Sistem Persamaan
Sistem persamaan terdiri dari lebih dari satu persamaan dalam rangka mencari suatu penyelesaian.
A). Sistem Persamaan Linier
Sistem persamaan umum yang dikenal adalah sistem persamaan linier, yaitu sistem persamaan yang pangkat variabelnya tidak lebih dari satu. Untuk menyelesaikan $n$ buah variabel dibutuhkan $n$ buah persamaan. Penyelesaian sistem persamaan dapat dilakukan dengan menggunakan subtitusi, eliminasi maupun dengan memanfaatkan matriks.
Nilai $x$ yang memenuhi $3^{x+y} = 27$ dan $x - y = 1$ adalah ...
Ubah bentuk eksponen menjadi persamaan linier:
$$3^{x+y} = 27 \implies 3^{x+y} = 3^3 \implies x + y = 3$$Sistem persamaan menjadi:
$$\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$$Jumlahkan kedua persamaan untuk mengeliminasi $y$:
$$(x + y) + (x - y) = 3 + 1 \implies 2x = 4 \implies x = 2$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $2$.
Hari ini usiaku $\frac{1}{3}$ kali usia ayahku. Lima tahun yang lalu, usiaku $\frac{1}{4}$ kali usia ayahku pada waktu itu. Berapakah usiaku sekarang?
Misalkan $U =$ usiaku sekarang dan $A =$ usia ayahku sekarang.
Berdasarkan informasi soal:
- $U = \frac{1}{3}A \implies A = 3U$
- $U - 5 = \frac{1}{4}(A - 5)$
Substitusikan $A = 3U$ ke persamaan kedua:
$$U - 5 = \frac{1}{4}(3U - 5)$$ $$4(U - 5) = 3U - 5$$ $$4U - 20 = 3U - 5$$ $$4U - 3U = 20 - 5 \implies U = 15$$Jadi, usiaku sekarang adalah $15$ tahun.
Tentukan penyelesaian sistem persamaan:
$$a + b + c + d = 0$$ $$a + b + c + e = 5$$ $$a + b + d + e = 1$$ $$a + c + d + e = 2$$ $$b + c + d + e = 4$$Jumlahkan kelima persamaan tersebut:
$$4a + 4b + 4c + 4d + 4e = 0 + 5 + 1 + 2 + 4 = 12$$ $$4(a + b + c + d + e) = 12 \implies a + b + c + d + e = 3$$Kurangkan hasil penjumlahan total di atas dengan masing-masing persamaan awal:
$$\begin{align*} e &= 3 - 0 = 3 \\ d &= 3 - 5 = -2 \\ c &= 3 - 1 = 2 \\ b &= 3 - 2 = 1 \\ a &= 3 - 4 = -1 \end{align*}$$Jadi, penyelesaiannya adalah $(a, b, c, d, e) = (-1, 1, 2, -2, 3)$.
Titik $(0, 0)$, $(6, 8)$, dan $(7, 7)$ dilalui oleh persamaan $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$. Tentukan nilai $A, B,$ dan $C$?
Substitusikan ketiga titik ke persamaan lingkaran:
- Melalui titik $(0,0)$:
$0^2 + 0^2 + A(0) + B(0) + C = 0 \implies C = 0$. - Melalui titik $(6,8)$:
$6^2 + 8^2 + 6A + 8B + 0 = 0 \implies 100 + 6A + 8B = 0 \implies 3A + 4B = -50$. - Melalui titik $(7,7)$:
$7^2 + 7^2 + 7A + 7B + 0 = 0 \implies 98 + 7A + 7B = 0 \implies A + B = -14$.
Selesaikan sistem persamaan dua variabel:
$$\begin{cases} 3A + 4B = -50 \\ 3A + 3B = -42 \end{cases}$$Kurangkan kedua persamaan: $B = -8$.
Substitusikan nilai $B$: $A + (-8) = -14 \implies A = -6$.
Jadi, nilai $A = -6$, $B = -8$, dan $C = 0$.
B). Sistem Persamaan Tak Linier
Dalam sistem persamaan tak linier pangkat variabel bisa lebih dari satu atau merupakan perkalian di antara variabel-variabel yang ada. Dalam sistem persamaan tak linier maka persoalan menjadi lebih sulit dan membutuhkan teknik penyelesaian yang lebih tinggi.
