Persamaan Kuadrat
A. Bentuk Umum
Persamaan \(ax^2 + bx + c = 0\) dengan \(a \neq 0\) disebut persamaan kuadrat dengan variabel \(x\).
B. Menentukan Akar-akar (Solusi)
Bilangan real \(k\) disebut akar atau solusi dari persamaan kuadrat \(ax^2 + bx + c = 0\) jika \(k\) memenuhi persamaan tersebut, yaitu \(ak^2 + bk + c = 0\).
Ada tiga cara menentukan akar-akar yaitu:
- Memfaktorkan
- Kuadrat sempurna
- Rumus ABC: $$\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ dengan \(D = b^2 - 4ac\). \(D\) disebut Diskriminan.
Jika salah satu akar dari persamaan \(x^2 + (k + 1)x + (3k + 2) = 0\) adalah \(5\), maka akar lainnya adalah …
Substitusikan \(x = 5\) ke dalam persamaan kuadrat:
$$5^2 + (k + 1)(5) + (3k + 2) = 0$$ $$25 + 5k + 5 + 3k + 2 = 0$$ $$8k + 32 = 0 \implies 8k = -32 \implies k = -4$$Substitusikan nilai \(k = -4\) kembali ke persamaan kuadrat:
$$x^2 + (-4 + 1)x + (3(-4) + 2) = 0$$ $$x^2 - 3x - 10 = 0$$ $$(x - 5)(x + 2) = 0$$Akar-akarnya adalah \(x_1 = 5\) atau \(x_2 = -2\).
Jadi, akar lainnya adalah \(-2\).
Misalkan \(a\) dan \(b\) bilangan real yang berbeda sehingga \(\frac{a}{b} + \frac{a+10b}{b+10a} = 2\). Tentukan nilai \(\frac{a}{b}\).
Misalkan \(y = \frac{a}{b}\). Karena \(a \neq b\), maka \(y \neq 1\).
Bagi pembilang dan penyebut suku kedua dengan \(b\):
$$\frac{a+10b}{b+10a} = \frac{\frac{a}{b} + 10}{1 + 10\frac{a}{b}} = \frac{y + 10}{1 + 10y}$$Persamaan menjadi:
$$y + \frac{y + 10}{1 + 10y} = 2$$ $$y(1 + 10y) + (y + 10) = 2(1 + 10y)$$ $$10y^2 + y + y + 10 = 2 + 20y$$ $$10y^2 - 18y + 8 = 0$$ $$5y^2 - 9y + 4 = 0$$ $$(5y - 4)(y - 1) = 0$$Karena \(y \neq 1\), maka diperoleh \(5y - 4 = 0 \implies y = \frac{4}{5}\).
Jadi, nilai \(\frac{a}{b} = \frac{4}{5}\).
C. Jenis-jenis Akar
Berdasarkan nilai Diskriminan (\(D\)):
- a). Dua akar real berbeda: \(D > 0\)
- b). Dua akar real kembar: \(D = 0\)
- c). Akar-akar tidak real: \(D < 0\)
Persamaan kuadrat \(2x^2 + 5px + 50 = 0\) memiliki akar-akar kembar. Tentukan nilai \(p\) yang mungkin.
Syarat akar kembar adalah \(D = 0\):
$$D = b^2 - 4ac = 0$$ $$(5p)^2 - 4(2)(50) = 0$$ $$25p^2 - 400 = 0$$ $$25p^2 = 400 \implies p^2 = 16 \implies p = \pm 4$$Jadi, nilai \(p\) yang mungkin adalah \(p = 4\) atau \(p = -4\).
Persamaan \(x^2 - (2m + n)x + \left(2m^2 + n^2 - n + \frac{1}{2}\right) = 0\) memiliki dua akar real. Tentukan nilai \(m\) dan \(n\)?
