4. b. Fungsi Komposisi dan Invers
A). Fungsi Komposisi
Misalkan terdapat fungsi $f(x)$, $g(x)$, dan $h(x)$.
- $(f \circ g)(x) = f(g(x)) \rightarrow g(x)$ substitusi ke $f(x)$
- $(g \circ f)(x) = g(f(x)) \rightarrow f(x)$ substitusi ke $g(x)$
- $(f \circ g \circ h)(x) = (f \circ g)(h(x)) = f(g(h(x)))$
Jika diketahui $f(x - 1) = 2x$ dan $g(x) = x^2 - 2$, maka $(f \circ g)(x + 1) = \dots$
Langkah 1: Menentukan fungsi $f(x)$.
Misalkan $u = x - 1 \implies x = u + 1$.
$$f(u) = 2(u + 1) = 2u + 2 \implies f(x) = 2x + 2$$
Langkah 2: Menentukan $(f \circ g)(x)$.
$$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 - 2) = 2(x^2 - 2) + 2 = 2x^2 - 4 + 2 = 2x^2 - 2$$
Langkah 3: Menentukan $(f \circ g)(x + 1)$.
$$(f \circ g)(x + 1) = 2(x + 1)^2 - 2 = 2(x^2 + 2x + 1) - 2 = 2x^2 + 4x + 2 - 2 = 2x^2 + 4x$$
Jadi, $(f \circ g)(x + 1) = 2x^2 + 4x$.
Diketahui $f(x) = x + 7$ dan $(f \circ g)(x) = 5x + 3$. Tentukan fungsi $g(x)$.
Berdasarkan definisi fungsi komposisi:
$$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 5x + 3$$
Karena $f(x) = x + 7$, maka $f(g(x)) = g(x) + 7$. Sehingga:
$$g(x) + 7 = 5x + 3$$
$$g(x) = 5x + 3 - 7$$
$$g(x) = 5x - 4$$
Jadi, fungsi $g(x) = 5x - 4$.
Diketahui $(g \circ f)(x) = 2x^2 + 5x - 5$ dan $f(x) = x + 3$. Tentukan fungsi $g(x)$.
Berdasarkan definisi:
$$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 2x^2 + 5x - 5$$
Substitusikan $f(x) = x + 3$ ke dalam persamaan:
$$g(x + 3) = 2x^2 + 5x - 5$$
Misalkan $u = x + 3 \implies x = u - 3$. Substitusikan nilai $x$ tersebut:
$$g(u) = 2(u - 3)^2 + 5(u - 3) - 5$$
$$g(u) = 2(u^2 - 6u + 9) + 5u - 15 - 5$$
$$g(u) = 2u^2 - 12u + 18 + 5u - 20 = 2u^2 - 7u - 2$$
Jadi, fungsi $g(x) = 2x^2 - 7x - 2$.
Diketahui $f(x) = 2x + 5$ dan $g(x) = \frac{x - 1}{x + 4}$. Jika $(f \circ g)(a) = 5$, maka $a = \dots$
Kita ketahui bahwa $(f \circ g)(a) = f(g(a)) = 5$.
Karena $f(x) = 2x + 5$, maka:
$$f(g(a)) = 2g(a) + 5 = 5$$
$$2g(a) = 0 \implies g(a) = 0$$
Substitusikan nilai $g(a) = \frac{a - 1}{a + 4}$:
$$\frac{a - 1}{a + 4} = 0 \implies a - 1 = 0 \implies a = 1$$
Jadi, nilai $a = 1$.
Jika $f(x) = x + 2$, $g(x) = 2x^2 - 3$, dan $h(x) = 5x$, maka $(f \circ g \circ h)(2) = \dots$?
Hitung secara bertahap dari fungsi paling dalam:
1. $h(2) = 5(2) = 10$
2. $g(h(2)) = g(10) = 2(10)^2 - 3 = 2(100) - 3 = 197$
3. $(f \circ g \circ h)(2) = f(g(h(2))) = f(197) = 197 + 2 = 199$
Jadi, nilai $(f \circ g \circ h)(2) = 199$.
B). Fungsi Invers
Definisi: $y = f(x) \leftrightarrow x = f^{-1}(y)$
Artinya setiap fungsi pindah ruas, maka kita beri invers dan ingat sifat: $(f^{-1})^{-1} = f$.
Tentukan invers dari fungsi:
a). $f(x) = 3x - 8$
b). $g(x) = \frac{x + 1}{3 - 2x}$
a). Untuk $f(x) = 3x - 8$:
Misalkan $y = f(x)$, maka:
$$y = 3x - 8 \implies 3x = y + 8 \implies x = \frac{y + 8}{3}$$
Maka, $f^{-1}(x) = \frac{x + 8}{3}$.
b). Untuk $g(x) = \frac{x + 1}{3 - 2x}$:
Misalkan $y = g(x)$, maka:
$$y = \frac{x + 1}{3 - 2x}$$
$$y(3 - 2x) = x + 1$$
$$3y - 2xy = x + 1$$
$$3y - 1 = x + 2xy$$
$$3y - 1 = x(1 + 2y)$$
$$x = \frac{3y - 1}{2y + 1}$$
Maka, $g^{-1}(x) = \frac{3x - 1}{2x + 1}$ untuk $x \neq -\frac{1}{2}$.
