Persamaan Nilai Mutlak Olim SMA

         Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Persamaan Nilai Mutlak Olim Matik SMA. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Persamaan Nilai Mutlak Olim Matik SMA Level SMA Pemula. Tentuk masih ada banyak lagi bentuk Persamaan Nilai Mutlak lainnya pada materi olim matik SMA yang bisa sahabat koma pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Persamaan Nilai Mutlak ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba, setelah dicoba, silahkan sahabat koma cocokkan dengan alternatif penyelesaian yang ada dibagian bawahnya.

Persamaan Nilai Mutlak

A). Definisi nilai mutlak

$$|A| = \begin{cases} A, & \text{jika } A \ge 0 \\ -A, & \text{jika } A < 0 \end{cases}$$

B). Sifat-sifat nilai mutlak

Beberapa sifat nilai mutlak yaitu:

1. $|x| \ge 0$
2. $|x| = |-x|$
3. $-|x| \le x \le |x|$
4. $|a| = |b|$ jika dan hanya jika $a = b$ atau $a = -b$
5. $|x^n| = |x|^n$
6. $|ab| = |a||b|$
7. $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$
8. $|a \pm b| \le |a| + |b|$
9. $|a| = \sqrt{a^2}$

Contoh 1:

Apakah ada bilangan real $x$ sedemikian hingga $\frac{|x-|x||}{x}$ adalah bilangan positif?

Solusi:

Kita uji berdasarkan domain bilangan real $x$:

• Jika $x > 0$, maka $|x| = x$, sehingga $\frac{|x - x|}{x} = \frac{0}{x} = 0$ (bukan bilangan positif).
• Jika $x < 0$, maka $|x| = -x$, sehingga $\frac{|x - (-x)|}{x} = \frac{|2x|}{x}$. Karena $x < 0$, maka $|2x| = -2x$, sehingga $\frac{-2x}{x} = -2$ (bukan bilangan positif).
• Jika $x = 0$, penyebut bernilai $0$ sehingga bentuk tidak terdefinisi.

Kesimpulan: Tidak ada bilangan real $x$ yang memenuhi.

Contoh 2:

Jika $x < \frac{3}{2}$, maka bentuk sederhana dari $\sqrt{4x^2 - 12x + 9}$ adalah ...?

Solusi:

Ubah bentuk di dalam akar menjadi kuadrat sempurna:

$$\sqrt{4x^2 - 12x + 9} = \sqrt{(2x - 3)^2} = |2x - 3|$$

Karena $x < \frac{3}{2}$, maka $2x < 3 \iff 2x - 3 < 0$. Sesuai definisi nilai mutlak:

$$|2x - 3| = -(2x - 3) = 3 - 2x$$

Contoh 3:

Tentukan kondisi agar kesamaan berikut berlaku: $$\left|\frac{a-b}{a}\right| = \frac{b-a}{a}$$

Solusi:

Perhatikan bahwa $\frac{b-a}{a} = -\left(\frac{a-b}{a}\right)$. Misalkan $A = \frac{a-b}{a}$, maka persamaan menjadi:

$$|A| = -A$$

Persamaan $|A| = -A$ berlaku jika dan hanya jika $A \le 0$ dan penyebut $a \neq 0$:

$$\frac{a-b}{a} \le 0 \quad (a \neq 0)$$

Hal ini terjadi apabila $a$ dan $(a-b)$ memiliki tanda berbeda atau $(a-b) = 0$.

Kondisi yang memenuhi: $0 < a \le b$ atau $b \le a < 0$.

C). Menyelesaikan persamaan nilai mutlak

Beberapa bentuk persamaan nilai mutlak dan penyelesaiannya, yaitu:

1. Bentuk $|f(x)| = c$ memiliki penyelesaian $f(x) = c$ atau $f(x) = -c$. Penyelesaiannya ada jika $c \ge 0$.
2. Bentuk $|f(x)| = g(x)$, kita gunakan definisi nilai Mutlak.
3. Bentuk $|f(x)| = |g(x)|$, bisa langsung dikuadratkan menggunakan sifat nilai mutlak, atau bisa juga menggunakan definisi nilai mutlak.
4. Bentuk $|f(x)| + |g(x)| = e$, kita gunakan definisi nilai mutlak.

