Persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a \neq 0$ disebut persamaan kuadrat dengan variabel $x$.
Bilangan real $k$ disebut akar atau solusi dari persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ jika $k$ memenuhi persamaan tersebut, yaitu $ak^2 + bk + c = 0$.
Ada tiga cara menentukan akar-akar yaitu:
- Memfaktorkan
- Kuadrat sempurna
- Rumus ABC:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
dengan $D = b^2 - 4ac$ ($D$ disebut Diskriminan).
Berdasarkan nilai Diskriminan ($D$):
- dua akar real berbeda: $D > 0$
- dua akar real kembar: $D = 0$
- akar-akar tidak real: $D < 0$
Tentukan solusi dari persamaan kuadrat $2006x^2 + 2007x + 1 = 0$.
Perhatikan bahwa $a - b + c = 2006 - 2007 + 1 = 0$. Maka salah satu akarnya adalah $x_1 = -1$.
Berdasarkan hasil kali akar: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{2006}$
$(-1) \cdot x_2 = \frac{1}{2006} \implies x_2 = -\frac{1}{2006}$
Jadi, solusi dari persamaan tersebut adalah $x = -1$ atau $x = -\frac{1}{2006}$.
Misalkan $k$ adalah akar terkecil dari persamaan kuadrat $x^2 - 3|x| - 10 = 0$, tentukan nilai $-\frac{100}{k}$.
Ingat bahwa $x^2 = |x|^2$. Persamaan dapat ditulis menjadi:
$|x|^2 - 3|x| - 10 = 0 \implies (|x| - 5)(|x| + 2) = 0$
Karena $|x| \ge 0$, maka $|x| = 5 \implies x = 5$ atau $x = -5$.
Akar terkecilnya adalah $k = -5$.
Nilai $-\frac{100}{k} = -\frac{100}{-5} = 20$.
Bilangan $p$ adalah akar dari persamaan $x^2 - x - 3 = 0$. Hitunglah nilai $\frac{p^3+1}{p^5-p^4-p^3+p^2}$.
Karena $p$ adalah akar dari $x^2 - x - 3 = 0$, maka $p^2 - p = 3$ dan $p^2 - 1 = p + 2$.
Pembilang: $p^3 + 1 = (p + 1)(p^2 - p + 1) = (p + 1)(3 + 1) = 4(p + 1)$.
Penyebut: $p^5 - p^4 - p^3 + p^2 = p^2(p^3 - p^2 - p + 1) = p^2(p - 1)^2(p + 1) = [p(p - 1)]^2(p + 1) = (p^2 - p)^2(p + 1) = 3^2(p + 1) = 9(p + 1)$.
Maka nilainya adalah $\frac{4(p + 1)}{9(p + 1)} = \frac{4}{9}$.
Persamaan $x^2 - (2m + n)x + \left(2m^2 + n^2 - n + \frac{1}{2}\right) = 0$ memiliki dua akar real. Tentukan nilai $m$ dan $n$?
Agar memiliki akar real, maka Diskriminan $D \ge 0$:
$D = [-(2m + n)]^2 - 4(1)\left(2m^2 + n^2 - n + \frac{1}{2}\right) \ge 0$
$4m^2 + 4mn + n^2 - 8m^2 - 4n^2 + 4n - 2 \ge 0$
$-4m^2 + 4mn - 3n^2 + 4n - 2 \ge 0 \implies -(2m - n)^2 - 2(n - 1)^2 \ge 0$
$(2m - n)^2 + 2(n - 1)^2 \le 0$
Karena kuadrat bilangan real selalu non-negatif, jumlahnya $\le 0$ terpenuhi jika dan hanya jika:
$n - 1 = 0 \implies n = 1$ dan $2m - n = 0 \implies 2m = 1 \implies m = \frac{1}{2}$.
Persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2$. Hubungan antara operasi akar-akar dengan $a, b,$ dan $c$ sebagai berikut:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
$x_1 - x_2 = \pm \frac{\sqrt{D}}{a}$
Operasi jumlah dan kali di atas disebut teorema Vieta.
- $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2$
- $x_1^2 - x_2^2 = (x_1 + x_2)(x_1 - x_2)$
- $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 \cdot x_2(x_1 + x_2)$
- $x_1^3 - x_2^3 = (x_1 - x_2)^3 + 3x_1 \cdot x_2(x_1 - x_2)$
- $x_1^4 + x_2^4 = [(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2]^2 - 2(x_1 \cdot x_2)^2$
- $x_1^4 - x_2^4 = [(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2](x_1 + x_2)(x_1 - x_2)$
Persamaan $x^2 + x - 5 = 0$ memiliki dua akar real yaitu $x_1$ dan $x_2$. Tentukan nilai dari:
a). $x_1 + x_2$ b). $x_1 \cdot x_2$ c). $x_1^2 + x_2^2$ d). $x_1^3 + x_2^3$
Dari $x^2 + x - 5 = 0$, diperoleh $a = 1, b = 1, c = -5$.
a). $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{1}{1} = -1$
b). $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-5}{1} = -5$
c). $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = (-1)^2 - 2(-5) = 1 + 10 = 11$
d). $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1 + x_2) = (-1)^3 - 3(-5)(-1) = -1 - 15 = -16$
$m$ dan $n$ adalah akar-akar dari $x^2 + x - 4 = 0$. Tentukan nilai dari $m^2 + 2n^2 + n + 5$?
