \\ y^2 - y - 2 & = 0 \\ (y+1)(y-2) & = 0 \\ y = -1 \vee y = 2 \end{align} $
Karena nilai $ y \, $ positif (hasil akar genap selalu positif), sehingga yang memenuhi adalah $ y = 2 $
Jadi, nilai $ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{...}}}}}} = 2 . \heartsuit $
c). $ 1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{...}}}}}} $
Kita hitung dulu bentuk akarnya : $ \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{...}}}}} $
$\clubsuit \,$ Rumus Cardano (Cardano's Formula) :
Penyelesaian dari persamaan $ x^3 + px + q = 0 \, $ adalah
$\begin{align} x = \sqrt[3]{\frac{-q}{2}+ \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{-q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} \end{align} $
misalkan $ z = \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{...}}}}} $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ z $
$\begin{align} z & = \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{...}}}}} \\ z & = \sqrt{1 + \frac{1}{ \underbrace{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{...}}}}_{\text{sama dengan } z} }} \\ z & = \sqrt{1 + \frac{1}{z}} \\ z^2 & = 1 + \frac{1}{z} \\ z^3 & = z + 1 \\ z^3 & - z - 1 = 0 \\ p & =-1 , \, q = -1 \\ z & = \sqrt[3]{\frac{-q}{2}+ \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{-q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} \\ z & = \sqrt[3]{\frac{-(-1)}{2}+ \sqrt{\frac{(-1)^2}{4} + \frac{(-1)^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{-(-1)}{2} - \sqrt{\frac{(-1)^2}{4} + \frac{(-1)^3}{27}}} \\ z & = \sqrt[3]{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} }} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{23}{108}}} \end{align} $
$\clubsuit \,$ Menentukan hasilnya
gunakan : $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2 ) $
$ (\sqrt[3]{p})^3 + (\sqrt[3]{q})^3 = ((\sqrt[3]{p})+(\sqrt[3]{q}))((\sqrt[3]{p})^2 - (\sqrt[3]{p})(\sqrt[3]{q}) + (\sqrt[3]{q})^2 ) $
$ (\sqrt[3]{p})^3 + (\sqrt[3]{q})^3 = ((\sqrt[3]{p})+(\sqrt[3]{q}))((\sqrt[3]{p^2}) + (\sqrt[3]{q^2}) ) - (\sqrt[3]{pq}) $
Substitusi nilai $ z \, $ ke soalnya dan rasionalkan.
$\begin{align} & 1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{...}}}}}} \\ & = 1 + \frac{1}{z} \\ & = 1 + \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} }} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{23}{108}}}} \\ & \text{Misalkan : } p = \frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} } , \, q = \frac{1}{2} - \sqrt{\frac{23}{108} } \\ & = 1 + \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} }} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{23}{108}}}} \times \frac{\sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })^2} + \sqrt[3]{(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })^2} - \sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })}}{\sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })^2} + \sqrt[3]{(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })^2} - \sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })}} \\ & = 1 + \frac{\sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })^2} + \sqrt[3]{(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })^2} - \sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })}}{(\sqrt[3]{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} }})^3 + (\sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{23}{108}}})^3} \\ & = 1 + \frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{25}{54} - \frac{\sqrt{69}}{18}} - \frac{1}{3}}{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} }) + (\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{23}{108}})} \\ & = 1 + \frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{25}{54} - \frac{\sqrt{69}}{18}} - \frac{1}{3}}{1} \\ & = 1 + \sqrt[3]{\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{25}{54} - \frac{\sqrt{69}}{18}} - \frac{1}{3} \\ & = \sqrt[3]{\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{25}{54} - \frac{\sqrt{69}}{18}} + \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ 1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{...}}}}}} = \sqrt[3]{\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{25}{54} - \frac{\sqrt{69}}{18}} + \frac{2}{3} . \heartsuit $
