Persamaan Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu. Dari definisi di atas, yang dimaksud dengan titik tetap adalah pusat lingkaran, dan jaraknya disebut jari-jari lingkaran. Ruas garis yang panjangnya $2r$ dan melalui titik pusat disebut diameter lingkaran.
A. Persamaan
(i). Rumus-rumus menyusun persamaan lingkaran
(1). Lingkaran berpusat di $(0,0)$ dan jari-jari $r$:
(2). Lingkaran berpusat di $(a, b)$ dan jari-jari $r$:
(3). Bentuk umum persamaan lingkaran:
Dengan $a = -\frac{A}{2}$, $b = -\frac{B}{2}$ dan jari-jari:
$$r = \sqrt{a^2 + b^2 - C} = \sqrt{\frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} - C}$$Tentukan persamaan lingkaran berikut:
a). berpusat di $O(0,0)$ dan jari-jari 4.
b). berpusat di $P(-3,5)$ dan berjari-jari 5.
a). Pusat $(0,0)$ dan $r = 4$:
$$x^2 + y^2 = 4^2 \implies x^2 + y^2 = 16$$
b). Pusat $P(-3,5)$ dan $r = 5$:
$$(x - (-3))^2 + (y - 5)^2 = 5^2 \implies (x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$$
$$x^2 + 6x + 9 + y^2 - 10y + 25 = 25 \implies x^2 + y^2 + 6x - 10y + 9 = 0$$
Titik $A(a,b)$ disebut titik letis jika $a$ dan $b$ keduanya adalah bilangan bulat. Banyaknya titik letis pada lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari 5 adalah ...
Persamaan lingkaran berpusat di $O(0,0)$ dengan $r = 5$ adalah $x^2 + y^2 = 25$.
Mencari pasangan bulat $(a,b)$ yang memenuhi $a^2 + b^2 = 25$:
- Jika $a = \pm 5 \implies b = 0 \quad \rightarrow (5,0), (-5,0)$ (2 titik)
- Jika $a = 0 \implies b = \pm 5 \quad \rightarrow (0,5), (0,-5)$ (2 titik)
- Jika $a = \pm 3 \implies b = \pm 4 \quad \rightarrow (3,4), (3,-4), (-3,4), (-3,-4)$ (4 titik)
- Jika $a = \pm 4 \implies b = \pm 3 \quad \rightarrow (4,3), (4,-3), (-4,3), (-4,-3)$ (4 titik)
Total titik letis $= 2 + 2 + 4 + 4 = 12$ titik.
Tentukan koordinat pusat dan panjang jari-jari lingkaran apabila diketahui persamaannya:
a). $x^2 + y^2 - 2x - 6y - 15 = 0$
b). $2x^2 + 2y^2 - 4x + 3y = 0$
a). Dari $x^2 + y^2 - 2x - 6y - 15 = 0$, diperoleh $A = -2$, $B = -6$, $C = -15$.
Pusat: $(a,b) = \left(-\frac{-2}{2}, -\frac{-6}{2}\right) = (1, 3)$
Jari-jari: $r = \sqrt{1^2 + 3^2 - (-15)} = \sqrt{1 + 9 + 15} = \sqrt{25} = 5$
b). Bagi kedua ruas dengan 2: $x^2 + y^2 - 2x + \frac{3}{2}y = 0$, diperoleh $A = -2$, $B = \frac{3}{2}$, $C = 0$.
Pusat: $(a,b) = \left(-\frac{-2}{2}, -\frac{3/2}{2}\right) = \left(1, -\frac{3}{4}\right)$
Jari-jari: $r = \sqrt{1^2 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 - 0} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$
(ii). Variasi Soal menyusun persamaan lingkaran:
(1). Melalui titik $(x_1, y_1)$:
- Cara I: $r = \sqrt{(a - x_1)^2 + (b - y_1)^2}$
- Cara II: Substitusi $(x_1, y_1)$ ke persamaan lingkarannya: $$x_1^2 + y_1^2 = r^2 \quad \text{atau} \quad (x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 = r^2$$
(2). Melalui dua titik $M(x_1, y_1)$ dan $N(x_2, y_2)$ sebagai ujung-ujung diameter:
- Cara I:
Pusatnya: $P(a,b) = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$
Jari-jari: $r = |MP| = |NP| = \frac{1}{2}|MN|$ - Cara II: $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$
(3). Menyinggung sumbu-sumbu:
- Menyinggung sumbu X $\rightarrow r = |b|$
- Menyinggung sumbu Y $\rightarrow r = |a|$
(4). Menyinggung garis $px + qy + d = 0$:
(5). Pusat lingkaran terletak (dilalui) oleh suatu kurva:
Caranya: Substitusikan pusat ke persamaan kurvanya.
