Suku Banyak Bagian 2 Olim SMA

·
         Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Suku Banyak Bagian 2 Olim Matik SMA. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Suku Banyak Bagian 2 Olim Matik SMA Level SMA Pemula. Tentuk masih ada banyak lagi bentuk Suku Banyak Bagian 2 lainnya pada materi olim matik SMA yang bisa sahabat koma pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Suku Banyak Bagian 2 ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba, setelah dicoba, silahkan sahabat koma cocokkan dengan alternatif penyelesaian yang ada dibagian bawahnya.

5. Suku Banyak (Polinomial) Bagian 2

E). Teorema Sisa

Misalkan terdapat suku banyak \(f(x)\) dibagi oleh \(p(x)\) memberikan hasil \(H(x)\) dan bersisa \(r(x)\), dapat dituliskan:

\[f(x) = p(x) \cdot H(x) + r(x)\]

dengan \(0 \le \text{deg } r(x) \lt \text{deg } p(x)\).

Penulisan ini disebut Algoritma Pembagian.

Teorema Sisa yaitu:

  1. Jika \(f(x)\) dibagi oleh \(x - k\), maka sisanya \(= f(k)\).
  2. Jika \(f(x)\) dibagi oleh \(ax + b\), maka sisa \(= f\left(-\frac{b}{a}\right)\).
Contoh 1

Tentukan sisanya jika suku banyak \(x^4 - 6x^3 - 6x^2 + 8x + 6\) dibagi oleh \(x - 2\)?

Solusi:

Misalkan \(f(x) = x^4 - 6x^3 - 6x^2 + 8x + 6\).

Berdasarkan Teorema Sisa, sisa pembagian oleh \((x - 2)\) adalah \(S = f(2)\).

\[\begin{aligned} f(2) &= (2)^4 - 6(2)^3 - 6(2)^2 + 8(2) + 6 \\ &= 16 - 6(8) - 6(4) + 16 + 6 \\ &= 16 - 48 - 24 + 16 + 6 \\ &= -34 \end{aligned}\]

Jadi, sisanya adalah \(-34\).

Contoh 2

Tentukan sisanya jika suku banyak \((x + 3)^5 + (x + 2)^{2021} + (5x + 9)^{2021}\) dibagi oleh \(x + 2\).

Solusi:

Pembagi \(x + 2 = 0 \implies x = -2\).

Sisa pembagian \(S = f(-2)\):

\[\begin{aligned} S &= (-2 + 3)^5 + (-2 + 2)^{2021} + (5(-2) + 9)^{2021} \\ &= (1)^5 + (0)^{2021} + (-1)^{2021} \\ &= 1 + 0 + (-1) \\ &= 0 \end{aligned}\]

Jadi, sisanya adalah \(0\).

Contoh 3

Tentukan sisa pembagian ketika \(f(x) = 2x^3 + 3x^2 - x + 1\) dibagi oleh \(2x + 1\).

Solusi:

Pembagi \(2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}\).

\[\begin{aligned} S = f\left(-\frac{1}{2}\right) &= 2\left(-\frac{1}{2}\right)^3 + 3\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 \\ &= 2\left(-\frac{1}{8}\right) + 3\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{1}{2} + 1 \\ &= -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + \frac{1}{2} + 1 \\ &= \frac{2}{4} + \frac{3}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2 \end{aligned}\]

Jadi, sisa pembagiannya adalah \(2\).

Contoh 4

Diketahui bahwa \(f(x)\) jika dibagi \(x - 1\) bersisa \(5\) dan dibagi \(x + 1\) bersisa \(3\), maka \(f(x)\) dibagi \(x^2 - 1\) akan bersisa ...?

Solusi:

Pembagi \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\) berderajat 2, maka pemisalan sisanya adalah \(S(x) = ax + b\).

Dari soal diketahui:

\[f(1) = 5 \implies a(1) + b = 5 \implies a + b = 5 \quad \text{--- (i)}\] \[f(-1) = 3 \implies a(-1) + b = 3 \implies -a + b = 3 \quad \text{--- (ii)}\]

Eliminasi (i) dan (ii):

\[(a + b) + (-a + b) = 5 + 3 \implies 2b = 8 \implies b = 4\] \[a + 4 = 5 \implies a = 1\]

Jadi, sisa pembagiannya adalah \(S(x) = x + 4\).

