Peluang Olim SMP

·
         Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Peluang Olim Matik SMP. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Peluang Olim Matik SMP Level SMP Pemula. Tentuk masih ada banyak lagi berkaitan Peluang pada materi olim matik SMP yang bisa sahabat koma pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Peluang ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba dan soal-soal Latihan.

3. Peluang Kejadian

A). Rumus Peluang

Ruang sampel suatu kejadian adalah himpunan dari semua kemungkinan yang mungkin dari kejadian tersebut. Sedangkan, titik sampel adalah anggota dari ruang sampel.

Misalkan \(S\) adalah suatu ruang sampel dan \(A\) adalah suatu kejadian pada \(S\). Jika \(n(A)\) dan \(n(S)\) berturut-turut menyatakan banyak cara kejadian \(A\) terjadi dan banyak anggota ruang sampel \(S\), maka peluang kejadian \(A\) ditulis \(P(A)\) dan didefinisikan dengan:

\[P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\]

Nilai peluang berkisar antara 0 sampai 1 (\(0 \le P(A) \le 1\)). Jika nilai peluangnya 0 disebut kemustahilan dan jika nilai peluangnya 1 disebut kepastian.

Hal lain yang berkaitan dengan peluang:

  • Peluang Komplemen: \(P(A^c) = 1 - P(A)\)
  • Frekuensi Harapan: \(F_h(A) = f \cdot P(A)\)
Contoh 1:

Indonesia akan mengirim delegasi Olimpiade Sains Internasional (OSI) tingkat SMP pada tahun 2006. Delegasi ini terdiri atas tiga siswa SMP yang harus dipilih secara acak dari 10 kandidat yaitu enam siswa bidang Sains dan empat siswa bidang Matematika. Berapa peluang terpilihnya delegasi OSI yang terdiri 2 siswa dari bidang Sains dan 1 siswa dari bidang Matematika?

Solusi:

Banyak cara memilih 3 siswa dari total 10 kandidat:

\[n(S) = \binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\]

Banyak cara memilih 2 siswa Sains dari 6 dan 1 siswa Matematika dari 4:

\[n(A) = \binom{6}{2} \times \binom{4}{1} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 4 = 15 \times 4 = 60\]

Peluang terpilihnya delegasi tersebut adalah:

\[P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}\]
Contoh 2:

Sebuah kotak berisi 3 kelereng merah, 4 kelereng hijau, dan 5 kelereng biru. Jika dari dalam kotak diambil 3 buah kelereng, maka berapa peluang:

a. semua kelereng yang terambil berwarna merah
b. semuanya biru
c. 2 buah berwarna merah dan 1 berwarna hijau.

Solusi:

Total kelereng = \(3 + 4 + 5 = 12\).

\[n(S) = \binom{12}{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220\]

a. Semua kelereng terambil berwarna merah:

\[n(A) = \binom{3}{3} = 1 \implies P(A) = \frac{1}{220}\]

b. Semuanya berwarna biru:

\[n(B) = \binom{5}{3} = 10 \implies P(B) = \frac{10}{220} = \frac{1}{22}\]

c. 2 merah dan 1 hijau:

\[n(C) = \binom{3}{2} \times \binom{4}{1} = 3 \times 4 = 12 \implies P(C) = \frac{12}{220} = \frac{3}{55}\]
Contoh 3:

Dua buah dadu dilempar undi sekali. Tentukan peluang munculnya mata dadu berjumlah tidak sama dengan 10.

Solusi:

Banyaknya anggota ruang sampel pelemparan dua dadu: \(n(S) = 6 \times 6 = 36\).

Misalkan \(A\) adalah kejadian muncul mata dadu berjumlah 10: \(A = \{(4,6), (5,5), (6,4)\}\), sehingga \(n(A) = 3\).

Peluang berjumlah 10 adalah \(P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\).

Peluang muncul mata dadu berjumlah tidak sama dengan 10 (\(P(A^c)\)):

\[P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}\]
Contoh 4:

Wati menanam bibit bunga mawar sebanyak 1000 pohon. Setiap pohon memiliki peluang mati 0,2. Ada berapa banyak harapan bibit pohon mawar yang hidup?

Solusi:

Peluang bibit mawar hidup: \(P(\text{hidup}) = 1 - P(\text{mati}) = 1 - 0,2 = 0,8\).