Syarat memiliki dua akar real adalah \(D \ge 0\):
$$D = [-(2m + n)]^2 - 4(1)\left(2m^2 + n^2 - n + \frac{1}{2}\right) \ge 0$$ $$4m^2 + 4mn + n^2 - 8m^2 - 4n^2 + 4n - 2 \ge 0$$ $$-4m^2 + 4mn - 3n^2 + 4n - 2 \ge 0$$Kalikan pertidaksamaan di atas dengan \(-1\) (tanda berubah):
$$4m^2 - 4mn + 3n^2 - 4n + 2 \le 0$$Ubah ke bentuk kuadrat sempurna:
$$(4m^2 - 4mn + n^2) + (2n^2 - 4n + 2) \le 0$$ $$(2m - n)^2 + 2(n - 1)^2 \le 0$$Karena \((2m - n)^2 \ge 0\) dan \(2(n - 1)^2 \ge 0\) untuk semua bilangan real \(m, n\), maka jumlah dua kuadrat ini bernilai \(\le 0\) hanya jika keduanya bernilai \(0\):
- \(2(n - 1)^2 = 0 \implies n = 1\)
- \((2m - n)^2 = 0 \implies 2m = n \implies 2m = 1 \implies m = \frac{1}{2}\)
Jadi, nilai \(m = \frac{1}{2}\) dan \(n = 1\).
D. Operasi Akar-akar
Persamaan kuadrat \(ax^2 + bx + c = 0\) memiliki akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\). Hubungan antara operasi akar-akar dengan \(a, b,\) dan \(c\) sebagai berikut:
(i). Rumus Dasar:
- \(\displaystyle x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)
- \(\displaystyle x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)
- \(\displaystyle x_1 - x_2 = \pm\frac{\sqrt{D}}{a}\)
Operasi jumlah dan kali di atas disebut teorema Vieta.
(ii). Rumus Bantu:
- \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2\)
- \(x_1^2 - x_2^2 = (x_1 + x_2)(x_1 - x_2)\)
- \(x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1 + x_2)\)
- \(x_1^3 - x_2^3 = (x_1 - x_2)^3 + 3x_1 x_2(x_1 - x_2)\)
- \(x_1^4 + x_2^4 = [(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2]^2 - 2(x_1 x_2)^2\)
- \(x_1^4 - x_2^4 = [(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2](x_1 + x_2)(x_1 - x_2)\)
Jika akar-akar persamaan \(2x^2 - x - 2 = 0\) adalah \(x_1\) dan \(x_2\), maka nilai \(\frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} = \dots\)?
Dari persamaan \(2x^2 - x - 2 = 0\), diperoleh:
$$x_1 + x_2 = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}, \quad x_1 x_2 = \frac{-2}{2} = -1$$Bentuk yang ditanyakan:
$$\frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} = \frac{x_1^3 + x_2^3}{(x_1 x_2)^3}$$Hitung nilai pembilang \(x_1^3 + x_2^3\):
$$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1 + x_2) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 - 3(-1)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8} + \frac{3}{2} = \frac{13}{8}$$Penyebut \((x_1 x_2)^3 = (-1)^3 = -1\). Maka:
$$\frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} = \frac{\frac{13}{8}}{-1} = -\frac{13}{8}$$Jadi, nilainya adalah \(-\frac{13}{8}\).
Jika \(m\) dan \(n\) akar-akar dari persamaan kuadrat \(x^2 + x - 3 = 0\), maka nilai \(2m^2 + n^2 + m = \dots\)?
Karena \(m\) dan \(n\) adalah akar-akar persamaan \(x^2 + x - 3 = 0\):
$$m^2 + m - 3 = 0 \implies m^2 = 3 - m$$ $$n^2 + n - 3 = 0 \implies n^2 = 3 - n$$Dari teorema Vieta, \(m + n = -1\).
Substitusikan nilai \(m^2\) dan \(n^2\) ke dalam ekspresi:
$$2m^2 + n^2 + m = 2(3 - m) + (3 - n) + m$$ $$= 6 - 2m + 3 - n + m = 9 - (m + n)$$ $$= 9 - (-1) = 10$$Jadi, nilainya adalah \(10\).
Persamaan kuadrat \(x^2 - px - 2p = 0\) mempunyai dua akar real \(m\) dan \(n\). Jika \(m^3 + n^3 = 16\), maka hasil jumlah semua nilai \(p\) yang memenuhi adalah …
Dari teorema Vieta: \(m + n = p\) dan \(mn = -2p\).
$$m^3 + n^3 = (m + n)^3 - 3mn(m + n)$$ $$16 = p^3 - 3(-2p)(p) \implies p^3 + 6p^2 - 16 = 0$$Faktorkan persamaan kubik tersebut:
$$(p + 2)(p^2 + 4p - 8) = 0$$Diperoleh kemungkinan nilai \(p\):
- \(p = -2\): Diskriminan PK awal \(D = p^2 + 8p = (-2)^2 + 8(-2) = -12 < 0\) (Akar tidak real, tidak memenuhi).
