Teleskoping dan Rumus Rekursif Olim SMP

         Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Teleskoping dan Rumus Rekursif Olim Matik SMP. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Teleskoping dan Rumus Rekursif Olim Matik SMP Level SMP Pemula. Tentuk masih ada banyak lagi berkaitan Teleskoping dan Rumus Rekursif pada materi olim matik SMP yang bisa sahabat koma pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Teleskoping dan Rumus Rekursif ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba dan soal-soal Latihan.

7. Teleskoping dan Rumus Rekursif

A). Deret Teleskoping

Terdapat deret berikut:

$$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n \dots\dots\dots (1)$$

Untuk menghitung deret tersebut, kita ubah ke bentuk lain yaitu $a_m = b_m - b_{m-1}$, sehingga terbentuk:

$$a_1 = b_1 - b_0, \quad a_2 = b_2 - b_1, \quad a_3 = b_3 - b_2, \quad \dots, \quad a_n = b_n - b_{n-1}$$

Deret (1) di atas dapat kita ubah menjadi:

$$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = (b_1 - b_0) + (b_2 - b_1) + (b_3 - b_2) + \dots + (b_n - b_{n-1}) = b_n - b_0$$

Jika bentuk $b_n$ ada, maka deret $a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n$ disebut deret teleskoping.

Contoh 1

Hitunglah bentuk berikut:

$$\left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{4}\right) \dots \left(1 + \frac{1}{99}\right)$$

Solusi:

Ubah setiap faktor ke bentuk pecahan tunggal:

$$\left(\frac{3}{2}\right) \cdot \left(\frac{4}{3}\right) \cdot \left(\frac{5}{4}\right) \dots \left(\frac{100}{99}\right)$$

Perhatikan bahwa pembilang pada suatu suku akan saling menghilangkan dengan penyebut pada suku berikutnya (perkalian teleskoping):

$$= \frac{{3}}{2} \cdot \frac{{4}}{{3}} \cdot \frac{{5}}{{4}} \dots \frac{100}{{99}} = \frac{100}{2} = 50$$

Contoh 2

Tentukan nilai dari:

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \frac{1}{63} + \frac{1}{99} + \frac{1}{143}$$

Solusi:

Ubah setiap penyebut menjadi perkalian dua bilangan ganjil berurutan:

$$= \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \frac{1}{7 \times 9} + \frac{1}{9 \times 11} + \frac{1}{11 \times 13}$$

Gunakan sifat teleskoping pecahan $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$:

$$= \frac{1}{2} \left[ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}\right) + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{11}\right) + \left(\frac{1}{11} - \frac{1}{13}\right) \right]$$

Suku-suku di tengah saling menghilangkan, sehingga tersisa:

$$= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{13} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{12}{13} \right) = \frac{6}{13}$$

Contoh 3

Bentuk paling sederhana dari $\left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right)\left(1 - \frac{1}{4}\right) \dots \left(1 - \frac{1}{2016}\right)\left(1 - \frac{1}{2017}\right)$ adalah $\frac{x}{y}$. Nilai dari $x + y$ adalah $\dots$

Solusi:

Sederhanakan masing-masing faktor pecahan:

$$\left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{3}{4}\right) \dots \left(\frac{2015}{2016}\right) \cdot \left(\frac{2016}{2017}\right)$$

Penyebut suatu suku saling menghapus dengan pembilang suku berikutnya:

$$= \frac{1}{{2}} \cdot \frac{{2}}{{3}} \cdot \frac{{3}}{{4}} \dots \frac{{2016}}{2017} = \frac{1}{2017}$$

Sehingga diperoleh $\frac{x}{y} = \frac{1}{2017}$, dengan $x = 1$ dan $y = 2017$. Maka:

$$x + y = 1 + 2017 = 2018$$

Contoh 4

Sederhanakan bentuk berikut:

$$\left(1 - \frac{1}{2^2}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{3^2}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{4^2}\right) \dots \left(1 - \frac{1}{2011^2}\right)$$

Solusi:

Gunakan identitas aljabar $1 - \frac{1}{k^2} = \left(1 - \frac{1}{k}\right)\left(1 + \frac{1}{k}\right) = \left(\frac{k-1}{k}\right)\left(\frac{k+1}{k}\right)$:

$$= \left[ \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{3}{2}\right) \right] \cdot \left[ \left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{4}{3}\right) \right] \cdot \left[ \left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{5}{4}\right) \right] \dots \left[ \left(\frac{2010}{2011}\right)\left(\frac{2012}{2011}\right) \right]$$

