Suku Banyak (Polinomial) Olim SMP

         Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Suku Banyak (Polinomial) Olim Matik SMP. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Suku Banyak (Polinomial) Olim Matik SMP Level SMP Pemula. Tentuk masih ada banyak lagi berkaitan Suku Banyak (Polinomial) pada materi olim matik SMP yang bisa sahabat koma pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Suku Banyak (Polinomial) ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba dan soal-soal Latihan.

4. Polinomial (Suku Banyak)

A). Definisi Suku Tunggal dan Suku Banyak

Suku tunggal: merupakan bentuk aljabar yang hanya terdiri dari satu suku saja (hasil perkalian bilangan dan huruf).

Suku Banyak: merupakan penjumlahan dari beberapa suku tunggal. Misalkan terdapat bilangan real \(x\) dan bilangan cacah \(n\), suku banyak dengan variabel \(x\) berderajat \(n\) berbentuk:

\[a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0\]

dengan \(a_n \neq 0\).

Berikut beberapa contoh suku banyak yaitu:

• a). \(x^3 - 2x + 5\)
• b). \(6x^9 + 7x^3 + 5x^2 - 20\)

(B). Suku-suku, variabel, koefisien, konstanta, derajat

Pada bentuk aljabar, kita akan mengenal beberapa istilah yaitu:

1. Suku-suku yaitu pengelompokkan yang dipisah oleh operasi penjumlahan.
2. Variabel adalah huruf yang digunakan untuk mewakili suatu bentuk dan bisa diganti dengan angka tertentu.
3. Koefisien yaitu bilangan yang menyertai atau bilangan yang ada di depan huruf/abjadnya.
4. Konstanta yaitu suku yang tidak memuat huruf/abjad.
5. Derajat yaitu pangkat tertingginya.

Misalkan suku banyak: \(2x^3 + 5x^2 - 3x + 8\)

• Suku-sukunya: \(2x^3\), \(5x^2\), \(-3x\), dan \(8\).
• Variabelnya: \(x\)
• Koefisiennya:
  • Koefisien dari \(x^3\) adalah \(2\)
  • Koefisien dari \(x^2\) adalah \(5\)
  • Koefisien dari \(x\) adalah \(-3\)
• Konstantanya: \(8\)
• Derajatnya: \(3\)

C). Operasi aljabar

Ada beberapa operasi aljabar yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Untuk pembagian pada suku banyak akan dibahas secara khusus pada materi lain.

(i). Penjumlahan

Penjumlahan bentuk aljabar dilakukan pada suku-suku yang sejenis dengan menambahkan koefisiennya. Untuk suku-suku yang tidak sejenis hanya ditulis ulang. Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang memiliki huruf/abjad yang sama (jika ada pangkat maka pangkatnya juga harus sama).

(ii). Pengurangan

Pengurangan bentuk aljabar dilakukan pada suku-suku yang sejenis dengan mengurangkan koefisiennya. Untuk suku-suku yang tidak sejenis hanya ditulis ulang dengan memperhatikan tanda positif atau negatifnya.

(iii). Perkalian

Perkalian bentuk aljabar dilakukan dengan mengalikan setiap suku-sukunya, angka kalikan dengan angka dan abjad dengan abjad. Ingat juga perkalian tanda.

\[a \times (b + c) = a \times b + a \times c\] \[a \times (b - c) = a \times b - a \times c\] \[(a + b) \times (c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d\] \[(a - b) \times (c + d) = a \times c + a \times d - b \times c - b \times d\] \[(a - b) \times (c - d) = a \times c - a \times d - b \times c + b \times d\]

Berikut beberapa contoh sederhana:

• a). \(2x + 3x = 5x\)
• b). \(3(2x - 5) = 6x - 15\)
• c). \((x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6\)

Contoh 1:

Sederhanakan bentuk polinomial berikut:

\[3x + \{-4x^2 - [4x - 7x^2 - (-4 - x)] + 5x + 2\}\]

Solusi / Pembahasan:

Kerjakan dari kurung bagian paling dalam secara bertahap:

