Teorema Ketaksamaan Olim SMA

         Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Teorema Ketaksamaan Olim Matik SMA. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Teorema Ketaksamaan Olim Matik SMA Level SMA Pemula. Tentuk masih ada banyak lagi bentuk Teorema Ketaksamaan lainnya pada materi olim matik SMA yang bisa sahabat koma pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Teorema Ketaksamaan ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba, setelah dicoba, silahkan sahabat koma cocokkan dengan alternatif penyelesaian yang ada dibagian bawahnya.

Teorema Ketaksamaan

A). Ketaksamaan Rataan Kuadrat (QM), Rataan Aritmatik (AM), Rataan Geometri (GM) dan Rataan Harmonik (HM)

Misalkan $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$ adalah bilangan real positif.

$$\text{Rataan Kuadrat (QM)} = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + \dots + x_n^2}{n}}$$ $$\text{Rataan Aritmatik (AM)} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n}{n}$$ $$\text{Rataan Geometri (GM)} = \sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 \dots x_n}$$ $$\text{Rataan Harmonik (HM)} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + \dots + \frac{1}{x_n}}$$

Misalkan $a_1, a_2, \dots, a_n$ bilangan real positif. Maka $QM \ge AM \ge GM \ge HM$, yakni:

$$\sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}{n}} \ge \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n} \ge \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}}$$

Kesamaan ini berlaku jika dan hanya jika $a_1 = a_2 = \dots = a_n$

Contoh 1:

Buktikan bahwa $a^2 + b^2 \ge 2ab$ untuk bilangan riil positif $a$ dan $b$.

Solusi:

Cara I (Aljabar Dasar):

Karena $a, b \in \mathbb{R}$, berlaku $(a - b)^2 \ge 0$.

$$a^2 - 2ab + b^2 \ge 0 \implies a^2 + b^2 \ge 2ab$$

Cara II (AM-GM):

Gunakan ketaksamaan AM-GM untuk dua bilangan positif $a^2$ dan $b^2$:

$$\frac{a^2 + b^2}{2} \ge \sqrt{a^2 \cdot b^2}$$ $$\frac{a^2 + b^2}{2} \ge ab \implies a^2 + b^2 \ge 2ab$$

Kesamaan berlaku jika dan hanya jika $a = b$.

Contoh 2:

Tentukan nilai minimum dari $\frac{x}{2y} + \frac{y}{4z} + \frac{z}{8x}$ untuk $x, y, z$ bilangan real positif dan kapan nilai terkecil itu terjadi?

Solusi:

Gunakan Ketaksamaan AM-GM untuk 3 suku $\frac{x}{2y}, \frac{y}{4z}, \frac{z}{8x}$:

$$\frac{\frac{x}{2y} + \frac{y}{4z} + \frac{z}{8x}}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{x}{2y} \cdot \frac{y}{4z} \cdot \frac{z}{8x}} = \sqrt[3]{\frac{xyz}{64xyz}} = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4}$$ $$\implies \frac{x}{2y} + \frac{y}{4z} + \frac{z}{8x} \ge 3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Nilai minimumnya adalah $\mathbf{\frac{3}{4}}$, terjadi saat $\frac{x}{2y} = \frac{y}{4z} = \frac{z}{8x}$, yaitu ketika $y = 2x$ dan $z = 4x$.

Contoh 3:

Untuk $a, b,$ dan $c$ bilangan positif, buktikan ketaksamaan $(a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc$.

Solusi:

Berdasarkan ketaksamaan AM-GM untuk masing-masing faktor:

$$a + b \ge 2\sqrt{ab}, \quad b + c \ge 2\sqrt{bc}, \quad c + a \ge 2\sqrt{ca}$$

Mengalikan ketiga ketaksamaan tersebut:

$$(a + b)(b + c)(c + a) \ge (2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ca}) = 8\sqrt{a^2 b^2 c^2} = 8abc$$

Terbukti.

Contoh 4:

Buktikan bahwa untuk sebarang dua bilangan real positif $a$ dan $b$ berlaku $\frac{a+nb}{n+1} \ge \sqrt[n+1]{a b^n}$.

Solusi:

Gunakan Ketaksamaan AM-GM untuk $(n+1)$ buah bilangan positif, yaitu $a$ dan $b$ sebanyak $n$ kali:

$$\text{AM} = \frac{a + \underbrace{b + b + \dots + b}_{n \text{ suku}}}{n + 1} = \frac{a + nb}{n + 1}$$ $$\text{GM} = \sqrt[n+1]{a \cdot b \cdot b \dots b} = \sqrt[n+1]{a b^n}$$

Karena $\text{AM} \ge \text{GM}$, maka terbukti bahwa $\frac{a+nb}{n+1} \ge \sqrt[n+1]{a b^n}$.

Contoh 5:

Misalkan $a$ dan $b$ bilangan real sehingga $a > b > 0$. Tentukan kemungkinan nilai terkecil dari $a + \frac{1}{b(a-b)}$.