Jika fungsi $f(x - 3) = 5x + 1$, maka $f^{-1}(1) = \dots$?
Gunakan sifat invers: Jika $f(A) = B$, maka $f^{-1}(B) = A$.
Kita mencari nilai $x$ sedemikian sehingga hasil fungsinya adalah $1$:
$$5x + 1 = 1 \implies 5x = 0 \implies x = 0$$
Substitusikan $x = 0$ ke dalam fungsi $f(x - 3)$:
$$f(0 - 3) = f(-3) = 5(0) + 1 = 1$$
Karena $f(-3) = 1$, maka diperoleh:
$$f^{-1}(1) = -3$$
Jadi, $f^{-1}(1) = -3$.
C). Sifat-sifat Invers dan Komposisi
- $(f^{-1})^{-1} = f$
- $(f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f)(x) = x$ (identitas)
- $(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)$
- $(g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x)$
- $(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(x)$
Jika $f(x) = 5x + 3$ dan $g(x) = \frac{2x + 3}{5 - x}$, maka tentukan $(f \circ g)^{-1}(x)$.
Langkah 1: Tentukan fungsi komposisi $(f \circ g)(x)$.
$$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 5\left(\frac{2x + 3}{5 - x}\right) + 3$$
$$(f \circ g)(x) = \frac{10x + 15}{5 - x} + \frac{3(5 - x)}{5 - x}$$
$$(f \circ g)(x) = \frac{10x + 15 + 15 - 3x}{5 - x} = \frac{7x + 30}{-x + 5}$$
Langkah 2: Tentukan invers dari $(f \circ g)(x)$.
Gunakan rumus praktis invers pecahan $y = \frac{ax + b}{cx + d} \implies y^{-1} = \frac{-dx + b}{cx - a}$:
Dari $(f \circ g)(x) = \frac{7x + 30}{-x + 5}$, diperoleh $a = 7, b = 30, c = -1, d = 5$.
$$(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{-5x + 30}{-x - 7} = \frac{5x - 30}{x + 7}$$
Jadi, $(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{5x - 30}{x + 7}$.
Soal Latihan
Jika $f(x^2) = x^2 + 2x + 1$ dan $g(x) = x^2 + 6x + 9$, maka bentuk $(f \circ g)(x)$ adalah $\dots$?
Diketahui $(g \circ f)(x) = 4x^2 + 4x$ dan $g(x) = x^2 - 1$ dan berlaku $f(x) > 0$ untuk $x > -\frac{1}{2}$. Tentukan $f(x - 2)$.
Jika $g(x) = 2x + 4$ dan $(g \circ f)(x) = 2x^2 + 4x + 6$, maka $(f \circ g)(1)$ adalah $\dots$
Diketahui $f(x) = ax + 2$ dan $g(x) = 2x + d$ dengan $d \neq 0$. Jika $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ untuk semua $x$, maka nilai $d(a - 1)$ adalah $\dots$
Diketahui $f(x) = x^2 - 1$ dan $g(x) = \sqrt{x - 3}$.
Jika $a$ dan $b$ bilangan real sehingga $(g \circ f)(a) = (f \circ g)(b) = 0$, maka maksimum selisih $a$ dan $b$ adalah $\dots$
Terdapat fungsi $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ dan memenuhi:
$$f(n) = \begin{cases} n + 3, & \text{jika } n \text{ ganjil} \\ \frac{n}{2}, & \text{jika } n \text{ genap} \end{cases}$$
Misalkan $k$ adalah bilangan ganjil dan $f(f(f(k))) = 27$. Tentukan penjumlahan digit-digit dari $k$.
Misalkan $f(n)$ adalah kuadrat dari jumlah angka-angka $n$. Misalkan juga $f^2(n) = (f \circ f)(n)$, $f^3(n) = (f \circ f \circ f)(n)$ dan seterusnya. Tentukan nilai dari $f^{2021}(11)$.
Jika $(f \circ g)(x) = 4x^2 + 8x - 3$ dan $g(x) = 2x + 4$, maka $f^{-1}(x) = \dots$
Diberikan fungsi $f(x) = 2x^2 + 1 + g(4 - 3x)$ dan $g(1) = 3$. Jika $f^{-1}$ menyatakan invers dari $f$, maka nilai dari $f^{-1}(6) = \dots$?
Jika $f(x) = x + 2$ dan $g(x) = \frac{x}{x + 5}$, maka nilai $(g^{-1} \circ f)(4)$ adalah $\dots$
Jika $f(x) = \frac{ax + 1}{3x - 1}$, $g(x) = x - 2$, dan $(g^{-1} \circ f^{-1})(2) = \frac{7}{2}$, maka $a = \dots$
Jika $g(x) = \frac{-ax - 3}{-x - 4}$ dan $h(x) = \frac{4x - 3}{-x + a}$, maka nilai $(g \circ h)(3)$ adalah $\dots$
Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA
Demikian pembahasan materi Fungsi Komposisi dan Invers Olim Matik SMA dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