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $(-3,5)$ dan melalui titik $(2,3)$.
Jari-jari $r$ adalah jarak dari $(-3,5)$ ke $(2,3)$:
$$r^2 = (2 - (-3))^2 + (3 - 5)^2 = 5^2 + (-2)^2 = 25 + 4 = 29$$
Persamaan lingkaran:
$$(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 29 \implies x^2 + y^2 + 6x - 10y + 5 = 0$$
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui $(-1,4)$ dan $(3,6)$ [diasumsikan sebagai ujung-ujung diameter] adalah ...
Menggunakan Rumus Ujung-Ujung Diameter:
$$(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$$
$$(x - (-1))(x - 3) + (y - 4)(y - 6) = 0$$
$$(x + 1)(x - 3) + (y - 4)(y - 6) = 0$$
$$x^2 - 2x - 3 + y^2 - 10y + 24 = 0 \implies x^2 + y^2 - 2x - 10y + 21 = 0$$
Persamaan lingkaran yang berpusat di $P(-3,5)$ dan menyinggung sumbu Y adalah ...
Karena menyinggung sumbu Y, maka $r = |a| = |-3| = 3$.
Persamaan lingkaran:
$$(x - (-3))^2 + (y - 5)^2 = 3^2 \implies (x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 9$$
$$x^2 + y^2 + 6x - 10y + 25 = 0$$
Persamaan lingkaran yang berpusat di $(1,4)$ dan menyinggung garis $3x - 4y - 2 = 0$ adalah ...
Jari-jari $r$ adalah jarak titik $(1,4)$ ke garis $3x - 4y - 2 = 0$:
$$r = \left| \frac{3(1) - 4(4) - 2}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right| = \left| \frac{3 - 16 - 2}{\sqrt{25}} \right| = \left| \frac{-15}{5} \right| = 3$$
Persamaan lingkaran:
$$(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 3^2 \implies (x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$$
$$x^2 + y^2 - 2x - 8y + 8 = 0$$
Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis $x - y - 2 = 0$ serta menyinggung sumbu X positif dan sumbu Y negatif adalah ....
Lingkaran menyinggung sumbu X positif dan sumbu Y negatif, artinya titik pusat berada di Kuadran IV, yaitu $(r, -r)$ dengan $r > 0$.
Substitusi pusat $(r, -r)$ ke garis $x - y - 2 = 0$:
$$r - (-r) - 2 = 0 \implies 2r = 2 \implies r = 1$$
Sehingga pusat lingkaran $(1, -1)$ dan jari-jari $r = 1$.
Persamaan lingkaran:
$$(x - 1)^2 + (y - (-1))^2 = 1^2 \implies (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$$
$$x^2 + y^2 - 2x + 2y + 1 = 0$$
B. Kedudukan Titik dan Garis terhadap Lingkaran
(i). Kedudukan titik $(x_1, y_1)$ terhadap lingkaran:
- $x^2 + y^2 = r^2 \rightarrow K = x_1^2 + y_1^2$
- $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \rightarrow K = (x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2$
- $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \rightarrow K = x_1^2 + y_1^2 + Ax_1 + By_1 + C$
Aturan Kedudukan:
(1). Titik di dalam lingkaran jika: $K < r^2$ atau $K < 0$
(2). Titik pada lingkaran jika: $K = r^2$ atau $K = 0$
(3). Titik di luar lingkaran jika: $K > r^2$ atau $K > 0$
(ii). Kedudukan Garis terhadap lingkaran:
Substitusi garis ke persamaan lingkaran, lalu tentukan nilai $D = b^2 - 4ac$ ($D =$ Diskriminan).
(1). Garis memotong lingkaran jika : $D > 0$
(2). Garis menyinggung lingkaran jika : $D = 0$
(3). Garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran jika: $D < 0$
Tentukan kedudukan titik $A(-6,8)$ terhadap lingkaran:
a). $x^2 + y^2 = 100$
b). $x^2 + y^2 + 6x - 8y + 25 = 0$
c). $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 64$
a). Substitusi $(-6,8)$ ke $x^2 + y^2$:
$K = (-6)^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
Karena $K = 100 = r^2$, maka titik $A$ terletak pada lingkaran.
b). Substitusi $(-6,8)$ ke $x^2 + y^2 + 6x - 8y + 25$:
$K = (-6)^2 + 8^2 + 6(-6) - 8(8) + 25 = 36 + 64 - 36 - 64 + 25 = 25$.
Karena $K = 25 > 0$, maka titik $A$ terletak di luar lingkaran.
c). Substitusi $(-6,8)$ ke $(x + 1)^2 + (y - 2)^2$:
$K = (-6 + 1)^2 + (8 - 2)^2 = (-5)^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$.
Karena $K = 61 < 64$, maka titik $A$ terletak di dalam lingkaran.
