Perbandingan dan Kecepatan Olim SMP

         Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Perbandingan dan Kecepatan Olim Matik SMP. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Perbandingan dan Kecepatan Olim Matik SMP Level SMP Pemula. Tentuk masih ada banyak lagi berkaitan Perbandingan dan Kecepatan pada materi olim matik SMP yang bisa sahabat koma pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Perbandingan dan Kecepatan ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba dan soal-soal Latihan.

23. Perbandingan dan Kecepatan

23.1. Perbandingan

(a). Notasi Perbandingan

Perbandingan $A$ dan $B$ dapat ditulis:

$$A : B \quad \text{atau} \quad \frac{A}{B}$$

Artinya setiap $A$ pada bagian pertama maka terdapat sebanyak $B$ pada bagian kedua.

Contoh 1:

Perbandingan banyak kelereng Made dan Wayan adalah $2:3$. Jika Made memiliki 10 kelereng, maka banyak kelereng yang dimiliki Wayan adalah ....?

Solusi:

Diketahui Made : Wayan = $2 : 3$.

Banyak kelereng Wayan $= \frac{3}{2} \times 10 = 15$ kelereng.

(b). Cara Menyatakan dan Menentukan Perbandingan

Cara menyatakan perbandingan yaitu dengan membandingkan bilangan yang mewakili masing-masing besaran dengan dipisah oleh tanda "titik dua" dimana masing-masing besaran harus memiliki satuan yang sama dan diubah dalam bentuk yang paling sederhana.

Contoh 2:

Suatu sekolah terdiri dari 200 orang pria dan 150 wanita. Diketahui 100 orang menggunakan kacamata, dengan 75 orang diantaranya pria. Tentukan:

a). Perbandingan siswa pria dan wanita.
b). Perbandingan siswa pria berkacamata dan jumlah semua siswa.
c). Perbandingan siswa wanita tidak berkacamata dan siswa pria berkacamata.

Solusi:

Data:

• Pria total = 200, Wanita total = 150 $\implies$ Total siswa = 350.
• Pria berkacamata = 75 $\implies$ Pria tidak berkacamata = $200 - 75 = 125$.
• Total berkacamata = 100 $\implies$ Wanita berkacamata = $100 - 75 = 25$.
• Wanita tidak berkacamata = $150 - 25 = 125$.

Jawaban:

a). Pria : Wanita $= 200 : 150 = 4 : 3$

b). Pria berkacamata : Total Siswa $= 75 : 350 = 3 : 14$

c). Wanita tidak berkacamata : Pria berkacamata $= 125 : 75 = 5 : 3$

(c). Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai

(i). Perbandingan Senilai

Perbandingan senilai adalah perbandingan dari dua atau lebih besaran dimana satu variabel bertambah maka variabel yang lainnya ikut bertambah atau sebaliknya (sama-sama naik atau sama-sama turun). Beberapa contoh perbandingan senilai:

1. Jarak yang ditempuh dan bahan bakarnya
2. Jumlah tabungan dengan waktu penyimpanan
3. Banyak barang dengan harga barang

Rumus Perbandingan Senilai:

Besaran I	Besaran II
$a$	$c$
$b$	$d$

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \text{atau} \quad a \times d = b \times c$$

Contoh 3:

Suatu proyek dikerjakan oleh 6 pekerja, menghabiskan biaya sebesar Rp450.000,00. Apabila sebelum proyek dimulai, ditambah 2 pekerja, maka biaya tambahan yang dibayar adalah ....?

Solusi:

Biaya untuk 6 pekerja = Rp450.000,00.

Biaya per pekerja $= \frac{\text{Rp450.000,00}}{6} = \text{Rp75.000,00}$.

Biaya tambahan untuk 2 pekerja baru $= 2 \times \text{Rp75.000,00} = \text{Rp150.000,00}$.