1. Sederhanakan \(-(-4 - x) = 4 + x\).
2. Sederhanakan dalam kurung siku \([ \dots ]\): \[[4x - 7x^2 + 4 + x] = [-7x^2 + 5x + 4]\]
3. Sederhanakan tanda minus di depan kurung siku: \[-[-7x^2 + 5x + 4] = 7x^2 - 5x - 4\]
4. Sederhanakan dalam kurung kurawal \(\{ \dots \}\): \[\{-4x^2 + 7x^2 - 5x - 4 + 5x + 2\} = \{3x^2 - 2\}\]
5. Gabungkan dengan suku di luar kurawal: \[3x + (3x^2 - 2) = 3x^2 + 3x - 2\]

Hasil akhir: \(3x^2 + 3x - 2\)

Contoh 2:

Hitunglah:

\[-9x^{n-2} - 8x^{n-1} - (-9x^{n-2}) - 8(x^{n-2} - 2x^{n-1})\]

dimana \(x = 9\) dan \(n = 3\).

Solusi / Pembahasan:

1. Sederhanakan bentuk aljabarnya terlebih dahulu:

\[= -9x^{n-2} - 8x^{n-1} + 9x^{n-2} - 8x^{n-2} + 16x^{n-1}\]

Kelompokkan suku-suku sejenis:

\[= (-9 + 9 - 8)x^{n-2} + (-8 + 16)x^{n-1}\] \[= -8x^{n-2} + 8x^{n-1}\]

2. Substitusikan nilai \(n = 3\):

\[= -8x^{3-2} + 8x^{3-1} = -8x^1 + 8x^2 = 8x^2 - 8x\]

3. Substitusikan nilai \(x = 9\):

\[= 8(9)^2 - 8(9) = 8(81) - 72 = 648 - 72 = 576\]

Hasil akhir: \(576\)

Contoh 3:

Misalkan \(x^2 - x - 1 = 0\), sederhanakan bentuk \(\frac{x^3 + x + 1}{x^5}\) menjadi sebuah bentuk suku banyak.

Solusi / Pembahasan:

Dari persamaan \(x^2 - x - 1 = 0\), kita dapatkan \(x^2 = x + 1\).

Cari perpangkatan \(x\) yang lebih tinggi:

• \(x^3 = x \cdot x^2 = x(x + 1) = x^2 + x = (x + 1) + x = 2x + 1\)
• Pembilang: \(x^3 + x + 1 = (2x + 1) + x + 1 = 3x + 2\)
• \(x^4 = (x^2)^2 = (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 = (x + 1) + 2x + 1 = 3x + 2\)
• \(x^5 = x \cdot x^4 = x(3x + 2) = 3x^2 + 2x = 3(x + 1) + 2x = 5x + 3\)

Perhatikan bahwa pembilang \(x^3 + x + 1 = 3x + 2\), yang nilainya sama dengan \(x^4\).

\[\frac{x^3 + x + 1}{x^5} = \frac{x^4}{x^5} = \frac{1}{x}\]

Karena \(x^2 - x - 1 = 0 \implies x - 1 - \frac{1}{x} = 0 \implies \frac{1}{x} = x - 1\).

Hasil akhir suku banyak: \(x - 1\)

D). Pembagian pada Suku Banyak

Misalkan terdapat sebuah polynomial \(f(x)\) dibagi dengan polynomial tidak nol \(p(x)\) menghasilkan polynomial \(h(x)\) dan bersisa \(s(x)\), maka dapat dituliskan:

\[f(x) = p(x) \cdot h(x) + s(x) \quad \text{.......... (1)}\]

Bentuk (1) ini kita sebut sebagai bentuk umum pembagian polynomial.