Solusi:

Ubah bentuk $a$ menjadi $(a - b) + b$. Maka ekspresi menjadi:

$$a + \frac{1}{b(a-b)} = (a - b) + b + \frac{1}{b(a-b)}$$

Gunakan Ketaksamaan AM-GM untuk 3 suku $(a-b), b,$ dan $\frac{1}{b(a-b)}$:

$$\frac{(a - b) + b + \frac{1}{b(a-b)}}{3} \ge \sqrt[3]{(a - b) \cdot b \cdot \frac{1}{b(a-b)}} = \sqrt[3]{1} = 1$$ $$\implies a + \frac{1}{b(a-b)} \ge 3$$

Nilai minimumnya adalah $\mathbf{3}$, yang dicapai saat $a-b = b = 1 \implies b = 1, a = 2$.

Contoh 6:

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan real positif $a, b, c$, maka $(a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \ge 9$.

Solusi:

Cara I (AM-GM):

Berdasarkan ketaksamaan AM-GM:

$$\frac{a + b + c}{3} \ge \sqrt[3]{abc} \implies a + b + c \ge 3\sqrt[3]{abc}$$ $$\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{1}{abc}} \implies \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}$$

Mengalikan kedua ketaksamaan:

$$(a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \ge \left(3\sqrt[3]{abc}\right) \left(3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\right) = 9$$

Cara II (AM-HM):

Gunakan ketaksamaan AM-HM langsung untuk $a, b, c > 0$:

$$\text{AM} \ge \text{HM} \implies \frac{a + b + c}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}$$

Kalikan kedua ruas dengan $3\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)$:

$$(a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \ge 3 \times 3 = 9$$

Terbukti.

Contoh 7:

Diketahui bilangan real positif $x, y, z,$ dan $p$ yang memenuhi $x + y + z + p = 8$. Tentukan nilai terkecil yang mungkin dari $x^2 + y^2 + z^2 + p^2$.

Solusi:

Gunakan Ketaksamaan QM-AM untuk 4 variabel:

$$\sqrt{\frac{x^2 + y^2 + z^2 + p^2}{4}} \ge \frac{x + y + z + p}{4}$$

Substitusikan $x + y + z + p = 8$:

$$\sqrt{\frac{x^2 + y^2 + z^2 + p^2}{4}} \ge \frac{8}{4} = 2$$

Kuadratkan kedua ruas:

$$\frac{x^2 + y^2 + z^2 + p^2}{4} \ge 4 \implies x^2 + y^2 + z^2 + p^2 \ge 16$$

Nilai terkecil yang mungkin adalah $\mathbf{16}$, terjadi saat $x = y = z = p = 2$.

---

B). Ketaksamaan Cauchy-Schwarz dan Ketaksamaan Holder

(i). Ketaksamaan Cauchy-Schwarz

Untuk sebarang bilangan riil $x_1, x_2, \dots, x_n$ dan $y_1, y_2, \dots, y_n$, maka berlaku:

$$(x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2)(y_1^2 + y_2^2 + \dots + y_n^2) \ge (x_1 y_1 + x_2 y_2 + \dots + x_n y_n)^2$$

atau

$$\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right) \ge \left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2$$

Kesamaan terjadi saat $\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} = \dots = \frac{x_n}{y_n}$

(ii). Ketaksamaan Cauchy-Schwarz Engel (CS-Engel)

Substitusi $x_i = \frac{a_i}{\sqrt{b_i}}$ dan $y_i = \sqrt{b_i}$ ke ketaksamaan Cauchy-Schwarz, diperoleh ketaksamaan CS-Engel yang dimodifikasi oleh Mr. Titu Andreescu:

$$\left(\frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} + \dots + \frac{a_n^2}{b_n}\right)(b_1 + b_2 + \dots + b_n) \ge (a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2$$

atau

$$\frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} + \dots + \frac{a_n^2}{b_n} \ge \frac{(a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2}{b_1 + b_2 + \dots + b_n}$$

Contoh 8:

Untuk sebarang bilangan real $a, b, c$, buktikan bahwa $3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a + b + c)^2$.

Solusi:

Gunakan Ketaksamaan Cauchy-Schwarz dengan tripel $(a, b, c)$ dan $(1, 1, 1)$:

$$(a^2 + b^2 + c^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \ge (a \cdot 1 + b \cdot 1 + c \cdot 1)^2$$ $$3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a + b + c)^2$$

Terbukti.