Contoh 4:

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan:

a). $|x - 2| = 8$

b). $|x + 2| + |3x| = 14$

c). $|x - |3x + 1|| = 4$

Solusi:

a). $|x - 2| = 8$

$$x - 2 = 8 \implies x = 10 \quad \text{atau} \quad x - 2 = -8 \implies x = -6$$

Himpunan Penyelesaian $HP = \{-6, 10\}$.

b). $|x + 2| + |3x| = 14$

Pembuat nol nilai mutlak: $x = -2$ dan $x = 0$.

• Kasus $x < -2$: $-(x+2) - 3x = 14 \implies -4x = 16 \implies x = -4$ (Memenuhi)
• Kasus $-2 \le x < 0$: $(x+2) - 3x = 14 \implies -2x = 12 \implies x = -6$ (Tidak Memenuhi)
• Kasus $x \ge 0$: $(x+2) + 3x = 14 \implies 4x = 12 \implies x = 3$ (Memenuhi)

Himpunan Penyelesaian $HP = \{-4, 3\}$.

c). $|x - |3x + 1|| = 4$

Gunakan sifat $|A| = 4 \implies A = 4 \text{ atau } A = -4$:

1. $x - |3x + 1| = 4 \iff |3x + 1| = x - 4$ (Syarat $x \ge 4$).
   • $3x + 1 = x - 4 \implies x = -5/2$ (TM)
   • $3x + 1 = -(x - 4) \implies x = 3/4$ (TM)
2. $x - |3x + 1| = -4 \iff |3x + 1| = x + 4$ (Syarat $x \ge -4$).
   • $3x + 1 = x + 4 \implies 2x = 3 \implies x = 3/2$ (Memenuhi)
   • $3x + 1 = -(x + 4) \implies 4x = -5 \implies x = -5/4$ (Memenuhi)

Himpunan Penyelesaian $HP = \left\{-\frac{5}{4}, \frac{3}{2}\right\}$.

Contoh 5:

Jika $||4m + 5| - b| = 6$ adalah persamaan dalam $m$, dan persamaan tersebut memiliki 3 solusi berbeda, tentukan nilai bilangan rasional $b$.

Solusi:

Misalkan $y = |4m + 5| \ge 0$. Persamaan menjadi $|y - b| = 6 \implies y = b + 6$ atau $y = b - 6$.

Untuk $y = |4m + 5|$:

• Jika $y > 0$, menghasilkan 2 solusi $m$.
• Jika $y = 0$, menghasilkan 1 solusi $m$.
• Jika $y < 0$, tidak ada solusi $m$.

Agar diperoleh total 3 solusi, haruslah salah satu nilai $y = 0$ dan nilai $y$ yang lain $> 0$. Karena $b + 6 > b - 6$, maka haruslah $b - 6 = 0 \implies b = 6$.

Sehingga $y_1 = 12 > 0$ (2 solusi) dan $y_2 = 0$ (1 solusi). Total 3 solusi.

Jadi, nilai $b = 6$.

Contoh 6:

Jika $|x + 1| + (y + 2)^2 = 0$ dan $ax - 3ay = 1$, maka tentukan nilai dari $a$?

Solusi:

Karena $|x + 1| \ge 0$ dan $(y + 2)^2 \ge 0$, jumlah dua suku bernilai $0$ jika dan hanya jika keduanya bernilai $0$:

• $|x + 1| = 0 \implies x = -1$
• $(y + 2)^2 = 0 \implies y = -2$

Substitusikan ke $ax - 3ay = 1$:

$$a(-1) - 3a(-2) = 1 \implies -a + 6a = 1 \implies 5a = 1 \implies a = \frac{1}{5}$$