Jika $a , \, b \, $ bilangan asli dengan $ a \leq b \, $ dan $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}} \, $ adalah bilangan rasional,
tentukan pasangan $(a,b)$ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Agar $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}} \, $ bilangan rasional, maka pembilang atau penyebutnya harus merupakan kelipatan dari salah satunya. Karena $ a \leq b \, $ , maka $ \sqrt{4} +\sqrt{b} \, $ merupakan kelipatan dari $ \sqrt{3} + \sqrt{a}. \, $ Misalkan $ m \, $ bilangan asli, dapat dituliskan hubungannya :
$ \begin{align} \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}} & = \frac{1}{m} \\ \sqrt{4}+\sqrt{b} & = m(\sqrt{3}+\sqrt{a}) \\ \sqrt{4}+\sqrt{b} & = m\sqrt{3}+m\sqrt{a} \end{align}$
Karena $ \sqrt{4} = 2 \, $ bilangan rasional, dan $ \sqrt{3} \, $ pasti bilangan irrasional, maka pasangan yang mungkin adalah :
$\sqrt{b} = m\sqrt{3} \, $ dan $ \sqrt{4} = m\sqrt{a} $
$\clubsuit \,$ Dari $ \sqrt{4} = m\sqrt{a} \rightarrow 4 = m^2 . a \rightarrow a = \frac{4}{m^2} $
dan $ a \, $ bilangan asli, maka yang memenuhi adalah $ m = 1 \, $ atau $ m = 2 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b \, $ dari nilai $ m $
*). Untuk $ m = 1 $
$ a = \frac{4}{m^2} = \frac{4}{1^2} = 4 $
$ \sqrt{b} = m\sqrt{3} \rightarrow \sqrt{b} = 1.\sqrt{3} \rightarrow b = 3 $
Tidak memenuhi karena nilai $ a = 4 \geq b = 3 $
*). Untuk $ m = 2 $
$ a = \frac{4}{m^2} = \frac{4}{2^2} = 1 $
$ \sqrt{b} = m\sqrt{3} \rightarrow \sqrt{b} = 2.\sqrt{3} \rightarrow b = 12 $
memenuhi karena nilai $ a = 1 \leq b = 12 $
Jadi, pasangan $(a,b)\, $ yang memenuhi adalah $ (a,b)=(1,12). \heartsuit$
Soal no. 3 $\clubsuit \,$ Agar $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}} \, $ bilangan rasional, maka pembilang atau penyebutnya harus merupakan kelipatan dari salah satunya. Karena $ a \leq b \, $ , maka $ \sqrt{4} +\sqrt{b} \, $ merupakan kelipatan dari $ \sqrt{3} + \sqrt{a}. \, $ Misalkan $ m \, $ bilangan asli, dapat dituliskan hubungannya :
$ \begin{align} \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}} & = \frac{1}{m} \\ \sqrt{4}+\sqrt{b} & = m(\sqrt{3}+\sqrt{a}) \\ \sqrt{4}+\sqrt{b} & = m\sqrt{3}+m\sqrt{a} \end{align}$
Karena $ \sqrt{4} = 2 \, $ bilangan rasional, dan $ \sqrt{3} \, $ pasti bilangan irrasional, maka pasangan yang mungkin adalah :
$\sqrt{b} = m\sqrt{3} \, $ dan $ \sqrt{4} = m\sqrt{a} $
$\clubsuit \,$ Dari $ \sqrt{4} = m\sqrt{a} \rightarrow 4 = m^2 . a \rightarrow a = \frac{4}{m^2} $
dan $ a \, $ bilangan asli, maka yang memenuhi adalah $ m = 1 \, $ atau $ m = 2 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b \, $ dari nilai $ m $
*). Untuk $ m = 1 $
$ a = \frac{4}{m^2} = \frac{4}{1^2} = 4 $
$ \sqrt{b} = m\sqrt{3} \rightarrow \sqrt{b} = 1.\sqrt{3} \rightarrow b = 3 $
Tidak memenuhi karena nilai $ a = 4 \geq b = 3 $
*). Untuk $ m = 2 $
$ a = \frac{4}{m^2} = \frac{4}{2^2} = 1 $
$ \sqrt{b} = m\sqrt{3} \rightarrow \sqrt{b} = 2.\sqrt{3} \rightarrow b = 12 $
memenuhi karena nilai $ a = 1 \leq b = 12 $
Jadi, pasangan $(a,b)\, $ yang memenuhi adalah $ (a,b)=(1,12). \heartsuit$
Nyatakan $ b \, $ dalam $ a \, $ dan $ c \, $ dari persamaan $ \frac{\sqrt[3]{b\sqrt{c}}}{\sqrt{c\sqrt[3]{a}}} = abc $ !