Banyak harapan bibit yang hidup (Frekuensi Harapan):

\[F_h = f \cdot P(\text{hidup}) = 1000 \times 0,8 = 800 \text{ pohon}\]
Contoh 5:

Di dalam kotak terdapat 18 bola identik (berbentuk sama), 5 berwarna hitam, 6 berwarna putih, dan 7 berwarna hijau. Jika diambil dua bola secara acak, maka peluang yang terambil bola:

a). berwarna sama.
b). tidak berwarna sama.

Solusi:

Banyak cara mengambil 2 bola dari 18 bola:

\[n(S) = \binom{18}{2} = \frac{18 \times 17}{2 \times 1} = 153\]

a). Terambil bola berwarna sama (2 Hitam, 2 Putih, atau 2 Hijau):

\[n(A) = \binom{5}{2} + \binom{6}{2} + \binom{7}{2} = 10 + 15 + 21 = 46\] \[P(\text{berwarna sama}) = \frac{46}{153}\]

b). Terambil bola tidak berwarna sama:

\[P(\text{tidak berwarna sama}) = 1 - \frac{46}{153} = \frac{107}{153}\]

B). Peluang Dua Kejadian

(a). Kejadian tidak bersamaan (kata ATAU):

-). Ada unsur yang sama:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

-). Tidak ada unsur yang sama (Saling Lepas):

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]

(b). Kejadian Saling Bebas (kata DAN):

Kejadian saling bebas adalah kejadian yang terjadi bersamaan dimana kejadian pertama tidak bergantung dari kejadian kedua.

\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\]

(c). Kejadian bersyarat:

Kejadian bersyarat adalah kejadian yang terjadi bersamaan dimana salah satu kejadian mempengaruhi kejadian yang lainnya.

\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)\]

\(P(B|A)\) artinya peluang \(B\) dengan syarat kejadian \(A\) terjadi lebih dulu.

Contoh 6:

Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya mata dadu prima atau ganjil?

Solusi:

\(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \implies n(S) = 6\).

Mata dadu prima \(A = \{2, 3, 5\} \implies n(A) = 3\).

Mata dadu ganjil \(B = \{1, 3, 5\} \implies n(B) = 3\).

Irisan \(A \cap B = \{3, 5\} \implies n(A \cap B) = 2\).

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]
Contoh 7:

Sebuah dadu dan sebuah koin dilempar bersamaan. Tentukan peluang munculnya angka ganjil pada dadu dan muncul gambar pada koin?

Solusi:

Peluang muncul angka ganjil pada dadu (\(\{1,3,5\}\)): \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

Peluang muncul gambar pada koin (\(\{G\}\)): \(P(B) = \frac{1}{2}\).

Karena kejadian saling bebas:

\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\]
Contoh 8:

Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah dan 4 bola biru. Dua bola diambil dengan pengambilan satu persatu tanpa pengembalian. Tentukan peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola warna biru pada pengambilan kedua?

Solusi:

Total awal bola = \(5 + 4 = 9\).

Peluang terambil bola merah pada pengambilan pertama: \(P(M_1) = \frac{5}{9}\).

Sisa bola di dalam kotak = 8 bola (4 merah, 4 biru).

Peluang terambil bola biru pada pengambilan kedua: \(P(B_2|M_1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\).

\[P(M_1 \cap B_2) = P(M_1) \times P(B_2|M_1) = \frac{5}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{18}\]