- \(p^2 + 4p - 8 = 0 \implies p = -2 \pm 2\sqrt{3}\).
Untuk \(p = -2 + 2\sqrt{3} > 0\), \(D = p(p+8) > 0\) (Memenuhi).
Untuk \(p = -2 - 2\sqrt{3} < -8\), \(D = p(p+8) > 0\) (Memenuhi).
Kedua akar dari \(p^2 + 4p - 8 = 0\) memenuhi syarat real. Jumlah semua nilai \(p\) yang memenuhi adalah jumlah akar-akar dari \(p^2 + 4p - 8 = 0\), yaitu:
$$\text{Jumlah } p = -\frac{b}{a} = -4$$Jadi, hasil jumlah semua nilai \(p\) yang memenuhi adalah \(-4\).
Tentukan hasil kali semua akar-akar real persamaan \(x^2 + 18x + 30 = 2\sqrt{x^2 + 18x + 45}\)
Misalkan \(y = \sqrt{x^2 + 18x + 45} \ge 0\). Maka \(y^2 = x^2 + 18x + 45 \implies x^2 + 18x = y^2 - 45\).
Substitusikan ke dalam persamaan awal:
$$(y^2 - 45) + 30 = 2y \implies y^2 - 2y - 15 = 0$$ $$(y - 5)(y + 3) = 0$$Karena \(y \ge 0\), ambil \(y = 5\).
$$\sqrt{x^2 + 18x + 45} = 5 \implies x^2 + 18x + 45 = 25$$ $$x^2 + 18x + 20 = 0$$Hasil kali akar-akar real persamaan ini adalah \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{20}{1} = 20\).
Jadi, hasil kali akar-akar realnya adalah \(20\).
E. Menyusun Persamaan Kuadrat
(i). Diketahui akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\)
$$\text{PK: } (x - x_1)(x - x_2) = 0$$
(ii). Berkaitan dengan PK lainnya
$$\text{PK: } x^2 - (\text{HJ})x + \text{HK} = 0$$
Dengan \(\text{HJ} = \text{Hasil Jumlah}\) dan \(\text{HK} = \text{Hasil Kali}\).
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 + 5x - 24 = 0\) adalah …
Misalkan akar-akar persamaan awal adalah \(\alpha\) dan \(\beta\), maka \(\alpha + \beta = -5\) dan \(\alpha\beta = -24\).
Akar-akar baru adalah \(y_1 = \alpha + 3\) dan \(y_2 = \beta + 3\).
$$\text{HJ} = y_1 + y_2 = (\alpha + 3) + (\beta + 3) = (\alpha + \beta) + 6 = -5 + 6 = 1$$ $$\text{HK} = y_1 \cdot y_2 = (\alpha + 3)(\beta + 3) = \alpha\beta + 3(\alpha + \beta) + 9 = -24 + 3(-5) + 9 = -30$$Persamaan kuadrat baru:
$$x^2 - (\text{HJ})x + \text{HK} = 0 \implies x^2 - x - 30 = 0$$Jadi, persamaan kuadrat baru tersebut adalah \(x^2 - x - 30 = 0\).
Jika \(p\) dan \(q\) adalah akar-akar persamaan kuadrat \(3x^2 + 6x + 4 = 0\), maka tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya \((2p + q + 1)\) dan \((p + 2q + 1)\).
Dari \(3x^2 + 6x + 4 = 0\), diperoleh \(p + q = -2\) dan \(pq = \frac{4}{3}\).