Diketahui garis $y = mx$ dan lingkaran $x^2 + y^2 = 10x - 16$. Tentukan nilai $m$ sehingga garis dan lingkaran bersinggungan.
Substitusikan $y = mx$ ke persamaan lingkaran:
$$x^2 + (mx)^2 - 10x + 16 = 0 \implies (1 + m^2)x^2 - 10x + 16 = 0$$
Syarat bersinggungan adalah $D = 0$:
$$D = (-10)^2 - 4(1 + m^2)(16) = 0$$
$$100 - 64(1 + m^2) = 0 \implies 100 - 64 - 64m^2 = 0$$
$$36 - 64m^2 = 0 \implies m^2 = \frac{36}{64} = \frac{9}{16} \implies m = \pm \frac{3}{4}$$
Tentukan kedudukan garis $y = x + 1$ terhadap lingkaran $x^2 + y^2 = 25$.
Substitusikan $y = x + 1$ ke persamaan lingkaran:
$$x^2 + (x + 1)^2 = 25 \implies x^2 + x^2 + 2x + 1 - 25 = 0$$
$$2x^2 + 2x - 24 = 0 \implies x^2 + x - 12 = 0$$
Cek nilai diskriminan $D$:
$$D = 1^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49$$
Karena $D = 49 > 0$, maka garis memotong lingkaran di dua titik berbeda.
C. Garis Singgung Lingkaran
(i). Titik $(x_1, y_1)$ sebagai titik singgung
CARA Bagi Adil: yaitu $x^2 = x \cdot x_1$ dan $x = \frac{x + x_1}{2}$
- Persamaan: $x^2 + y^2 = r^2$
PGSL: $x \cdot x_1 + y \cdot y_1 = r^2$ - Persamaan: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
PGSL: $(x - a)(x_1 - a) + (y - b)(y_1 - b) = r^2$ - Persamaan: $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$
PGSL: $x \cdot x_1 + y \cdot y_1 + A \cdot \frac{x + x_1}{2} + B \cdot \frac{y + y_1}{2} + C = 0$
(ii). Titik $(x_1, y_1)$ di luar lingkaran
Langkah-langkah Menentukan PGSL:
(1). Buat garis kutub/polar: $x \cdot x_1 + y \cdot y_1 = r^2$
(2). Substitusikan garis polar ke persamaan lingkaran, lalu tentukan titik potong garis dan lingkaran.
(3). Titik pada langkah (2) adalah titik singgung lingkaran, gunakan cara **BAGI ADIL** untuk menentukan persamaan lingkarannya.
(iii). Diketahui gradiennya (m):
Rumus:
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ di titik $(7,-5)$ adalah ...
Cek titik $(7,-5)$: $7^2 + (-5)^2 - 6(7) + 4(-5) - 12 = 49 + 25 - 42 - 20 - 12 = 0$ (terletak pada lingkaran).
Gunakan rumus Bagi Adil:
$$x \cdot x_1 + y \cdot y_1 - 3(x + x_1) + 2(y + y_1) - 12 = 0$$
$$7x - 5y - 3(x + 7) + 2(y - 5) - 12 = 0$$
$$7x - 5y - 3x - 21 + 2y - 10 - 12 = 0$$
$$4x - 3y - 43 = 0$$
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 3 = 0$ yang sejajar garis $3x - 4y = 2$.
Gradien garis $3x - 4y = 2$ adalah $m = \frac{3}{4}$. Sejajar $\implies m_{gs} = \frac{3}{4}$.
Ubah bentuk lingkaran:
$$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 - 4 - 9 - 3 = 0 \implies (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$$
Diperoleh $a = 2$, $b = 3$, $r = 4$.
Persamaan Garis Singgung:
$$y - 3 = \frac{3}{4}(x - 2) \pm 4 \sqrt{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2}$$
$$y - 3 = \frac{3}{4}(x - 2) \pm 4 \cdot \frac{5}{4} \implies y - 3 = \frac{3}{4}(x - 2) \pm 5$$
Kalikan 4 di kedua ruas:
$$4(y - 3) = 3(x - 2) \pm 20 \implies 4y - 12 = 3x - 6 \pm 20$$
$$3x - 4y + 6 \pm 20 = 0$$
Persamaan garis singgungnya adalah:
$3x - 4y + 26 = 0$ atau $3x - 4y - 14 = 0$
Persamaan garis singgung yang ditarik dari titik $(4,2)$ ke lingkaran $x^2 + y^2 = 10$ adalah ...
Titik $(4,2)$ di luar lingkaran karena $4^2 + 2^2 = 20 > 10$.
1). Garis Polar: $4x + 2y = 10 \implies 2x + y = 5 \implies y = 5 - 2x$.