Contoh 4:

Sebuah mobil menghabiskan 4 liter bensin untuk menempuh jarak 80 km. Banyak bensin yang dibutuhkan mobil itu untuk menempuh jarak 200 km adalah ... liter.

• A). 10
• B). 20
• C). 25
• D). 30
• E). 45

Solusi:

Menggunakan perbandingan senilai:

$$\frac{4}{x} = \frac{80}{200} \implies x = \frac{4 \times 200}{80} = \frac{800}{80} = 10 \text{ liter}$$

Jawaban: A

(ii). Perbandingan Berbalik Nilai

Perbandingan berbalik nilai adalah perbandingan dari dua atau lebih besaran dimana satu variabel bertambah maka variabel yang lainnya berkurang atau sebaliknya ("satu naik-satunya turun" atau "satu turun-satunya naik"). Beberapa contoh perbandingan berbalik nilai:

1. Banyaknya pekerja dengan waktu penyelesaian
2. Banyak hewan dan waktu menghabiskannya
3. Kecepatan dan waktu tempuhnya

Rumus Perbandingan Berbalik Nilai:

Besaran I	Besaran II
$a$	$c$
$b$	$d$

$$\frac{a}{b} = \frac{d}{c} \quad \text{atau} \quad \frac{b}{a} = \frac{c}{d} \quad \text{atau} \quad a \times c = b \times d$$

Contoh 5:

Seorang peternak mempunyai persediaan makanan untuk 20 ekor sapi selama 18 hari. Kemudian peternak membeli 4 ekor sapi lagi, berapa lama persediaan itu akan habis?

Solusi:

Awal: 20 sapi ($a$), 18 hari ($c$).

Setelah ditambah 4 sapi: $20 + 4 = 24$ sapi ($b$), $d$ hari.

Menggunakan perbandingan berbalik nilai:

$$a \times c = b \times d \implies 20 \times 18 = 24 \times d$$ $$d = \frac{360}{24} = 15 \text{ hari}$$

Contoh 6:

Seorang ibu membagikan kue kepada 28 anak, masing-masing anak mendapat 4 kue. Jika kue itu dibagikan kepada 8 anak, berapa banyak kue yang diterima masing-masing anak?

Solusi:

Total kue $= 28 \times 4 = 112$ kue.

Jika dibagikan ke 8 anak, kue per anak $= \frac{112}{8} = 14$ kue.

(iii). Kejadian Bekerja Sama

Kejadian Bekerja sama dan waktu penyelesaiannya adalah salah satu contoh kasus perbandingan berbalik nilai karena semakin banyak orang yang bekerja maka waktu yang dibutuhkan semakin sedikit (satu naik-satunya turun). Misalkan ada waktu pengerjaan dari $n$ orang masing-masing yaitu $t_1, t_2, t_3, \dots, t_n$ dan $S$ adalah total pekerjaan yang harus diselesaikan, serta $t_{\text{total}}$ adalah waktu yang dibutuhkan jika semuanya bekerja bersama-sama, maka kita peroleh persamaan:

$$\text{Penjumlahan kecepatan individu} = \text{Kecepatan Total}$$ $$\frac{S}{t_1} + \frac{S}{t_2} + \frac{S}{t_3} + \dots + \frac{S}{t_n} = \frac{S}{t_{\text{total}}}$$

Jika disederhanakan (coret $S$), maka:

$$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \frac{1}{t_3} + \dots + \frac{1}{t_n} = \frac{1}{t_{\text{total}}} \quad \text{atau} \quad t_{\text{total}} = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \frac{1}{t_3} + \dots + \frac{1}{t_n}}$$

Contoh 7:

Bapak dan paman menanam padi pada satu bidang sawah. Bapak dapat mengerjakan sawah tersebut selama 12 hari sementara paman dalam 6 hari. Seandainya bapak dan paman bekerja bersama, maka pekerjaan itu akan selesai dalam waktu ... hari.