Contoh 5

Suatu suku banyak memiliki sisa \(-2\) jika dibagi oleh \(x - 1\) dan bersisa \(-4\) jika dibagi oleh \(x + 2\). Tentukan sisa jika suku banyak tersebut dibagi \(x^2 + x - 2\).

Solusi:

Pembagi \(x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)\). Misalkan sisa pembagiannya \(S(x) = ax + b\).

Diketahui \(f(1) = -2\) dan \(f(-2) = -4\):

\[f(1) = a + b = -2 \quad \text{--- (i)}\] \[f(-2) = -2a + b = -4 \quad \text{--- (ii)}\]

Kurangkan (i) dengan (ii):

\[3a = 2 \implies a = \frac{2}{3}\] \[\frac{2}{3} + b = -2 \implies b = -2 - \frac{2}{3} = -\frac{8}{3}\]

Jadi, sisanya adalah \(S(x) = \frac{2}{3}x - \frac{8}{3}\).

F). Teorema Faktor

Misalkan \(f(x)\) adalah suku banyak. \((x - k)\) faktor dari \(f(x)\) jika dan hanya jika \(f(k) = 0\).

Pernyataan di atas memiliki makna:

  1. Jika \((x - k)\) faktor dari \(f(x)\) maka \(f(k) = 0\).
  2. Jika \(f(k) = 0\) maka \((x - k)\) faktor dari \(f(x)\).

Untuk suatu suku banyak \(f(x)\) dengan koefisien bilangan bulat, yaitu:

\[f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0\]

Jika \(f(x)\) mempunyai faktor \(\left(x - \frac{p}{q}\right)\) dengan \(\text{FPB}(p, q) = 1\), maka \(p\) faktor dari \(a_0\) dan \(q\) faktor dari \(a_n\).

Contoh 6

Tunjukkan bahwa \((x + 2)\) merupakan faktor dari \(f(x) = x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 8x + 8\).

Solusi:

\((x + 2)\) adalah faktor jika dan hanya jika \(f(-2) = 0\).

\[\begin{aligned} f(-2) &= (-2)^4 + 3(-2)^3 + 4(-2)^2 + 8(-2) + 8 \\ &= 16 + 3(-8) + 4(4) - 16 + 8 \\ &= 16 - 24 + 16 - 16 + 8 \\ &= 0 \end{aligned}\]

Karena \(f(-2) = 0\), terbukti bahwa \((x + 2)\) merupakan faktor dari \(f(x)\).

Contoh 7

Tunjukkan bahwa \((3x - 2)\) adalah faktor dari \(p(x) = 12x^3 + 40x^2 + 13x - 30\).

Solusi:

\((3x - 2)\) faktor jika dan hanya jika \(p\left(\frac{2}{3}\right) = 0\).

\[\begin{aligned} p\left(\frac{2}{3}\right) &= 12\left(\frac{2}{3}\right)^3 + 40\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 13\left(\frac{2}{3}\right) - 30 \\ &= 12\left(\frac{8}{27}\right) + 40\left(\frac{4}{9}\right) + \frac{26}{3} - 30 \\ &= \frac{32}{9} + \frac{160}{9} + \frac{78}{9} - \frac{270}{9} \\ &= \frac{32 + 160 + 78 - 270}{9} = \frac{0}{9} = 0 \end{aligned}\]

Terbukti bahwa \((3x - 2)\) adalah faktor dari \(p(x)\).

Contoh 8

Tentukan semua faktor linier dari suku banyak \(x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24\).

Solusi:

Misalkan \(f(x) = x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24\). Calon pembuat nol adalah faktor dari \(24\): \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \dots\)

\[f(-1) = 1 + 2 - 13 - 14 + 24 = 0 \implies (x + 1) \text{ faktor}\] \[f(2) = 16 - 16 - 52 + 28 + 24 = 0 \implies (x - 2) \text{ faktor}\] \[f(-3) = 81 + 54 - 117 - 42 + 24 = 0 \implies (x + 3) \text{ faktor}\] \[f(4) = 256 - 128 - 208 + 56 + 24 = 0 \implies (x - 4) \text{ faktor}\]

Jadi, faktor-faktor liniernya adalah \((x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 4)\).

