Penyajian Bilangan Asli (Basis Bilangan)
A). Mengenal Basis Bilangan
i). Bilangan Basis 10
Sebarang bilangan asli $n$ dapat dinyatakan:
- $0 < a_k < 10$ dan $0 \le a_i < 10$ untuk $i = 1, 2, \dots, k - 1$.
- $k =$ banyak digit $- 1$.
- $k, a_0, a_1, \dots, a_k$ adalah bilangan bulat.
- $n$ ditulis: $n = a_k a_{k-1} a_{k-2} \dots a_1 a_0$
Penulisan ini disebut penulisan bilangan dalam basis 10. Bilangan yang biasa kita gunakan adalah bilangan dalam basis 10.
Contoh 1:
ii). Bilangan Basis $m$
Sebarang bilangan asli $n$ dapat dinyatakan:
- $0 < a_k < m$ dan $0 \le a_i < m$ untuk $i = 1, 2, \dots, k - 1$.
- $k, m, a_0, a_1, \dots, a_k$ adalah bilangan bulat.
- $n$ ditulis: $n = (a_k a_{k-1} a_{k-2} \dots a_1 a_0)_m$
- $(a_k a_{k-1} a_{k-2} \dots a_1 a_0)_m$ disebut penulisan bilangan dalam basis $m$.
- Jika $m = 10$, maka angka 10 tidak perlu dituliskan.
Contoh 2:
Berikut adalah beberapa contoh penulisan bilangan dalam basis tertentu:
- a). basis 2: $(1011)_2, (11001)_2, (10001)_2$
- b). basis 3: $(1021)_3, (2010)_3, (2021)_3$
- c). basis 7: $(5301)_7, (1623)_7, (2016)_7$
- d). basis 10: $2011, 89321, 4312$
iii). Mengubah Bilangan Menjadi Basis Lain
1). Basis lain ke basis 10
Untuk mengubah basis lain ke basis 10, cukup menghitung nilai dari bentuk penjabarannya yaitu nilai $a_k \cdot m^k + a_{k-1} \cdot m^{k-1} + \dots + a_1 \cdot m + a_0$.
2). Basis 10 ke basis lain
Untuk mengubah basis 10 menjadi basis $m$, kita akan menentukan $a_0, a_1, a_2, \dots, a_k$ dengan cara membagi bilangan tersebut dengan $m$ secara terus menerus sehingga tidak bisa dibagi lagi, setiap sisa pembagian tersebut adalah nilai $a_0, a_1, a_2, \dots, a_k$ secara berurutan.
Contoh 3:
Ubahlah setiap bilangan berikut:
a). $(1101)_2$ menjadi basis 10
b). $(320)_5$ menjadi basis 10
c). $253$ menjadi basis 2
d). $541$ menjadi basis 5
a). $(1101)_2$ ke basis 10:
$(1101)_2 = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13$.
b). $(320)_5$ ke basis 10:
$(320)_5 = 3 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5^1 + 0 \cdot 5^0 = 75 + 10 + 0 = 85$.
c). $253$ ke basis 2:
$253 \div 2 = 126 \text{ sisa } 1$
$126 \div 2 = 63 \text{ sisa } 0$
$63 \div 2 = 31 \text{ sisa } 1$
$31 \div 2 = 15 \text{ sisa } 1$
$15 \div 2 = 7 \text{ sisa } 1$
$7 \div 2 = 3 \text{ sisa } 1$
$3 \div 2 = 1 \text{ sisa } 1$
$1 \div 2 = 0 \text{ sisa } 1$
Menuliskan sisa dari bawah ke atas diperoleh: $253 = (11111101)_2$.
d). $541$ ke basis 5:
$541 \div 5 = 108 \text{ sisa } 1$
$108 \div 5 = 21 \text{ sisa } 3$
$21 \div 5 = 4 \text{ sisa } 1$
$4 \div 5 = 0 \text{ sisa } 4$
Menuliskan sisa dari bawah ke atas diperoleh: $541 = (4131)_5$.
Contoh 4:
Bilangan $2021$ dapat dibentuk menjadi:
dengan $a_i \neq 0$ dan $0 \le a_i < 3$. Tentukan nilai dari $a_1 + a_2 + \dots + a_n + k_1 + k_2 + \dots + k_n$?