• A). 3
• B). 4
• C). 5
• D). 8
• E). 18

Solusi:

$t_1 = 12$ hari (Bapak), $t_2 = 6$ hari (Paman).

$$\frac{1}{t_{\text{total}}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$ $$t_{\text{total}} = 4 \text{ hari}$$

Jawaban: B

23.2. Kecepatan

(a). Jarak, Waktu, Kecepatan

(i). Hubungan Jarak ($J$), Waktu ($W$), dan Kecepatan ($K$)

$$J = K \times W$$

(ii). Kecepatan Rata-rata

$$\text{Kecepatan rata-rata} = \frac{\text{Total Jarak}}{\text{Total Waktu}}$$

Contoh 8:

Andi berangkat dari kota Jakarta pukul 07.30 mengendarai sepeda motor dengan kecepatan 60 km/jam menuju kota Bandung. Sampai di kota Bandung tepat pukul 09.48. Berapa km jarak kota Jakarta dan Bandung?

Solusi:

Waktu tempuh ($W$) $= 09.48 - 07.30 = 2 \text{ jam } 18 \text{ menit} = 2 + \frac{18}{60} = 2,3 \text{ jam}$.

Kecepatan ($K$) $= 60 \text{ km/jam}$.

Jarak ($J$) $= K \times W = 60 \times 2,3 = 138 \text{ km}$.

Contoh 9:

Seseorang mengendarai mobil dengan kecepatan 75 km/jam selama 2 jam dan 60 km/jam selama 30 menit. Berapa kecepatan rata-rata orang itu dalam seluruh perjalanannya?

Solusi:

Jarak $1 = 75 \times 2 = 150 \text{ km}$.

Jarak $2 = 60 \times 0,5 = 30 \text{ km}$ (30 menit = 0,5 jam).

Total Jarak $= 150 + 30 = 180 \text{ km}$.

Total Waktu $= 2 + 0,5 = 2,5 \text{ jam}$.

$$\text{Kecepatan Rata-rata} = \frac{180}{2,5} = 72 \text{ km/jam}$$

(iii). Kejadian Berpaspasan

Berpaspasan adalah bertemunya dua buah objek di perjalanan dengan arah yang berlawanan. Berpaspasan terjadi apabila arah perjalanan berlawanan arah dan rute perjalanan sama. Pada kejadian berpaspasan, jumlah jarak dua objek sama dengan jarak total kedua titik asal keberangkatan dengan waktu yang sama. Dapat dirumuskan:

$$K_1 \cdot W + K_2 \cdot W = J \iff W(K_1 + K_2) = J \iff W = \frac{J}{K_1 + K_2}$$

atau dapat ditulis:

$$\text{Waktu Berpapasan} = \frac{\text{Jarak Total}}{\text{Jumlah Kecepatan}}$$

Contoh 10:

Jarak kota Malang dan Surabaya 95 km. Made mengendarai sepeda motor dari Malang menuju Surabaya dan berangkat pukul 08.15 dengan kecepatan 18 km/jam. Pada waktu bersamaan Komang juga berangkat mengendarai sepeda motor dari Surabaya ke Malang dengan kecepatan 12 km/jam. Pukul berapa mereka berpaspasan di perjalanan jika mereka melewati rute yang sama?

Solusi:

Jarak Total $= 95 \text{ km}$, $K_1 = 18 \text{ km/jam}$, $K_2 = 12 \text{ km/jam}$.

$$W = \frac{95}{18 + 12} = \frac{95}{30} = 3\frac{1}{6} \text{ jam} = 3 \text{ jam } 10 \text{ menit}$$

Waktu Berpaspasan $= 08.15 + 3 \text{ jam } 10 \text{ menit} = \mathbf{11.25}$.

