Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya.
Pada artikel ini kita akan membahas Persamaan Logaritma Olim Matik SMA. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa
digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Persamaan Logaritma Olim Matik SMA Level SMA Pemula.
Tentuk masih ada banyak
lagi bentuk Persamaan Logaritma lainnya pada materi olim matik SMA yang bisa sahabat koma pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam
menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Persamaan Logaritma ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba, setelah
dicoba, silahkan sahabat koma cocokkan dengan alternatif penyelesaian yang ada dibagian bawahnya.
2) $2\log x + \log y = 1$
Eliminasi kedua persamaan diperoleh $5\log y = 1 \implies \log y = \frac{1}{5}$ dan $\log x = \frac{2}{5}$.
Maka, $\log(xy) = \log x + \log y = \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \mathbf{\frac{3}{5}}$.
$${}^x\log(2x - 3) - {}^x\log(x + 6) + {}^x\log(x + 2) = 1$$ $${}^x\log\left(\frac{(2x - 3)(x + 2)}{x + 6}\right) = {}^x\log x \implies \frac{(2x - 3)(x + 2)}{x + 6} = x$$ $$(2x - 3)(x + 2) = x(x + 6) \implies 2x^2 + x - 6 = x^2 + 6x \implies x^2 - 5x - 6 = 0$$ $$(x - 6)(x + 1) = 0 \implies x = 6 \text{ atau } x = -1$$ Syarat basis & numerus: $x > \frac{3}{2}$ dan $x \neq 1$. Nilai yang memenuhi adalah $x = 6$.
Jadi, $\mathbf{HP = \{6\}}$.
Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA
Demikian pembahasan materi Persamaan Logaritma Olim Matik SMA dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
Persamaan Logaritma
A). Definisi Logaritma
$${}^a\log b = c \leftrightarrow b = a^c \text{ atau } a^c = b$$
Keterangan:
$a = \text{basis / bilangan pokok}$ dan $b = \text{numerus}$
Syarat: $a > 0$, $a \neq 1$, dan $b > 0$
Sifat dasar dari definisi logaritma:
$${}^a\log 1 = 0 \quad \text{dan} \quad {}^a\log a = 1$$
$${}^a\log 1 = 0 \quad \text{dan} \quad {}^a\log a = 1$$
Catatan penulisan logaritma:
- $\log b = {}^{10}\log b$
- ${}^a\log b = \log_a b$
- ${}^a\log^n b = ({}^a\log b)^n$
Contoh 1:
Hitunglah hasil bentuk logaritma berikut:
a). ${}^2\log 8$
b). ${}^3\log 9$
c). $\log 100$
d). ${}^5\log \frac{1}{5}$
e). ${}^7\log 1$
f). ${}^9\log 9$
g). ${}^5\log^3 25$
h). $\log_2 32$
Solusi Contoh 1:
a). ${}^2\log 8 = {}^2\log 2^3 = \mathbf{3}$
b). ${}^3\log 9 = {}^3\log 3^2 = \mathbf{2}$
c). $\log 100 = {}^{10}\log 10^2 = \mathbf{2}$
d). ${}^5\log \frac{1}{5} = {}^5\log 5^{-1} = \mathbf{-1}$
e). ${}^7\log 1 = \mathbf{0}$
f). ${}^9\log 9 = \mathbf{1}$
g). ${}^5\log^3 25 = ({}^5\log 25)^3 = 2^3 = \mathbf{8}$
h). $\log_2 32 = {}^2\log 32 = {}^2\log 2^5 = \mathbf{5}$
B). Sifat-Sifat Logaritma
(1). $${}^a\log b + {}^a\log c = {}^a\log(b \cdot c)$$