Ubah $2021$ ke dalam basis 3 terlebih dahulu:
$2021 = 2 \cdot 3^6 + 2 \cdot 3^5 + 0 \cdot 3^4 + 2 \cdot 3^3 + 2 \cdot 3^2 + 1 \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^0$
Karena disyaratkan $a_i \neq 0$, kita hanya mengambil suku-suku dengan koefisien bukan nol:
Sehingga diperoleh suku-suku:
- $a_1 = 2, k_1 = 6$
- $a_2 = 2, k_2 = 5$
- $a_3 = 2, k_3 = 3$
- $a_4 = 2, k_4 = 2$
- $a_5 = 1, k_5 = 1$
- $a_6 = 2, k_6 = 0$
Jumlah koefisien ($a_i$): $2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 = 11$.
Jumlah pangkat ($k_i$): $6 + 5 + 3 + 2 + 1 + 0 = 17$.
Jadi, nilai totalnya adalah $11 + 17 = 28$.
Contoh 5:
Tentukan semua bilangan bulat positif dua digit yang memiliki sifat selisih bilangan tersebut dengan hasil perkalian kedua digitnya adalah 12!
Misalkan bilangan tersebut adalah $\overline{ab} = 10a + b$ dengan $1 \le a \le 9$ dan $0 \le b \le 9$.
Diketahui selisihnya dengan hasil kali digitnya ($ab$) adalah 12:
Karena $a$ dan $b$ adalah digit, faktor dari 2 yang mungkin adalah:
- $a - 1 = 1 \implies a = 2$ dan $10 - b = 2 \implies b = 8$. Bilangannya adalah 28.
- $a - 1 = 2 \implies a = 3$ dan $10 - b = 1 \implies b = 9$. Bilangannya adalah 39.
Jadi, bilangan-bilangan yang memenuhi adalah 28 dan 39.
Contoh 6:
Tentukan semua bilangan bulat dengan digit pertama 6 sedemikian sehingga jika bilangan bulat pertama dihilangkan, hasilnya adalah $\frac{1}{25}$ dari bilangan semula!
Misalkan bilangan semula adalah $N = 6 \cdot 10^k + X$, di mana $X$ adalah sisa digit sebanyak $k$ digit ($0 \le X < 10^k$).
Jika digit 6 dihilangkan, sisanya adalah $X$. Diketahui $X = \frac{1}{25} N \implies N = 25X$.
Agar $X$ bernilai bulat positif, maka $k \ge 2$.
- Untuk $k = 2 \implies X = 25$, sehingga $N = 625$.
- Untuk $k = 3 \implies X = 250$, sehingga $N = 6250$.
- Secara umum $N = 625 \times 10^{k-2}$ untuk $k \ge 2$.
Jadi, bilangan-bilangan tersebut adalah 625, 6250, 62500, ...
iv). Digit yang Hilang pada Basis 10
Pada basis 10, angka pada setiap digitnya menggunakan angka-angka $\{0, 1, 2, 3, \dots, 9\}$. Bagaimana jika hanya menggunakan sejumlah angka tertentu? Misalkan digit-digit pada basis 10 adalah $a_0 = 0, a_1 = 1, a_2 = 2, \dots, a_9 = 9$. Banyak bilangan asli yang hanya menggunakan $a_0, a_4, a_6, a_9$ dan tidak lebih dari $(a_4 a_6)_{10}$ ada sebanyak ...? Karena hanya menggunakan 4 angka saja, maka kasus ini bersesuaian dengan basis 4 yaitu angka-angkanya $\{0, 1, 2, 3\}$, artinya $a_0 \to 0, a_4 \to 1, a_6 \to 2$, dan $a_9 \to 3$. Sehingga $a_4 a_6$ dalam basis 4 adalah $(12)_4$, dimana kalau diubah menjadi basis 10 yaitu $(12)_4 = 1 \times 4^1 + 2 = 6$. Jadi ada bilangan yang tidak lebih dari $a_4 a_6 = 46$ yaitu $4, 6, 9, 40, 44, 46$.