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Sifat-sifat eksponen :
$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} \, $ dan $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \, $ serta $ (ab)^n = a^n.b^n $
$\spadesuit \, $ Pangkatkan 6 kedua ruas :
$\begin{align} \frac{\sqrt[3]{b\sqrt{c}}}{\sqrt{c\sqrt[3]{a}}} & = abc \\ \sqrt[3]{b\sqrt{c}} & = abc . \sqrt{c\sqrt[3]{a}} \\ (bc^\frac{1}{2})^\frac{1}{3} & = abc . (ca^\frac{1}{3})^\frac{1}{2} \, \, \, \, \text{ (pangkatkan 6)} \\ \left[ (bc^\frac{1}{2})^\frac{1}{3} \right]^6 & = \left[abc . (ca^\frac{1}{3})^\frac{1}{2} \right]^6 \\ (bc^\frac{1}{2})^\frac{6}{3} & = (abc)^6 . (ca^\frac{1}{3})^\frac{6}{2} \\ (bc^\frac{1}{2})^2 & = a^6b^6c^6 . (ca^\frac{1}{3})^3 \\ b^2 c & = a^6b^6c^6 . c^3 a \\ \frac{b^6}{b^2} & = \frac{c}{a^6c^6c^3a} \\ b^{6-2} & = \frac{1}{a^{6+1}.c^{6+3-1}} \\ b^4 & = \frac{1}{a^7.c^8} \\ b & = \left( \frac{1}{a^7.c^8} \right)^\frac{1}{4} \\ b & = \frac{1}{a^\frac{7}{4}.c^\frac{8}{4}} \\ b & = \frac{1}{a^\frac{7}{4}.c^2} \end{align} $
Jadi, diperoleh $ b = \frac{1}{a^\frac{7}{4}.c^2} . \heartsuit$
Soal no. 4 $\spadesuit \, $ Sifat-sifat eksponen :
$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} \, $ dan $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \, $ serta $ (ab)^n = a^n.b^n $
$\spadesuit \, $ Pangkatkan 6 kedua ruas :
$\begin{align} \frac{\sqrt[3]{b\sqrt{c}}}{\sqrt{c\sqrt[3]{a}}} & = abc \\ \sqrt[3]{b\sqrt{c}} & = abc . \sqrt{c\sqrt[3]{a}} \\ (bc^\frac{1}{2})^\frac{1}{3} & = abc . (ca^\frac{1}{3})^\frac{1}{2} \, \, \, \, \text{ (pangkatkan 6)} \\ \left[ (bc^\frac{1}{2})^\frac{1}{3} \right]^6 & = \left[abc . (ca^\frac{1}{3})^\frac{1}{2} \right]^6 \\ (bc^\frac{1}{2})^\frac{6}{3} & = (abc)^6 . (ca^\frac{1}{3})^\frac{6}{2} \\ (bc^\frac{1}{2})^2 & = a^6b^6c^6 . (ca^\frac{1}{3})^3 \\ b^2 c & = a^6b^6c^6 . c^3 a \\ \frac{b^6}{b^2} & = \frac{c}{a^6c^6c^3a} \\ b^{6-2} & = \frac{1}{a^{6+1}.c^{6+3-1}} \\ b^4 & = \frac{1}{a^7.c^8} \\ b & = \left( \frac{1}{a^7.c^8} \right)^\frac{1}{4} \\ b & = \frac{1}{a^\frac{7}{4}.c^\frac{8}{4}} \\ b & = \frac{1}{a^\frac{7}{4}.c^2} \end{align} $
Jadi, diperoleh $ b = \frac{1}{a^\frac{7}{4}.c^2} . \heartsuit$
Sederhanakanlah bentuk $ \sqrt[4]{49 - 20\sqrt{6}} $ !
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ sifat akar dalam akar :
$ \sqrt{(a+b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \, $ dengan $ a \geq b $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soalnya :
$ \begin{align} \sqrt[4]{49 - 20\sqrt{6}} & = \sqrt[2]{\sqrt[2]{49 - 2 \times 10\sqrt{6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{49 - 2\sqrt{100\times 6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{(25+24) - 2\sqrt{25.24}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{25} - \sqrt{24}} \\ & = \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(3+2) - 2\sqrt{3 \times 2}} \\ & = \sqrt{3} - \sqrt{2} \end{align} $
Jadi, diperoleh $ \sqrt[4]{49 - 20\sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{2} . \heartsuit$
Soal no. 5 $\clubsuit \,$ sifat akar dalam akar :
$ \sqrt{(a+b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \, $ dengan $ a \geq b $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soalnya :
$ \begin{align} \sqrt[4]{49 - 20\sqrt{6}} & = \sqrt[2]{\sqrt[2]{49 - 2 \times 10\sqrt{6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{49 - 2\sqrt{100\times 6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{(25+24) - 2\sqrt{25.24}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{25} - \sqrt{24}} \\ & = \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(3+2) - 2\sqrt{3 \times 2}} \\ & = \sqrt{3} - \sqrt{2} \end{align} $