Terdapat sistem persamaan dengan $x, y, z > 0$:
$$(x - 1)(y - 2) = 12$$ $$(y - 2)(z - 3) = 20$$ $$(z - 3)(x - 1) = 15$$Tentukan nilai $3x + 2y + 3z$?
Kalikan ketiga persamaan tersebut:
$$[(x - 1)(y - 2)(z - 3)]^2 = 12 \times 20 \times 15 = 3600$$Karena $x, y, z > 0$, maka $(x-1)(y-2)(z-3) = \sqrt{3600} = 60$.
Bagikan hasil kali ini dengan tiap persamaan awal:
$$\begin{align*} z - 3 &= \frac{60}{12} = 5 \implies z = 8 \\ x - 1 &= \frac{60}{20} = 3 \implies x = 4 \\ y - 2 &= \frac{60}{15} = 4 \implies y = 6 \end{align*}$$Maka nilai $3x + 2y + 3z$ adalah:
$$3(4) + 2(6) + 3(8) = 12 + 12 + 24 = 48$$Tentukan nilai $a, b,$ dan $c$ yang memenuhi sistem persamaan berikut:
$$a + b + c = 9$$ $$ab + ac + bc = 26$$ $$abc = 24$$Berdasarkan Teorema Vieta, $a, b,$ dan $c$ adalah akar-akar dari persamaan kubik:
$$t^3 - (a+b+c)t^2 + (ab+ac+bc)t - abc = 0$$ $$t^3 - 9t^2 + 26t - 24 = 0$$Faktorkan persamaan kubik tersebut:
$$(t - 2)(t - 3)(t - 4) = 0$$Akar-akarnya adalah $t = 2$, $t = 3$, atau $t = 4$.
Jadi, nilai $(a, b, c)$ adalah permutasi dari himpunan $\{2, 3, 4\}$.
$m, n$ adalah bilangan asli yang memenuhi $mn + m + n = 71$ dan $m^2n + mn^2 = 880$, tentukan $m^2 + n^2$?
Misalkan $S = m + n$ dan $P = mn$. Persamaan dapat dituliskan sebagai:
$$\begin{cases} P + S = 71 \implies P = 71 - S \\ P \cdot S = 880 \end{cases}$$Substitusikan $P$ ke persamaan kedua:
$$(71 - S)S = 880 \implies S^2 - 71S + 880 = 0$$ $$(S - 16)(S - 55) = 0$$Diperoleh $S = 16$ atau $S = 55$.
Kasus 1: Jika $S = 16$, maka $P = 71 - 16 = 55$.
Nilai $m$ dan $n$ adalah akar persamaan $t^2 - 16t + 55 = 0 \implies (t - 5)(t - 11) = 0$.
Diperoleh $m = 5, n = 11$ (memenuhi sebagai bilangan asli).
Kasus 2: Jika $S = 55$, maka $P = 71 - 55 = 16$.
Persamaan $t^2 - 55t + 16 = 0$ tidak memiliki akar bilangan bulat/asli.
Maka $m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn = 16^2 - 2(55) = 256 - 110 = 146$.
Soal Latihan:
- 1). Diketahui sistem persamaan linier $x + 2y = a$ dan $2x - y = 3$. Jika $a$ merupakan bilangan positif terkecil sehingga sistem persamaan linier tersebut mempunyai penyelesaian bilangan bulat $x = x_0$ dan $y = y_0$, maka nilai $x_0 + y_0$ adalah ...
- 2). Jika $(x, y)$ memenuhi sistem $$\begin{cases} \frac{2y}{x+1} - \frac{x}{y-1} = 1 \\ \frac{-3y}{x+1} + \frac{2x}{y-1} = -1 \end{cases}$$ , maka $\frac{xy - x + y - 1}{2xy} = \dots$
- 3). Nilai maksimum $a$ sehingga sistem persamaan $$\begin{cases} x + y = 4a \\ 2x^2 + y^2 = 12a \end{cases}$$ mempunyai penyelesaian adalah ....
-
4). Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan:
$ab = 1; bc = 2; cd = 3; de = 4;$ dan $ea = 6$. - 5). Selesaikan sistem persamaan: $$x^2 - yz = 3$$ $$y^2 - xz = 4$$ $$z^2 - xy = 5$$
- 6). Tentukan semua nilai $k$ yang mungkin sehingga tidak ada pasangan bilangan real $(x, y)$ yang memenuhi sistem persamaan: $$x^2 - y^2 = 0$$ $$(x - k)^2 + y^2 = 1$$
- 7). Diberikan tiga bilangan positif $x, y,$ dan $z$ yang semuanya berbeda. Jika $\frac{y}{x-z} = \frac{x+y}{z} = \frac{x}{y}$, maka nilai $\frac{x}{y}$ sama dengan ...