Contoh 9

Jika \(p(x)\) merupakan suku banyak derajat tiga dengan \(p(1) = 1, p(2) = 2, p(3) = 3, p(4) = 5\), maka \(p(6) = \dots\)?

Solusi:

Konstruksi suku banyak pembantu \(Q(x) = p(x) - x\). Karena \(p(1)=1, p(2)=2, p(3)=3\), maka \(Q(1)=Q(2)=Q(3)=0\).

Sehingga \(Q(x) = A(x - 1)(x - 2)(x - 3) \implies p(x) = A(x - 1)(x - 2)(x - 3) + x\).

Gunakan \(p(4) = 5\):

\[p(4) = A(4-1)(4-2)(4-3) + 4 = 6A + 4 = 5 \implies 6A = 1 \implies A = \frac{1}{6}\]

Maka untuk \(x = 6\):

\[p(6) = \frac{1}{6}(6-1)(6-2)(6-3) + 6 = \frac{1}{6}(5)(4)(3) + 6 = 10 + 6 = 16\]

Jadi, nilai \(p(6) =\) \(16\).

G). Teorema Vieta

(i). Definisi akar-akar dari persamaan

Akar-akar dari suatu persamaan adalah nilai variabel yang memenuhi persamaan tersebut. Misalkan terdapat suku banyak \(f(x)\) yaitu:

\[f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0\]

\(x_1, x_2, x_3, \dots, x_n\) disebut akar-akar dari \(f(x) = 0\) (atau disebut pembuat nol dari \(f(x)\)) jika dan hanya jika \(f(x_1) = 0, f(x_2) = 0, f(x_3) = 0, \dots, f(x_n) = 0\).

Salah satu cara mencari akar-akar dari persamaan yaitu setiap faktor liniernya sama dengankan nol.

Contoh 10

Tentukan akar-akar dari persamaan \(x^2 - 2x - 3 = 0\).

Solusi:

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:

\[(x - 3)(x + 1) = 0\] \[x - 3 = 0 \implies x = 3 \quad \text{atau} \quad x + 1 = 0 \implies x = -1\]

Jadi, akar-akarnya adalah \(x = 3\) atau \(x = -1\).

(ii). Teorema Vieta (Operasi akar-akar)

Misalkan terdapat suku banyak:

\[f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0\]

Dengan akar-akar dari \(f(x) = 0\) yaitu \(x_1, x_2, x_3, \dots, x_n\). Maka berlaku operasi akar-akar:

\[\sum_{k=1}^{n} x_k = x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}\] \[\sum_{k \lt j} x_k x_j = x_1 x_2 + x_1 x_3 + \dots + x_2 x_3 + x_2 x_4 + \dots + x_{n-1} x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}\] \[\sum_{k \lt j \lt i} x_k x_j x_i = x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + \dots + x_1 x_3 x_4 + \dots + x_{n-2} x_{n-1} x_n = -\frac{a_{n-3}}{a_n}\]

Dan seterusnya:

\[x_1 x_2 x_3 x_4 \dots x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}\]
Contoh 11

Persamaan kuadrat \(x^2 + 5x - 7 = 0\) memiliki akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\). Tentukan nilai dari:

a). \(x_1 + x_2\) b). \(x_1 x_2\) c). \(x_1^2 + x_2^2\) d). \(x_1^3 + x_2^3\)
Solusi:

Dari persamaan \(x^2 + 5x - 7 = 0\), diketahui \(a = 1, b = 5, c = -7\).

a). \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{5}{1} = \mathbf{-5}\)

b). \(x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-7}{1} = \mathbf{-7}\)

c). \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = (-5)^2 - 2(-7) = 25 + 14 = \mathbf{39}\)

d). \(x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1 + x_2) = (-5)^3 - 3(-7)(-5) = -125 - 105 = \mathbf{-230}\)

Contoh 12

Tentukan jumlah dari akar-akar, jumlah dari kombinasi dua-duaan akar-akar, jumlah dari kuadrat akar-akar, dan jumlah dari kebalikan akar-akar dari persamaan \(2x^3 - x + 2 = 0\).