Soal Latihan

1). Dua mata uang dilempar empat kali berturut-turut. Peluang muncul angka pertama kali pada pelemparan keempat adalah ...
  • A). \( \frac{1}{4^4} \)
  • B). \( \frac{2}{4^4} \)
  • C). \( \frac{3}{4^4} \)
  • D). \( \frac{1}{4^2} \)
  • E). \( \frac{1}{4} \)
2). Untuk meningkatkan penjualan, suatu perusahaan memberikan hadiah yang dimuat dalam setiap kotak susu yang dijual satu dari empat seri buku secara acak. Jika Ghina membeli empat kotak susu, maka peluang Ghina mendapatkan semua seri buku hadiah adalah ...
  • A). \( \frac{1}{256} \)
  • B). \( \frac{3}{256} \)
  • C). \( \frac{3}{32} \)
  • D). \( \frac{1}{4} \)
  • E). 1
3). Seorang pedagang menjajakan 10 jeruk manis dan 5 jeruk masam yang kesemuanya terlihat sama dan diletakkan dalam satu keranjang yang sama. Jika Ana ingin membeli dua buah jeruk dan mengambilnya sekaligus secara sembarang, maka peluang Ana akan memperoleh dua jeruk dengan rasa yang sama adalah ...
  • A). \( \frac{1}{21} \)
  • B). \( \frac{1}{105} \)
  • C). \( \frac{2}{15} \)
  • D). \( \frac{11}{15} \)
  • E). \( \frac{11}{21} \)
4). Bilangan-bilangan 3, 4, dan 7 disubstitusikan sembarang dan boleh berulang untuk menggantikan konstanta-konstanta \(a\), \(b\), dan \(c\) pada persamaan kuadrat \(ax^2 + bx + c = 0\). Peluang persamaan kuadrat itu mempunyai akar-akar real adalah ...
  • A). \( \frac{1}{3} \)
  • B). \( \frac{1}{6} \)
  • C). \( \frac{1}{9} \)
  • D). \( \frac{1}{18} \)
  • E). \( \frac{1}{27} \)
5). Misalkan \(S = \{21, 22, 23, \dots, 30\}\). Jika empat anggota \(S\) diambil secara acak, maka peluang terambilnya empat bilangan yang berjumlah genap adalah ...
  • A). \( \frac{2}{5} \)
  • B). \( \frac{1}{2} \)
  • C). \( \frac{11}{21} \)
  • D). \( \frac{2}{3} \)
6). Suatu percobaan dilakukan dengan ketentuan sebagai berikut:
  1. Pertama kali dilakukan pelemparan sekeping mata uang.
  2. Jika dalam pelemparan mata uang muncul sisi gambar, percobaan dilanjutkan dengan pelemparan mata uang. Sedangkan jika muncul sisi angka, percobaan dilanjutkan dengan sebuah dadu bersisi enam.
  3. Jika sampai dengan pelemparan mata uang ketiga kalinya selalu muncul gambar, percobaan dihentikan.
  4. Jika dalam pelemparan dadu muncul angka genap, pelemparan dihentikan.
  5. Jika dalam pelemparan dadu muncul angka ganjil, pelemparan diulang sekali dan selanjutnya pelemparan dihentikan apapun angka yang muncul.

Peluang bahwa dalam percobaan tersebut tidak pernah terjadi pelemparan dadu adalah ...