Pembagian Bersusun

Bentuk pembagian bersusun disajikan dalam diagram berikut:

Contoh 4:

Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian berikut:

(i). \(f(x) = 3x^2 + 5x - 7\) dibagi \(x + 2\)

(ii). \(f(x) = 3x^4 - 5x^3 + x^2 + 2\) dibagi \(x^2 + 3\)

Solusi / Pembahasan:

(i) Pembagian bersusun untuk \(3x^2 + 5x - 7\) dibagi \(x + 2\):

\[ \begin{array}{r l} & 3x - 1 \\ x + 2 & \overline{\smash{\big)}\, 3x^2 + 5x - 7} \\ & \underline{3x^2 + 6x \quad \ \ \ } - \\ & \quad \ \ \ -x - 7 \\ & \quad \ \ \ \underline{-x - 2} - \\ & \quad \ \ \ \ \ \ \ -5 \end{array} \]

• Langkah 1: Bagi suku pertama \(3x^2\) dengan \(x\) \(\rightarrow\) hasilnya \(3x\). Kalikan \(3x(x + 2) = 3x^2 + 6x\). Kurangkan: \((3x^2 + 5x) - (3x^2 + 6x) = -x\). Turunkan \(-7\).
• Langkah 2: Bagi \(-x\) dengan \(x\) \(\rightarrow\) hasilnya \(-1\). Kalikan \(-1(x + 2) = -x - 2\). Kurangkan: \((-x - 7) - (-x - 2) = -5\).

Hasil bagi: \(h(x) = 3x - 1\)

Sisa: \(s(x) = -5\)

(ii) Pembagian bersusun untuk \(3x^4 - 5x^3 + x^2 + 0x + 2\) dibagi \(x^2 + 3\):

\[ \begin{array}{r l} & 3x^2 - 5x - 8 \\ x^2 + 3 & \overline{\smash{\big)}\, 3x^4 - 5x^3 + x^2 + 0x + 2} \\ & \underline{3x^4 \quad \ \ \ \ \ \ + 9x^2 \quad \quad \quad \ \ \ } - \\ & \quad \ \ \ -5x^3 - 8x^2 + 0x + 2 \\ & \quad \ \ \ \underline{-5x^3 \quad \ \ \ \ \ - 15x \quad \ \ \ } - \\ & \quad \ \ \ \quad \ \ \ -8x^2 + 15x + 2 \\ & \quad \ \ \ \quad \ \ \ \underline{-8x^2 \quad \quad \ - 24} - \\ & \quad \ \ \ \quad \ \ \ \quad \ \ \ \ 15x + 26 \end{array} \]

• Langkah 1: Bagi \(3x^4\) dengan \(x^2\) \(\rightarrow\) hasilnya \(3x^2\). Kalikan \(3x^2(x^2 + 3) = 3x^4 + 9x^2\). Kurangkan dengan menyelaraskan suku-suku sejenis.
• Langkah 2: Bagi \(-5x^3\) dengan \(x^2\) \(\rightarrow\) hasilnya \(-5x\). Kalikan \(-5x(x^2 + 3) = -5x^3 - 15x\). Kurangkan suku sejenisnya.
• Langkah 3: Bagi \(-8x^2\) dengan \(x^2\) \(\rightarrow\) hasilnya \(-8\). Kalikan \(-8(x^2 + 3) = -8x^2 - 24\). Kurangkan hingga menyisakan bentuk bersuku derajat 1 (karena pembagi berderajat 2).

Hasil bagi: \(h(x) = 3x^2 - 5x - 8\)

Sisa: \(s(x) = 15x + 26\)

E). Teorema Sisa dan Teorema Faktor

(i). Teorema I (Teorema Sisa)

Untuk sembarang bilangan \(a\), sebuah polynomial \(f(x)\) berderajat \(n \ge 1\) dapat dituliskan:

\[f(x) = (x - a) \cdot h(x) + s, \quad \text{dengan } h(x) \text{ berderajat } n - 1 \text{ dan } s = f(a).\]

Untuk sembarang bilangan \(a\) dan \(b\), sebuah polynomial \(f(x)\) berderajat \(n \ge 2\) dapat dituliskan:

\[f(x) = (x - a)(x - b) \cdot h(x) + s(x),\]

dimana \(h(x)\) berderajat \(n - 2\) dan sisanya \(s(x)\) berderajat satu atau nol.

