22. Himpunan
Untuk menentukan banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari suatu himpunan yang mempunyai $n$ anggota dirumuskan $2^n$. Sedangkan untuk merinci himpunan bagian yang mempunyai anggota yang dikehendaki dapat digunakan segitiga Pascal. Perhatikan contoh penggunaan segitiga Pascal berikut ini:
Contoh 1:
Diketahui $A = \{0, 1, 2, 3, 4\}$. Misalkan $X \subseteq A$, maka banyak himpunan bagian $X$ yang terdiri dari 4 anggota adalah...?
Diketahui $A = \{0, 1, 2, 3, 4\} \implies n(A) = 5$.
Keterangan $X \subseteq A$ artinya $X$ adalah subhimpunan (himpunan bagian) dari $A$.
Cara 1: Menggunakan Rumus Kombinasi
Banyaknya himpunan bagian dari $A$ yang memiliki $k = 4$ anggota dapat dihitung dengan rumus kombinasi $\binom{n}{k}$:
$$\binom{5}{4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5}{1} = 5$$Cara 2: Menggunakan Segitiga Pascal
Untuk $n(A) = 5$, kita perhatikan barisan angka pada Segitiga Pascal baris ke-5 beserta pasangan jumlah anggotanya:
Barisan Segitiga Pascal : 1 5 10 10 5 1
Banyak Anggota (Indeks): 0 1 2 3 4 5
Tampak bahwa untuk subhimpunan yang memiliki 4 anggota (indeks 4), nilainya pada barisan Segitiga Pascal adalah 5.
Jadi, ada 5 subhimpunan yang memiliki 4 anggota.
Misalkan terdapat himpunan semesta $S$, serta himpunan $A$ dan $B$ di dalam semesta $S$. Beberapa operasi himpunan yaitu:
(i). Irisan: $A \cap B$
(ii). Gabungan (Union): $A \cup B$
(iii). Pengurangan: $A - B$
(iv). Komplemen
Komplemen dari himpunan $A$ ditulis $A^C$:
(v). Beda Setangkup: $A \oplus B$
(vi). Perkalian Kartesian
Contoh 2:
Diketahui himpunan semesta $S$ dan anggotanya yaitu $A$ dan $B$:
$A = \{3, 4, 7, 9\}$
$B = \{4, 7, 8, 10, 12\}$
$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$
Tentukan:
a). $A \cap B$ b). $A \cup B$ c). $A - B$ d). $B - A$ e). $A^C$ f). $A \oplus B$ g). $A \times B$
a). $A \cap B$:
$A \cap B = \{4, 7\}$
b). $A \cup B$:
$A \cup B = \{3, 4, 7, 8, 9, 10, 12\}$
c). $A - B$:
$A - B = \{3, 9\}$
d). $B - A$:
$B - A = \{8, 10, 12\}$
e). $A^C$:
$A^C = \{1, 2, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$
f). $A \oplus B$:
$A \oplus B = (A - B) \cup (B - A) = \{3, 8, 9, 10, 12\}$
g). $A \times B$:
$A \times B = \{(3,4), (3,7), (3,8), (3,10), (3,12), (4,4), (4,7), (4,8), (4,10), (4,12),$
$\qquad \qquad (7,4), (7,7), (7,8), (7,10), (7,12), (9,4), (9,7), (9,8), (9,10), (9,12)\}$
Perhatikan diagram venn berikut:
Contoh 3:
Di kelas IX di sebuah sekolah adalah 240 anak. Mereka didata untuk mengikuti kegiatan ekstrakurikuler dan diperoleh data sebagai berikut: 100 siswa mengikuti tari, 90 siswa mengikuti musik, dan 80 siswa mengikuti olahraga, 50 siswa mengikuti tari dan musik, 40 siswa mengikuti musik dan olahraga, 30 siswa mengikuti tari dan olahraga. Jika 10 siswa mengikuti ketiganya, maka siswa yang tidak mengikuti kegiatan ekstrakurikuler sebanyak ...?
Misalkan:
- Semesta $n(S) = 240$
- Tari $n(T) = 100$, Musik $n(M) = 90$, Olahraga $n(O) = 80$
- $n(T \cap M) = 50$, $n(M \cap O) = 40$, $n(T \cap O) = 30$
- $n(T \cap M \cap O) = 10$
Jumlah siswa yang mengikuti sekurang-kurangnya satu ekstrakurikuler:
$$n(T \cup M \cup O) = n(T) + n(M) + n(O) - n(T \cap M) - n(M \cap O) - n(T \cap O) + n(T \cap M \cap O)$$ $$n(T \cup M \cup O) = 100 + 90 + 80 - 50 - 40 - 30 + 10 = 160$$Banyak siswa yang tidak mengikuti ekstrakurikuler apapun:
$$\text{Tidak Ikut} = n(S) - n(T \cup M \cup O) = 240 - 160 = 80$$Jadi, siswa yang tidak mengikuti kegiatan ekstrakurikuler sebanyak 80 anak.
