A). Bilangan Prima dan Komposit
(i). Pengertian Bilangan Prima dan Komposit
Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya dapat dibagi oleh bilangan itu sendiri dan satu (hanya memiliki dua faktor yaitu $1$ dan dia sendiri). Misalnya $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, \dots$. Bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua faktor disebut bilangan komposit (majemuk), misalnya $4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, \dots$.
(ii). Teorema Eratosthenes
Untuk setiap bilangan komposit $n$ ada bilangan prima $p$ sehingga $p|n$ dan $p \le \sqrt{n}$. Teorema tersebut mempunyai makna yang sama dengan "Jika tidak ada bilangan prima $p$ yang dapat membagi $n$ dengan $p \le \sqrt{n}$ maka $n$ adalah bilangan prima".
Tentukan bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan prima atau komposit!
a). $157$ b). $221$
a). Nilai $\sqrt{157} \approx 12,53$. Bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan $12$ adalah $2, 3, 5, 7, 11$. Karena tidak ada di antara bilangan-bilangan prima tersebut yang habis membagi $157$, maka $157$ adalah bilangan prima.
b). Nilai $\sqrt{221} \approx 14,86$. Bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan $14$ adalah $2, 3, 5, 7, 11, 13$. Kita cek $221 \div 13 = 17$. Karena $221 = 13 \times 17$ (memiliki faktor selain $1$ dan dirinya sendiri), maka $221$ adalah bilangan komposit.
Tentukan semua bilangan bulat positif $n$ sehingga $3n - 4, 4n - 5,$ dan $5n - 3$ semuanya adalah bilangan prima.
Uji beberapa nilai $n$ bulat positif:
- Untuk $n = 1$: $3(1)-4 = -1$ (bukan bilangan prima).
- Untuk $n = 2$: $3(2)-4 = 2$, $4(2)-5 = 3$, $5(2)-3 = 7$. Ketiga bilangan tersebut ($2, 3, 7$) adalah bilangan prima.
Untuk $n > 2$:
- Jika $n$ genap, maka $3n - 4$ bernilai genap. Karena $n > 2$, $3n - 4 > 2$, sehingga $3n - 4$ adalah bilangan genap yang lebih besar dari $2$ (pasti komposit).
- Jika $n$ ganjil, maka $5n - 3$ bernilai genap. Karena $n > 2$, $5n - 3 > 2$, sehingga $5n - 3$ adalah bilangan genap yang lebih besar dari $2$ (pasti komposit).
Jadi, nilai $n$ bulat positif yang memenuhi hanya $n = 2$.
(iii). Sifat-sifat Bilangan Prima
Misalkan $p$ adalah bilangan prima dan $n$ bilangan asli. Bilangan prima genap hanya ada satu yaitu $2$, sisanya pasti prima ganjil. Beberapa sifat bilangan prima yaitu:
- Jika $p$ membagi $n^2$ maka $p|n$.
- Untuk $p > 3$, $p$ dibagi $6$ akan bersisa $1$ atau $5$.
Tentukan semua bilangan prima yang habis membagi bilangan $6.250.000$?
Lakukan faktorisasi prima pada $6.250.000$:
$$6.250.000 = 625 \times 10.000 = 5^4 \times (2 \times 5)^4 = 5^4 \times 2^4 \times 5^4 = 2^4 \times 5^8$$
Jadi, semua bilangan prima yang habis membagi $6.250.000$ adalah $2$ dan $5$.
Untuk $p$ bilangan prima dan $q, n$ bilangan bulat non negatif dimana $n$ tidak bersisa $1$ atau $5$ ketika dibagi $6$, tentukan semua pasangan $(p, q, n)$ yang memenuhi persamaan $p = 12q + n$.
Karena $n$ adalah sisa pembagian oleh $6$ dan tidak bersisa $1$ atau $5$, maka kemungkinan nilai $n \in \{0, 2, 3, 4\}$. Tinjau tiap kasus:
- Jika $n = 0$: $p = 12q = 6(2q)$. Karena $p$ prima, kelipatan $6$ tidak ada yang prima. (Tidak ada solusi)
- Jika $n = 2$: $p = 12q + 2 = 2(6q + 1)$. Karena $p$ prima, haruslah $p = 2 \implies 6q + 1 = 1 \implies q = 0$. Diperoleh pasangan $(p, q, n) = (2, 0, 2)$.