(ii). Teorema II (Teorema Faktor)

Sebuah polynomial \(f(x)\) mempunyai faktor \((x - a)\) jika dan hanya jika \(f(a) = 0\).

(iii). Teorema III

Untuk polynomial dengan koefisien bilangan bulat \(f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0\), memiliki faktor \(x - \frac{q}{p}\) dengan \(q\) adalah faktor dari \(a_0\) dan \(p\) adalah faktor dari \(a_n\) jika dan hanya jika \(f\left(\frac{q}{p}\right) = 0\).

Contoh 5:

Tentukan sisanya jika suku banyak \((x + 3)^4 + (x + 2)^{2029} + (5x + 9)^{2040}\) dibagi oleh \(x + 2\).

Solusi / Pembahasan:

Berdasarkan Teorema Sisa, sisa pembagian \(f(x)\) oleh \(x + 2\) adalah \(s = f(-2)\).

\[f(-2) = (-2 + 3)^4 + (-2 + 2)^{2029} + (5(-2) + 9)^{2040}\] \[f(-2) = (1)^4 + (0)^{2029} + (-10 + 9)^{2040}\] \[f(-2) = 1 + 0 + (-1)^{2040} = 1 + 0 + 1 = 2\]

Sisa pembagian: \(2\)

Contoh 6:

Jika \((x + 1)\) adalah faktor dari polynomial \(f(x) = x^5 - x^2 + kx + 8\), maka nilai \(k = \dots\)?

Solusi / Pembahasan:

Karena \((x + 1)\) adalah faktor, maka berdasarkan Teorema Faktor berlaku \(f(-1) = 0\).

\[f(-1) = (-1)^5 - (-1)^2 + k(-1) + 8 = 0\] \[-1 - 1 - k + 8 = 0\] \[6 - k = 0 \implies k = 6\]

Nilai \(k\): \(6\)

F). Teorema Vieta

(i). Definisi akar-akar dari persamaan

Akar-akar dari suatu persamaan adalah nilai variabel yang memenuhi persamaan tersebut. Misalkan terdapat suku banyak \(f(x)\) yaitu:

\[f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0\]

\(x_1, x_2, x_3, \dots, x_n\) disebut akar-akar dari \(f(x) = 0\) (atau disebut pembuat nol dari \(f(x)\)) jika dan hanya jika \(f(x_1) = 0, f(x_2) = 0, f(x_3) = 0, \dots, f(x_n) = 0\).

Salah satu cara mencari akar-akar dari persamaan yaitu setiap faktor liniernya sama dengankan nol.

Contoh 7:

Tentukan akar-akar dari persamaan \(x^2 - 2x - 8 = 0\).

Solusi / Pembahasan:

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:

\[(x - 4)(x + 2) = 0\] \[x - 4 = 0 \implies x = 4\] \[x + 2 = 0 \implies x = -2\]

Akar-akarnya adalah: \(x_1 = 4\) dan \(x_2 = -2\)

(ii). Teorema Vieta (Operasi akar-akar)

Misalkan terdapat suku banyak \(f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0\) dengan akar-akar \(x_1, x_2, x_3, \dots, x_n\). Maka berlaku operasi akar-akar:

\[\sum_{k=1}^n x_k = x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}\] \[\sum_{k < j}^n x_k x_j = x_1 x_2 + x_1 x_3 + \dots + x_2 x_3 + x_2 x_4 + \dots + x_{n-1} x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}\] \[\sum_{k < j < i}^n x_k x_j x_i = x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + \dots + x_{n-2} x_{n-1} x_n = -\frac{a_{n-3}}{a_n}\]

Dan seterusnya:

\[x_1 x_2 x_3 x_4 \dots x_n = (-1)^n \cdot \frac{a_0}{a_n}\]

Contoh 8:

Persamaan kuadrat \(x^2 + 4x - 3 = 0\) memiliki akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\). Tentukan nilai dari:

a). \(x_1 + x_2\)

b). \(x_1 x_2\)

c). \(x_1^2 + x_2^2\)

Solusi / Pembahasan:

Diketahui \(a = 1\), \(b = 4\), dan \(c = -3\).

a). \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{4}{1} = -4\)

b). \(x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3\)

c). \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2 = (-4)^2 - 2(-3) = 16 + 6 = 22\)

Soal Latihan

1). Diketahui \(3x^2 + x = 1\), tentukan nilai dari bentuk \(6x^3 - x^2 - 3x + 2010\)?

