_olim_matik_sma_blog_koma.png)
4. a. Fungsi (Nilai dan Persamaan)
A). Nilai fungsi
Untuk menentukan nilai fungsi, cukup substitusi nilai variabel yang diminta.
Tentukan nilai fungsi berikut:
a). $f(1)$ pada fungsi $f(x) = x^{2021} - 2x + 3$
b). $g(2,3)$ pada fungsi $g(a, b) = a^2 - b^2 + 6$
a). Substitusi $x = 1$ ke $f(x)$:
$$f(1) = 1^{2021} - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$$b). Substitusi $a = 2$ dan $b = 3$ ke $g(a, b)$:
$$g(2,3) = 2^2 - 3^2 + 6 = 4 - 9 + 6 = 1$$Untuk bilangan real tidak nol $a, b,$ dan $c$, didefinisikan:
$$(a, b, c) = \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$$Berapakah nilai dari $(2, 12, 9)$?
Substitusi $a = 2, b = 12,$ dan $c = 9$:
$$(2, 12, 9) = \frac{2}{12} + \frac{12}{9} + \frac{9}{2} = \frac{1}{6} + \frac{4}{3} + \frac{9}{2}$$Samakan penyebutnya menjadi 6:
$$(2, 12, 9) = \frac{1 + 8 + 27}{6} = \frac{36}{6} = 6$$Didefinisikan operasi "$\infty$" dengan:
$$x \infty y = 4x - 3y + xy$$Untuk semua bilangan real $x$ dan $y$. Berapa banyak bilangan real $y$ yang memenuhi $3 \infty y = 12$?
Substitusi $x = 3$ ke dalam definisi operasi:
$$3 \infty y = 4(3) - 3y + (3)y = 12 - 3y + 3y = 12$$Sehingga diperoleh persamaan $12 = 12$. Persamaan ini bernilai benar untuk semua nilai $y \in \mathbb{R}$.
Jadi, banyak bilangan real $y$ yang memenuhi adalah tak hingga.
Didefinisikan $a * b = a + b + 1$ untuk semua bilangan bulat $a$ dan $b$. Jika $p$ memenuhi $a * p = a$, untuk setiap bilangan bulat $a$, maka $p$ sama dengan ...?
Berdasarkan definisi operasi $a * p$:
$$a * p = a + p + 1$$Diketahui bahwa $a * p = a$, maka:
$$a + p + 1 = a \implies p + 1 = 0 \implies p = -1$$Soal Latihan A:
- Untuk bilangan real tidak nol $a, b,$ dan $c$, didefinisikan $(a, b, c) = \frac{abc}{a+b+c}$. Berapakah nilai dari $(2, 4, 6)$?
- Misalkan $@(x)$ menyatakan jumlah dari digit-digit dari bilangan bulat positif $x$. Sebagai contoh, $@(8) = 8$ dan $@(123) = 1 + 2 + 3 = 6$. Berapa banyak bilangan $x$ dua digit sehingga $@(@(x)) = 3$?
- Untuk sebarang tiga bilangan real $a, b,$ dan $c$ dengan $b \neq c$. Operasi $\exists$ didefinisikan: $\exists(a, b, c) = \frac{a}{b-c}$. Berapakah nilai $\exists(\exists(1, 2, 3), \exists(2, 3, 1), \exists(3, 1, 2))$?
- Untuk tiap pasangan bilangan real $a \neq b$, didefinisikan operasi $\#$ sebagai $a\#b = \frac{a+b}{a-b}$. Berapakah nilai dari $(2015\#2014)\#4028$?
- Sebuah operator $@$ memenuhi sifat:
$x@0 = x$,
$x@y = y@x$, dan
$(x+1)@y = (x@y) + y + 1$.
Berapakah nilai dari $12@5$? - Jika $x\#y$ didefinisikan untuk semua bilangan bulat sebagai berikut: $$x\#y = \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$$ Dan jika $x\#y$ sama dengan 7, berapakah kemungkinan nilai untuk $x > 14$?
- Untuk semua bilangan $x$ dan $y$, operasi $x * y$ didefinisikan $x * y = ax + by + c$. Jika $2 * 3 = 3$, $7 * 4 = 17$, dan $4 * 10 = 2$. Maka tentukan nilai $p$ yang memenuhi $3 * p = 0$.
- Suatu operasi "$\boxplus$" didefinisikan untuk semua bilangan rasional positif sebagai $a \boxplus b = \frac{2ab}{a+b}$. Tentukan semua nilai $a$ yang memenuhi $(a \boxplus 2) \boxplus a = 1$.
- Misalkan $m * n$ didefinisikan sebagai: $$m * n = \frac{1}{m} + \frac{1}{n}$$ Tentukan himpunan solusi untuk $x * (x * 1) = 2$.
- Misalkan $n \downarrow$ menyatakan bilangan prima terbesar yang kurang dari $n$ dan $n \uparrow$ menyatakan bilangan prima terkecil yang lebih dari $n$. Tentukan nilai dari: $$[(10 + 20 \uparrow) \downarrow + 30] \uparrow$$
B). Persamaan Fungsi sederhana
Persamaan fungsi adalah persamaan untuk fungsi yang belum diketahui (unknown functions) sebagai ganti bilangan-bilangan yang belum diketahui. Dalam bagian ini, kita akan mencoba mengeksplorasi bagaimana kita dapat menemukan "the unknown function" ketika kondisi-kondisi tertentu sudah diketahui. Persamaan fungsi ini biasanya memiliki banyak selesaian, dan kadang kita sulit untuk mencari semua solusinya.
Jika $f$ adalah fungsi linier dengan $f(1) = 2000$ dan $f(x + 1) + 12 = f(x)$, maka nilai $f(100) = \dots$?