Jadi, diperoleh $ \sqrt[4]{49 - 20\sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{2} . \heartsuit$
Tentukan nilai $ a \, $ dan $ b \, $ dari
$ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + ... + \frac{1}{\sqrt{1.000.000} + \sqrt{1.000.001}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} $
$ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + ... + \frac{1}{\sqrt{1.000.000} + \sqrt{1.000.001}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} $
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Kita akan menyederhanakan RKi(Ruas Kiri) menjadi bentuk RKa(Ruas Kanan) dengan merasionalkan penyebutnya :
$ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} . \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2-3} = - \sqrt{2} + \sqrt{3} $
$ \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} . \frac{\sqrt{3} - \sqrt{4}}{\sqrt{3} - \sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{4}}{3-4} = - \sqrt{3} + \sqrt{4} $
dan seterusnya sampai merasionalkan bentuk $ \frac{1}{\sqrt{1.000.000} + \sqrt{1.000.001}} $
Sehingga diperoleh :
$ \begin{align} \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + ... + \frac{1}{\sqrt{1.000.000} + \sqrt{1.000.001}} & = \sqrt{a} - \sqrt{b} \\ (- \sqrt{2} + \sqrt{3}) + (- \sqrt{3} + \sqrt{4}) + (- \sqrt{4} + \sqrt{5}) + ...+ (- \sqrt{1.000.000} + \sqrt{1.000.001})& = \sqrt{a} - \sqrt{b} \\ - \sqrt{2} + \sqrt{1.000.001} & = \sqrt{a} - \sqrt{b} \\ \sqrt{1.000.001} - \sqrt{2} & = \sqrt{a} - \sqrt{b} \end{align}$
Diperoleh nilai $ a = 1.000.001 \, $ dan $ b = 2 $
Jadi, nilai $ a = 1.000.001 \, $ dan $ b = 2 . \heartsuit $
Soal no. 6 $\spadesuit \, $ Kita akan menyederhanakan RKi(Ruas Kiri) menjadi bentuk RKa(Ruas Kanan) dengan merasionalkan penyebutnya :
$ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} . \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2-3} = - \sqrt{2} + \sqrt{3} $
$ \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} . \frac{\sqrt{3} - \sqrt{4}}{\sqrt{3} - \sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{4}}{3-4} = - \sqrt{3} + \sqrt{4} $
dan seterusnya sampai merasionalkan bentuk $ \frac{1}{\sqrt{1.000.000} + \sqrt{1.000.001}} $
Sehingga diperoleh :
$ \begin{align} \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + ... + \frac{1}{\sqrt{1.000.000} + \sqrt{1.000.001}} & = \sqrt{a} - \sqrt{b} \\ (- \sqrt{2} + \sqrt{3}) + (- \sqrt{3} + \sqrt{4}) + (- \sqrt{4} + \sqrt{5}) + ...+ (- \sqrt{1.000.000} + \sqrt{1.000.001})& = \sqrt{a} - \sqrt{b} \\ - \sqrt{2} + \sqrt{1.000.001} & = \sqrt{a} - \sqrt{b} \\ \sqrt{1.000.001} - \sqrt{2} & = \sqrt{a} - \sqrt{b} \end{align}$
Diperoleh nilai $ a = 1.000.001 \, $ dan $ b = 2 $
Jadi, nilai $ a = 1.000.001 \, $ dan $ b = 2 . \heartsuit $
Hitunglah : $ \sqrt{54 + 14\sqrt{5}} + \sqrt{12 - 2\sqrt{35}} + \sqrt{32 - 10\sqrt{7}} $
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ sifat akar dalam akar :
$ \sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} \, $ dengan $ a \geq b $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soalnya :
$ \begin{align} & \sqrt{54 + 14\sqrt{5}} + \sqrt{12 - 2\sqrt{35}} + \sqrt{32 - 10\sqrt{7}} \\ & = \sqrt{54 + 2 \times 7\sqrt{5}} + \sqrt{12 - 2\sqrt{35}} + \sqrt{32 - 2\times 5\sqrt{7}} \\ & = \sqrt{(49+5) + 2 \sqrt{49\times 5}} + \sqrt{(7+5) - 2\sqrt{7\times 5}} + \sqrt{32 - 2\sqrt{25\times 7}} \\ & = (\sqrt{49} + \sqrt{5}) + (\sqrt{7} - \sqrt{5}) + (\sqrt{25} - \sqrt{7}) \\ & = (7 + \sqrt{5}) + (\sqrt{7} - \sqrt{5}) + (5 - \sqrt{7}) \\ & = 7 + 5 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ \sqrt{54 + 14\sqrt{5}} + \sqrt{12 - 2\sqrt{35}} + \sqrt{32 - 10\sqrt{7}} = 12 . \heartsuit$
