Barisan dan Deret Geometri Olim SMP

         Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Barisan dan Deret Geometri Olim Matik SMP. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Barisan dan Deret Geometri Olim Matik SMP Level SMP Pemula. Tentuk masih ada banyak lagi berkaitan Barisan dan Deret Geometri pada materi olim matik SMP yang bisa sahabat koma pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Barisan dan Deret Geometri ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba dan soal-soal Latihan.

21. Barisan dan Deret Geometri

A). Barisan Geometri

Barisan geometri adalah suatu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan suatu konstanta. Konstanta itu disebut rasio dan disimbolkan $r$.

Misalkan suku pertamanya $a$ dan rasionya $r$, maka:

• Barisannya: $a, ar, ar^2, ar^3, \dots, ar^{n-1}$
• Rumus suku ke-$n$: $U_n = ar^{n-1}$
• Rumus rasio: $r = \frac{U_n}{U_{n-1}}$
• Suku tengah: $U_t = \sqrt{a \cdot U_n}$ (syarat banyak suku ganjil)

Misalkan barisan geometri disusun: $U_1, U_2, U_3, U_4, \dots, U_n$

• Rumus suku ke-$k$: $U_k = U_p \cdot r^{k-p}$
• Rumus rasionya: $r^{k-p} = \frac{U_k}{U_p}$

Contoh 1:
Tentukan $n$ agar barisan $(n + 1), n, (n - 3)$ membentuk barisan geometri.

Solusi:

Agar tiga suku membentuk barisan geometri, nilai rasio antar dua suku berurutan harus sama:

$$r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} \implies \frac{n}{n + 1} = \frac{n - 3}{n}$$

Lakukan perkalian silang:

$$n^2 = (n + 1)(n - 3)$$ $$n^2 = n^2 - 2n - 3$$ $$2n = -3 \implies n = -\frac{3}{2}$$

Contoh 2:
Pada deret geometri diketahui:
$U_1 + U_3 + U_5 = 100$
$U_2 + U_4 + U_6 = 200$
Tentukanlah:
a). rasio
b). $U_2$

Solusi:

a). Menentukan Rasio ($r$):

Jabarkan persamaan kedua berdasarkan hubungan suku ke-$n$:

$$U_2 + U_4 + U_6 = ar + ar^3 + ar^5 = r(a + ar^2 + ar^4)$$

Karena $a + ar^2 + ar^4 = U_1 + U_3 + U_5 = 100$, maka:

$$200 = r \cdot 100 \implies r = 2$$

b). Menentukan $U_2$:

Substitusikan $r = 2$ ke dalam persamaan pertama:

$$a + a(2)^2 + a(2)^4 = 100 \implies a(1 + 4 + 16) = 100 \implies 21a = 100 \implies a = \frac{100}{21}$$

Maka, nilai $U_2$ adalah:

$$U_2 = ar = \frac{100}{21} \cdot 2 = \frac{200}{21}$$

B). Deret Geometri

Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku-suku dari barisan geometri, ditulis:
$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + \dots + U_n$
$S_n$ artinya jumlah $n$ suku pertama.

(i). Rumus $S_n$

$$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}, r < 1 \quad \text{atau} \quad S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} \text{ untuk } r > 1$$

(ii). Hubungan $S_n$ dan $U_n$ (Hubungan Rekursifnya)

Jika diketahui rumus $S_n$, maka $U_n$ dapat dihitung:

$$U_n = S_n - S_{n-1}$$

Contoh 3:
Tentukan jumlah deret berikut:
$1 + 2 + 4 + \dots + 1.024$

Solusi:

Suku pertama $a = 1$, rasio $r = 2$, dan suku terakhir $U_n = 1.024$.