Akar-akar baru \(y_1 = 2p + q + 1\) dan \(y_2 = p + 2q + 1\):
$$\text{HJ} = y_1 + y_2 = 3(p + q) + 2 = 3(-2) + 2 = -4$$ $$\text{HK} = y_1 \cdot y_2 = (2p + q + 1)(p + 2q + 1) = 2(p^2 + q^2) + 5pq + 3(p + q) + 1$$Hitung \(p^2 + q^2 = (p+q)^2 - 2pq = (-2)^2 - 2\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3}\).
$$\text{HK} = 2\left(\frac{4}{3}\right) + 5\left(\frac{4}{3}\right) + 3(-2) + 1 = \frac{28}{3} - 5 = \frac{13}{3}$$Persamaan kuadrat baru:
$$x^2 - (-4)x + \frac{13}{3} = 0 \implies 3x^2 + 12x + 13 = 0$$Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah \(3x^2 + 12x + 13 = 0\).
Persamaan kuadrat \(3x^2 + 8x - c = 0\) mempunyai akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\) dengan \(x_1 = -\frac{1}{x_2}\). Jika \(x_1 > x_2\), maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \(\frac{1}{x_1 + 1}\) dan \(\frac{1}{x_2 - 2}\) adalah …
Karena \(x_1 = -\frac{1}{x_2} \implies x_1 x_2 = -1\).
Dari persamaan \(3x^2 + 8x - c = 0\), nilai \(x_1 x_2 = \frac{-c}{3} = -1 \implies c = 3\).
Persamaan menjadi \(3x^2 + 8x - 3 = 0 \implies (3x - 1)(x + 3) = 0\).
Karena \(x_1 > x_2\), maka \(x_1 = \frac{1}{3}\) dan \(x_2 = -3\).
Akar-akar baru:
$$y_1 = \frac{1}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{3}{4}, \quad y_2 = \frac{1}{-3 - 2} = -\frac{1}{5}$$ $$\text{HJ} = \frac{3}{4} - \frac{1}{5} = \frac{11}{20}, \quad \text{HK} = \frac{3}{4} \times \left(-\frac{1}{5}\right) = -\frac{3}{20}$$Persamaan kuadrat baru:
$$x^2 - \frac{11}{20}x - \frac{3}{20} = 0 \implies 20x^2 - 11x - 3 = 0$$Jadi, persamaan kuadrat baru tersebut adalah \(20x^2 - 11x - 3 = 0\).
Jika \(p, q\) adalah dua bilangan real yang memenuhi \(2p^2 - 3p - 1 = 0\) dan \(q^2 + 3q - 2 = 0\) serta \(pq \neq 1\), maka tentukan nilai dari \(\frac{pq + p + 1}{q}\)?
Dari \(q^2 + 3q - 2 = 0\), bagi dengan \(q^2\) (dengan \(q \neq 0\)):
$$1 + \frac{3}{q} - \frac{2}{q^2} = 0 \implies 2\left(\frac{1}{q}\right)^2 - 3\left(\frac{1}{q}\right) - 1 = 0$$Perhatikan bahwa \(p\) dan \(\frac{1}{q}\) merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat yang sama, yaitu \(2x^2 - 3x - 1 = 0\). Karena \(pq \neq 1 \implies p \neq \frac{1}{q}\), maka \(p\) dan \(\frac{1}{q}\) adalah dua akar berbeda dari persamaan tersebut.
Berdasarkan teorema Vieta:
$$p + \frac{1}{q} = \frac{3}{2}, \quad p \cdot \frac{1}{q} = \frac{p}{q} = -\frac{1}{2}$$Bentuk yang ditanyakan:
$$\frac{pq + p + 1}{q} = p + \frac{p}{q} + \frac{1}{q} = \left(p + \frac{1}{q}\right) + \frac{p}{q} = \frac{3}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) = 1$$Jadi, nilainya adalah \(1\).
Soal Latihan:
- 1). Tentukan akar-akar real dari persamaan \((x^2 - 3x + 2)x(x - 4) = 0\)
- 2). Jika ekspresi \(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\) mempunyai nilai \(ad - bc\) untuk semua nilai \(a, b, c,\) dan \(d\), maka nilai \(x\) yang memenuhi persamaan \(\begin{vmatrix} 2x & 1 \\ x & x \end{vmatrix} = 3\) adalah …
- 3). Tentukan nilai \(x\) pada persamaan \(x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} = 2\).
- 4). Misalkan \(a\) dan \(b\) adalah bilangan real tak nol yang memenuhi \(9a^2 - 12ab + 4b^2 = 0\). Tentukan \(\frac{a}{b}\).
