5. Suku Banyak (Polinomial) Bagian 1
A). Pengertian Suku Banyak
Misalkan terdapat bilangan real $x$ dan bilangan cacah $n$, suku banyak dengan variabel $x$ berderajat $n$ berbentuk:
dengan $a_n \neq 0$.
Berikut beberapa contoh suku banyak:
- a). $x^3 - 2x^2 + 5x + 1$ (berderajat $3$)
- b). $2x + 4$ (berderajat $1$)
- c). $5x^8 - 2x^3 + 3$ (berderajat $8$)
- d). $x^3 - 2x^5 + 6$ (berderajat $5$)
B). Kesamaan Suku Banyak
Misalkan terdapat dua suku banyak yaitu:
$f(x)$ sama dengan $g(x)$, ditulis $f(x) \equiv g(x)$, jika $a_n = b_n, a_{n-1} = b_{n-1}, \dots, a_1 = b_1,$ dan $a_0 = b_0$.
Diketahui kesamaan dua suku banyak:
$$p(x + 1) + q(x - 1) \equiv 7x - 3$$
Nilai $p + 2q = \dots?$
Jabarkan ruas kiri kesamaan:
$$p(x + 1) + q(x - 1) = px + p + qx - q = (p + q)x + (p - q)$$
Samakan koefisien dengan ruas kanan $(7x - 3)$:
1) $p + q = 7$
2) $p - q = -3$
Jumlahkan kedua persamaan:
$$2p = 4 \implies p = 2$$
Substitusi $p = 2$ ke $p + q = 7 \implies 2 + q = 7 \implies q = 5$.
Maka, nilai $p + 2q = 2 + 2(5) = 2 + 10 = 12$.
Diketahui kesamaan suku banyak:
$$x^6 + 1 \equiv (x^2 + 1)(x^2 + ax + 1)(x^2 + bx + 1)$$
Nilai dari $ab = \dots?$
Faktorkan bentuk $x^6 + 1$ menggunakan rumus jumlah kubik $(A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2))$:
$$x^6 + 1 = (x^2)^3 + 1^3 = (x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)$$
Sehingga kesamaan menjadi:
$$(x^2 + 1)(x^2 + ax + 1)(x^2 + bx + 1) \equiv (x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)$$
$$(x^2 + ax + 1)(x^2 + bx + 1) \equiv x^4 - x^2 + 1$$
Jabarkan perkalian di ruas kiri:
$$(x^2 + ax + 1)(x^2 + bx + 1) = x^4 + (a+b)x^3 + (ab+2)x^2 + (a+b)x + 1$$
Samakan koefisien suku $x^2$ dengan $x^4 - x^2 + 1$ (dimana koefisien $x^2$ adalah $-1$):
$$ab + 2 = -1 \implies ab = -3$$
C). Nilai Suku Banyak
Untuk menentukan nilai suku banyak, cukup substitusi nilai variabel yang diminta.
Jika $f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 3x + 2$, maka $f(5) = \dots?$
Substitusikan nilai $x = 5$ ke dalam fungsi $f(x)$:
$$f(5) = 2(5)^3 + 4(5)^2 - 3(5) + 2$$
$$f(5) = 2(125) + 4(25) - 15 + 2$$
$$f(5) = 250 + 100 - 15 + 2 = 337$$
D). Pembagian Suku Banyak
Misalkan terdapat suku banyak $f(x)$ dibagi oleh $p(x)$ memberikan hasil $H(x)$ dan bersisa $r(x)$, dapat dituliskan:
Untuk menentukan hasil dan sisa dapat menggunakan pembagian bersusun.
Tentukan hasil bagi dan sisanya jika $4x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x - 7$ dibagi $x^2 + 4x - 2$.
