Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya.
Pada artikel ini kita akan membahas Statistika Sederhana Olim Matik SMA. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa
digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Statistika Sederhana Olim Matik SMA Level SMA Pemula.
Tentuk masih ada banyak
lagi bentuk Statistika Sederhana lainnya pada materi olim matik SMA yang bisa sahabat koma pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam
menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Statistika Sederhana ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba, setelah
dicoba, silahkan sahabat koma cocokkan dengan alternatif penyelesaian yang ada dibagian bawahnya.
Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA
Demikian pembahasan materi Statistika Sederhana Olim Matik SMA dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
Statistika Sederhana
8.1. Rumus Data Tunggal
-
(a). Rata-rata (mean)
$$\bar{x} = \frac{\text{Jumlah semua nilai}}{\text{banyak nilai}}$$ $$\bar{x} = \frac{f_1 \cdot x_1 + f_2 \cdot x_2 + f_3 \cdot x_3 + \dots}{f_1 + f_2 + f_3 + \dots}$$ $$\bar{x}_{gb} = \frac{n_1 \cdot \bar{x}_1 + n_2 \cdot \bar{x}_2 + n_3 \cdot \bar{x}_3 + \dots}{n_1 + n_2 + n_3 + \dots}$$
- (b). Modus: Nilai yang paling sering muncul
- (c). Median: Nilai tengah setelah data diurutkan
- (d). Kuartil: Data dibagi menjadi 4 bagian sama banyak ($Q_1$, $Q_2$, $Q_3$)
- (e). Jangkauan: Nilai terbesar $-$ nilai terkecil
Contoh Soal & Solusi
Contoh 1
Diberikan data: $1, 2, 6, 6, 8, 9, 10$. Hitunglah mean, modus, median, kuartil atas, kuartil bawah dan jangkauan.
Solusi:
Data sudah terurut ($n = 7$): $1, 2, 6, 6, 8, 9, 10$
- Mean ($\bar{x}$): $\bar{x} = \frac{1 + 2 + 6 + 6 + 8 + 9 + 10}{7} = \frac{42}{7} = 6$
- Modus: $6$ (muncul paling banyak, yaitu 2 kali)
- Median ($Q_2$): Nilai ke-$\frac{7+1}{2} = \text{data ke-4} = 6$
- Kuartil Bawah ($Q_1$): Median separuh bawah $(1, 2, 6) \implies Q_1 = 2$
- Kuartil Atas ($Q_3$): Median separuh atas $(8, 9, 10) \implies Q_3 = 9$
- Jangkauan ($J$): $x_{\text{maks}} - x_{\text{min}} = 10 - 1 = 9$
Jadi, mean = 6, modus = 6, median = 6, $Q_1 = 2$, $Q_3 = 9$, dan jangkauan = 9.
Contoh 2
Diberikan data: $1, 8, 4, 5, 6, 6, 5, 6, 3, 9$. Hitunglah mean, modus, median, kuartil atas, kuartil bawah dan jangkauan.
Solusi:
Urutkan data terlebih dahulu ($n = 10$): $1, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 9$
- Mean ($\bar{x}$): $\bar{x} = \frac{1 + 3 + 4 + 5 + 5 + 6 + 6 + 6 + 8 + 9}{10} = \frac{53}{10} = 5{,}3$
- Modus: $6$ (muncul 3 kali)
- Median ($Q_2$): $\frac{\text{data ke-5} + \text{data ke-6}}{2} = \frac{5 + 6}{2} = 5{,}5$
- Kuartil Bawah ($Q_1$): Median dari $1, 3, 4, 5, 5 \implies Q_1 = 4$
- Kuartil Atas ($Q_3$): Median dari $6, 6, 6, 8, 9 \implies Q_3 = 6$
- Jangkauan ($J$): $9 - 1 = 8$
Jadi, mean = 5,3, modus = 6, median = 5,5, $Q_1 = 4$, $Q_3 = 6$, dan jangkauan = 8.
Contoh 3
Sepuluh orang wanita mempunyai rata-rata tinggi badan $160\text{ cm}$ sedang $20$ orang pria rata-rata tingginya $170\text{ cm}$. Tinggi badan rata-rata ke-$30$ orang tersebut adalah …… $\text{cm}$.