Solusi:

Persamaan: \(2x^3 + 0x^2 - x + 2 = 0\), sehingga \(a_3 = 2, a_2 = 0, a_1 = -1, a_0 = 2\).

1. Jumlah akar-akar: \(x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{a_2}{a_3} = -\frac{0}{2} = \mathbf{0}\)

2. Kombinasi dua-duaan: \(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{a_1}{a_3} = \mathbf{-\frac{1}{2}}\)

3. Jumlah kuadrat akar-akar:

\[x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) = 0^2 - 2\left(-\frac{1}{2}\right) = \mathbf{1}\]

4. Jumlah kebalikan akar-akar:

\[\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3}{x_1 x_2 x_3} = \frac{-1/2}{-2/2} = \frac{-1/2}{-1} = \mathbf{\frac{1}{2}}\]
Contoh 13

Misalkan \(x_1, x_2, x_3\) adalah akar-akar dari \(x^3 - x^2 + 1 = 0\). Tentukan nilai dari \(\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} + \frac{1}{x_3^2}\).

Solusi:

Dari \(x^3 - x^2 + 0x + 1 = 0\):

\[x_1 + x_2 + x_3 = 1, \quad x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = 0, \quad x_1 x_2 x_3 = -1\]

Maka:

\[\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} + \frac{1}{x_3^2} = \frac{(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)^2 - 2 x_1 x_2 x_3 (x_1 + x_2 + x_3)}{(x_1 x_2 x_3)^2}\] \[= \frac{0^2 - 2(-1)(1)}{(-1)^2} = \frac{2}{1} = \mathbf{2}\]
Contoh 14

Misalkan \(m, n, p\) adalah akar-akar dari \(x^3 - x^2 + 2 = 0\). Tentukan nilai dari:

a). \(m^2 + n^2 + p^2\) b). \(m^3 + n^3 + p^3\) d). \(m^4 + n^4 + p^4\)
Solusi:

Dari \(x^3 - x^2 + 0x + 2 = 0 \implies m+n+p = 1\), \(mn+mp+np = 0\), \(mnp = -2\).

a). \(m^2 + n^2 + p^2 = (m+n+p)^2 - 2(mn+mp+np) = 1^2 - 2(0) = \mathbf{1}\)

b). Karena \(x^3 = x^2 - 2\), maka \(m^3+n^3+p^3 = (m^2-2)+(n^2-2)+(p^2-2) = (m^2+n^2+p^2) - 6 = 1 - 6 = \mathbf{-5}\)

d). Kalikan dengan \(x \implies x^4 = x^3 - 2x\). Maka:

\[m^4 + n^4 + p^4 = (m^3+n^3+p^3) - 2(m+n+p) = -5 - 2(1) = \mathbf{-7}\]
Contoh 15

Persamaan suku banyak \(x^4 - 5x^3 - 16x^2 + 41x - 15 = 0\) memiliki akar-akar \(x_1, x_2, x_3,\) dan \(x_4\). Tentukan nilai dari:

a). \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2\) b). \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + \frac{1}{x_4}\)
Solusi:

Berdasarkan Teorema Vieta:

\[\sum x_i = 5, \quad \sum x_i x_j = -16, \quad \sum x_i x_j x_k = -41, \quad x_1 x_2 x_3 x_4 = -15\]

a). \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = (\sum x_i)^2 - 2(\sum x_i x_j) = 5^2 - 2(-16) = 25 + 32 = \mathbf{57}\)

b). \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + \frac{1}{x_4} = \frac{\sum x_i x_j x_k}{x_1 x_2 x_3 x_4} = \frac{-41}{-15} = \mathbf{\frac{41}{15}}\)

Contoh 16

Jika \(m, n,\) dan \(p\) adalah akar-akar dari \(x^3 - x - 1 = 0\) maka tentukan nilai dari \(\frac{1+m}{1-m} + \frac{1+n}{1-n} + \frac{1+p}{1-p}\).

Solusi:

Misalkan variabel baru \(y = \frac{1+x}{1-x} \implies y(1-x) = 1+x \implies x = \frac{y-1}{y+1}\).