- Jika $n = 3$: $p = 12q + 3 = 3(4q + 1)$. Karena $p$ prima, haruslah $p = 3 \implies 4q + 1 = 1 \implies q = 0$. Diperoleh pasangan $(p, q, n) = (3, 0, 3)$.
- Jika $n = 4$: $p = 12q + 4 = 2(6q + 2)$. Agar $p$ prima, haruslah $p = 2 \implies 12q + 4 = 2 \implies 12q = -2$ (tidak memenuhi karena $q \ge 0$).
Jadi, pasangan $(p, q, n)$ yang memenuhi adalah $(2, 0, 2)$ dan $(3, 0, 3)$.
B). Faktorisasi Prima
(i). Faktorisasi Tunggal
Setiap bilangan bulat $N$ dengan $N \neq 0$, bilangan $N$ selalu dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima yaitu:
Keterangan:
- $k_i$ adalah bilangan cacah
- $p_i$ adalah bilangan prima
- $i$ adalah bilangan asli
Bentuk (1) di atas disebut faktorisasi prima yang dapat kita tentukan dengan bantuan pohon faktor.
(ii). Banyak Faktor Positif
Dari bentuk (1) di atas, banyaknya pembagi positif (banyak faktor positif) dari bilangan $N$ adalah:
Tentukan banyak pembagi positif dari bilangan $1.200$?
Faktorisasi prima dari $1.200$ adalah:
$$1.200 = 12 \times 100 = (2^2 \times 3) \times (2^2 \times 5^2) = 2^4 \times 3^1 \times 5^2$$
Banyaknya faktor positif adalah:
$$(4 + 1) \times (1 + 1) \times (2 + 1) = 5 \times 2 \times 3 = 30$$
Jadi, banyak pembagi positif dari $1.200$ adalah $30$.
Berapa banyak bilangan pangkat tiga yang membagi $3! \cdot 5! \cdot 7!$? (dimana $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n$).
Faktorisasi prima dari masing-masing faktorial:
- $3! = 2^1 \times 3^1$
- $5! = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
- $7! = 2^4 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$
Perkalian ketiganya:
$$3! \cdot 5! \cdot 7! = 2^{1+3+4} \times 3^{1+1+2} \times 5^{1+1} \times 7^1 = 2^8 \times 3^4 \times 5^2 \times 7^1$$
Faktor yang merupakan bilangan kubik (pangkat tiga) berbentuk $2^{3a} \times 3^{3b} \times 5^{3c} \times 7^{3d}$.
- Nilai $3a \le 8 \implies a \in \{0, 1, 2\}$ ($3$ pilihan)
- Nilai $3b \le 4 \implies b \in \{0, 1\}$ ($2$ pilihan)
- Nilai $3c \le 2 \implies c = 0$ ($1$ pilihan)
- Nilai $3d \le 1 \implies d = 0$ ($1$ pilihan)
Banyaknya bilangan pangkat tiga $= 3 \times 2 \times 1 \times 1 = \mathbf{6}$.
Misalkan $x, y,$ dan $z$ adalah bilangan-bilangan prima yang memenuhi persamaan $34x - 51y = 2012z$. Tentukan nilai dari $x + y + z$?
Persamaan dapat difaktorkan menjadi:
$$17(2x - 3y) = 2012z$$
Karena $17$ prima dan $17$ membagi ruas kiri, $17$ harus membagi $2012z$. Namun $2012 = 4 \times 503$ (tidak habis dibagi $17$). Maka haruslah $z = 17$.
Substitusi $z = 17$:
$$17(2x - 3y) = 2012(17) \implies 2x - 3y = 2012 \implies 2x = 2012 + 3y$$
Karena $2x$ dan $2012$ genap, maka $3y$ harus genap. Bilangan prima $y$ yang genap hanya $y = 2$.
Substitusi $y = 2$:
$$2x - 3(2) = 2012 \implies 2x = 2018 \implies x = 1009 \quad (\text{prima})$$
Maka $x + y + z = 1009 + 2 + 17 = \mathbf{1028}$.