Cari banyak suku ($n$):

$$U_n = a \cdot r^{n-1} \implies 1.024 = 1 \cdot 2^{n-1} \implies 2^{10} = 2^{n-1} \implies n = 11$$

Hitung jumlah deret $S_{11}$:

$$S_{11} = \frac{a(r^{11} - 1)}{r - 1} = \frac{1(2^{11} - 1)}{2 - 1} = 2048 - 1 = 2047$$

Trik bentuk deret pecahan: Jika penyebut pecahan membentuk deret geometri, maka kalikan dengan rasionya (kalikan $\frac{1}{r}$). Jika tidak, usahakan saling menghilangkan (Teleskoping). Trik ini juga bisa diterapkan pada deret bukan pecahan.

Contoh 4:
Tentukan jumlah deret berikut:
$$\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^{99}}$$

Solusi:

Deret geometri berhingga dengan $a = \frac{1}{3}$, $r = \frac{1}{3}$, dan $n = 99$.

$$S_{99} = \frac{a(1 - r^{99})}{1 - r} = \frac{\frac{1}{3}\left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{99}\right)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}\left(1 - 3^{-99}\right)}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{3^{99}}\right)$$

(ii). Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga adalah suatu deret dengan banyak suku-sukunya tak hingga.
$S_\infty = U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + \dots$

Beberapa rumus yang terkait:

• a). $S_\infty = \frac{a}{1 - r}$, untuk $-1 < r < 1$ (syarat konvergen)
• b). $S_\infty = \pm \infty$, untuk $|r| \ge 1$ (syarat divergen)
• c). Deret suku-suku berindeks ganjil:
  $$S_\infty^{\text{ganjil}} = U_1 + U_3 + U_5 + U_7 + \dots = \frac{a}{1 - r^2}, \quad \text{Rasio} = r^2$$
• d). Deret suku-suku berindeks genap:
  $$S_\infty^{\text{genap}} = U_2 + U_4 + U_6 + U_8 + \dots = \frac{ar}{1 - r^2}, \quad \text{Rasio} = r^2$$
• e). Hubungan ganjil dan genap:
  $$S_\infty = S_\infty^{\text{ganjil}} + S_\infty^{\text{genap}} \quad \text{dan} \quad r = \frac{S_\infty^{\text{genap}}}{S_\infty^{\text{ganjil}}}$$

Contoh 5:
Hitunglah bentuk berikut:
a). $\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \dots$
b). $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots$

Solusi:

a). $a = \frac{1}{3}$, $r = \frac{1}{3}$:

$$S_\infty = \frac{a}{1 - r} = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}$$

b). $a = 1$, $r = \frac{1}{2}$:

$$S_\infty = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$$

Contoh 6:
Jika jumlah suku deret geometri tak hingga adalah $6$, sedangkan jumlah suku-suku yang indeksnya genap adalah $2$, maka tentukan suku pertama deret itu?

Solusi:

Diketahui $S_\infty = 6$ dan $S_\infty^{\text{genap}} = 2$.

Maka jumlah suku berindeks ganjil:

$$S_\infty^{\text{ganjil}} = S_\infty - S_\infty^{\text{genap}} = 6 - 2 = 4$$

Besar rasio ($r$):

$$r = \frac{S_\infty^{\text{genap}}}{S_\infty^{\text{ganjil}}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Substitusikan ke rumus $S_\infty = \frac{a}{1 - r}$:

$$6 = \frac{a}{1 - \frac{1}{2}} \implies 6 = \frac{a}{\frac{1}{2}} \implies a = 3$$

Contoh 7:
Diketahui suku ke-3 dan suku ke-5 suatu barisan geometri berturut-turut $9$ dan $81$ dengan rasio positif. Tentukan nilai suku ke-2 nya?

Solusi:

Diketahui $U_3 = ar^2 = 9$ dan $U_5 = ar^4 = 81$.