  • A). 1
  • B). \( \frac{1}{2} \)
  • C). \( \frac{1}{16} \)
  • D). \( \frac{1}{64} \)
7). Suatu sekolah mengikutsertakan 3 siswa laki-laki dan 2 siswa perempuan dalam seleksi OSN tingkat kabupaten/kota. Diberikan 3 soal pilihan benar-salah. Peluang bahwa tidak ada satupun siswa laki-laki yang menjawab semua soal dengan benar, sedangkan ada satu siswa perempuan yang dapat menjawab semua soal dengan benar adalah ...
  • A). \( \frac{7^3}{8^3} \)
  • B). \( \frac{15 \times 7^3}{8^5} \)
  • C). \( \frac{14 \times 7^3}{8^5} \)
  • D). \( \frac{7^3 + 14}{8^5} \)
8). Dijual 100 lembar kupon, 2 diantaranya berhadiah. Ali membeli 2 lembar undian. Peluang Ali mendapat 2 hadiah adalah ...
  • A). \( \frac{1}{50} \)
  • B). \( \frac{1}{100} \)
  • C). \( \frac{1}{200} \)
  • D). \( \frac{1}{4950} \)
  • E). \( \frac{1}{9900} \)
9). Sebuah mata uang dan sebuah dadu dilantunkan bersama-sama. Bila diketahui mata uang muncul angka, maka peluang munculnya mata dadu lebih dari 2 adalah ...
  • A). \( \frac{1}{6} \)
  • B). \( \frac{1}{4} \)
  • C). \( \frac{3}{8} \)
  • D). \( \frac{2}{3} \)
  • E). \( \frac{5}{8} \)
10). Dalam sebuah kotak berisi 15 telur, 5 telur diantaranya rusak. Untuk memisahkan telur baik dan telur yang rusak dilakukan pengetesan satu persatu tanpa pengembalian. Peluang diperoleh telur rusak ke-3 pada pengetesan ke-5 adalah ...
  • A). \( \frac{80}{1001} \)
  • B). \( \frac{90}{1001} \)
  • C). \( \frac{100}{1001} \)
  • D). \( \frac{110}{1001} \)
  • E). \( \frac{120}{1001} \)
11). Di dalam kotak terdapat 18 bola identik (berbentuk sama), 5 berwarna hitam, 6 berwarna putih, dan 7 berwarna hijau. Jika diambil dua bola secara acak, maka peluang yang terambil bola berwarna sama adalah ...
  • A). \( \frac{46}{153} \)
  • B). \( \frac{13}{36} \)
  • C). \( \frac{4}{105} \)
  • D). \( \frac{55}{162} \)
  • E). \( \frac{55}{152} \)
12). Lima permen identik (berbentuk sama), satu rasa apel, dua rasa jeruk, dan dua rasa jahe akan dibagikan kepada lima sekawan Anto, Bono, Carli, Dodo, dan Edo, sehingga masing-masing mendapat satu permen. Peluang Anto mendapat permen rasa jahe adalah ...
13). Empat bola bernomor 1, 2, 3, dan 4 diletakkan dalam sebuah kotak. Sebuah bola diambil secara acak dari kotak tersebut. Nomor yang muncul dicatat, kemudian bola dikembalikan ke kotak semula. Jika proses pengambilan bola dilakukan sampai tiga kali dengan cara yang serupa, maka peluang nomor bola yang terambil berjumlah 5 adalah ...
  • A). \( \frac{5}{256} \)
  • B). \( \frac{5}{64} \)
  • C). \( \frac{1}{16} \)
  • D). \( \frac{3}{32} \)
  • E). \( \frac{3}{16} \)
14). Suatu tes matematika terdiri dari 5 soal pilihan ganda dengan lima pilihan dan hanya ada satu pilihan yang benar. Jika Mulan menjawab soal secara menerka (secara acak atau asal-asalan), maka peluang tepat dua soal dijawab dengan benar adalah ...
  • A). \( \frac{32}{725} \)
  • B). \( \frac{32}{625} \)
  • C). \( \frac{64}{725} \)
  • D). \( \frac{64}{625} \)
  • E). \( \frac{128}{625} \)
15). Dalam sebuah karung terdapat 60 kaos bernomor 11, 12, 13, ..., 40. Ada 2 kaos untuk setiap nomor (nomor 11 ada 2 kaos, nomor 12 ada 2 kaos, dan seterusnya). Jika diambil 2 kaos secara acak, maka peluang yang terambil adalah kaos yang bernomor sama adalah ...
  • A). \( \frac{1}{59} \)
  • B). \( \frac{2}{35} \)
  • C). \( \frac{2}{33} \)
  • D). \( \frac{2}{31} \)
  • E). \( \frac{2}{29} \)
16). Sehabis belanja, Ratina membawa pulang uang kembalian berupa 8 koin (uang receh), yang terdiri dari ratusan, lima-ratusan, dan ribuan. Total nilai uang kembalian adalah tiga ribu rupiah. Sayangnya, dalam perjalanan pulang salah satu uang koin jatuh (hilang). Jika peluang kehilangan untuk satu ratusan, satu lima-ratusan, dan satu ribuan adalah sama, maka peluang kehilangan satu koin lima-ratusan adalah ...
  • A). \( \frac{1}{8} \)
  • B). \( \frac{2}{8} \)
  • C). \( \frac{3}{8} \)
  • D). \( \frac{4}{8} \)
  • E). \( \frac{5}{8} \)
17). Sebuah kantong berisi 15 bola merah, 12 bola biru, dan 3 bola hijau. Diambil sebuah bola secara acak sebanyak 2 kali tanpa pengembalian. Peluang bola yang terambil merah pada pengambilan pertama dan hijau pada pengambilan kedua adalah ...
  • A). \( \frac{1}{20} \)
  • B). \( \frac{1}{5} \)
  • C). \( \frac{6}{29} \)
  • D). \( \frac{3}{58} \)
  • E). \( \frac{3}{29} \)
18). Di dalam suatu keranjang terdapat 12 apel Malang, dua diantaranya diketahui busuk. Jika diambil 3 apel secara acak (random), maka peluang tepat satu di antaranya busuk adalah ...
  • A). \( \frac{9}{22} \)
  • B). \( \frac{5}{11} \)
  • C). \( \frac{4}{11} \)
  • D). \( \frac{9}{44} \)
  • E). \( \frac{5}{22} \)
19). Tita memiliki tetangga baru yang memiliki 2 anak. Jika salah satu anak tetangga baru tersebut adalah perempuan, maka besar peluang anak yang lain adalah laki-laki adalah ...
20). Ada satu keluarga terdiri dari Ayah, Ibu, dan tiga orang anak. Ibu lahir pada bulan April. Berapakah peluang ada tepat satu orang anggota lain dalam keluarga tersebut yang lahir juga di bulan April?
21). Perhatikan diagram berikut.
Banyaknya Siswa Kelas 7 Kelas 8 Kelas 9

