19. Pola Bilangan
Pola bilangan adalah susunan bilangan atau objek tertentu dengan aturan atau pola tertentu.
Macam-macam Pola Bilangan
Terdapat pola bilangan yang disusun dalam suatu barisan, kita akan menentukan suku berikutnya dan menentukan persamaannya.
Rumus suku ke-$n$ nya yaitu:
Contoh Soal & Solusi
Tentukan dua suku berikutnya dari pola barisan berikut:
a). $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, \dots, \dots$
b). $2, 4, 6, 8, 10, 12, \dots, \dots$
c). $3, 7, 11, 15, 19, \dots, \dots$
d). $1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, \dots, \dots$
a). Pola bilangan ganjil (bertambah $+2$): $13 + 2 = 15$, lalu $15 + 2 = 17$.
Suku berikutnya: 15, 17
b). Pola bilangan genap (bertambah $+2$): $12 + 2 = 14$, lalu $14 + 2 = 16$.
Suku berikutnya: 14, 16
c). Barisan aritmatika dengan beda $+4$: $19 + 4 = 23$, lalu $23 + 4 = 27$.
Suku berikutnya: 23, 27
d). Beda bertingkat ($+1, +2, +3, +4, +5, +6, \dots$):
Suku ke-8 $= 22 + 7 = 29$
Suku ke-9 $= 29 + 8 = 37$
Suku berikutnya: 29, 37
Tentukan suku ke-20 dari barisan: $4, 5, 8, 13, 20, \dots$
Perhatikan selisih antar suku:
- Tingkat 1: $b = 5-4 = 1$, $5 \to 8 (+3)$, $8 \to 13 (+5)$, $13 \to 20 (+7)$
- Tingkat 2 (konstan): $c = 3-1 = 2$
Dengan $a = 4$, $b = 1$, $c = 2$, masukkan ke rumus pola bertingkat:
$$U_n = a + (n-1)b + \frac{(n-1)(n-2)}{2}c$$ $$U_{20} = 4 + (20-1)(1) + \frac{(20-1)(20-2)}{2}(2)$$ $$U_{20} = 4 + 19 + (19 \times 18) = 4 + 19 + 342 = \mathbf{365}$$Tentukan tiga suku pertama jika diketahui rumus suku ke-$n$ nya yaitu $U_n = 3n^2 - 2$?
Substitusikan nilai $n = 1, 2, 3$ ke rumus $U_n$:
- $U_1 = 3(1)^2 - 2 = 3(1) - 2 = \mathbf{1}$
- $U_2 = 3(2)^2 - 2 = 3(4) - 2 = \mathbf{10}$
- $U_3 = 3(3)^2 - 2 = 3(9) - 2 = \mathbf{25}$
Jadi, tiga suku pertamanya adalah 1, 10, 25.
Perhatikan pola objek berikut:
Jika susunan bola diteruskan dengan pola ke-$n$, dengan $n$ adalah suatu bilangan bulat positif, tentukan:
a). banyak bola merah pada pola ke-$n$ ($U_n$)
b). banyak bola merah pada pola ke-100 ($U_{100}$)
Amati jumlah bola merah pada tiap kolom dari pola yang terbentuk:
- Pola ke-1: $1$ bola merah
- Pola ke-2: $1 + 2 = 3$ bola merah
- Pola ke-3: $1 + 2 + 3 = 6$ bola merah
- Pola ke-4: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ bola merah
Banyaknya bola merah membentuk Pola Bilangan Segitiga.
a). Rumus banyak bola merah pada pola ke-$n$ ($U_n$):
$$U_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{1}{2}n(n + 1)$$b). Banyak bola merah pada pola ke-100 ($U_{100}$):
$$U_{100} = \frac{1}{2}(100)(100 + 1) = 50 \times 101 = \mathbf{5050}$$Perhatikan pola objek berikut :
Tentukan banyak bola pada pola ke-100?
Amati susunan bola (horizontal + vertikal) pada setiap pola:
- Pola ke-1: $1$ bola (1 alas, 0 tegak) $= 1$
- Pola ke-2: $2$ bola alas $+ 1$ bola tegak $= 3$
- Pola ke-3: $3$ bola alas $+ 2$ bola tegak $= 5$
- Pola ke-4: $4$ bola alas $+ 3$ bola tegak $= 7$
Barisan banyak bola yaitu $1, 3, 5, 7, \dots$ yang merupakan Pola Bilangan Ganjil.
Rumus suku ke-$n$ nya adalah:
$$U_n = n + (n - 1) = 2n - 1$$Untuk mencari banyak bola pada pola ke-100 ($n = 100$):
$$U_{100} = 2(100) - 1 = 200 - 1 = \mathbf{199}$$Soal Latihan
1). Jika diberikan suatu barisan bilangan $3, 5, 9, 15, 23, \dots$, berapakah suku ke-16?