Contoh 7:
Suatu sistem pencatat kuantitas stok otomatis mengalami gagal desain yang cukup fatal, yaitu tidak terdefinisinya angka 4 dan 6 di sistem tersebut. Jadi, setelah menampilkan 3, sistem akan menampilkan 5, dan setelahnya langsung 7. Hal ini terjadi untuk seluruh nilai tempat. Sehingga, setelah menampilkan 399, sistem akan menampilkan 500 sebagai nilai selanjutnya. Jika sistem tersebut menyampaikan bahwa tersedia stok tepung sebanyak 1578 bungkus, maka banyak stok tepung yang sesungguhnya tersedia adalah ... bungkus.
Sistem ini hanya memiliki 8 digit yaitu $\{0, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9\}$ karena angka 4 dan 6 dihilangkan. Berarti sistem ini bekerja dalam basis 8.
Pemetaan digit sistem ke digit nilai sebenarnya (0 sampai 7):
$0 \to 0, \quad 1 \to 1, \quad 2 \to 2, \quad 3 \to 3, \quad 5 \to 4, \quad 7 \to 5, \quad 8 \to 6, \quad 9 \to 7$
Angka pada sistem: $1578$. Konversikan digit-digitnya ke nilai sebenarnya:
- Digit 1 menjadi 1
- Digit 5 menjadi 4
- Digit 7 menjadi 5
- Digit 8 menjadi 6
Sehingga bilangan sesungguhnya adalah $(1456)_8$. Hitung ke basis 10:
$$(1456)_8 = 1 \cdot 8^3 + 4 \cdot 8^2 + 5 \cdot 8^1 + 6 \cdot 8^0 = 512 + 256 + 40 + 6 = 814$$Jadi, banyak stok tepung sesungguhnya adalah 814 bungkus (Jawaban A).
Contoh 8:
Ada berapa banyak bilangan bulat positif yang tidak lebih besar dari 20212021 yang hanya menggunakan angka-angka 0, 1, atau 2 pada digit-digitnya?
Karena hanya menggunakan 3 digit $\{0, 1, 2\}$, hal ini setara dengan menghitung banyaknya bilangan bulat positif sampai $(20212021)_3$ dalam basis 3.
Konversikan $(20212021)_3$ ke basis 10:
$$(20212021)_3 = 2 \cdot 3^7 + 0 \cdot 3^6 + 2 \cdot 3^5 + 1 \cdot 3^4 + 2 \cdot 3^3 + 0 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^0$$ $$= 2(2187) + 0 + 2(243) + 1(81) + 2(27) + 0 + 2(3) + 1(1)$$ $$= 4374 + 0 + 486 + 81 + 54 + 0 + 6 + 1 = 5002$$Jadi, terdapat 5002 bilangan bulat positif yang memenuhi.
B). Ekspansi Basis 10 dengan Ada Digit Sama
Ekspansi desimal dari bilangan cacah dengan beberapa digit atau perulangan angka yaitu:
Contoh 9:
Tunjukkan bahwa semua bilangan bulat pada barisan
merupakan kuadrat sempurna!
Nyatakan suku ke-$n$ dalam bentuk penjumlahan berpangkat 10:
$$A_n = \underbrace{44\dots4}_{n} \times 10^n + \underbrace{88\dots8}_{n-1} \times 10 + 9$$ $$A_n = 4 \cdot \left(\frac{10^n - 1}{9}\right) \cdot 10^n + 8 \cdot \left(\frac{10^{n-1} - 1}{9}\right) \cdot 10 + 9$$ $$A_n = \frac{4 \cdot 10^{2n} - 4 \cdot 10^n + 8 \cdot 10^n - 80 + 81}{9}$$ $$A_n = \frac{4 \cdot 10^{2n} + 4 \cdot 10^n + 1}{9} = \left(\frac{2 \cdot 10^n + 1}{3}\right)^2$$Karena $2 \cdot 10^n + 1 = 200\dots01$ memiliki jumlah digit $2 + 0 + 1 = 3$ (kelipatan 3), maka $\frac{2 \cdot 10^n + 1}{3}$ selalu merupakan bilangan bulat. Dengan demikian, $A_n$ terbukti selalu merupakan bilangan kuadrat sempurna.