(2). $${}^a\log b - {}^a\log c = {}^a\log \left(\frac{b}{c}\right)$$
(3). $${}^{a^m}\log b^n = \frac{n}{m} \cdot {}^a\log b$$
Akibat:
- (a). ${}^a\log b^n = n \cdot {}^a\log b$
- (b). ${}^{a^m}\log b = \frac{1}{m} \cdot {}^a\log b$
- (c). ${}^a\log b = {}^{a^n}\log b^n$
(4). $${}^a\log b = \frac{{}^p\log b}{{}^p\log a}$$
Akibat:
- (a). ${}^a\log b = \frac{1}{{}^b\log a}$
- (b). ${}^a\log b \cdot {}^b\log c = {}^a\log c$
(5). Sifat Pangkat Logaritma:
- (i). $a^{{}^a\log b} = b$
- (ii). $a^{{}^b\log c} = c^{{}^b\log a}$
Contoh 2:
Hitunglah bentuk logaritma berikut:
a). ${}^6\log 4 + {}^6\log 9$
b). ${}^5\log 100 - {}^5\log 4$
c). ${}^4\log 32$
d). ${}^{81}\log 3$
e). ${}^5\log 625$
f). ${}^{25}\log 125$
g). ${}^3\log 5 \cdot {}^5\log 27$
h). $3^{{}^3\log 15}$
i). $3^{{}^5\log 25}$
Solusi Contoh 2:
a). ${}^6\log (4 \cdot 9) = {}^6\log 36 = \mathbf{2}$
b). ${}^5\log \left(\frac{100}{4}\right) = {}^5\log 25 = \mathbf{2}$
c). ${}^{2^2}\log 2^5 = \frac{5}{2} \cdot {}^2\log 2 = \mathbf{\frac{5}{2}}$
d). ${}^{3^4}\log 3^1 = \frac{1}{4} \cdot {}^3\log 3 = \mathbf{\frac{1}{4}}$
e). ${}^5\log 5^4 = \mathbf{4}$
f). ${}^{5^2}\log 5^3 = \frac{3}{2} \cdot {}^5\log 5 = \mathbf{\frac{3}{2}}$
g). ${}^3\log 27 = {}^3\log 3^3 = \mathbf{3}$
h). $3^{{}^3\log 15} = \mathbf{15}$
i). $3^{{}^5\log 5^2} = 3^2 = \mathbf{9}$
Contoh 3:
Jika ${}^5\log 3 = a$ dan ${}^3\log 4 = b$, maka ${}^4\log 15 = \dots$?
Solusi Contoh 3:
$${}^4\log 15 = \frac{{}^3\log 15}{{}^3\log 4} = \frac{{}^3\log(3 \cdot 5)}{b} = \frac{{}^3\log 3 + {}^3\log 5}{b}$$
Karena ${}^5\log 3 = a$, maka ${}^3\log 5 = \frac{1}{a}$.
$${}^4\log 15 = \frac{1 + \frac{1}{a}}{b} = \frac{\frac{a+1}{a}}{b} = \mathbf{\frac{a+1}{ab}}$$
C). Persamaan Logaritma
Beberapa bentuk persamaan logaritma:
- ${}^a\log f(x) = {}^a\log g(x) \rightarrow f(x) = g(x)$
- ${}^a\log f(x) = {}^b\log f(x) \rightarrow f(x) = 1$
- $a({}^m\log f(x))^2 + b({}^m\log f(x)) + c = 0 \quad (\text{Misalkan: } {}^m\log f(x) = p)$
Catatan: Harus selalu memenuhi syarat numerus ($f(x) > 0, g(x) > 0$) dan basis ($a > 0, a \neq 1$).
Contoh 4:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut:
- a). ${}^3\log(x^2 - x + 2) = {}^3\log(-2x + 4)$
- b). ${}^5\log(x^2 - 2x - 14) = {}^2\log(x^2 - 2x - 14)$
- c). ${}^2\log^2(x - 1) + {}^2\log(x - 1)^3 + 2 = 0$
Solusi Contoh 4:
a). $x^2 - x + 2 = -2x + 4 \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x+2)(x-1) = 0 \implies x = -2 \text{ atau } x = 1$.
Syarat numerus: $-2x + 4 > 0 \implies x < 2$. Kedua nilai memenuhi. Jadi, $\mathbf{HP = \{-2, 1\}}$.
b). Karena basis berbeda, numerus harus sama dengan $1$:
$x^2 - 2x - 14 = 1 \implies x^2 - 2x - 15 = 0 \implies (x-5)(x+3) = 0 \implies x = 5 \text{ atau } x = -3$.
