8. Nilai Mutlak
Untuk sembarang bilangan real \(a\), kita definisikan nilai mutlak dari \(a\), ditulis \(|a|\), didefinisikan sebagai berikut:
Secara geometri, sembarang bilangan real \(a\) menyatakan letak titik \(a\) pada sebuah garis bilangan, dan nilai mutlak dari \(a\) adalah jarak titik \(a\) ke titik asal (titik nol) pada garis bilangan.
Secara umum, bentuk \(|a - b|\) menyatakan jarak titik \(a\) dan titik \(b\) pada garis bilangan.
- a). Nilai mutlak suatu bilangan nilainya selalu non-negatif, ditulis \(|a| \ge 0\).
- b). Nilai mutlak dari suatu bilangan negatif, maka hasilnya non-negatif yaitu dengan menghilangkan tanda negatifnya, ditulis \(|-a| = a\).
Diketahui \(x > 3\):
Beberapa sifat nilai mutlak:
- \(|a| = |-a|\)
- \(-|a| \le a \le |a|\)
- \(|a| = |b|\) jika dan hanya jika \(a = b\) atau \(a = -b\)
- \(|a^n| = |a|^n\) untuk sembarang asli \(n\)
- \(|a \times b| = |a| \times |b|\)
- \(\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}\) jika \(b \neq 0\)
- \(|a \pm b| \le |a| + |b|\)
- \(|a| = \sqrt{a^2}\)
Mari analisis untuk nilai \(x\) real:
- Jika \(x > 0\), maka \(|x| = x\). Sehingga: \[ \frac{|x - x|}{x} = \frac{0}{x} = 0 \quad (\text{bukan bilangan positif}) \]
- Jika \(x < 0\), maka \(|x| = -x\). Sehingga: \[ \frac{|x - (-x)|}{x} = \frac{|2x|}{x} \] Karena \(x < 0\), maka \(2x < 0\), sehingga \(|2x| = -2x\). \[ \frac{-2x}{x} = -2 \quad (\text{bilangan negatif}) \]
- Jika \(x = 0\), penyebut bernilai \(0\) (tidak terdefinisi).
Kesimpulan: Tidak ada bilangan real \(x\) yang menghasilkan bilangan positif.
Untuk sembarang bilangan real tak nol \(t\), bentuk \(\frac{t}{|t|}\) bernilai \(1\) jika \(t > 0\) dan \(-1\) jika \(t < 0\).
Kemungkinan kombinasi tanda untuk \((a, b, c)\):
- Ketiganya positif: \(1 + 1 + 1 = 3\)
- Dua positif, satu negatif: \(1 + 1 + (-1) = 1\)
- Satu positif, dua negatif: \(1 + (-1) + (-1) = -1\)
- Ketiganya negatif: \((-1) + (-1) + (-1) = -3\)
Jadi, semua kemungkinan nilainya adalah \(\{-3, -1, 1, 3\}\).
Suku kuadrat dan nilai mutlak selalu bernilai non-negatif (\(\ge 0\)). Penjumlahan suku-suku non-negatif yang menghasilkan nol hanya terpenuhi jika masing-masing suku sama dengan nol:
- \(3a + 6 = 0 \implies 3a = -6 \implies a = -2\)
- \(\frac{1}{4}b - 10 = 0 \implies \frac{1}{4}b = 10 \implies b = 40\)
- \(c + 3 = 0 \implies c = -3\)
Maka nilai dari \(a^{10} + bc\):
\[ a^{10} + bc = (-2)^{10} + (40)(-3) = 1024 - 120 = 904 \]Berdasarkan posisi garis bilangan di atas, diperoleh hubungan: \(c < b < 0 < a\).
- Karena \(b < a \implies b - a < 0\), maka \(|b - a| = -(b - a) = a - b\).
- Karena \(c < a \implies c - a < 0\), maka \(|c - a| = -(c - a) = a - c\).