Solusi:
Gunakan rumus rata-rata gabungan:
$$\bar{x}_{gb} = \frac{n_w \cdot \bar{x}_w + n_p \cdot \bar{x}_p}{n_w + n_p}$$
$$\bar{x}_{gb} = \frac{10(160) + 20(170)}{10 + 20} = \frac{1600 + 3400}{30} = \frac{5000}{30} = 166{,}67\text{ cm}$$
Jadi, tinggi badan rata-rata ke-30 orang tersebut adalah $166{,}67\text{ cm}$ (atau $166\frac{2}{3}\text{ cm}$).
Contoh 4
Di suatu hotel, rata-rata $96\%$ kamar terpakai sepanjang sebulan liburan kenaikan kelas dan rata-rata $72\%$ kamar terpakai sepanjang sebelas bulan lainnya. Maka rata-rata pemakaian kamar sepanjang tahun di hotel tersebut adalah …
Solusi:
Jumlah bulan dalam setahun $= 1 + 11 = 12$ bulan.
$$\bar{x} = \frac{1(96\%) + 11(72\%)}{12} = \frac{96\% + 792\%}{12} = \frac{888\%}{12} = 74\%$$
Jadi, rata-rata pemakaian kamar sepanjang tahun di hotel tersebut adalah $74\%$.
Contoh 5
Jika data $2, a, a, 3, 4, 6$ mempunyai rataan $c$, dan data $2, c, c, 4, 6, 2, 1$ mempunyai rataan $2a$, maka nilai $c$ adalah ……
Solusi:
Dari data pertama ($n_1 = 6$):
$$\frac{2 + a + a + 3 + 4 + 6}{6} = c \implies \frac{15 + 2a}{6} = c \implies 15 + 2a = 6c \implies 2a = 6c - 15 \quad \text{--- (1)}$$
Dari data kedua ($n_2 = 7$):
$$\frac{2 + c + c + 4 + 6 + 2 + 1}{7} = 2a \implies \frac{15 + 2c}{7} = 2a \quad \text{--- (2)}$$
Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2):
$$\frac{15 + 2c}{7} = 6c - 15$$
$$15 + 2c = 7(6c - 15)$$
$$15 + 2c = 42c - 105$$
$$40c = 120 \implies c = 3$$
Jadi, nilai $c$ adalah $3$.
Contoh 6
Budi telah mengikuti empat kali tes matematika pada semester I dengan nilai rata-rata $7{,}0$. Jika selama setahun Budi mengikuti delapan kali tes dengan rata-rata $8{,}0$ maka nilai rata-rata pada semester II dibandingkan dengan semester I naik sebesar …
Solusi:
- Total nilai Semester I ($4$ tes) $= 4 \times 7{,}0 = 28$
- Total nilai Setahun ($8$ tes) $= 8 \times 8{,}0 = 64$
- Total nilai Semester II ($4$ tes sisa) $= 64 - 28 = 36$
- Rata-rata Semester II $= \frac{36}{4} = 9{,}0$
- Kenaikan rata-rata $= 9{,}0 - 7{,}0 = 2{,}0$
Jadi, nilai rata-rata pada semester II naik sebesar $2{,}0$.
Contoh 7
Nilai rata-rata tes matematika dari sekelompok siswa dan sekelompok siswi di suatu kelas berturut-turut adalah $5$ dan $7$. Jika nilai rata-rata di kelas tersebut adalah $6{,}2$ maka perbandingan banyaknya siswa dan siswi adalah ….
Solusi:
Misalkan $n_a$ = jumlah siswa (putra) dan $n_i$ = jumlah siswi (putri).
$$\bar{x}_{gb} = \frac{n_a \cdot 5 + n_i \cdot 7}{n_a + n_i} = 6{,}2$$
$$5 n_a + 7 n_i = 6{,}2(n_a + n_i)$$
$$5 n_a + 7 n_i = 6{,}2 n_a + 6{,}2 n_i$$
$$7 n_i - 6{,}2 n_i = 6{,}2 n_a - 5 n_a$$
$$0{,}8 n_i = 1{,}2 n_a \implies \frac{n_a}{n_i} = \frac{0{,}8}{1{,}2} = \frac{2}{3}$$
Jadi, perbandingan banyaknya siswa dan siswi adalah $2 : 3$.