Syarat numerus $1 > 0$ (terpenuhi). Jadi, $\mathbf{HP = \{-3, 5\}}$.
c). Gunakan sifat logaritma: $({}^2\log(x-1))^2 + 3 \cdot {}^2\log(x-1) + 2 = 0$.
Misal $p = {}^2\log(x-1) \implies p^2 + 3p + 2 = 0 \implies (p+1)(p+2) = 0 \implies p = -1 \text{ atau } p = -2$.
* $p = -1 \implies x - 1 = 2^{-1} = \frac{1}{2} \implies x = \frac{3}{2}$
* $p = -2 \implies x - 1 = 2^{-2} = \frac{1}{4} \implies x = \frac{5}{4}$
Syarat $x - 1 > 0 \implies x > 1$ (kedua nilai memenuhi). Jadi, $\mathbf{HP = \left\{\frac{5}{4}, \frac{3}{2}\right\}}$.
Contoh 5:
Jika $\log(xy^3) = 1$ dan $\log(x^2 y) = 1$, maka $\log(xy) = \dots$?
Solusi Contoh 5:
1) $\log x + 3\log y = 1$2) $2\log x + \log y = 1$
Eliminasi kedua persamaan diperoleh $5\log y = 1 \implies \log y = \frac{1}{5}$ dan $\log x = \frac{2}{5}$.
Maka, $\log(xy) = \log x + \log y = \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \mathbf{\frac{3}{5}}$.
Contoh 6:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:
$$\frac{{}^2\log(2x - 3)}{{}^2\log x} - {}^x\log(x + 6) + \frac{1}{{}^{x+2}\log x} = 1$$Solusi Contoh 6:
Gunakan sifat perubahan basis:$${}^x\log(2x - 3) - {}^x\log(x + 6) + {}^x\log(x + 2) = 1$$ $${}^x\log\left(\frac{(2x - 3)(x + 2)}{x + 6}\right) = {}^x\log x \implies \frac{(2x - 3)(x + 2)}{x + 6} = x$$ $$(2x - 3)(x + 2) = x(x + 6) \implies 2x^2 + x - 6 = x^2 + 6x \implies x^2 - 5x - 6 = 0$$ $$(x - 6)(x + 1) = 0 \implies x = 6 \text{ atau } x = -1$$ Syarat basis & numerus: $x > \frac{3}{2}$ dan $x \neq 1$. Nilai yang memenuhi adalah $x = 6$.
Jadi, $\mathbf{HP = \{6\}}$.
Contoh 7:
Jika $\log p + \log q = \log(p + q)$, maka $p$ dinyatakan dalam $q$ adalah $p = \dots$?
Solusi Contoh 7:
$$\log(p \cdot q) = \log(p + q) \implies pq = p + q \implies pq - p = q \implies p(q - 1) = q \implies \mathbf{p = \frac{q}{q - 1}}$$
Contoh 8:
Untuk semua bilangan bulat positif $n$, misalkan $f(n) = {}^{2002}\log n^2$. Tentukan nilai $f(11) + f(13) + f(14)$?
Solusi Contoh 8:
$$f(n) = 2 \cdot {}^{2002}\log n$$
$$f(11) + f(13) + f(14) = 2 \left( {}^{2002}\log 11 + {}^{2002}\log 13 + {}^{2002}\log 14 \right)$$
$$= 2 \cdot {}^{2002}\log(11 \times 13 \times 14) = 2 \cdot {}^{2002}\log(2002) = 2(1) = \mathbf{2}$$
Soal Latihan
1).
Untuk semua bilangan bulat $n$ lebih dari $1$, didefinisikan $a_n = ({}^n\log 2002)^{-1}$. Misalkan $b = a_2 + a_3 + a_4 + a_5$ dan $c = a_{10} + a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14}$. Tentukan nilai $b - c$?
2).
Jika $\frac{{}^b\log a}{{}^c\log a} = \frac{1}{2}$ dan $\frac{b}{c} = c^k$, maka $k = \dots$?
3).
Berapakah nilai $x$ yang memenuhi persamaan:
$${}^4\log({}^2\log x) + {}^2\log({}^4\log x) = 2$$
4).
Tentukan nilai $a$ pada persamaan:
$${}^a\log(10) + {}^a\log(10^2) + \dots + {}^a\log(10^{10}) = 110$$
5).