(iv). Kejadian Bersalipan (Menyusul)

Kejadian bersalipan dua objek terjadi jika kedua objek memiliki kecepatan dan waktu keberangkatan yang berbeda. Misalkan A menyusul atau menyalip B akan terjadi ketika memenuhi syarat:

1. Rute yang dilalui A dan B sama
2. B berangkat lebih dulu dari A
3. Kecepatan A melebihi kecepatan B ($K_A > K_B$)

Pada kejadian bersalipan akan terjadi ketika jarak yang ditempuh kedua objek sama, sehingga dapat kita rumuskan:

Misalkan Waktu A $= W$ (waktu untuk menyusul B)
B berangkat $x$ jam duluan dari A, sehingga Waktu B $= W + x$ ($x$ adalah perbedaan waktu keberangkatan A dan B).

$$\text{Jarak A} = \text{Jarak B} \iff K_A \cdot W = K_B \cdot (W + x)$$ $$\iff K_A \cdot W = K_B \cdot W + K_B \cdot x$$ $$\iff K_A \cdot W - K_B \cdot W = K_B \cdot x$$ $$\iff (K_A - K_B)W = K_B \cdot x \iff W = \frac{K_B \cdot x}{K_A - K_B}$$

atau dapat ditulis:

$$\text{Waktu Menyalip} = \frac{\text{Beda Jarak}}{\text{Beda Kecepatan}}$$

Contoh 11:

Nyoman bersepeda dari kota Denpasar pukul 07.30 dengan kecepatan 20 km/jam menuju kota Gianyar. Sedangkan Ketut bersepeda dari kota Denpasar pukul 08.00 dengan kecepatan 25 km/jam menuju kota Gianyar dengan rute yang sama dengan Nyoman. Berapa lama waktu yang diperlukan Ketut agar dapat menyusul Nyoman?

Solusi:

Selisih waktu berangkat ($x$) $= 08.00 - 07.30 = 0,5 \text{ jam}$.

Beda jarak $= K_{\text{Nyoman}} \times x = 20 \times 0,5 = 10 \text{ km}$.

Beda kecepatan $= 25 - 20 = 5 \text{ km/jam}$.

$$\text{Waktu Menyusul} = \frac{10}{5} = 2 \text{ jam}$$

Ketut memerlukan waktu **2 jam** untuk menyusul Nyoman (pada pukul 10.00).

Soal Latihan I - Perbandingan

1).

Dua puluh empat anak dapat menyelesaikan suatu pekerjaan dalam 90 jam. Setelah mereka bekerja selama 46 jam, mereka istirahat selama 12 jam. Jika pekerjaan tersebut harus selesai pada waktunya, berapa banyak anak harus ditambahkan?

• A). 6
• B). 9
• C). 11
• D). 5
• E). 7

2).

Gabah hasil panen sawah mempunyai kadar air 25%. Setelah dijemur kadar airnya menyusut sebanyak 80%. Kadar air gabah tersebut saat ini adalah ...?

• A). 2,5%
• B). 5%
• C). 10%
• D). 15%
• E). 2%

3).

Pada sebuah peta dengan skala 1:100.000, luas tanah sebuah sekolah adalah $50\text{ cm}^2$. Luas tanah sekolah tersebut pada peta dengan skala 1:200.000 adalah ...

4).

Tujuh ekor kambing menghabiskan rumput seluas 7 kali ukuran lapangan sepak bola dalam waktu 7 hari. Waktu yang diperlukan oleh 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali ukuran lapangan sepak bola adalah ... hari.

5).

Pada suatu peta tertulis perbandingan 1:200.000. Jika jarak antara dua kota adalah 50 km, maka jarak kedua kota itu dalam peta adalah ... cm.

• A). 0,25
• B). 2,5
• C). 25
• D). 1
• E). 10

6).