Bagi $U_5$ dengan $U_3$:

$$\frac{ar^4}{ar^2} = r^2 = \frac{81}{9} = 9 \implies r = 3 \quad (\text{karena rasio positif})$$

Cari nilai $a$:

$$ar^2 = 9 \implies a(9) = 9 \implies a = 1$$

Maka suku ke-2 ($U_2$):

$$U_2 = ar = 1 \cdot 3 = 3$$

Contoh 8:
Tentukan nilai $n$ dari persamaan berikut:
$2 + 4 + 8 + 16 + \dots + 2^n = 2046$

Solusi:

Ruas kiri adalah deret geometri dengan $a = 2$ dan $r = 2$.

$$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2(2^n - 1)$$

Disamakan dengan $2046$:

$$2(2^n - 1) = 2046 \implies 2^n - 1 = 1023 \implies 2^n = 1024 \implies 2^n = 2^{10} \implies n = 10$$

Contoh 9:
Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu adalah $26$ dan hasil kalinya $216$. Tentukan ketiga bilangan itu.

Solusi:

Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah $\frac{x}{r}, x, xr$.

Dari hasil kali ketiga bilangan:

$$\left(\frac{x}{r}\right) \cdot x \cdot (xr) = x^3 = 216 \implies x = 6$$

Dari jumlah ketiga bilangan:

$$\frac{6}{r} + 6 + 6r = 26 \implies \frac{6}{r} + 6r = 20 \implies \frac{3}{r} + 3r = 10$$

Kalikan kedua ruas dengan $r$ dan faktorkan:

$$3r^2 - 10r + 3 = 0 \implies (3r - 1)(r - 3) = 0 \implies r = 3 \quad \text{atau} \quad r = \frac{1}{3}$$

Ketiga bilangan tersebut adalah $2, 6,$ dan $18$.

Contoh 10:
Persamaan kuadrat $2x^2 + x + a = 0$ memiliki akar-akar $m$ dan $n$. Bila $m, n,$ dan $\frac{1}{2}(mn)$ merupakan tiga suku pertama sebuah barisan geometri. Tentukan suku keempat barisan geometri tersebut.

Solusi:

Dari persamaan kuadrat $2x^2 + x + a = 0$, jumlah akar $m + n = -\frac{1}{2}$.

Suku-suku barisan geometri: $U_1 = m$, $U_2 = n$, $U_3 = \frac{1}{2}(mn)$.

Sifat barisan geometri $U_2^2 = U_1 \cdot U_3$:

$$n^2 = m \cdot \frac{1}{2}(mn) = \frac{1}{2} m^2 n \implies n = \frac{1}{2} m^2 \quad (\text{untuk } n \neq 0)$$

Substitusikan $n = \frac{1}{2} m^2$ ke $m + n = -\frac{1}{2}$:

$$m + \frac{1}{2} m^2 = -\frac{1}{2} \implies m^2 + 2m + 1 = 0 \implies (m + 1)^2 = 0 \implies m = -1$$

Maka $n = \frac{1}{2}(-1)^2 = \frac{1}{2}$.

Barisan geometri memiliki $U_1 = -1$ dan rasio $r = \frac{n}{m} = \frac{1/2}{-1} = -\frac{1}{2}$.

Suku keempat ($U_4$):

$$U_4 = U_1 \cdot r^3 = (-1) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = (-1) \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{1}{8}$$

Soal Latihan:

1. Perhatikan ekspresi berikut! $$1 + 2 \times 4 + 3 \times 4^2 + 4 \times 4^3 + \dots + 10 \times 4^9 = \frac{a \times 4^b + 1}{c}$$ Jika $a, b, c$ bilangan asli dan $a$ bukan kelipatan $4$, maka tentukan nilai dari $a + b + c$?
2. Hitunglah bentuk berikut:
   a). $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \frac{7}{16} + \dots$
   b). $1 + \frac{3}{2} + \frac{4}{4} + \frac{16}{8} + \frac{25}{16} + \frac{36}{32} + \dots$
3. Seekor semut merayap dari titik $(0,0)$ menuju $1$ unit ke atas (arah vertical), $\frac{1}{2}$ unit arah kanan (arah horizontal), $\frac{1}{4}$ unit turun (arah vertical), $\frac{1}{8}$ unit ke kiri (arah horizontal), demikian seterusnya membentuk deret geometri untuk arah vertical dan horizontal. Pada koordinat berapakah semut berhenti?
4. Sederhanakan bentuk berikut: $$\frac{a}{a + b} + \left(\frac{a}{a + b}\right)^2 + \left(\frac{a}{a + b}\right)^3 + \left(\frac{a}{a + b}\right)^4 + \dots$$ Dengan $\left|\frac{a}{a + b}\right| < 1$
5. Hitunglah bentuk berikut: $$\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2^2}\right) + \left(\frac{1}{3^2} - \frac{1}{2^3}\right) + \dots$$
6. Sebuah bola pimpong dijatuhkan dari ketinggian $2\text{ meter}$. Setiap kali setiap bola itu memantul ia mencapai ketinggian tiga per empat dari ketinggian yang dicapai sebelumnya. Panjang lintasan bola tersebut dari pantulan ke-3 sampai berhenti adalah ...?
7. Perhatikan gambar berikut:
   $\Delta ABC$ siku-siku di $A$, $B_1$ pada $BC$ sehingga $AB_1 \perp BC$, $B_2$ pada $BC$ sehingga $A_1 B_2 \perp BC$, $A_2$ pada $AC$ sehingga $B_2 A_2 \perp AC$, dan seterusnya. Jika $AB = 6$ dan $BC = 10$, maka jumlah luas $\Delta ABC, \Delta AB_1 C, \Delta A_1 B_1 C, \Delta B_2 A_1 C, \Delta A_2 B_2 C$, dan seterusnya adalah ...?
8. Buktikan bahwa untuk setiap deret geometri berhingga selalu berlaku: $$S_{2n} \div S_n = r^n + 1$$
9. Perhatikan gambar berikut:
   Di dalam persegi $ABCD$, terdapat persegi-persegi lain secara terus menerus dimana empat titik sudutnya diambil dari titik tengah persegi sebelumnya. Tentukan jumlah luas persegi yang terbentuk.
10. Perhatikan gambar berikut:
    Jika segitiga $TT_1 T_x$ siku-siku sama kaki dan panjang $TT_1 = 8\text{ cm}$, maka $TT_1 + T_1 T_2 + T_2 T_3 + T_3 T_4 + T_4 T_5 + \dots$ adalah ...
11. Diketahui bilangan $N$ dan $M$ berikut: $$N = \underbrace{666666 \dots \dots \dots 6666}_{100\text{ kali angka } 6} \quad \text{dan} \quad M = \underbrace{333333 \dots \dots \dots 3333}_{50\text{ kali angka } 3}$$ Tentukan jumlah semua angka pada hasil $\frac{N}{M}$.
12. Hitunglah bentuk berikut: $$\sqrt{\underbrace{44444 \dots \dots 44}_{2000\text{ angka } 4} \underbrace{888888 \dots 888 9}_{1999\text{ angka } 8}}$$
13. Tentukan nilai $\frac{a}{b}$ dari bentuk berikut: $$\underbrace{333 \dots .33}_{n\text{ angka } 3} \times \underbrace{33 \dots \dots \dots 334}_{(n-1)\text{ angka } 3} = \frac{1}{9}(10^a + 10^b - 2)$$
14. Suatu barisan bilangan real mempunyai suku-suku didefinisikan sebagai berikut:
    • $U_n = ar^{n-1}$ jika $n = 4m - 3$ atau $n = 4m - 2$
    • $U_n = -ar^{n-1}$ jika $n = 4m - 1$ atau $n = 4m$
    Dengan $a > 0, r > 0$, dan $m$ bilangan bulat positif.
    Buktikan bahwa jumlah semua suku ke-1 sampai dengan suku ke-2009 adalah $$\frac{a(1 + r - r^{2009} + r^{2010})}{1 + r^2}$$

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMP

       Demikian pembahasan materi Barisan dan Deret Geometri Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.