Ada berapa faktor positif dari $2^7 \cdot 3^5 \cdot 5^3 \cdot 7^2$ yang merupakan kelipatan $10$?
Faktor kelipatan $10$ harus mengandung minimal faktor $2^1 \times 5^1$. Tuliskan bilangan tersebut sebagai:
$$N = (2^1 \times 5^1) \times (2^6 \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7^2)$$
Banyaknya faktor positif kelipatan $10$ sama dengan banyaknya faktor positif dari $2^6 \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7^2$:
$$(6 + 1)(5 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 7 \times 6 \times 3 \times 3 = \mathbf{378}$$
Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan bulat $n > 1$, maka bilangan $n^5 + n^4 + 1$ bukan bilangan prima.
Faktorkan bentuk aljabar $n^5 + n^4 + 1$:
$$n^5 + n^4 + 1 = (n^5 + n^4 + n^3) - (n^3 + n^2 + n) + (n^2 + n + 1)$$ $$= n^3(n^2 + n + 1) - n(n^2 + n + 1) + 1(n^2 + n + 1)$$ $$= (n^2 + n + 1)(n^3 - n + 1)$$
Untuk $n > 1$, nilai $(n^2 + n + 1) > 3$ dan $(n^3 - n + 1) > 1$. Karena $n^5 + n^4 + 1$ dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua bilangan bulat yang masing-masing lebih besar dari $1$, maka bilangan tersebut adalah bilangan komposit (bukan prima). Terbukti.
Jika $p$ dan $q$ adalah bilangan prima dan $x^2 - px + q = 0$ memiliki akar-akar bilangan bulat positif berbeda, tentukan nilai $p$ dan $q$?
Misalkan akar-akarnya adalah $x_1$ dan $x_2$ ($x_1 \neq x_2$). Berdasarkan teorema Vieta:
$$x_1 + x_2 = p \quad \text{dan} \quad x_1 x_2 = q$$
Karena $q$ prima dan $x_1, x_2 \in \mathbb{Z}^+$, faktor dari $q$ hanyalah $1$ dan $q$. Maka $x_1 = 1$ dan $x_2 = q$.
Substitusi ke jumlah akar: $1 + q = p \implies p - q = 1$.
Satu-satunya pasangan bilangan prima dengan selisih $1$ adalah $2$ dan $3$. Jadi, $q = 2$ dan $p = 3$.
Tentukan $20$ bilangan komposit yang berurutan.
Konstruksikan $20$ bilangan komposit berturutan menggunakan faktorial $21!$:
$$(21! + 2), (21! + 3), (21! + 4), \dots, (21! + 21)$$
Keterangan: Setiap suku $(21! + k)$ untuk $2 \le k \le 21$ habis dibagi $k$ dan bernilai lebih besar dari $k$, sehingga pasti bilangan komposit.
(iii). Jumlah dari Pembagi Positif
Misalkan $N = p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times p_3^{k_3} \times \dots \times p_n^{k_n}$. Disimbolkan $\sigma(N)$ yaitu jumlah semua faktor positif dari $N$, dapat dihitung dengan rumus:
Atau (dengan rumus deret geometri):
a). Tentukan jumlah semua pembagi positif dari $100000$
b). Tentukan jumlah semua pembagi genap positif dari $100000$.
Faktorisasi prima dari $100000 = 10^5 = 2^5 \times 5^5$.
a). Jumlah semua pembagi positif:
$$\sigma(100000) = \left(\frac{2^6 - 1}{2 - 1}\right) \times \left(\frac{5^6 - 1}{5 - 1}\right) = 63 \times \frac{15624}{4} = 63 \times 3906 = \mathbf{246.078}$$
b). Jumlah pembagi genap positif (faktor $2$ berminimal pangkat $1$):
$$\text{Jumlah} = (2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5) \times (1 + 5^1 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + 5^5)$$ $$= 62 \times 3906 = \mathbf{242.172}$$
Soal Latihan
Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA
Demikian pembahasan materi Bilangan Prima dan Komposit Olim Matik SMA dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