Soal no. 7 $\clubsuit \,$ sifat akar dalam akar :
$ \sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} \, $ dengan $ a \geq b $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soalnya :
$ \begin{align} & \sqrt{54 + 14\sqrt{5}} + \sqrt{12 - 2\sqrt{35}} + \sqrt{32 - 10\sqrt{7}} \\ & = \sqrt{54 + 2 \times 7\sqrt{5}} + \sqrt{12 - 2\sqrt{35}} + \sqrt{32 - 2\times 5\sqrt{7}} \\ & = \sqrt{(49+5) + 2 \sqrt{49\times 5}} + \sqrt{(7+5) - 2\sqrt{7\times 5}} + \sqrt{32 - 2\sqrt{25\times 7}} \\ & = (\sqrt{49} + \sqrt{5}) + (\sqrt{7} - \sqrt{5}) + (\sqrt{25} - \sqrt{7}) \\ & = (7 + \sqrt{5}) + (\sqrt{7} - \sqrt{5}) + (5 - \sqrt{7}) \\ & = 7 + 5 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ \sqrt{54 + 14\sqrt{5}} + \sqrt{12 - 2\sqrt{35}} + \sqrt{32 - 10\sqrt{7}} = 12 . \heartsuit$
Jika $ (3+4)(3^2+4^2)(3^4+4^4)(3^8+4^8)(3^{16}+4^{16})(3^{32}+4^{32}) = (4^x - 3^y ), \, $ tentukan nilai $ x - y . $
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Gunakan sifat : $ (p-q)(p+q) = p^2 - q^2 $
Misalkan : $ (4-3)(4+3) = 4^2 - 3^2 \, $ dan $ (4^2 - 3^2 ) (4^2 + 3^2 ) = 4^4 - 3^4 $
$\spadesuit \, $ Untuk menyelesaikan soal, kita kalikan (4-3) pada ruas kiri, ini tidak mengubah nilai karena hasil dari 4 - 3 = 1, dan kalikan dari bagian yang paling kiri.
$ \begin{align} (3+4)(3^2+4^2)(3^4+4^4)(3^8+4^8)(3^{16}+4^{16})(3^{32}+4^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ (4+3)(4^2+3^2)(4^4+3^4)(4^8+3^8)(4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ (4-3)(4+3)(4^2+3^2)(4^4+3^4)(4^8+3^8)(4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ [4^2-3^2](4^2+3^2)(4^4+3^4)(4^8+3^8)(4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ [4^4-3^4](4^4+3^4)(4^8+3^8)(4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ [4^8-3^8](4^8+3^8)(4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ [4^{16}-3^{16}](4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ [4^{32}-3^{32}](4^{32}+3^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ (4^{64}-3^{64}) & = (4^x - 3^y ) \end{align} $
Artinya nilai $ x = 64 \, $ dan $ y = 64 $
sehingga nilai $ x - y = 64 - 64 = 0 $
Jadi, nilai $ x - y = 0 . \heartsuit$
$\spadesuit \, $ Gunakan sifat : $ (p-q)(p+q) = p^2 - q^2 $
Misalkan : $ (4-3)(4+3) = 4^2 - 3^2 \, $ dan $ (4^2 - 3^2 ) (4^2 + 3^2 ) = 4^4 - 3^4 $
$\spadesuit \, $ Untuk menyelesaikan soal, kita kalikan (4-3) pada ruas kiri, ini tidak mengubah nilai karena hasil dari 4 - 3 = 1, dan kalikan dari bagian yang paling kiri.
$ \begin{align} (3+4)(3^2+4^2)(3^4+4^4)(3^8+4^8)(3^{16}+4^{16})(3^{32}+4^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ (4+3)(4^2+3^2)(4^4+3^4)(4^8+3^8)(4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ (4-3)(4+3)(4^2+3^2)(4^4+3^4)(4^8+3^8)(4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ [4^2-3^2](4^2+3^2)(4^4+3^4)(4^8+3^8)(4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ [4^4-3^4](4^4+3^4)(4^8+3^8)(4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ [4^8-3^8](4^8+3^8)(4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ [4^{16}-3^{16}](4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ [4^{32}-3^{32}](4^{32}+3^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ (4^{64}-3^{64}) & = (4^x - 3^y ) \end{align} $
Artinya nilai $ x = 64 \, $ dan $ y = 64 $
sehingga nilai $ x - y = 64 - 64 = 0 $
Jadi, nilai $ x - y = 0 . \heartsuit$