- 8). Tentukan semua tripel $(x, y, z)$ yang memenuhi bahwa salah satu bilangan jika ditambahkan dengan hasil kali kedua bilangan yang lain hasilnya adalah 2.
- 9). Jika $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$ dan $p_1, p_2,$ dan $p_3$ semuanya tidak sama dengan nol, maka tunjukkan bahwa $$\left(\frac{a_1}{b_1}\right)^n = \frac{p_1 a_1^n + p_2 a_2^n + p_3 a_3^n}{p_1 b_1^n + p_2 b_2^n + p_3 b_3^n}$$
- 10). Diketahui sistem persamaan: $$x_1 + 4x_2 + 9x_3 + 16x_4 + 25x_5 + 36x_6 + 49x_7 = 1$$ $$4x_1 + 9x_2 + 16x_3 + 25x_4 + 36x_5 + 49x_6 + 64x_7 = 12$$ $$9x_1 + 16x_2 + 25x_3 + 36x_4 + 49x_5 + 64x_6 + 81x_7 = 123$$ Tentukan nilai dari: $$16x_1 + 25x_2 + 36x_3 + 49x_4 + 64x_5 + 81x_6 + 100x_7$$
- 11). Selesaikan sistem persamaan: $$\begin{cases} \left(1 - \frac{12}{y+3x}\right)\sqrt{x} = 2 \\ \left(1 + \frac{12}{y+3x}\right)\sqrt{y} = 6 \end{cases}$$
- 12). Selesaikan sistem persamaan: $$\begin{cases} x^3 + x(y - z)^2 = 2 \\ y^3 + y(z - x)^2 = 30 \\ z^3 + z(x - y)^2 = 16 \end{cases}$$
- 13). Selesaikan sistem persamaan: $$\begin{cases} x^3 + 3xy^2 = -49 \\ x^2 - 8xy + y^2 = 8y - 17x \end{cases}$$
- 14). Selesaikan sistem persamaan: $$\begin{cases} (1 + 4^{2x-y}) \cdot 5^{1-2x+y} = 1 + 2^{2x-y+1} \\ y^3 + 4x + 1 + \log(y^2 + 2x) = 0 \end{cases}$$
- 15). Selesaikan sistem persamaan: $$\begin{cases} \sqrt{3x}\left(1 + \frac{1}{x+y}\right) = 2 \\ \sqrt{7y}\left(1 - \frac{1}{x+y}\right) = 4\sqrt{2} \end{cases}$$
- 16). Misalkan $n \ge 2$ bilangan asli. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan variabel $t_1, t_2, \dots, t_n$. $$\begin{cases} 2t_1 - t_2 = a_1 \\ -t_1 + 2t_2 - t_3 = a_2 \\ -t_2 + 2t_3 - t_4 = a_3 \\ \qquad \dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ -t_{n-2} + 2t_{n-1} - t_n = a_{n-1} \\ -t_{n-1} + 2t_n = a_n \end{cases}$$
- 17). Selesaikan sistem persamaan: $$\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 + t^2 = 50 \\ x^2 - y^2 + z^2 - t^2 = -24 \\ xz = yt \\ x - y + z + t = 0 \end{cases}$$
- 18). Tentukan nilai $m$ sehingga sistem persamaan berikut hanya memiliki satu solusi: $$\begin{cases} x^2 = 2^{|x|} + |x| - y - m \\ x^2 = 1 - y^2 \end{cases}$$
- 19). Tentukan semua solusi bulat dari sistem persamaan: $$\begin{cases} x^{x+y} = y^{12} \\ y^{y+x} = x^3 \end{cases}$$
- 20). Selesaikan sistem persamaan: $$\begin{cases} |x - 2y| = 1 \\ |x| + |y| = 2 \end{cases}$$
- 21). Selesaikan sistem persamaan: $$\begin{cases} x + 3y + |3x - y| = 19 \\ 2x + y = 6 \end{cases}$$
Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA
Demikian pembahasan materi Sistem Persamaan Olim Matik SMA dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