2). Substitusi ke $x^2 + y^2 = 10$:
$$x^2 + (5 - 2x)^2 = 10 \implies x^2 + 25 - 20x + 4x^2 = 10$$
$$5x^2 - 20x + 15 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x - 1)(x - 3) = 0$$
Diperoleh $x_1 = 1$ dan $x_2 = 3$.
- Untuk $x_1 = 1 \implies y_1 = 5 - 2(1) = 3 \rightarrow$ titik singgung $(1,3)$.
- Untuk $x_2 = 3 \implies y_2 = 5 - 2(3) = -1 \rightarrow$ titik singgung $(3,-1)$.
3). PGSL dengan cara Bagi Adil:
- Di titik $(1,3) \implies x(1) + y(3) = 10 \implies$ $x + 3y = 10$
- Di titik $(3,-1) \implies x(3) + y(-1) = 10 \implies$ $3x - y = 10$
Soal Latihan:
- Diberikan lingkaran dengan persamaan $(x + 5)^2 + (y - 12)^2 = 14^2$. Jarak minimal titik pada lingkaran tersebut ke titik asal adalah ....
- Persamaan garis yang melalui titik potong lingkaran $(x - 4)^2 + y^2 = 16$ dan $x^2 + (y + 2)^2 = 4$ adalah ...
- Persamaan lingkaran dengan pusat berada pada parabola $y = x^2$ dan menyinggung sumbu X adalah...
- Misalkan $L_1$ lingkaran yang mempunyai radius 6 dan pusat di $(0,0)$ dan $L_2$ lingkaran yang mempunyai radius 3 dan pusat di sumbu X positif. Jika persamaan garis singgung dalam kedua lingkaran adalah $4y - 3x + 30 = 0$, maka persamaan $L_2$ adalah ...
- Diketahui titik $P(4,k)$ dan lingkaran $L: x^2 + y^2 - 8x - 2y + 1 = 0$. Jika titik P berada dalam lingkaran L, maka nilai $k$ yang mungkin adalah ...
- Jika garis $y = mx + b$ menyinggung lingkaran $x^2 + y^2 = 1$, maka nilai $b^2 - m^2 + 1 = \dots$
- Jika garis $y = mx + k$ menyinggung lingkaran $x^2 + y^2 - 10x + 6y + 24 = 0$ di titik $(8,-4)$, maka nilai $m + k$ adalah ...
- Jika lingkaran $x^2 + y^2 = 1$ menyinggung garis $ax + 3by = 5b$, maka nilai $\frac{a^2}{a^2 + 16b^2} = \dots$
- Diketahui dua lingkaran $x^2 + y^2 = 2$ dan $x^2 + y^2 = 4$. Garis $l_1$ menyinggung lingkaran pertama di titik $(1,-1)$. Garis $l_2$ menyinggung lingkaran kedua dan tegak lurus dengan garis $l_1$. Titik potong garis $l_1$ dan $l_2$ adalah ...
- Diberikan lingkaran pada bidang koordinat yang memotong sumbu X di $(1,0)$ dan $(3,0)$. Jika lingkaran itu menyinggung sumbu Y, maka titik singgung yang mungkin adalah ......
- Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai pusat sama (kosentrik) dengan lingkaran $x^2 + y^2 = 9$ tetapi jari-jarinya tiga kali lebih panjang.
- Tentukan $k$ agar titik $(k,-2)$ terletak pada lingkaran $x^2 + y^2 = 13$.
- Misalkan titik $A(1,0)$ dan $B(9,0)$. Tentukan tempat kedudukan dari semua titik $P(x,y)$ sehingga $PB = 2PA$.
- Misalkan $C_1$ dan $C_2$ lingkaran dengan persamaan berturut-turut $(x - 10)^2 + y^2 = 36$ dan $(x + 15)^2 + y^2 = 81$. Berapa panjang dari ruas garis terpendek PQ yang menyinggung lingkaran $C_1$ di P dan lingkaran $C_2$ di Q?
- Luas daerah di dalam lingkaran $x^2 + y^2 = 21^2$ tetapi di luar lingkaran $x^2 + (y - 7)^2 = 14^2$ dan $x^2 + (y + 7)^2 = 14^2$ adalah ...
- Diketahui bahwa $x^2 + y^2 = 14x + 6y + 6$. Tentukan nilai terbesar dari $3x + 4y$?
- Dalam koordinat $xy$, berapa rute terpendek dari titik $(0,0)$ ke $(12,16)$ yang tidak melewati daerah di dalam lingkaran $(x - 6)^2 + (y - 8)^2 = 25$.
- Jika $r$ bilangan positif dan garis yang persamaannya $x + y = r$ adalah garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = r$, maka $r$ sama dengan ...
Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA
Demikian pembahasan materi Persamaan Lingkaran Olim Matik SMA dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
