2. Kaidah Pencacahan
A). Aturan Jumlah, Perkalian, dan Faktorial
i). Aturan Penjumlahan (tidak sekaligus atau tidak serentak), biasanya ditandai kata ATAU.
Misalkan kejadian pertama ada $k_1$ cara, kejadian kedua ada $k_2$ cara, kejadian ketiga ada $k_3$ cara, $\dots$, sampai kejadian ke-$n$ ada $k_n$ cara, maka total cara dimana kejadian-kejadiannya tidak sekaligus terjadi adalah $k_1 + k_2 + k_3 + \dots + k_n$.
Ada dua cara untuk pergi dari Surabaya ke Balikpapan, yaitu menggunakan pesawat terbang, atau kapal laut. Untuk pesawat terbang ada 5 pilihan maskapai, dan kapal laut ada 3 jenis. Berapa banyak cara untuk pergi dari Surabaya ke Balikpapan?
Karena perjalanan menggunakan pesawat dan kapal laut bersifat saling lepas (tidak bisa dipakai bersamaan), gunakan aturan penjumlahan:
$$\text{Total cara} = 5 + 3 = 8\text{ cara.}$$
Di rumah Budi terdapat 3 jenis sepeda berbeda, 2 jenis sepeda motor berbeda, dan 2 mobil yang berbeda. Jika Budi ingin bepergian menggunakan kendaraan di rumahnya, maka ada berapa cara menggunakan kendaraanya tersebut?
Budi hanya dapat memilih satu kendaraan saat bepergian:
$$\text{Total cara} = 3 + 2 + 2 = 7\text{ cara.}$$
ii). Aturan Perkalian (untuk serentak atau sekaligus), biasanya ditandai kata DAN.
Misalkan terdapat kejadian-kejadian penyusunan yaitu:
- $k_1 =$ banyak cara penyusunan unsur pertama
- $k_2 =$ banyak cara penyusunan unsur kedua setelah unsur pertama tersusun
- $k_3 =$ banyak cara penyusunan unsur ketiga setelah unsur pertama dan kedua tersusun,
Dan seterusnya sampai kejadian $k_n$.
Total cara penyusunan kejadian yang serentak adalah:
Wati memiliki 4 baju dan 2 celana. Ada berapa banyak cara Wati berpakaian?
Berpakaian memerlukan pemakaian baju DAN celana secara bersamaan:
$$\text{Total cara} = 4 \times 2 = 8\text{ cara.}$$
Untuk menuju kota C dari kota A harus melewati kota B. Dari kota A ke kota B ada 4 pilihan jalan dan dari kota B ke kota C ada 3 pilihan jalan. Ada berapa banyak cara perjalanan dari kota A ke kota C?
Perjalanan berlanjut dari A ke B lalu B ke C:
$$\text{Total cara} = 4 \times 3 = 12\text{ cara.}$$
Dari lima angka yaitu 0, 3, 4, 5, dan 7 akan dibentuk sebuah bilangan yang terdiri dari 4 angka. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk jika:
a). angka-angkanya boleh berulang.
b). angka-angkanya tidak boleh berulang.
a). Angka boleh berulang:
Digit pertama (ribuan) tidak boleh 0 $\rightarrow$ 4 pilihan ($3,4,5,7$).
Digit ratusan, puluhan, dan satuan masing-masing ada 5 pilihan ($0,3,4,5,7$).
$$\text{Banyak bilangan} = 4 \times 5 \times 5 \times 5 = 500\text{ bilangan.}$$
b). Angka tidak boleh berulang:
Ribuan: 4 pilihan ($3,4,5,7$).
Ratusan: 4 pilihan sisa.
Puluhan: 3 pilihan sisa.
Satuan: 2 pilihan sisa.
$$\text{Banyak bilangan} = 4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96\text{ bilangan.}$$
Misalkan ada 3 orang utusan dari kelas VII, 4 orang utusan dari kelas VIII, dan 2 orang utusan dari kelas IX. Tentukan banyak kemungkinan susunan ketua dan wakil ketua dengan syarat kedua jabatan tersebut harus dari kelas yang berbeda?
Total utusan = $3 + 4 + 2 = 9$ orang.
Total cara memilih 2 orang sembarang untuk Ketua & Wakil = $9 \times 8 = 72$ cara.