Soal Latihan

• 1). Untuk $a, b, c$ bilangan real tak nol, tentukan semua kemungkinan nilai dari $\frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} + \frac{c}{|c|} + \frac{abc}{|abc|}$?
• 2). Tentukan penyelesaian dari setiap persamaan berikut:
  a). $(2021x + 4042)^2 + \left|\frac{1}{3}y - 2\right| + |z - 1| = 0$.
  b). $|x - 3y| + (y + z - 2021)^2 = -\sqrt{z - 2020}$.
• 3). Sederhanakan setiap bentuk mutlak berikut:
  a). $|x - 2| + 2|x|$ untuk interval $1 < x < 3$.
  b). $||x + 2| - 7| - |7 - |x - 5||$ untuk $-2 < x < 5$
• 4). Ada berapa banyak nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|x - 2| + |x - 3| = 1$?
• 5). Jika $|x| + x + y = 10$ dan $x + |y| - y = 12$, maka nilai dari $x + y$ adalah ...
• 6). Banyaknya bilangan bulat $x$ berbeda yang memenuhi persamaan $|x - |2x + 1|| = 3$ adalah ...
• 7). Diberikan fungsi $f(x) = ||x - 2| - a| - 3$. Jika grafik $f$ memotong sumbu X di tiga titik, maka nilai $a$ sama dengan ...
• 8). Tentukan nilai minimum dari $|x - p| + |x - 15| + |x - p - 15|$ untuk suatu nilai $x$ dalam batas $p \le x \le 15$ dimana $0 < p < 15$.
• 9). Grafik $y = -|x - a| + b$ dan $y = |x - c| + d$ berpotongan di titik $(2, 5)$ dan $(8, 3)$. Nilai $a + c = \dots$?
• 10). $x_i$ adalah bilangan real yang memenuhi $-1 < x_i < 1$ dan $|x_1| + |x_2| + \dots + |x_n| = 2025 + |x_1 + x_2 + \dots + x_n|$. Tentukan nilai terkecil $n$ yang memenuhi.
• 11). Diketahui $|x + 2015| + |x - 2014| - |2x - 4030| = k$. Tentukan nilai terbesar dari $k$?
• 12). Diketahui $a, b, c$ bilangan bulat dan memenuhi $|a - b|^{2025} = 1 - |c - a|^{2025}$. Tentukan nilai $|c - a| + |a - b| + |b - c|$?
• 13). Jika dua bilangan real $x$ dan $y$ yang memenuhi $|x + y| = x - y$. Tentukan nilai dari $(xy)^{2028} - xy + 5$?
• 14). Diketahui $x = 2030$. Tentukan nilai dari $|2x^3 - 3x^2 - 2x + 1| - |2x^3 - 3x^2 - 3x - 2035|$?
• 15). Diketahui $a, b$ merupakan dua konstanta dengan $|a| > 0$. Jika persamaan $||x - a| - b| = 3$ mempunyai tiga solusi berbeda untuk $x$, tentukan nilai dari $b$.
• 16). Diketahui bilangan real $a, b, c$ tak nol dan $a + b + c = 0$. Jika $x = \frac{|a|}{b+c} + \frac{|b|}{a+c} + \frac{|c|}{a+b}$, maka tentukan nilai dari $x^{2024} - 2025x^{2035} + 2022x^{2037}$?
• 17). Berapa banyak pasangan bilangan bulat $(x, y)$ yang memenuhi persamaan $|xy| + |x - y| = 1$?
• 18). Jika persamaan $\frac{p}{2027}|x| - x - 2027 = 0$ mempunyai solusi bilangan real $x$, maka tentukan interval nilai $p$ yang memenuhi.
• 19). Fungsi $f(x)$ memenuhi persamaan $f(3x) = 3f(x)$ untuk semua bilangan real $x$ dan $f(x) = 1 - |x - 2|$ untuk $1 \le x \le 3$. Tentukan bilangan positif $x$ terkecil yang memenuhi $f(x) = f(2001)$.
• 20). Ada berapa banyak tripel bilangan bulat $(a, b, c)$ yang memenuhi $|a + b| + c = 19$ dan $ab + |c| = 97$?

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA

       Demikian pembahasan materi Persamaan Nilai Mutlak Olim Matik SMA dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.