Gambar di atas menunjukkan banyaknya siswa dari kelas 7, kelas 8, dan kelas 9 yang mengikuti kegiatan ekstra kurikuler sepak bola. Diketahui bahwa banyak siswa yang mengikuti kegiatan tersebut semuanya adalah 28 orang. Dua orang siswa dipilih secara acak untuk menjadi ketua dan wakil ketua. Jika wakil ketua terpilih adalah siswa kelas 7, maka peluang terpilihnya ketua yang berasal dari kelas 9 adalah ...

22). Indonesia akan mengirim delegasi Olimpiade Sains Internasional (OSI) tingkat SMP pada tahun 2006. Delegasi ini terdiri atas tiga siswa SMP yang harus dipilih secara acak dari 10 kandidat yaitu enam siswa bidang Sains dan empat siswa bidang Matematika. Berapa peluang terpilihnya delegasi OSI yang terdiri 2 siswa dari bidang Sains dan 1 siswa dari bidang Matematika?
23). Dua dadu bersisi enam diberi nomor baru pada setiap sisinya. Dadu pertama diberi nomor 1, 1, 2, 3, 3, 3 dan dadu kedua diberi nomor -1, -1, -1, -2, -2, -3. Jika kedua dadu dilempar bersamaan, maka peluang terjadinya jumlah bilangan pada kedua sisi atas dadu bernilai positif adalah ....
  • A). \( \frac{1}{4} \)
  • B). \( \frac{1}{3} \)
  • C). \( \frac{2}{5} \)
  • D). \( \frac{3}{4} \)
  • E). \( \frac{4}{5} \)
24). Kode sebuah kartu ATM diketahui berupa bilangan lima digit dengan ciri-ciri berikut:
  • digit puluhan adalah dua kali lipat digit ribuan,
  • jika digit ratusan dan satuan dipertukarkan maka nilai bilangan tersebut tidak berubah, dan
  • digit puluh-ribuan adalah tidak nol.

Jika pemilik kartu ATM tersebut lupa kodenya, tetapi ingat dengan ciri-ciri tersebut maka peluang ia dapat langsung menebaknya dengan benar adalah....

25). Dalam sebuah kantong terdapat 5 bola warna putih, 2 bola warna hijau, dan 3 bola warna merah. Akan diambil 3 bola secara satu persatu dengan pengembalian artinya bila bola sudah diambil dikembalikan ke dalam kantong tersebut. Peluang ketiga bola yang terambil berwarna hijau adalah ....
26). Sebuah bilangan bulat \(x\) diambil secara acak dari \(\{x \mid -5 \le x \le 10, x \text{ bilangan bulat}\}\). Peluang bahwa \(x\) adalah penyelesaian pertidaksamaan \(\sqrt{x^2 - 3x} \le 2\) adalah ....
27). Lima belas bilangan prima pertama dituliskan berturut-turut pada lima belas kartu. Jika semua kartu tersebut diletakkan dalam sebuah kotak dan kemudian diambil secara acak dua buah kartu berturut-turut tanpa pengembalian, maka peluang terambil dua kartu dengan jumlah dua bilangan tertulis merupakan bilangan prima adalah ....
28). Satu set kartu remi/bridge terdiri dari 52 lembar. Diambil 5 lembar kartu secara acak. Tentukan peluang terambil 2 kartu warna merah dan 3 kartu warna hitam, yang di antaranya terdapat tepat 1 kartu King.
Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMP

       Demikian pembahasan materi Peluang Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.