2). Jika \(x = \frac{a}{b+c} = \frac{b}{a+c} = \frac{c}{a+b}\), maka nilai \(x = \dots\)?

• A). \(\frac{1}{2}\)
• B). \(-1\)
• C). \(\frac{1}{2}\) atau \(-1\)
• D). \(\frac{3}{2}\)

3). Misalkan \(P(x) = ax^7 + bx^3 + cx - 5\), dimana \(a, b,\) dan \(c\) bernilai konstan. Diketahui \(P(-7) = 7\), tentukan nilai \(P(7)\)?

4). Tentukan hasil dan sisa pembagian \(3x^3 - 5x + 6\) dibagi oleh \(x - 2\) dengan cara bersusun dan cara sintetik!

5). Bentuk \(f(x) = x^4 + 3x^3 + 8x^2 - kx + 11\) habis dibagi oleh \(x + 3\), nilai \(k\) adalah ... ?

6). Semua \(n\) sehingga \(n\) dan \(\frac{n+3}{n-1}\) merupakan bilangan bulat adalah ...

7). Jika \(P(x) = Q(x)(x - a)\), dimana \(P(x)\) dan \(Q(x)\) polinom, maka:

• A). \(P(a) \neq 0\)
• B). \(x - a\) bukan faktor dari \(P(x)\)
• C). kurva \(y = P(x)\) memotong sumbu \(x\) di titik \((a, 0)\)
• D). kurva \(y = P(x)\) memotong sumbu \(x\) di titik \((-a, 0)\)
• E). titik potong terhadap sumbu \(x\) tidak dapat ditentukan

8). Bentuk \(x^4 - 1\) mempunyai faktor sebanyak ...

• A). 3
• B). 4
• C). 5
• D). 6
• E). 7

9). Banyak bilangan positif \(n\) sehingga \(\frac{2013}{n^2 - 3}\) berupa bilangan bulat positif adalah ...

10). Diketahui \(a^4 + a^3 + a^2 + a + 1 = 0\). Tentukan nilai dari \(a^{2000} + a^{2010} + 1\).

11). Jika \((x^2 - x - 1)^n = a_{2n}x^{2n} + a_{2n-1}x^{2n-1} + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0\), tentukan nilai dari \(a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{2n}\).

12). Bentuk \(f(x) = x^4 - ax^2 - bx + 2\) habis dibagi oleh \((x + 1)(x + 2)\), tentukan nilai \(a\) dan \(b\)?

13). Suku banyak \(f(x)\) masing-masing memiliki sisa \(1, 2, 3\), ketika dibagi \((x - 1), (x - 2), (x - 3)\). Tentukan sisa \(f(x)\) dibagi oleh \((x - 1)(x - 2)(x - 3)\)?

14). Jika \(x^5 - 5qx + 4r\) habis dibagi oleh \((x - 2)^2\), maka tentukan nilai \(q\) dan \(r\)?

15). Terdapat polynomial \(f(x)\) berderajat 3, masing-masing bersisa \(2x - 5\) dan \(-3x + 4\) ketika dibagi oleh \(x^2 - 1\) dan \(x^2 - 4\). Tentukan \(f(x)\)?

16). Tentukan jumlah dari akar-akar, jumlah dari kombinasi dua-duaan akar-akar, jumlah dari kuadrat akar-akar, dan jumlah dari kebalikan akar-akar dari persamaan \(x^3 - x + 3 = 0\).

17). Misalkan \(x_1, x_2, x_3\) adalah akar-akar dari \(x^3 - 5x^2 + 1 = 0\). Tentukan nilai dari \(\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} + \frac{1}{x_3^2}\).

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMP

       Demikian pembahasan materi Suku Banyak (Polinomial) Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.