Suatu pabrik pembuat tas memiliki pekerja laki-laki sama banyak dengan pekerja wanita. Kecepatan kerja pekerja laki-laki dan wanita sama. Dalam waktu 6 hari, 6 pekerja laki-laki dan 8 pekerja wanita dapat menghasilkan 4.200 tas. Jika dalam waktu tujuh hari seluruh pekerja pabrik dapat menghasilkan 5.600 tas, maka pekerja laki-laki pada pabrik tersebut ada sebanyak ... orang.

7).

Pada hari Minggu, jumlah uang Tora dan Ani berbanding 3:1. Pada hari Senin, Tora memberi uang sejumlah Rp50.000,00 kepada Ani. Sekarang perbandingan jumlah uang Tora dan Ani menjadi 1:2. Jumlah uang Tora dan uang Ani pada hari Minggu adalah ....

• A). Rp720.000,00
• B). Rp600.000,00
• C). Rp450.000,00
• D). Rp400.000,00

8).

Tujuh orang tukang kayu dalam waktu 5 jam menghasilkan 6 papan tulis. Dalam waktu 1 jam papan tulis yang dihasilkan oleh seorang tukang kayu adalah ...

• A). $\frac{1}{35}$
• B). $\frac{6}{35}$
• C). $\frac{2}{7}$
• D). $\frac{7}{2}$

9).

Jika $x : y = 3 : 4$, maka nilai $\frac{x}{x-y} - \frac{x^2}{x^2+y^2}$ adalah ...

• A). $-\frac{84}{25}$
• B). $-\frac{66}{25}$
• C). $\frac{66}{25}$
• D). $\frac{84}{25}$
• E). $\frac{115}{25}$

10).

Suatu pekerjaan jika dikerjakan oleh Anto dan Dini dapat diselesaikan dalam waktu 6 jam. Jika pekerjaan itu dikerjakan oleh Dini sendirian akan selesai lima jam lebih lambat dibandingkan Anto. Pekerjaan itu dapat diselesaikan oleh Anto sendirian dalam waktu ...

11).

Enam pipa besar dapat mengeringkan sebuah kolam dalam waktu 5 jam, sedangkan delapan pipa kecil dapat mengeringkan kolam tersebut dalam waktu 10 jam. Waktu yang diperlukan untuk mengeringkan kolam tersebut apabila menggunakan 3 pipa besar dan 5 pipa kecil adalah ... jam

• A). $\frac{60}{13}$
• B). $\frac{80}{13}$
• C). $\frac{90}{13}$
• D). 8
• E). 9

12).

Suatu hari perbandingan jumlah uang Netty dan Agit adalah 2:1. Sehari kemudian Netty memberikan uangnya sejumlah Rp100.000,00 kepada Agit. Sekarang perbandingan uang Netty dan Agit adalah 1:3. Jumlah uang Netty sekarang adalah Rp. ...

• A). Rp240.000,00
• B). Rp180.000,00
• C). Rp120.000,00
• D). Rp100.000,00
• E). Rp60.000,00

Soal Latihan II - Kecepatan

1).

Seseorang pengendara mobil dalam suatu perjalanan, mempunyai catatan jarak (km) dan waktu (jam) yang ditempuh sebagai berikut:

Waktu	07.30	08.00	08.30	09.00	09.30	10.00
Jarak (km)	0	60	100	100	150	200

Berapakah km/jam kecepatan rata-rata mobil tersebut?

• A). 50
• B). 60
• C). 80
• D). 35
• E). 30

2).

Kendaraan A berjalan dengan laju 60 km/jam. Dua jam berikutnya kendaraan B berjalan dengan laju 80 km/jam berangkat dari tempat dan menuju arah yang sama. Setelah berapa jam kendaraan B menyusul kendaraan A?

• A). 2
• B). 3
• C). 4
• D). 5
• E). 6

3).

Panjang jalan tol Bogor-Jakarta 60 km. Pada pukul 12.00 mobil A berangkat dari pintu tol Bogor menuju Jakarta dengan kecepatan rata-rata 80 km/jam. Pada saat yang sama mobil B berangkat dari pintu tol Jakarta menuju Bogor dengan kecepatan rata-rata 70 km/jam. Kedua mobil tersebut akan berpawasan pada pukul ...