Cara memilih 2 orang dari kelas yang SAMA:
- Kelas VII: $3 \times 2 = 6$
- Kelas VIII: $4 \times 3 = 12$
- Kelas IX: $2 \times 1 = 2$
Total kelas sama = $6 + 12 + 2 = 20$ cara.
$$\text{Banyak susunan kelas berbeda} = 72 - 20 = 52\text{ cara.}$$
iii). Faktorial
Misalkan terdapat bilangan cacah $n$, dinotasikan “$n!$” dibaca “$n$ faktorial” dengan penghitungan:
dengan $0! = 1$
Contohnya:
- $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
- $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
- $8! = 8 \times 7!$
Nyatakan bentuk berikut dalam bentuk faktorial:
a). $4 \times 5 \times 6$
b). $\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{1 \times 2 \times 3 \times 4}$
a). $4 \times 5 \times 6 = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = \frac{6!}{3!}$
b). $\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{1 \times 2 \times 3 \times 4} = \frac{\frac{8!}{4!}}{4!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!}$
Hitunglah nilai dari $\frac{5}{7!} - \frac{1}{6!} + \frac{24}{8!}$
Samakan penyebut menjadi $8!$:
$$\frac{5 \times 8}{8!} - \frac{1 \times 8 \times 7}{8!} + \frac{24}{8!} = \frac{40 - 56 + 24}{8!} = \frac{8}{8!} = \frac{8}{8 \times 7!} = \frac{1}{7!} = \frac{1}{5040}$$
Tentukan nilai $n$ dari persamaan $\frac{n! - (n-2)!}{(n-1)!} = 1$
Faktorkan pembilang dengan $(n-2)!$:
$$\frac{(n-2)![n(n-1) - 1]}{(n-1)(n-2)!} = 1 \implies \frac{n^2 - n - 1}{n-1} = 1$$
$$n^2 - n - 1 = n - 1 \implies n^2 - 2n = 0 \implies n(n - 2) = 0$$
Karena syarat faktorial $n \ge 2$, maka nilai $n = 2$.
B). Permutasi: Memperhatikan URUTAN
Permutasi $r$ unsur dari $n$ unsur ($r \le n$) ditulis $P_r^n$ (atau $_nP_r$, atau $P(n,r)$) adalah banyak cara penyusunan atau pengambilan $r$ unsur dari $n$ unsur objek yang ada dengan memperhatikan urutan. Yang dimaksud dengan memperhatikan urutan adalah bahwa dua unsur yang sama tetapi urutannya berbeda dianggap berbeda, sebagai contoh susunan $ab$ dianggap berbeda dengan $ba$.
Jenis-jenis permutasi:
- Permutasi sebagian unsur: $P_r^n = \frac{n!}{(n - r)!}$
- Permutasi semua unsur: $P_n^n = n!$
- Permutasi semua unsur, ada unsur sama: $\frac{n!}{p!\,q!\,r!}$
Contoh: Kata BAHAGIA, ada $\frac{7!}{3!}$ susunan kata. - Permutasi Siklis: $(n - 1)!$
Hitunglah nilai permutasi berikut:
a). $P_3^7$
b). $P_5^5$
a). $P_3^7 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210$
b). $P_5^5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
Tentukan nilai $n$ dari persamaan $P_2^{(n-1)} = 20$
$$\frac{(n-1)!}{(n-1-2)!} = 20 \implies \frac{(n-1)!}{(n-3)!} = 20$$
$$(n-1)(n-2) = 20 \implies n^2 - 3n + 2 = 20 \implies n^2 - 3n - 18 = 0$$
$$(n - 6)(n + 3) = 0$$
Karena $n$ harus positif, maka $n = 6$.
Sekolah SMP Budaya, setiap tahun mengadakan acara pentas seni. Terdapat 5 calon siswa untuk menjadi ketua dan sekretaris pada acara tersebut. Ada berapa banyak cara pemilihan ketua dan sekretaris?