Substitusi \(x\) ke persamaan awal:

\[\left(\frac{y-1}{y+1}\right)^3 - \left(\frac{y-1}{y+1}\right) - 1 = 0\]

Kalikan kedua ruas dengan \((y+1)^3\):

\[(y-1)^3 - (y-1)(y+1)^2 - (y+1)^3 = 0\] \[(y^3 - 3y^2 + 3y - 1) - (y^3 + y^2 - y - 1) - (y^3 + 3y^2 + 3y + 1) = 0\] \[-y^3 - 7y^2 + y - 1 = 0 \implies y^3 + 7y^2 - y + 1 = 0\]

Nilai yang dicari adalah jumlah akar-akar \(y_1 + y_2 + y_3 = -\frac{7}{1} = \mathbf{-7}\).

Soal Latihan

  1. Derajat dari \((x^{2021} + 1)^4 (x^3 + 1)^{2021}\) sebagai suku banyak dalam \(x\) sama dengan ...
  2. Berapa sisa ketika \(x^{2021} + 2022\) dibagi oleh \(x + 1\).
  3. Suku banyak \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 2021\) mempunyai sisa berturut-turut \(-2017\) dan \(-2023\) ketika dibagi \((x - 1)\) dan \((x + 1)\). Tentukan nilai \(2a - b\).
  4. Tentukan sisa pembagian \(x^{2021} - x^{2022} + (x + 1)^2\) dibagi oleh \(x^2 - 1\).
  5. Diketahui \(p(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1\). Tentukan sisa pembagian \(p(x^{12})\) dibagi oleh \(p(x)\).
  6. Jika \(f(x)\) dibagi dengan \((x - 2)\) bersisa \(24\), sedangkan jika dibagi \((x + 5)\) bersisa \(10\). Jika dibagi \(x^2 + 3x - 10\) sisanya adalah ...
  7. Diketahui suku banyak \(f(x)\) bersisa \(-2\) bila dibagi \((x + 1)\), bersisa \(3\) jika dibagi \((x - 2)\). Suku banyak \(g(x)\) bersisa \(3\) jika dibagi \((x + 1)\) dan bersisa \(2\) jika dibagi \((x - 2)\). Jika \(h(x) = f(x)g(x)\), maka sisa \(h(x)\) jika dibagi \(x^2 - x - 2\) adalah ...
  8. Suku banyak \(g(x)\) memenuhi sifat \(g(-x) = -g(x)\). Jika \(g(x)\) dibagi oleh \((x - 2)\) berisa \(8\), maka sisa pembagian \(g(x)\) oleh \(x^2 - 4\) adalah ...?
  9. Tentukan sisa \(x^{2021} - 2x^{2020} + x^{2023} - 2x^{2022} + x^2 + x + 1\) dibagi oleh \(x^2 - 3x + 2\).
  10. Suku banyak \(f(x)\) berderajat 3. Jika \(f(x)\) dibagi \(x^2 + 2x - 3\) bersisa \(3x - 4\) dan dibagi \(x^2 - x - 2\) bersisa \(2x + 3\), maka tentukan \(f(x)\).
  11. Tentukan nilai \(k\) untuk suku banyak \(f(x) = x^{2022} + 3x^{2021} + kx + 1\) memiliki faktor \((x - 1)\).
  12. Jika dua faktor dari \(2x^3 - ax + b\) adalah \((x + 2)\) dan \((x - 1)\), maka nilai dari \(|2a - 3b|\) adalah ...?
  13. Jika \(a\) dan \(b\) adalah bilangan bulat dan \(x^2 - x - 1\) adalah faktor dari \(ax^3 + bx^2 + 1\), maka \(b = \dots\)?
  14. Jika \((x - 1)^2\) membagi \(ax^4 + bx^3 + 1\), maka nilai dari \(ab = \dots\)?
  15. Untuk suatu bilangan real \(k\), suku banyak \(8x^3 - 4x^2 - 42x + 45\) habis dibagi oleh \((x - r)^2\). Tentukan nilai dari \([r]\). (bentuk \([r]\) menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan \(k\)).
  16. Diketahui suku banyak monik \(h(x)\) berderajat 2019 dan diketahui nilai: \(h(1) = \frac{1}{2}, h(2) = \frac{2}{3}, h(3) = \frac{3}{4}, \dots, h(2020) = \frac{2020}{2021}\). Tentukan nilai dari \(h(2021)\).