Kelompokkan menjadi dua bagian teleskoping terpisah:

$$= \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \dots \frac{2010}{2011} \right) \times \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \dots \frac{2012}{2011} \right)$$

$$= \left( \frac{1}{2011} \right) \times \left( \frac{2012}{2} \right) = \frac{1006}{2011}$$

Contoh 5

Sederhanakan bentuk berikut:

$$1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \dots + 99 \cdot 99!$$

dengan $n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \dots 3 \cdot 2 \cdot 1$. Misalkan: $5! = 120$ dan $3! = 6$.

Solusi:

Gunakan identitas $k \cdot k! = (k + 1 - 1)k! = (k + 1)! - k!$:

$$\begin{aligned} 1 \cdot 1! &= 2! - 1! \\ 2 \cdot 2! &= 3! - 2! \\ 3 \cdot 3! &= 4! - 3! \\ &\vdots \\ 99 \cdot 99! &= 100! - 99! \end{aligned}$$

Jumlahkan seluruh suku sehingga terjadi saling hapus teleskoping:

$$= (2! - 1!) + (3! - 2!) + (4! - 3!) + \dots + (100! - 99!) = 100! - 1! = 100! - 1$$

Contoh 6

Tunjukkan bahwa:

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \dots \frac{9999}{10000} < \frac{1}{100}$$

Solusi:

Misalkan $P = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \dots \frac{9999}{10000}$.

Bandingkan dengan $Q = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \dots \frac{10000}{10001}$.

Karena $\frac{1}{2} < \frac{2}{3}$, $\frac{3}{4} < \frac{4}{5}$, $\dots$, $\frac{9999}{10000} < \frac{10000}{10001}$, maka jelas $P < Q$.

Akibatnya, $P^2 < P \cdot Q$. Mari hitung hasil kali $P \cdot Q$:

$$P \cdot Q = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \dots \frac{9999}{10000} \right) \cdot \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \dots \frac{10000}{10001} \right) = \frac{1}{10001}$$

Karena $P^2 < P \cdot Q = \frac{1}{10001} < \frac{1}{10000}$, maka:

$$P < \sqrt{\frac{1}{10000}} = \frac{1}{100} \quad \text{(Terbukti)}$$

B). Rumus Rekursif

Rumus rekursif merupakan suatu bentuk rumus yang digunakan untuk menentukan nilai berikutnya dari nilai sebelumnya. Misalkan bentuknya $a_{n+1} = a_n + f(n)$ dengan $f(n)$ adalah suatu bentuk polinom. Penentuan rumus tertutup dari suatu bentuk rumus rekursif tergantung dari pola bilangan yang terbentuk dan analisis serta kreatifitas yang dimunculkan.

Contoh 7

Diketahui $a_0 = 7$ dan $a_n = 2a_{n-1}$ untuk $n \ge 1$. Tentukan nilai $a_4$?

Solusi:

Ini adalah barisan geometri dengan rasio $r = 2$ dan suku awal $a_0 = 7$. Maka rumus umum suku ke-$n$ adalah:

$$a_n = a_0 \cdot 2^n = 7 \cdot 2^n$$

Untuk $n = 4$:

$$a_4 = 7 \cdot 2^4 = 7 \cdot 16 = 112$$

Contoh 8

Diketahui $a_0 = 2, a_1 = 3$ dan $a_n = 2a_{n-1} + a_{n-2} + 1$ untuk $n \ge 2$. Tentukan nilai $a_3$?

Solusi:

Hitung secara bertahap mulai dari $n = 2$:

$$a_2 = 2a_1 + a_0 + 1 = 2(3) + 2 + 1 = 6 + 2 + 1 = 9$$

Selanjutnya untuk $n = 3$:

$$a_3 = 2a_2 + a_1 + 1 = 2(9) + 3 + 1 = 18 + 3 + 1 = 22$$

Soal Latihan

1). Bentuk sederhana dari

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \dots + \frac{1}{2005(2005 + 1)}$$

adalah $\dots$

2). Bilangan asli $n$ sedemikian sehingga hasil kali

$$\left(1 + \frac{1}{2}\right)\left(1 + \frac{1}{3}\right)\left(1 + \frac{1}{4}\right)\dots\left(1 + \frac{1}{n}\right)$$

merupakan bilangan bulat adalah $\dots$

A). $n$ ganjil B). $n$ genap C). $n$ kelipatan 3 D). $n$ sebarang E). Tidak ada $n$ yang memenuhi