Soal Latihan
Soal 1
Suatu keluarga mempunyai lima orang anak. Anak termuda berumur $x$ tahun dan yang tertua $2x$ tahun. Tiga anak yang lain berturut-turut berumur $x + 2$, $x + 4$ dan $2x - 3$. Bila rata-rata hitung umur mereka adalah $16$ tahun, maka anak termuda berumur … tahun.
Soal 2
Kumpulan data: $1, 3, 5, 7, 2, 4, 5, 8, x, 1, -1, 2, 3$. Jika data tersebut memiliki jangkauan sama dengan $10$, maka nilai $x$ adalah …
Soal 3
Rataan dari $a - 2$, $b + 3$ dan $c + 5$ adalah $6$. Rataan dari $a + 4$, $b + 6$ dan $c - 1$ adalah …
Soal 4
Umur rata-rata dari suatu kelompok yang terdiri dari dokter dan jaksa adalah $40$ tahun. Jika umur rata-rata para dokter adalah $35$ tahun dan umur rata-rata para jaksa adalah $50$ tahun, maka perbandingan banyaknya dokter dan banyaknya jaksa adalah …
Soal 5
Agung mendapatkan bahwa nilai rata-rata dari tiga ulangan matematika yang diikutinya adalah $81$. Nilai ulangan pertama adalah $85$. Nilai ulangan ketiga lebih rendah $4$ dari nilai ulangan kedua. Berapakah nilai ulangan kedua agung?
Soal 6
Nilai rata-rata ujian sekelompok siswa yang berjumlah $40$ orang adalah $51$. Jika seorang siswa dari kelompok ini yang mendapat nilai $90$ tidak dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut, maka nilai rata-rata ujian akan menjadi …
Soal 7
Seratus siswa suatu Provinsi di Pulau Jawa mengikuti seleksi tingkat Provinsi dan skor rata-ratanya adalah $100$. Banyaknya siswa kelas X yang mengikuti seleksi tersebut $50\%$ lebih banyak dari siswa kelas XI, dan skor rata-rata siswa kelas XI $50\%$ lebih tinggi dari skor rata-rata siswa kelas X. Skor rata-rata siswa kelas XI adalah …
Soal 8
Misalkan $A$ dan $B$ dua himpunan, masing-masing beranggotakan bilangan-bilangan asli yang berurutan. Jumlah rata-rata aritmatika unsur-unsur $A$ dan rata-rata aritmatika unsur-unsur $B$ adalah $5002$. Jika $A \cap B = \{2005\}$, tentukan unsur terbesar yang mungkin dari himpunan $A \cup B$.
Soal 9
Terdapat $8$ buah data yang semuanya adalah bilangan bulat dan setelah diurutkan dari terendah ke tertinggi adalah $a, b, c, d, e, f, g$, dan $h$. Median dari data tersebut $= 6{,}5$ dan kuartil atas $= 7$. Jika modus $= 3$ dan $7$ serta $a, d$ dan $h$ membentuk barisan aritmatika maka rata-rata seluruh data tersebut sama dengan …
Soal 10
Bilangan-bilangan asli $1, 2, \dots, n$ dituliskan di papan tulis, kemudian salah satu bilangan dihapus. Rata-rata aritmatika bilangan yang tertinggal adalah $\frac{602}{17}$. Bilangan $n$ yang memungkinkan ini terjadi adalah …
Soal 11
Rata-rata sekelompok bilangan adalah $40$. Ada bilangan yang sebenarnya adalah $60$, tetapi terbaca $30$. Setelah dihitung kembali, ternyata rata-rata yang benar adalah $41$. Banyak bilangan dalam kelompok itu adalah …
Soal 12
Dua perusahaan masing-masing memiliki $6$ karyawan dengan rata-rata usia karyawannya adalah $35$ tahun dan $38$ tahun. Jika satu orang di masing-masing perusahaan dipertukarkan, maka rata-rata kedua kelompok tersebut menjadi sama. Selisih usia kedua karyawan yang dipertukarkan tersebut adalah ….
Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA
Demikian pembahasan materi Statistika Sederhana Olim Matik SMA dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