Contoh 9:

Misalkan $a, b, c$ adalah bilangan real positif sedemikian sehingga $abc = 1$. Buktikan bahwa

$$\frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{1}{b^3(c+a)} + \frac{1}{c^3(a+b)} \ge \frac{3}{2}$$

Solusi:

Misalkan $x = \frac{1}{a}, y = \frac{1}{b}, z = \frac{1}{c}$, maka $xyz = 1$. Suku pertama menjadi:

$$\frac{1}{a^3(b+c)} = \frac{x^3}{\frac{1}{y} + \frac{1}{z}} = \frac{x^3 yz}{y+z} = \frac{x^2 (xyz)}{y+z} = \frac{x^2}{y+z}$$

Bentuk ketaksamaan berubah menjadi:

$$\frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} \ge \frac{3}{2}$$

Gunakan Ketaksamaan CS-Engel:

$$\frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} \ge \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)} = \frac{x+y+z}{2}$$

Berdasarkan AM-GM, $x+y+z \ge 3\sqrt[3]{xyz} = 3$. Oleh karena itu:

$$\frac{x+y+z}{2} \ge \frac{3}{2}$$

Terbukti.

(iii). Ketaksamaan Holder

Ketaksamaan Holder adalah bentuk umum dari ketaksamaan Cauchy-Schwarz.

Misalkan $a_{ij}$ dengan $1 \le i \le m$ dan $1 \le j \le n$ adalah bilangan real positif, berlaku:

$$\prod_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n a_{ij}\right) \ge \left(\sum_{j=1}^n \sqrt[m]{\prod_{i=1}^m a_{ij}}\right)^m$$

Contoh sederhananya, misalkan bilangan real positif $a, b, c, p, q, r, x, y, z$, berlaku:

$$(a^3 + b^3 + c^3)(p^3 + q^3 + r^3)(x^3 + y^3 + z^3) \ge (apx + bqy + crz)^3$$

Contoh 10:

Misalkan $a, b, c$ adalah bilangan real positif. Buktikan bahwa

$$\frac{a}{\sqrt{a^2 + 8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 + 8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2 + 8ab}} \ge 1$$

Solusi:

Gunakan Ketaksamaan Holder:

$$\left(\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\right) \left(\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\right) \left(\sum a(a^2+8bc)\right) \ge (a+b+c)^3$$ $$\implies \left(\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\right)^2 \ge \frac{(a+b+c)^3}{a^3+b^3+c^3+24abc}$$

Karena $(a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)$ dan $(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc$, diperoleh $(a+b+c)^3 \ge a^3+b^3+c^3+24abc$. Sehingga:

$$\left(\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\right)^2 \ge 1 \implies \frac{a}{\sqrt{a^2 + 8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 + 8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2 + 8ab}} \ge 1$$

Terbukti.

---

Soal Latihan:

1).

Buktikan bahwa untuk $x, y, z$ positif maka $x + y + z \ge \sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{xz}$ dan kapan tanda kesamaan terjadi.

2).

Tentukan nilai minimal dari $\frac{9x^2 \sin^2 x + 4}{x \sin x}$ untuk $0 < x < \pi$.

3).

Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan real positif $x$ dan $y$ berlaku $x^4 + y^4 + 8 \ge 8xy$.

4).

Tentukan nilai minimum dari $xy + x + y + \frac{1}{xy} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ untuk $x, y > 0$.

5).

Diketahui empat bilangan positif $a, b, c, d$. Buktikan bahwa $\left(\frac{a+2b+3c+4d}{10}\right)^{10} \ge a b^2 c^3 d^4$.

6).

Terdapat bilangan real positif $a, b, c, d,$ dan $e$ dengan $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + \frac{1}{e} = 6$. Tentukan nilai minimun dari $a + b + c + d + e$?

7).

Untuk sebarang bilangan real positif $a, b,$ dan $c$, buktikan bahwa $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \ge \frac{3}{2}$.

8).

Untuk setiap bilangan riil positif $a, b, c, d, p, q, r,$ dan $s$, dimana $a \cdot b \cdot c \cdot d = 1$ serta $p + q + r + s = 4$. Buktikan bahwa $\frac{a^2}{p} + \frac{b^2}{q} + \frac{c^2}{r} + \frac{d^2}{s} \ge 4$.

9).

Nilai minimum dari $2x^2 + 5y^2 + 4xy - 2x - 12y + 2021$ adalah ...

10).

Untuk bilangan real positif $a, b, c$, buktikan bahwa

$$\frac{a}{2a+b} + \frac{b}{2b+c} + \frac{c}{2c+a} \le 1$$

11).

Misalkan $x, y, z$ adalah bilangan riil positif sehingga $xyz = 1$. Buktikan bahwa

$$\frac{x^3}{(1+y)(1+z)} + \frac{y^3}{(1+z)(1+x)} + \frac{z^3}{(1+x)(1+y)} \ge \frac{3}{4}$$

12).

Misalkan $a, b, c$ adalah bilangan real positif. Buktikan bahwa

$$\frac{a}{\sqrt{a+2b}} + \frac{b}{\sqrt{b+2c}} + \frac{c}{\sqrt{c+2a}} \ge \sqrt{a+b+c} \ge \frac{a}{\sqrt{2a+b}} + \frac{b}{\sqrt{2b+c}} + \frac{c}{\sqrt{2c+a}}$$

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA

       Demikian pembahasan materi Teorema Ketaksamaan Olim Matik SMA dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.