Memilih 2 orang dari 5 calon dengan memperhatikan jabatan (urutan):
$$P_2^5 = \frac{5!}{(5-2)!} = 5 \times 4 = 20\text{ cara.}$$
Dalam suatu lomba diikuti oleh 5 orang kontestan. Ada berapa banyak susunan juara yang terbentuk dari juara 1 sampai juara 5?
$$P_5^5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\text{ susunan.}$$
Berapa banyak kata yang dapat disusun dari kata:
a). AGUSTUS
b). GAJAH MADA
c). MATEMATIKA
d). RABU
a). AGUSTUS (7 huruf; U=2, S=2):
$\frac{7!}{2! \cdot 2!} = \frac{5040}{4} = 1260\text{ kata.}$
b). GAJAH MADA (9 huruf; A=4):
$\frac{9!}{4!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 15.120\text{ kata.}$
c). MATEMATIKA (10 huruf; M=2, A=3, T=2):
$\frac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 2!} = \frac{3.628.800}{2 \times 6 \times 2} = 151.200\text{ kata.}$
d). RABU (4 huruf berbeda):
$4! = 24\text{ kata.}$
Terdapat 4 orang duduk pada meja bundar. Tentukan ada berapa banyak susunan duduk yang mungkin?
Menggunakan permutasi siklis:
$$P_{\text{siklis}} = (4 - 1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\text{ susunan.}$$
C). Kombinasi: Tidak Memperhatikan Urutan
Kombinasi $r$ unsur dari $n$ unsur ($r \le n$) ditulis $C_r^n$ (atau $_nC_r$, atau $C(n,r)$ atau $\binom{n}{r}$) adalah banyak cara penyusunan atau pengambilan $r$ unsur dari $n$ unsur objek yang ada dengan tidak memperhatikan urutan. Yang dimaksud dengan tidak memperhatikan urutan adalah bahwa dua unsur yang sama tetapi urutannya berbeda dianggap sama, sebagai contoh susunan $ab$ dianggap sama dengan $ba$.
Rumus Kombinasi:
Dalam sebuah kelas terdapat 15 putra dan 10 putri.
a). Tentukan banyaknya kemungkinan pengiriman delegasi terdiri dari 5 orang.
b). Tentukan banyaknya kemungkinan pengiriman delegasi terdiri dari 3 putra dan 2 putri.
a). Memilih 5 orang dari total 25 siswa ($15+10$):
$$C_5^{25} = \frac{25!}{(25-5)! \cdot 5!} = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21}{120} = 53.130\text{ cara.}$$
b). Memilih 3 putra dari 15 DAN 2 putri dari 10:
$$C_3^{15} \times C_2^{10} = \frac{15 \times 14 \times 13}{6} \times \frac{10 \times 9}{2} = 455 \times 45 = 20.475\text{ cara.}$$
Soal Latihan
1). Sepuluh pasang suami istri mengikuti suatu pesta. Mereka kemudian saling berjabat tangan satu sama lain. Namun demikian, setiap pasang suami istri tidak pernah berjabat tangan, maka banyaknya jabatan tangan yang terjadi adalah ...
2). Bilangan cacah lima digit dengan digit pertama tidak nol dan jumlah semua digitnya sama dengan 2 ada sebanyak ...
3). Banyak bilangan asli yang kurang dari 10.000 dengan jumlah digit pertama dan digit terakhirnya sama dengan 11 adalah ...
4). Di laboratorium Matematika terdapat 6 batang kayu sejenis yang panjangnya berturut-turut $4\text{ dm}$, $4\text{ dm}$, $10\text{ dm}$, $11\text{ dm}$, $22\text{ dm}$, dan $37\text{ dm}$. Jika keenam batang kayu tersebut harus digunakan untuk membuat trapesium sama kaki, maka banyak trapesium sama kaki yang dapat dibentuk adalah ...
5). Bapak dan ibu Zaenal sedang merencanakan nama bagi anak mereka yang akan segera lahir dengan nama yang terdiri dari 3 kata dengan nama belakang Zaenal. Mereka menginginkan inisial/singkatan nama anak tersebut adalah terurut menurut abjad dengan tak ada huruf yang berulang, sebagai contoh GTZ, tetapi mereka tidak mau TGZ. Banyak pilihan inisial nama yang dapat dipergunakan adalah ...
6). Perhatikan Gambar 7.
Dengan mulai dari angka 2 pada lingkaran ditengah, bilangan 2008 dapat dibentuk dari pergerakan satu lingkaran ke satu lingkaran lainnya jika lingkarannya saling bersinggungan. Banyak cara untuk membentuk bilangan 2008 adalah ...
7). Tersedia tujuh gambar yang berbeda akan dipilih empat gambar yang akan dipasang membentuk barisan memanjang. Banyaknya cara yang dapat dilakukan jika sebuah gambar yang terpilih harus selalu dipasang di ujung adalah ...