Contoh 10:
Tentukan semua bilangan bulat positif dua digit sehingga bilangan tersebut habis dibagi oleh perkalian kedua digitnya!
Misalkan bilangan tersebut $\overline{ab} = 10a + b$. Diketahui $ab \mid (10a + b)$.
Maka $a \mid (10a + b) \implies a \mid b \implies b = ka$ untuk suatu $k \in \mathbb{Z}^+$.
Juga $b \mid (10a + b) \implies b \mid 10a \implies ka \mid 10a \implies k \mid 10$.
Maka nilai $k$ yang mungkin adalah pembagi dari 10, yaitu $k \in \{1, 2, 5\}$.
- Untuk $k = 1$ ($b = a$): $a^2 \mid 11a \implies a \mid 11 \implies a = 1 \implies$ Bilangannya 11.
- Untuk $k = 2$ ($b = 2a$): $2a^2 \mid 12a \implies 2a \mid 12 \implies a \mid 6$. Karena $b = 2a \le 9 \implies a \le 4$, nilai $a$ yang memenuhi $a \in \{1, 2, 3\}$.
- $a = 1 \implies b = 2 \implies$ Bilangannya 12.
- $a = 2 \implies b = 4 \implies$ Bilangannya 24.
- $a = 3 \implies b = 6 \implies$ Bilangannya 36.
- Untuk $k = 5$ ($b = 5a$): Karena $b \le 9$, $a = 1 \implies b = 5 \implies$ Bilangannya 15.
Jadi, semua bilangan yang memenuhi adalah 11, 12, 15, 24, dan 36.
Contoh 11:
Sebuah bilangan bulat positif disebut "Bilangan Cakep" jika bilangan tersebut sama dengan 4 kali jumlah dari semua digit-digitnya. Tentukan jumlah semua bilangan Cakep tersebut!
Misalkan bilangan tersebut adalah $\overline{ab} = 10a + b$.
$$10a + b = 4(a + b)$$ $$10a + b = 4a + 4b$$ $$6a = 3b \implies b = 2a$$Karena $a$ dan $b$ digit ($1 \le a \le 9$ dan $0 \le b \le 9$):
- $a = 1 \implies b = 2 \implies 12$
- $a = 2 \implies b = 4 \implies 24$
- $a = 3 \implies b = 6 \implies 36$
- $a = 4 \implies b = 8 \implies 48$
Jumlah semua bilangan Cakep $= 12 + 24 + 36 + 48 = \mathbf{120}$.
Contoh 12:
Terdapat bilangan 6 digits berbentuk $\overline{abcdef}$ yang memiliki sifat $\overline{defabc}$ adalah 6 kali dari $\overline{abcdef}$. Tentukan nilai dari $a + b + c + d + e + f$?
Misalkan $x = \overline{abc}$ dan $y = \overline{def}$. Maka:
$$\overline{abcdef} = 1000x + y \quad \text{dan} \quad \overline{defabc} = 1000y + x$$Diketahui $1000y + x = 6(1000x + y)$:
$$1000y + x = 6000x + 6y$$ $$994y = 5999x$$ $$142y = 857x \quad (\text{dibagi 7})$$Karena $\gcd(142, 857) = 1$ dan $x, y$ adalah bilangan 3-digit, maka haruslah $x = 142$ dan $y = 857$.
Sehingga $\overline{abc} = 142 \implies a=1, b=4, c=2$ dan $\overline{def} = 857 \implies d=8, e=5, f=7$.
Nilai dari $a + b + c + d + e + f = 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = \mathbf{27}$.
Soal Latihan
1). Misalkan $a, b, c$ tiga bilangan asli yang memenuhi $2^a + 2^b + 2^c = 100$. Nilai dari $a + b + c$ adalah ...
2). Suatu bentuk perkalian bilangan berikut:
Tentukan nilai $a, b, c, d, e,$ dan $f$.
3). Ada berapa banyak bilangan bulat positif yang tidak lebih besar dari 2021 yang hanya menggunakan angka-angka 0, 1, atau 2 pada digit-digitnya?