- Karena \(c < b \implies c - b < 0\), maka \(|c - b| = -(c - b) = b - c\).
Substitusikan ke dalam bentuk yang ditanyakan:
\[ \begin{aligned} |b - a| - |c - a| + |c - b| &= (a - b) - (a - c) + (b - c) \\ &= a - b - a + c + b - c \\ &= 0 \end{aligned} \]Misalkan terdapat persamaan Nilai Mutlak:
\[ |P(x)| = Q(x) \quad \text{dengan } Q(x) \ge 0 \]Untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak, ada beberapa cara yaitu:
- \(P(x) = Q(x)\) atau \(P(x) = -Q(x)\)
- Dikuadratkan: \([P(x)]^2 = [Q(x)]^2\)
- Menggunakan Definisi nilai mutlak.
Menggunakan sifat \(|P(x)| = Q(x) \iff P(x) = Q(x)\) atau \(P(x) = -Q(x)\):
- Kemungkinan 1: \[ 3x + 2 = 4 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3} \]
- Kemungkinan 2: \[ 3x + 2 = -4 \implies 3x = -6 \implies x = -2 \]
Jadi, nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(x = \frac{2}{3}\) atau \(x = -2\).
Gunakan bentuk dasar persamaannya:
Kasus 1: \(x - |3x + 1| = 4 \implies |3x + 1| = x - 4\)
Syarat agar ada solusi: \(x - 4 \ge 0 \implies x \ge 4\).
- \(3x + 1 = x - 4 \implies 2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2}\) (Tidak memenuhi \(x \ge 4\))
- \(3x + 1 = -(x - 4) \implies 4x = 3 \implies x = \frac{3}{4}\) (Tidak memenuhi \(x \ge 4\))
Kasus 2: \(x - |3x + 1| = -4 \implies |3x + 1| = x + 4\)
Syarat agar ada solusi: \(x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4\).
- \(3x + 1 = x + 4 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}\) (Memenuhi)
- \(3x + 1 = -(x + 4) \implies 4x = -5 \implies x = -\frac{5}{4}\) (Memenuhi)
Jadi, penyelesaiannya adalah \(x = \frac{3}{2}\) atau \(x = -\frac{5}{4}\).
Karena \(|x + 1| \ge 0\) dan \((y + 2)^2 \ge 0\), agar jumlahnya \(0\), masing-masing suku harus bernilai \(0\):
- \(x + 1 = 0 \implies x = -1\)
- \(y + 2 = 0 \implies y = -2\)
Substitusikan nilai \(x = -1\) dan \(y = -2\) ke persamaan \(ax - 3ay = 1\):
\[ \begin{aligned} a(-1) - 3a(-2) &= 1 \\ -a + 6a &= 1 \\ 5a &= 1 \implies a = \frac{1}{5} \end{aligned} \]Diberikan sistem persamaan:
- \(|x| + x + y = 10\)
- \(x + |y| - y = 12\)
Tinjau tanda dari \(x\) dan \(y\):
- Jika \(x \ge 0\), maka \(|x| = x \implies 2x + y = 10 \implies y = 10 - 2x\).
- Jika \(y < 0\), maka \(|y| = -y \implies x - y - y = 12 \implies x - 2y = 12\).
Substitusi \(y = 10 - 2x\) ke persamaan \(x - 2y = 12\):
\[ \begin{aligned} x - 2(10 - 2x) &= 12 \\ x - 20 + 4x &= 12 \\ 5x &= 32 \implies x = \frac{32}{5} = 6,4 \quad (x \ge 0 \text{ terbukti}) \end{aligned} \]Maka \(y = 10 - 2(6,4) = 10 - 12,8 = -2,8 = -\frac{14}{5} \quad (y < 0 \text{ terbukti})\).
Sehingga nilai \(x + y\):
\[ x + y = \frac{32}{5} + \left(-\frac{14}{5}\right) = \frac{18}{5} = 3,6 \]Demikian pembahasan materi Nilai Mutlak Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