8). Terdapat 3 orang Indonesia, 4 orang Belanda, dan 2 orang Jerman akan duduk dalam bangku yang memanjang. Banyaknya susunan yang terjadi jika duduknya berkelompok menurut kewarganegaraannya adalah ...
9). Sebuah kubus akan diberi warna sedemikian sehingga setiap dua sisi yang berdekatan (yakni dua sisi yang dipisahkan oleh tepat satu rusuk) diberi warna yang berbeda. Jika diberikan 5 warna yang berbeda, maka banyak cara yang berbeda untuk mewarnai kubus adalah ...
10). Nilai $\frac{1}{8!} - \frac{2}{9!} + \frac{3}{10!} = \dots$
11). Lima pasang suami istri akan duduk di 10 kursi secara memanjang. Banyaknya cara mengatur tempat duduk mereka sehingga setiap pasang suami istri duduk berdampingan adalah ...
12). Hasil penjumlahan $1! + 2! + 3! + \dots + 2011!$ adalah suatu bilangan yang angka satuannya adalah ...
13). Lima orang akan pergi ke pantai menggunakan sebuah mobil berkapasitas 6 tempat duduk. Jika hanya ada dua orang yang bisa menjadi sopir. maka banyaknya cara mengatur tempat duduk di dalam mobil adalah ...
14). Tersedia beberapa angka 2, 0 dan 1. Angka dua ada sebanyak lima buah masing-masing berwarna merah, hijau, kuning, biru dan nila. Angka nol dan satu masing-masing ada sebanyak empat buah dengan warna masing-masing merah, hijau, kuning dan biru. Selanjutnya menggunakan angka-angka tersebut akan dibentuk bilangan 2011 sehingga angka-angka yang bersebelahan tidak boleh sewarna. Contoh pewarnaan yang dimaksud: 2(merah) 0(hijau) 1(merah) 1(biru). Contoh bukan pewarnaan yang dimaksud: 2(merah) 0(hijau) 1(hijau) 1(biru). Banyaknya bilangan 2011 dengan komposisi pewarnaan tersebut adalah ...
15). Suatu byte didefinisikan sebagai susunan angka yang terdiri dari 8 angka (digit), yaitu 0 atau 1. Contoh byte: 01110111. Banyak jenis byte yang memuat angka 1 tepat sebanyak 5 adalah ...
16). Lima orang guru akan ditempatkan pada tiga sekolah yang berbeda, 2 orang di sekolah pertama, 2 orang di sekolah kedua, dan 1 orang di sekolah ketiga. Banyak cara menempatkan kelima orang guru tersebut adalah ...
17). Lima orang anak akan naik mobil dengan kapasitas enam tempat duduk, yakni dua di depan termasuk pengemudi (Sopir), dua di tengah, dan dua di belakang. Jika hanya ada dua orang yang bisa mengemudi, banyak cara mengatur tempat duduk mereka adalah ...
18). Beberapa bilangan empat angka memiliki angka-angka penyusun tak nol yang saling berbeda dan berjumlah 10. Banyak bilangan yang dimaksud adalah ...
19). Suatu string terdiri dari 10 angka 0, 1, atau 2. Bobot string didefinisikan sebagai jumlah angka-angka dalam string tersebut. Sebagai contoh, string 0002002001 mempunyai bobot 5. Banyak string dengan bobot 4 adalah ...
20). Pada suatu kubus ABCD.EFGH, ruas garis AG adalah diagonal ruang dari kubus tersebut. Ada berapa carakah perjalanan terpendek dari titik sudut G ke titik sudut A dengan syarat perjalanan tersebut hanya melalui rusuk-rusuk kubus tanpa ada yang dilalui lebih dari satu kali?
21). Enam belas tim sepak bola mengikuti turnamen. Pertama-tama mereka dikelompokkan ke dalam 4 kelompok dengan masing-masing 4 tim di setiap kelompoknya. Di setiap kelompok mereka saling bermain satu sama lain satu kali. Dua tim yang memiliki peringkat teratas selanjutnya maju babak berikutnya yang menggunakan sistem gugur (kalah langsung tereliminasi) sampai ditemukan juaranya. Berapa banyak pertandingan yang berlangsung dalam turnamen tersebut?
22). Tiga bilangan bulat membentuk kumpulan data yang berata-rata 10. Banyaknya kombinasi bilangan yang (sebutkan pula datanya) jika diketahui selisih data terbesar dan terkecilnya tidak lebih dari 4 adalah ...