Prinsip Inklusi dan Eksklusi (PIE) adalah bentuk paling umum dari prinsip penambahan pada himpunan. Berikut bentuk PIE:
1). $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
2). $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |C \cap A| + |A \cap B \cap C|$
3). Bentuk umum PIE yaitu:
Jika diberikan $n$ buah himpunan maka kardinalitas dari gabungan $n$ buah himpunan tersebut yaitu:
$$|A_1 \cup A_2 \cup A_3 \dots \cup A_n| = \sum_{i=1}^n |A_i| - \sum_{i \lt j} |A_i \cap A_j| + \sum_{i \lt j \lt k} |A_i \cap A_j \cap A_k| - \dots + (-1)^{n+1} |A_1 \cap A_2 \dots \cap A_n|$$Keterangan pendukung:
- *). $A$ adalah subhimpunan dari $S$
- *). $\bar{A}$ adalah komplemen dari himpunan $A$
- *). $|A| = n(A)$ yaitu banyak anggota $A$
- *). $|S| = |A| + |\bar{A}|$
- *). Hukum de Morgan: $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$ dan $\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}$
- *). $[x]$ adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari $x$ (disebut fungsi tangga).
- *). Banyak bilangan 1 sampai $n$ yang habis dibagi oleh $m$ dihitung dengan rumus $\left[\frac{n}{m}\right]$.
Contoh 4:
Jika ada 3013 siswa yang disurvei diperoleh data bahwa ada 1000 anak suka Akuntansi dan 900 suka Matematika. Jika ada 1500 tidak menyukai keduanya maka berapa siswa yang menyukai keduanya?
Diketahui:
- Semesta $|S| = 3013$
- Suka Akuntansi $|A| = 1000$
- Suka Matematika $|M| = 900$
- Tidak suka keduanya $|\overline{A \cup M}| = 1500$
Maka banyak siswa yang menyukai sekurang-kurangnya satu pelajaran:
$$|A \cup M| = |S| - |\overline{A \cup M}| = 3013 - 1500 = 1513$$Berdasarkan rumus PIE:
$$|A \cup M| = |A| + |M| - |A \cap M|$$ $$1513 = 1000 + 900 - |A \cap M|$$ $$1513 = 1900 - |A \cap M| \implies |A \cap M| = 1900 - 1513 = 387$$Jadi, banyak siswa yang menyukai keduanya adalah 387 siswa.
Contoh 5:
Ada berapa banyak bilangan bulat antara 1 dan 1000 (termasuk 1 dan 1000) yang tidak habis dibagi 2 dan tidak habis dibagi 5?
Semesta $|S| = 1000$. Misalkan:
- $A_2$ adalah himpunan bilangan yang habis dibagi 2: $|A_2| = \left[\frac{1000}{2}\right] = 500$
- $A_5$ adalah himpunan bilangan yang habis dibagi 5: $|A_5| = \left[\frac{1000}{5}\right] = 200$
- $A_2 \cap A_5$ adalah himpunan bilangan yang habis dibagi 2 dan 5 (kelipatan 10): $|A_2 \cap A_5| = \left[\frac{1000}{10}\right] = 100$
Banyak bilangan yang habis dibagi 2 atau 5:
$$|A_2 \cup A_5| = |A_2| + |A_5| - |A_2 \cap A_5| = 500 + 200 - 100 = 600$$Banyak bilangan yang tidak habis dibagi 2 dan tidak habis dibagi 5:
$$|\overline{A_2 \cup A_5}| = |S| - |A_2 \cup A_5| = 1000 - 600 = 400$$Jadi, terdapat 400 bilangan.
-
1). Jika $X = \{a, b, c\}$ dan $Y = \{1, 2\}$, maka himpunan pasangan berurutan dari $X \times Y$ adalah ...
-
2). $H$ adalah himpunan semua bilangan asli $n$ sedemikian sehingga bentuk $\frac{n-1}{n-3}$ menghasilkan bilangan bulat kurang dari 1, maka banyaknya himpunan bagian tak kosong dari $H$ adalah ...