4). Tentukan bilangan bulat positif terkecil dengan digit pertamanya adalah 4 dan jika angka 4 pada digit pertama di pindahkan ke tempat digit terakhir (satuannya) maka diperoleh bilangan baru yang nilainya $\frac{1}{4}$ dari bilangan semula.
5). Rumah Pak Adi memiliki meteran air yang rusak, dimana meteran tersebut tidak dapat menunjukkan angka 3 dan 9. Sebagai contoh, angka yang tertunjuk pada meteran setelah angka 22 adalah 24 dan juga angka yang tertunjuk setelah 28 adalah 40. Misalkan dalam satu bulan, meteran air Pak Adi menunjukkan angka $478 \text{ m}^3$. Kerugian yang sebenarnya ditanggung oleh Pak Adi karena meteran yang rusak tersebut adalah ... $\text{m}^3$.
6). Dalam sebuah permainan, pesulap meminta seorang penonton untuk memikirkan sebuah bilangan terdiri dari tiga digit yaitu $\overline{abc}$. Pesulap meminta penonton tersebut untuk membentuk bilangan $\overline{acb}, \overline{bca}, \overline{bac}, \overline{cab}$, dan $\overline{cba}$, lalu menjumlahkan semuanya sehingga hasilnya $N$. Jika nilai $N$ disebutkan oleh penonton tersebut, maka pesulap tersebut mampu menebat bilangan $\overline{abc}$ semula. Coba mainkan peran sebagai pesulap tersebut dan tentukan bilangan $\overline{abc}$ jika penonton menyebutkan nilai $N = 3194$.
7). Tentukan bilangan bulat positif terkecil $n$ yang memiliki sifat berikut:
(a). digit terakhirnya adalah 6
(b). jika angka 6 dihapus dan diletakkan di depan digit yang tersisa, maka akan menghasilkan bilangan empat kali dari bilangan semula.
8). Tentukan semua bilangan bulat positif $n$ yang terdiri dari tiga digit yang memiliki sifat jika ditambahkan 3, maka jumlah dari digit-digit bilangan yang baru sama dengan $\frac{1}{3}$ dari jumlah digit-digit bilangan semula.
9). Buktikan bahwa jika $\overline{abc}$ kelipatan 37, maka $\overline{bca}$ juga kelipatan 37.
10). Misalkan terdapat bilangan $m$ yang terdiri dari tiga digit sehingga jumlah ketiga digitnya sama dengan 21. Jika digitnya dibalik, maka akan diperoleh bilangan yang nilainya 495 lebih besar dari bilangan semula. Tentukan bilangan $m$ tersebut?
11). Buktikan bahwa setiap bilangan berikut adalah bilangan kuadrat sempurna.
12). Tentukan bilangan asli $n$ terkecil sehingga nilainya menjadi $5n$ ketika digit terakhirnya dipindah ke bagian paling depan!
13). Terdapat bilangan empat digit $n$ dan jumlah semua digitnya dengan $n$ sama dengan 2001. Tentukan $n$?
14). Terdapat bilangan $N = \underbrace{111 \dots 111}_{1989 \text{ digit}} \times \underbrace{111 \dots 111}_{1989 \text{ digit}}$. Tentukan jumlah semua digit dari $N$.
15). Terdapat sebuah bilangan terdiri dari empat digit yang memenuhi sifat:
(i). digit ratusan dan satuan, digit puluhan dan digit ribuan, sekaligus ditukar, maka bilangannya akan bertambah sebesar 5940.
(ii). dibagi 9 bersisa 8.
Tentukan bilangan ganjil terkecil yang memenuhi!
16). Tentukan nilai maksimum perbandingan sebuah bilangan yang terdiri dari tiga digit dengan jumlah semua digitnya!
17). Tentukan semua bilangan tiga digit $n = \overline{abc}$ sehingga $n = (a + b + c)^3$!
18). Tentukan bilangan kuadrat sempurna yang terdiri dari 4 digits sehingga dua digit pertama dan dua digit terakhir sama (bentuknya $\overline{aabb}$)!
19). Buktikan bahwa setiap bilangan pada barisan $12, 1122, 111222, \dots,$ adalah hasil perkalian dari dua bilangan bulat berurutan!
Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA
Demikian pembahasan materi Penyajian Bilangan Asli (Basis) Olim Matik SMA dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