23). Seseorang memiliki sejumlah koin 1000 rupiahan. Setelah diperhatikan dengan seksama, ternyata koin yang dimilikinya terdiri dari 3 macam diantara 4 macam koin sekarang yang masih berlaku (500-an, 200-an, 100-an, dan 50-an). Selidiki dan tentukan berapa banyak kombinasi koin yang mungkin dimiliki oleh anak tersebut.
24). Nomor telepon di kota Malang terdiri dari enam angka. Banyaknya nomor telepon di kota itu yang habis dibagi 5 adalah ...
25). Lima orang pemuda pergi berekreasi menggunakan sebuah mobil. Mobil yang digunakan memiliki dua tempat duduk di depan (termasuk untuk pengemudi) dan tiga tempat duduk di belakang. Dari kelima pemuda tersebut hanya dua orang yang bisa menjadi pengemudi. Banyak cara mereka duduk di mobil adalah ...
26). Final lomba renang wanita 400 meter diikuti oleh 4 orang finalis yaitu Anita, Bonita, Cantika, dan Dita. Diperoleh informasi bahwa Bonita selalu kalah bertarung dengan Anita dan Cantika, namun selalu menang bertarung dengan Dita. Jika dalam perlombaan tersebut akan ditentukan peraih medali emas, perak dan perunggu, maka kemungkinan susunan dari penerima medali adalah ....
27). Didefinisikan $n!$ yaitu $n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \dots 2 \cdot 1$. Bilangan bulat $n$ yang memenuhi $n! = 2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11$ adalah ...
28). Nia akan berulang tahun dalam waktu dekat. Karena keterbatasan biaya, dia hanya mampu mengundang 10 dari 15 orang temannya. Diantara teman-temannya, terdapat sahabat dekatnya, yaitu: Ade, Dea, Ani, dan Ina. Nia memutuskan bahwa Ade dan Dea harus diundang. Tetapi, Ani dan Ina tidak mungkin diundang bersama-sama karena mereka sedang berselisih faham. Banyak cara menentukan susunan nama-nama yang akan diundang pada acara ulang tahun tersebut adalah ...
29). Dua puluh ubin persegi yang kongruen akan disusun dalam 2 baris. Masing-masing baris berisi 10 ubin. Diantara ubin-ubin tersebut terdapat 9 ubin bergambar bunga. Banyak cara menyusun ubin tersebut agar sesama ubin bergambar bunga tidak saling bersinggungan adalah ...
(Catatan: dua ubin dikatakan bersinggungan jika ada salah satu sisi yang saling berimpit).
30). Pada suatu perusahaan, ada 3 lowongan pekerjaan yang disediakan hanya untuk pekerja pria, 5 lowongan pekerjaan hanya untuk pekerja wanita, dan 4 lowongan pekerjaan untuk pekerja pria atau wanita. Jika terdapat 20 pelamar dengan komposisi 8 wanita dan 12 pria, maka banyak cara mengisi lowongan pekerjaan tersebut adalah ....
31). Bilangan palindrom adalah bilangan yang dibaca dari kiri dan kanan selalu sama, seperti 131. Banyak bilangan ganjil positif yang bersifat palindrom dan terdiri dari sembilan angka serta dua kali bilangan tersebut juga merupakan bilangan palindrom adalah ...
32). Sebuah tabel permainan angka berukuran $4 \times 4$, setiap sel akan diisi dengan bilangan $1$ atau $-1$ sedemikian sehingga jumlah setiap baris dan kolom adalah 0. Ada berapa banyak cara untuk menyusun tabel permainan yang dimaksud?
33). Banyak bilangan 3 digit (angka) yang terdiri dari angka-angka 0, 2, 3, 5, 7, 8 yang lebih besar dari 243 dan kurang dari 780 adalah ...
34). Lima angka yakni 1, 2, 3, 4, dan 5 dapat disusun semuanya tanpa pengulangan menjadi 120 bilangan berbeda. Jika bilangan-bilangan tersebut diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar, maka bilangan yang menempati urutan ke-75 adalah ....
35). Tim Sepakbola terdiri atas 25 orang, masing-masing diberi kaos bernomor 1 sampai dengan 25. Banyak cara memilih tiga pemain secara acak dengan syarat jumlah nomor kaos mereka habis dibagi tiga adalah ...
Demikian pembahasan materi Kaidah Pencacahan Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