4).

Pada pukul 10.15 penerjun payung melompat dari pesawat udara sambil membuka parasutnya. Setelah 3 detik, ketinggiannya 2000 meter dari permukaan tanah. Lima detik kemudian ketinggiannya 1900 meter. Misalkan mulai detik ke-8 sampai satu menit kecepatannya tetap. Ketinggiannya pada pukul 10.16 adalah ... meter.

• A). 860
• B). 890
• C). 940
• D). 960
• E). 980

5).

Intan berjalan kaki dengan kecepatan tetap 4,5 km/jam pada suatu jalur lurus ke arah Utara. Di kejauhan pada jarak 2,7 km dari arah Utara pada jalur yang sama, Mufti mengendarai sepeda dengan kecepatan lima kali lipat kecepatan Intan. Lama waktu yang diperlukan sehingga mereka akan kembali berjarak 2,7 km satu sama lain adalah ...

6).

Edy berangkat ke sekolah pukul 6.00 setiap pagi. Bila bermobil dengan kecepatan 40 km/jam, dia tiba di sekolah terlambat 20 menit. Bila kecepatan 60 km/jam, dia tiba 15 menit lebih awal. Di sekolah Edy, pelajaran jam pertama dimulai pukul ...

• A). 7.30
• B). 7.25
• C). 7.15
• D). 7.00

7).

Sebuah perahu motor meninggalkan kapal induk ke arah utara menuju suatu target dengan kecepatan tetap 80 km/jam. Kapal induk bergerak ke arah timur dengan kecepatan tetap 40 km/jam. Apabila perahu motor tersebut hanya mempunyai bahan bakar yang cukup untuk berjalan 4 jam saja, maka jarak maksimum target yang dapat ditujunya agar ia dapat kembali ke kapal induk dengan tanpa masalah adalah ... km.

8).

Kereta penumpang berpaspasan dengan kereta barang. Laju kereta penumpang 40 km/jam sedangkan kereta barang 20 km/jam. Seorang penumpang di kereta penumpang mencatat bahwa kereta barang berpaspasan selama 15 detik. Panjang rangkaian KA barang adalah ...

9).

Suatu jam dinding selalu menghasilkan keterlambatan lima menit untuk setiap jamnya. Jika saat sekarang jam tersebut menunjukkan waktu yang tepat, maka jam tersebut akan menunjukkan waktu yang tepat setelah ... jam.

• A). 105
• B). 110
• C). 114
• D). 124
• E). 144

10).

Jalan Majapahit sejajar dengan jalur kereta api yang membentang lurus. Anton menumpang bus OSN di jalan Majapahit dengan kecepatan konstan (tetap) 40 km/jam. Dari arah berlawanan, bus yang ditumpangi Anton berpaspasan dengan kereta api barang yang bergerak dengan kecepatan konstan 20 km/jam. Anton mencatat bahwa bus dan kereta api berpaspasan selama seperempat menit terhitung mulai dari lokomotif (bagian paling depan) sampai bagian paling belakang. Panjang kereta api tersebut adalah ... meter.

11).

Seorang nelayan menaiki perahu motor yang melaju dengan kecepatan konstan 50 km/jam melawan arus sungai yang kecepatan airnya konstan. Di tengah perjalanan tanpa disadari pelampungnya terjatuh ke air dan terbawa arus sungai. Dua puluh menit kemudian ia baru mengetahuinya, dan segera berbalik arah untuk mencarinya. Jika ia berhasil menemukannya pada posisi 30 km ke arah hilir dari tempatnya berbalik tadi, maka laju arus sungai tersebut adalah ... km/jam.

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMP

       Demikian pembahasan materi Perbandingan dan Kecepatan Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.