- 5). Tentukan penyelesaian positif dari persamaan $$\frac{1}{x^2 - 10x - 29} + \frac{1}{x^2 - 10x - 45} = \frac{2}{x^2 - 10x - 69}$$
- 6). Jumlah dari seluruh solusi persamaan \(\sqrt[4]{x} = \frac{12}{7 - \sqrt[4]{x}}\) adalah …
- 7). Diketahui bahwa ada tepat 1 bilangan asli \(n\) sehingga \(n^2 + n + 2010\) merupakan kuadrat sempurna. Bilangan asli \(n\) tersebut adalah …
- 8). Misalkan \(k\) adalah penjumlahan semua nilai mutlak dari nilai-nilai \(x\) yang memenuhi persamaan berikut: $$x = \sqrt{19 + \frac{91}{\sqrt{19 + \frac{91}{\sqrt{19 + \frac{91}{\sqrt{19 + \frac{91}{\sqrt{19 + \frac{91}{x}}}}}}}}}}$$ Tentukan nilai dari \(k^2\).
- 9). Jika \(c > a > 0\) dan \(a - b + c = 0\), tentukan akar yang terbesar dari persamaan \(ax^2 + bx + c = 0\).
- 10). Tentukan semua nilai \(x\) yang memenuhi persamaan $$6\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 35\left(x + \frac{1}{x}\right) + 50 = 0$$
- 11). Ada dua nilai \(a\) yang menyebabkan persamaan \(4x^2 + ax + 8x + 9 = 0\) hanya memiliki satu solusi untuk \(x\). Tentukan jumlah semua nilai \(a\).
- 12). Jika \(p = \frac{1 + 3x^2}{x - x^2}\) maka batas-batas \(p\) supaya \(x\) real adalah ….
- 13). Diketahui \(m\) dan \(n\) adalah dua bilangan berbeda yang memenuhi \(m^2 = 5m - 9\) dan \(n^2 = 5n - 9\). Tentukan nilai dari \(\frac{1}{\sqrt{m}} + \frac{1}{\sqrt{n}}\) adalah …
- 14). Jika \(p\) dan \(q\) adalah akar-akar persamaan kuadrat \(11x^2 - 4x - 2 = 0\), maka tentukan nilai dari \((1 + p + p^2 + p^3 + \dots)(1 + q + q^2 + q^3 + \dots)\)
- 15). Kedua akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 - 63x + k = 0\) adalah bilangan prima. Tentukan ada berapa banyak nilai \(k\) yang mungkin.
- 16). Andaikan \(a\) dan \(b\) bilangan real tak nol, dan persamaan \(x^2 + ax + b = 0\) mempunyai solusi \(a\) dan \(b\). Tentukan pasangan \((a, b)\) yang memenuhi.
- 17). Persamaan kuadrat \(x^2 + mx + n = 0\) mempunyai akar-akar dua kali dari akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 + px + m = 0\), dan \(m, n, p\) semuanya tak nol. Tentukan nilai dari \(\frac{n}{p}\).
- 18). Akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 + 10x + c = 0\) adalah \(x_1\) dan \(x_2\), sedangkan akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 + (x_1^2 + x_2^2)x + 2022 = 0\) adalah \(m\) dan \(n\). Jika \(m + n = -mn\), maka nilai dari \(x_1^3 x_2 + x_1 x_2^3\) adalah …
- 19). Tentukan interval nilai \(m\) agar persamaan kuadrat \(4x^2 - 2mx + 2m - 3 = 0\) memiliki akar-akar real berbeda dan positif adalah …
- 20). Jika persamaan kuadrat \(3x^2 + x - 3 = 0\) mempunyai akar-akar \(m\) dan \(n\), maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya \(2 + \frac{1}{m+1}\) dan \(2 + \frac{1}{n+1}\) adalah …
- 21). Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua lebih besar dari akar-akar \(x^2 + px + 1 = 0\) tetapi tiga lebih kecil dari akar-akar persamaan \(2x^2 - 3x + q = 0\) adalah …
Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA
Demikian pembahasan materi Persamaan Kuadrat Olim Matik SMA dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