2). Empat bilangan pertama dari barisan bilangan segitiga adalah $1, 3, 6, 10, \dots$
Berapakah bilangan segitiga ke-10?
3). Perhatikan gambar berikut!
Banyaknya bulatan hitam pada gambar kesepuluh nantinya adalah …
4). Bilangan segitiga adalah bilangan yang berbentuk $\frac{n(n+1)}{2}$, dengan $n$ adalah bilangan asli. Banyaknya bilangan segitiga yang kurang dari 100 adalah …?
5). Perhatikan 3 barisan enam bilangan berikut.
1). $8, 16, 32, 64, 128,$ dan $256$
2). $7, 11, 16, 22, 29,$ dan $37$
3). $2, 9, 2, 16, 2,$ dan $25$
Manakah dari 3 barisan tersebut yang mungkin menjadi 6 suku berikutnya dari suatu barisan bilangan yang tiga suku pertamanya adalah $1, 2,$ dan $4$.
6). Dalam satu tahun harga suatu mobil berkurang 10% dari harga tahun sebelumnya. Paling sedikit berapa tahun sehingga harga mobil itu kurang dari setengah harga semula.
7). Jika bilangan ganjil dikelompokkan seperti berikut: $\{1\}, \{3,5\}, \{7,9,11\}, \{13,15,17,19\}$, maka suku tengah dari kelompok ke-11 adalah …
8). Jika $2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, \dots$ adalah barisan yang terdiri dari semua bilangan asli yang bukan bilangan kuadrat dan bukan bilangan pangkat tiga, maka bilangan 270 adalah suku ke …
9). Jika $S_1 = 1$, $S_2 = S_1 - 3$, $S_3 = S_2 + 5$, $S_4 = S_3 - 7$, $S_5 = S_4 + 9, \dots$ adalah suku-suku suatu barisan bilangan, maka $S_{2013} = \dots$
10). Diketahui suatu barisan $U(n) = 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + \dots + (n + 1).(n + 2)$, sehingga beberapa unsur pertamanya sebagai berikut $U(1) = 6$, $U(2) = 18$, $U(3) = 38$, $U(4) = 68$, $U(5) = 110$. Tentukan nilai dari $U(100)$.
11). Diketahui $x_0 = 1$ dan $x_1 = 2$. Sedangkan untuk $n \ge 2$ didefinisikan $x_n = \frac{x_{n-1}+2x_{n-2}}{2x_{n-1}+x_{n-2}}$. Maka $x_2 + 2x_3 = \dots$?
12). Banyak persegi pada gambar berikut adalah …
13). Diketahui suatu fungsi $f(n) = an^3 + bn^2 + cn + d$. Jika $f(2) = 5$, $f(4) = 30$, $f(6) = 91$, dan $f(8) = 208$, maka hitunglah jumlah angka-angka dari $f(2009)$.
14). Diberikan suatu barisan bilangan, $1, 5, 6, 25, 26, 30, 31, \dots$ yang terdiri dari barisan bilangan pemangkatan 5 atau jumlah bilangan-bilangan berbeda hasil pemangkatan 5. Perhatikan $1 = 5^0$, $6 = 1 + 5$, $31 = 1 + 5 + 5^2$, …. Nilai suku ke-100 pada barisan tersebut adalah …
15). Perhatikan susunan bilangan berikut. Susunan bilangan berikut dinamakan pola bilangan pascal, karena ditemukan oleh Blaise Pascal. Bilangan di baris ke-2 adalah hasil penjumlahan dari dua bilangan pada garis ke-1. Tentukan jumlah bilangan baris ke-$n$ pada pola bilangan Pascal berikut.
16). Sebuah semut bergerak dari titik $A_1(3, 2)$, kemudian bergerak ke titik $A_2(7, 4)$, dilanjutkan ke titik $A_3(13, 7)$, dilanjutkan ke titik $A_4(21, 12)$, dan seterusnya. Tentukan koordinat titik $A_{20}$?
17). Misalkan $B$ menyatakan barisan bilangan bulat yang suku-sukunya adalah $b_1, b_2, b_3, b_4, \dots$ dan $f(B)$ menyatakan barisan bilangan bulat yang suku-sukunya $b_1 - b_2, b_2 - b_3, b_3 - b_4, \dots$. Jika semua suku dari barisan $f(f(B))$ adalah bilangan bulat $c$, dengan $c = 3$, dan diketahui $b_{21} \times b_{42} = b_{21} + b_{42}$, maka nilai dari $b_2$ adalah …
Demikian pembahasan materi Pola Bilangan Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