-
3). Misalkan $A = \{1,2,3\}$ dan $B = \{a,b,c\}$. Banyaknya korespondensi satu-satu yang dapat dibuat dari $A$ ke $B$ adalah ...
-
4). Jika $H$ adalah himpunan semua pembagi positif dari 2007, maka banyak himpunan bagian dari $H$ yang tidak kosong adalah ...
-
5). Misalkan banyak anggota himpunan $A$ dan $B$ berturut-turut ialah $m$ dan $n$, dengan $m \gt n$. Banyak anggota himpunan $A \cup B$ paling sedikit adalah ...
-
6). Pernyataan yang benar di antara pernyataan-pernyataan berikut adalah ...
-
7). Banyak himpunan bagian dari himpunan $\{a, b, c, d, e, f\}$ yang memuat sedikitnya satu huruf vokal adalah ...
-
8). Diketahui $H = \{k \mid x^2 - 1 \lt x^2 + k \lt 2(x + 1), \text{dengan } x \text{ dan } k \text{ bilangan bulat}\}$. Banyaknya himpunan bagian dari himpunan $H$ adalah ...
-
9). Jika himpunan $A$ mempunyai anggota sebanyak $x$ dan himpunan $B$ mempunyai anggota sebanyak $y$, $x \le y$, maka himpunan $A \cup B$ mempunyai anggota (maksimum) sebanyak ...
-
10). $H$ adalah himpunan yang didefinisikan oleh $\{x \in B \mid x^2 \le 10, x - 1 \lt 2\}$ dengan $B$ adalah himpunan bilangan bulat. Banyaknya himpunan bagian tak kosong dari $H$ adalah ...
-
11). Diketahui sebuah bilangan rasional positif kurang dari 1 yang dinyatakan dalam pecahan biasa dalam bentuk paling sederhana. Jika hasil kali pembilang dan penyebut dari bilangan rasional tersebut adalah $20! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 20$, tentukan banyaknya semua bilangan yang mungkin.
-
12). Diketahui dua buah himpunan $A$ dan $B$ dengan:
$A = \{(x, y) \mid 1987 \le y \lt x \le 2013 \text{ dengan } x \text{ dan } y \text{ bilangan bulat}\}$ dan
$B = \{(x, y) \mid y \le 2013 - x \text{ dengan } x \text{ dan } y \text{ bilangan bulat}\}$.
Banyak anggota himpunan $A - B$ adalah ... -
13). Banyak himpunan $X$ yang memenuhi $\{1, 2\} \subseteq X \subseteq \{1, 2, 3, 4, 5\}$ adalah ...
-
14). Dari 65 siswa yang disurvei didapatkan data bahwa ada 20 siswa yang menyukai Fisika dan 35 menyukai Matematika. Jika terdapat 25 siswa yang tidak menyukai Matematika maupun Fisika maka ada berapa siswa yang menyukai Matematika dan Fisika?
-
15). Carilah banyaknya bilangan dari 1 sampai 2013, yang tidak habis dibagi oleh 5, 6 dan 8?
-
16). Pada suatu klub Musik, 14 orang bermain piano atau gitar, 8 orang adalah pemain piano dan 5 orang memainkan kedua alat tersebut. Ada berapa orang yang memainkan gitar?
-
17). Dari 100 orang siswa terdapat 30 siswa yang hanya menyukai sepakbola saja. Yang menyukai bola volly ada 50 siswa. Ada berapa siswa yang tidak menyukai sepak bola maupun bola volly?
-
18). Jika setiap subhimpunan yang mungkin dari himpunan 8 bilangan prima terkecil ditulis dan dijumlahkan setiap anggota subhimpunannya, lalu semua hasil penjumlahan tersebut dijumlahkan kembali semuanya, maka tentukan hasil akhir yang diperoleh?
-
19). Ada berapa banyak bilangan bulat antara 1 dan 1000 (termasuk 1 dan 1000) yang tidak habis dibagi 2 dan tidak habis dibagi 7?
-
20). Diketahui $F = \{5, 6, 7, 8, \dots, 44, 45\}$ dan $G$ adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan tiga atau lebih bilangan-bilangan asli berurutan. Anggota $F \cap G$ sebanyak ....
-
21). Suatu kata biner yang panjangnya $n$ adalah suatu barisan/sekuens angka-angka 0 atau 1 yang panjangnya $n$. Berapa banyak kata biner dengan panjang 10 yang diawali dengan tiga angka 0 atau diakhiri dengan dua angka 1?
Demikian pembahasan materi Himpunan Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