Dari $x^2 + x - 4 = 0$, diperoleh $m + n = -1$ dan $m \cdot n = -4$.
Karena $m$ dan $n$ adalah akar-akar persamaan, maka $m^2 + m - 4 = 0 \implies m^2 = 4 - m$ dan $n^2 + n - 4 = 0 \implies n^2 + n = 4$.
Substitusi ke bentuk yang ditanyakan:
$m^2 + 2n^2 + n + 5 = (4 - m) + n^2 + (n^2 + n) + 5 = 4 - m + (4 - n) + 4 + 5 = 17 - (m + n) - n^2 \dots$
Atau lebih sederhana: $m^2 + n^2 + (n^2 + n) + 5 = [(m+n)^2 - 2mn] + 4 + 5 = [(-1)^2 - 2(-4)] + 9 = 1 + 8 + 9 = 18 - 4 = 14$.
Sehingga nilai dari $m^2 + 2n^2 + n + 5 = 14$.
(i). Diketahui akar-akar $x_1$ dan $x_2$
PK: $(x - x_1)(x - x_2) = 0$
(ii). Berkaitan dengan PK lainnya
PK: $x^2 - (HJ)x + HK = 0$
Dengan $HJ =$ Hasil Jumlah dan $HK =$ Hasil Kali
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat $x^2 + 5x - 2 = 0$ adalah ...
Gunakan substitusi $y = x + 2 \implies x = y - 2$.
Substitusikan $x = y - 2$ ke persamaan $x^2 + 5x - 2 = 0$:
$(y - 2)^2 + 5(y - 2) - 2 = 0$
$(y^2 - 4y + 4) + (5y - 10) - 2 = 0$
$y^2 + y - 8 = 0$
Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah $x^2 + x - 8 = 0$.
Jika $m, n$ adalah bilangan real yang memenuhi $m^2 + 3m + 1 = 0$ dan $n^2 + 3n + 1 = 0$, maka tentukan nilai dari $\frac{m}{n} + \frac{n}{m}$?
Jika $m \neq n$, maka $m$ dan $n$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $x^2 + 3x + 1 = 0$.
Diperoleh $m + n = -3$ dan $m \cdot n = 1$.
$\frac{m}{n} + \frac{n}{m} = \frac{m^2 + n^2}{mn} = \frac{(m + n)^2 - 2mn}{mn} = \frac{(-3)^2 - 2(1)}{1} = \frac{9 - 2}{1} = 7$.
- 1). Jika akar terbesar dari $(2003x)^2 - 2002 \times 2004x - 1 = 0$ adalah $m$ dan akar terkecil dari $x^2 + 2002x - 2003 = 0$ adalah $n$, maka tentukan nilai dari $m - n$?
- 2). Tentukan solusi dari persamaan kuadrat $(m - 2)x^2 - (m + 3)x - 2m - 1 = 0$
- 3). Persamaan kuadrat $2x^2 - 5x - a = 0$ memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2$ dengan $x_1 : x_2 = 2 : 3$. Tentukan nilai $x_2 - x_1$?
- 4). Terdapat bilangan real $s, t$ memenuhi persamaan $19s^2 + 99s + 1 = 0$, $t^2 + 99t + 19 = 0$, dan $st \neq 1$. Tentukan nilai dari $\frac{st+4s+1}{t}$?
- 5). Andi membuka sebuah buku setebal 650 halaman, hasil kali nomor halaman yang nampak adalah 702. Jumlah nomor-nomor halaman buku yang terbuka adalah ...
- 6). untuk bilangan real $x$ didefinisikan $|x| = \begin{cases} x, & \text{jika } x \ge 0 \\ -x, & \text{jika } x < 0 \end{cases}$, cari semua $x$ yang memenuhi $x^2 + 2|x| - 3 = 0$.
- 7). Bilangan-bilangan real $x$ yang memenuhi $x^2 - 2x - 1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$ adalah ...
-
8). Diketahui dua persamaan:
(1). $6 - \frac{5}{5 - \frac{4}{5 - \frac{4}{5 - \dots}}} = x$
(2). $9 - \frac{8}{8 - \frac{7}{8 - \frac{7}{8 - \dots}}} = x$
Nilai $x$ yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah .... - 9). Semua bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan $\sqrt[3]{x+4} - \sqrt[3]{x} = 1$ adalah ...
- 10). Akar-akar persamaan kuadrat $x^2 - px + q + 1 = 0$ adalah real dan lebih besar 1. Berapakah nilai $p + q$?
- 11). Jika $p = 2010^2 + 2011^2$ dan $q = 2012^2 + 2013^2$, maka nilai sederhana dari $\sqrt{1 - 2(p + q) + 4pq}$ adalah ...
- 12). Jika $a$ dan $b$ adalah penyelesaian dari persamaan kuadrat $4x^2 - 7x - 1 = 0$, maka nilai dari $\frac{3a^2}{4b-7} + \frac{3b^2}{4a-7}$ adalah ...
Demikian pembahasan materi Persamaan Kuadrat Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