Persamaan $f(x + 1) - f(x) = -12$ menunjukkan beda tetap tiap kenaikan 1 unit.
Karena $f$ linier, bentuk umum $f(x) = ax + b$ dengan gradien $a = -12$.
Substitusi $f(1) = 2000$:
$$-12(1) + b = 2000 \implies b = 2012$$Sehingga rumus fungsi adalah $f(x) = -12x + 2012$. Maka:
$$f(100) = -12(100) + 2012 = -1200 + 2012 = 812$$Misalkan fungsi $f(3x - 1) = x^2 + x + 1$ untuk semua bilangan real $x$. Nilai $f(5) = \dots$?
Untuk mencari $f(5)$, cari nilai $x$ yang memenuhi $3x - 1 = 5$:
$$3x = 6 \implies x = 2$$Substitusi $x = 2$ ke dalam persamaan fungsi:
$$f(5) = 2^2 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7$$Misalkan $f$ suatu fungsi yang memenuhi:
$$f\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{1}{x} f(-x) = 2x$$Untuk setiap bilangan real $x \neq 0$. Berapakah nilai dari $f(2)$?
Substitusi $x = \frac{1}{2}$:
$$f(2) + 2f\left(-\frac{1}{2}\right) = 1 \quad \text{--- (1)}$$Substitusi $x = -2$:
$$f\left(-\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2}f(2) = -4 \implies 2f\left(-\frac{1}{2}\right) - f(2) = -8 \quad \text{--- (2)}$$Kurangkan persamaan (1) dengan persamaan (2):
$$\left[f(2) + 2f\left(-\frac{1}{2}\right)\right] - \left[2f\left(-\frac{1}{2}\right) - f(2)\right] = 1 - (-8)$$ $$2f(2) = 9 \implies f(2) = \frac{9}{2} = 4{,}5$$Misalkan $f$ suatu fungsi yang memenuhi $f(xy) = \frac{f(x)}{y}$ untuk semua bilangan real positif $x$ dan $y$. Jika $f(100) = 3$, maka $f(10)$ adalah $\dots$?
Pilih $x = 10$ dan $y = 10$:
$$f(10 \cdot 10) = \frac{f(10)}{10} \implies f(100) = \frac{f(10)}{10}$$Karena $f(100) = 3$, maka:
$$3 = \frac{f(10)}{10} \implies f(10) = 30$$Misalkan $f(x)$ adalah fungsi yang memenuhi:
a). untuk setiap bilangan real $x$ dan $y$ maka $f(x+y) = x + f(y)$
b). $f(0) = 2$.
Tentukan nilai dari $f(1998)$?
Pilih $y = 0$ pada syarat (a):
$$f(x + 0) = x + f(0) \implies f(x) = x + 2$$Substitusi $x = 1998$:
$$f(1998) = 1998 + 2 = 2000$$Jika $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ memenuhi:
1). $f(1) = 2$,
2). Untuk semua $x, y \in \mathbb{Q}$, $f(xy) = f(x)f(y) - f(x+y) + 1$
Tentukan $f(x)$.
Substitusi $y = 1$ ke syarat (2):
$$f(x \cdot 1) = f(x)f(1) - f(x+1) + 1$$ $$f(x) = 2f(x) - f(x+1) + 1$$ $$f(x+1) = f(x) + 1$$Secara induktif untuk $x \in \mathbb{Q}$, diperoleh $f(x) = x + 1$.
Soal Latihan B:
- Jika fungsi $f(x)$ memenuhi $f(x+1) - f(x) = 5x + 2$ dan $f(0) = 4$, maka $f(2021) = \dots$?
- Fungsi $f(x)$ memenuhi $3f(x) + 2f(1-x) = 2x$ untuk setiap bilangan real $x$. Nilai $f(2) = \dots$?
- Jika $f(x)$ adalah fungsi yang tidak terdefinisi untuk $x = 0$ dengan $f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 3x$, maka $f(x) = \dots$?
- Misalkan $f$ merupakan suatu fungsi yang memetakan dari bilangan bulat positif ke bilangan bulat positif dan didefinisikan dengan $f(ab) = b f(a) + a f(b)$. Jika $f(10) = 19$, $f(12) = 52$, dan $f(15) = 26$, tentukan nilai dari $f(8)$?
- Jika $(x-y)f(x+y) - (x+y)f(x-y) = 4xy(x^2 - y^2)$ untuk semua $x, y$. Tentukan $f(x)$?
- Untuk setiap bilangan real $x, y$ terdapat fungsi $f$ yang memenuhi $f(x+y) = f(x) + f(y)$. Buktikan bahwa $f(x) = cx$ dimana $c$ suatu konstanta.
- Untuk semua bilangan bulat $x$, fungsi $f$ memenuhi: $$f(x+1) - f(x+1)f(x) = 1 + f(x)$$ Jika $f(1) = 2$, maka tentukan nilai dari $f(2021)$?
- Misalkan $f(x+3) = 3x^2 + 7x + 4$ dan $f(x) = ax^2 + bx + c$. Nilai dari $a+b+c = \dots$?
- Misalkan $f$ memenuhi $f\left(\frac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1$. Tentukan jumlah semua nilai $z$ sehingga $f(3z) = 7$.
- Tentukan semua fungsi $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sehingga untuk setiap $x, y \in \mathbb{R}$ berlaku: $$f(f(f(x)) + f(y)) = f(y) - f(x)$$ (OSN '22)
- Tentukan semua fungsi $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sehingga $n^2 + f(n)f(m)$ merupakan kelipatan $f(n) + m$ untuk setiap bilangan asli $n, m$. (OSN '20)
Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA
Demikian pembahasan materi Fungsi (Nilai dan Persamaan) Olim Matik SMA dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