Proses pembagian bersusun (porogapit):
| $4x^2 - 13x + 58$ | |
| $x^2 + 4x - 2$ | $4x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x - 7$ |
| $4x^4 + 16x^3 - 8x^2$− | |
| $-13x^3 + 6x^2 + x - 7$ | |
| $-13x^3 - 52x^2 + 26x$− | |
| $58x^2 - 25x - 7$ | |
| $58x^2 + 232x - 116$− | |
| $-257x + 109$ |
Dari pembagian bersusun di atas diperoleh:
Hasil bagi $H(x)$: $4x^2 - 13x + 58$
Sisa $r(x)$: $-257x + 109$
Jika $x^5 - 3x^2 + 2$ dibagi $x^2 + 1$ menghasilkan $x^3 + ax^2 + bx + c$ dan bersisa $mx + n$, maka tentukan nilai dari $a + b + c + m + n$.
Proses pembagian bersusun (porogapit):
| $x^3 - x - 3$ | |
| $x^2 + 1$ | $x^5 - 3x^2 + 2$ |
| $x^5 + x^3$− | |
| $-x^3 - 3x^2 + 2$ | |
| $-x^3 - x$− | |
| $-3x^2 + x + 2$ | |
| $-3x^2 - 3$− | |
| $x + 5$ |
Dari pembagian bersusun di atas diperoleh:
Hasil bagi $H(x) = x^3 - x - 3 = x^3 + 0x^2 - x - 3 \implies a = 0, b = -1, c = -3$
Sisa $r(x) = x + 5 = 1x + 5 \implies m = 1, n = 5$
Sehingga nilai:
$$a + b + c + m + n = 0 + (-1) + (-3) + 1 + 5 = 2$$
Soal Latihan:
-
1).
Perhatikan kesamaan suku banyak berikut:
$$x^4 + 2x^3 + kx^2 - x + 2 \equiv (x^2 + ax + 1)(x^2 + bx + 2)$$
Berapakah nilai $k$ yang memenuhi. -
2).
Diketahui suku banyak berikut:
$$f(x) = (x^3 - x^2 - 5x - 2)(x^4 + x^3 + mx^2 - 5x + 2)$$
$$g(x) = x^7 - 4x^5 - 14x^4 - 5x^3 + 19x^2 - 4$$
Jika $f(x) \equiv g(x)$, maka nilai $m = \dots?$ - 3). Misalkan $f(x) = ax^7 + bx^3 + cx - 2015$, dimana $a, b,$ dan $c$ konstanta. Jika $f(-7) = 5$, maka $f(7) = \dots?$
-
4).
Diketahui suku banyak berikut:
$$P(x^2 + 1) = x^4 + 5x^2 + 3$$
Tentukan bentuk $P(x^2 - 1)$. - 5). Diketahui $f(x) = (x^5 - 1)(x^3 + 1)$, $g(x) = (x^2 - 1)(x^2 - x + 1)$ dan $h(x)$ adalah suku banyak sehingga $f(x) = g(x) \cdot h(x)$. Tentukan nilai $h(1)$.
-
6).
Tentukan jumlah dari semua koefisien dari suku banyak setelah dijabarkan dan dikelompokkan dalam suku yang sejenis pada perkalian berikut:
$$(2 - 2x^2 + x^3)^{2021} \cdot (1 - x^5 - x^6)^{2022}$$
- 7). Tentukan hasil bagi dan sisa jika $f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x - 5$ dibagi $x - 2$.
- 8). Tentukan hasil bagi dan sisa jika $x^5 + x^4 + 1$ dibagi oleh $x^2 + 1$.
- 9). Diketahui $Q(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^{15}$. Jika $Q(x)$ dapat dinyatakan sebagai bentuk $(x^a + 1)(x^b + 1)(x^c + 1)(x^d + 1)$, dimana $a > b > c > d$ dan $a, b, c,$ dan $d$ adalah bilangan bulat positif, maka nilai dari $a^2 + b^3 + c^6 + d^{2021} = \dots?$
Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA
Demikian pembahasan materi Suku Banyak Bagian 1 Olim Matik SMA dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