Misalkan $a$ dan $x$ adalah bilangan real positif dan memenuhi ${}^a\log x + {}^x\log a = 3$. Tentukan nilai dari $({}^a\log x)^2 + ({}^x\log a)^2$?
6).
Hitunglah ${}^2\log 3 \cdot {}^3\log 4 \cdot {}^4\log 5 \dots {}^{1023}\log 1024$
7).
Jika $x$ dan $y$ real positif dan memenuhi syarat logaritma, maka nilai terkecil non negatif dari ${}^x\log y + {}^y\log x$ adalah ...
8).
Misalkan $3^a = 4$, $4^b = 5$, $5^c = 6$, $6^d = 7$, $7^e = 8$, dan $8^f = 9$. Tentukan nilai dari $abcdef$?
9).
Jika bilangan real $x$ dan $y$ memenuhi ${}^8\log x + {}^4\log y^2 = 5$ dan ${}^8\log y + {}^4\log x^2 = 7$, maka $xy = \dots$?
10).
Tentukan nilai dari
$$\frac{1}{{}^2\log 100!} + \frac{1}{{}^3\log 100!} + \frac{1}{{}^4\log 100!} + \dots + \frac{1}{{}^{100}\log 100!}$$
Dengan $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \dots n$
11).
Diketahui $x, y,$ dan $z$ adalah bilangan real lebih dari $1$ dan $w$ adalah bilangan real positif. Jika ${}^x\log w = 24$, ${}^y\log w = 40$, dan ${}^{xyz}\log w = 12$, tentukan nilai ${}^z\log w$?
12).
Diberikan ${}^2\log({}^8\log x) = {}^8\log({}^2\log x)$. Tentukan nilai dari $({}^2\log x)^2$.
13).
Tentukan nilai dari:
$$\frac{{}^2\log 3 \cdot {}^4\log 5 \cdot {}^6\log 7}{{}^4\log 3 \cdot {}^6\log 5 \cdot {}^8\log 7}$$
14).
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan:
$${}^4\log \sqrt{x^3 + 3} \cdot {}^x\log(16x) = 7$$
15).
Tentukan nilai $k$ sehingga persamaan $\log(kx) = 2\log(x + 1)$ mempunyai tepat satu akar real.
16).
Jumlah dari semua bilangan bulat $x$ yang memenuhi ${}^2\log(x^2 - 4x - 1)$ merupakan bilangan bulat adalah ...?
17).
Ada berapa banyak bilangan prima yang merupakan faktor dari $N$ dan memenuhi ${}^2\log({}^3\log({}^5\log({}^7\log({}^{2027}\log N)))) = 2029$?
18).
Penyelesaian dari sistem persamaan:
$${}^{225}\log x + {}^{64}\log y = 4$$
$${}^x\log 225 - {}^y\log 64 = 1$$
adalah $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$. Nilai dari ${}^{30}\log(x_1 y_1 x_2 y_2)$ adalah ...?
19).
Persamaan
$$\frac{{}^{12}\log({}^8\log({}^4\log x))}{{}^5\log({}^4\log({}^y\log({}^2\log x)))} = 0$$
memiliki sebuah solusi $x$ ketika $1 < y < b, y \neq a$. Tentukan pasangan $(a, b)$ dimana $b$ sebesar mungkin.
20).
Didefinisikan barisan $s_1 = 2^{2006}$ dan untuk $n \ge 1$,
$$s_{n+1} = \begin{cases} {}^2\log s_n , & \text{jika } s_n > 0 \\ 0 , & \text{jika } s_n \le 0 \end{cases}$$
Tentukan nilai terkecil bilangan bulat $n$ sehingga $s_n < 1$.
21).
Untuk bilangan asli $n$ didefinisikan:
$$f(n) = \begin{cases} {}^8\log n , & \text{jika } {}^8\log n \text{ bilangan rasional} \\ 0 , & \text{untuk lainnya} \end{cases}$$
Jika $A = \sum_{n=1}^{1997} f(n)$, maka nilai $3A = \dots$?
Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA
Demikian pembahasan materi Persamaan Logaritma Olim Matik SMA dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