3). $\frac{2006}{1 \cdot 2} + \frac{2006}{2 \cdot 3} + \frac{2006}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{2006}{2005 \cdot 2006} = \dots$

4). $\frac{1}{1^2+1} + \frac{1}{2^2+2} + \frac{1}{3^2+3} + \dots + \frac{1}{2004^2+2004} = \dots?$

5). Jika $n$ adalah bilangan asli, maka bentuk paling sederhana dari perkalian

$$\left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right)\left(1 - \frac{1}{4^2}\right)\dots\left(1 - \frac{1}{n^2}\right)$$

6). Hasil dari penjumlahan:

$$\frac{3}{20} + \frac{6}{60} + \frac{9}{126} + \frac{12}{224} + \dots + \frac{96}{24 \cdot 192} \text{ adalah } \dots$$

7). Tentukan nilai $y$, jika diketahui:

$$\frac{y}{6 \times 7} + \frac{y}{7 \times 8} + \frac{y}{8 \times 9} + \dots + \frac{y}{28 \times 29} + \frac{y}{29 \times 30} = 8$$

8). Hasil dari $\left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right)\left(1 - \frac{1}{4}\right)\left(1 - \frac{1}{5}\right)\left(1 - \frac{1}{6}\right)\left(1 - \frac{1}{7}\right)\left(1 - \frac{1}{8}\right)\left(1 - \frac{1}{9}\right)\left(1 - \frac{1}{10}\right)$ adalah $\dots$

9). Sederhanakan bentuk berikut:

$$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)}$$

10). Tentukan nilai $a$ dan $b$ dari bentuk berikut:

$$(2 + 1) \cdot (2^2 + 1) \cdot (2^{2^2} + 1) \cdot (2^{2^3} + 1) \dots (2^{2^{99}} + 1) = 2^a + b$$

11). Sederhanakan bentuk berikut:

$$\frac{3}{1^2 \times 2^2} + \frac{5}{2^2 \times 3^2} + \frac{7}{3^2 \times 4^2} + \dots + \frac{2n+1}{n^2 \times (n+1)^2}$$

12). Sederhanakan bentuk berikut:

$$\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \dots + \frac{n}{(n+1)!}$$

13). Hitunglah bentuk berikut:

$$\sqrt{1 + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} + \dots + \sqrt{1 + \frac{1}{2011^2} + \frac{1}{2012^2}}$$

14). Sederhanakan bentuk berikut:

$$3 \times 1! + 7 \times 2! + 13 \times 3! + \dots + (n^2 + n + 1) \times n!$$

15). Tentukan hasil dari:

$$\frac{1}{1 \times 4 \times 7} + \frac{1}{4 \times 7 \times 10} + \frac{1}{7 \times 10 \times 13} + \dots + \frac{1}{25 \times 28 \times 31}$$

16). Diketahui $b_n = \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \dots + \frac{n}{(n+1)!}$. Tentukan nilai dari $\frac{1 - b_{2020}}{1 - b_{2021}}?$

17). Tentukan nilai $x_3, t_3, u_3$ dari masing-masing rumus rekursif berikut:

$$\begin{aligned} \text{a). } &x_0 = 2 \text{ dan } x_n = 2x_{n-1} + 3^{n-1} \text{ untuk } n \ge 1. \\ \text{b). } &t_0 = 7 \text{ dan } t_n = t_{n-1} + n \text{ untuk } n \ge 1. \\ \text{c). } &u_0 = 1 \text{ dan } u_n = u_{n-1} + 12n \text{ untuk } n \ge 1. \end{aligned}$$

18). Jika $a_{n+1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{a_n}}$ ($n = 1, 2, 3, \dots, 2008$) dan $a_1 = 1$, tentukan nilai dari:

$$a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_4 + \dots + a_{2008} a_{2009}$$

19). Diketahui $x_1 = \frac{1}{2}$ dan $x_{k+1} = (x_k)^2 + x_k$. Tentukan bilangan bulat terbesar yang kurang dari

$$\frac{1}{x_1 + 1} + \frac{1}{x_2 + 1} + \frac{1}{x_3 + 1} + \dots + \frac{1}{x_{100} + 1}$$

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMP

       Demikian pembahasan materi Teleskoping dan Rumus Rekursif Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.