  17. Misalkan \(P(x)\) adalah suku banyak derajat empat sehingga \(P(2) = P(-2) = P(-3) = -1\) dan \(P(1) = P(-1) = 1\). Tentukan nilai dari \(P(0)\).
  18. Diketahui \(f(x)\) suku banyak berderajat 2021 yang memenuhi \(f(1) = 0, f(2) = 1, \dots, f(2^{2021}) = 2021\). Tentukan koefisien dari \(x\) dalam \(f(x)\).
  19. Ada berapa banyak suku banyak \(P(x)\) yang memenuhi kondisi \(P(12) = 12!\) dan \(x P(x - 1) = (x - 12) P(x)\).
  20. Ada berapa banyak suku banyak monik \(h(x)\) sedemikian sehingga \(h(x) \cdot Q(x) = x^4 - 1\) untuk suatu suku banyak \(Q(x)\) yang lain dimana koefisien \(h(x)\) dan \(Q(x)\) adalah bilangan kompleks.
  21. Jika \(x_1, x_2, x_3, \dots, x_{2021}\) adalah akar-akar dari persamaan \(x^{2021} - 2022x + 2 = 0\), maka tentukan nilai \(x_1^{2021} + x_2^{2021} + x_3^{2021} + \dots + x_{2021}^{2021}\).
  22. Polinom \(x^3 - x^2 + x - 2 = 0\) mempunyai tiga pembuat nol yaitu \(a, b,\) dan \(c\). Nilai dari:
    a). \(a + b + c\) b). \(a^2 + b^2 + c^2\) c). \(a^3 + b^3 + c^3\)
  23. Andaikan \(p\) adalah akar dari persamaan \(x^4 + x^2 - 1 = 0\). Tentukan nilai \(p^6 + 2p^4\).
  24. Tentukan banyaknya akar real berbeda dari suku banyak \(x^{11} + x^{10} + x^9 + \dots + x^2 + x + 1\).
  25. Misalkan \(f(x) = (x - 1) + (x - 2)^2 + (x - 3)^3 + \dots + (x - 9)^9 + (x - 10)^{10}\). Tentukan jumlah semua akar-akar dari \(f(x)\).
  26. Jika \(p, q, r,\) dan \(k\) adalah akar-akar dari \(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0\). Tentukan nilai dari \(p^{2021} + q^{2021} + r^{2021} + k^{2021}\).
  27. Jika \(a, b, c\) adalah solusi dari persamaan \(x^3 - 2x^2 + 3x + 2021 = 0\), maka nilai dari \(a(b^2 + c^2) + b(a^2 + c^2) + c(a^2 + b^2)?\)
  28. Akar-akar \(x^3 + 3x^2 + 4x - 11 = 0\) adalah \(a, b,\) dan \(c\). Persamaan pangkat tiga dengan akar-akar \(a + b\), \(a + c\), dan \(b + c\) adalah \(x^3 + rx^2 + sx + t = 0\). Tentukan nilai \(t\).
  29. Suku banyak \(f(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + c\) dan \(f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5)\). Tentukan nilai \(a\).
  30. Misalkan \(P_0(x) = x^3 + 313x^2 - 77x - 8\) dan \(P_n(x) = P_{n-1}(x - n)\). Tentukan koefisien dari \(P_{20}(x)\).
  31. Akar-akar persamaan \(x^4 - x^3 - x^2 - 1 = 0\) adalah \(a, b, c,\) dan \(d\). Jika \(P(x) = x^6 - x^5 - x^3 - x^2 - x\), maka nilai \(P(a) + P(b) + P(c) + P(d) = \dots?\)
  32. Diberikan suku banyak monik \(f(x)\) berderajat \(n\) dengan koefisien-koefisiennya semua bilangan bulat. Ada 4 bilangan bulat berbeda \(a, b, c,\) dan \(d\) yang memenuhi \(f(a) = f(b) = f(c) = f(d) = 5\). Tunjukkan bahwa tidak ada bilangan bulat \(k\) yang memenuhi \(f(k) = 8\).

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA

       Demikian pembahasan materi Suku Banyak Bagian 2 Olim Matik SMA dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.