11. Ketaksamaan Pecahan dan Mutlak
A). Ketaksamaan Pecahan
Definisi Ketaksamaan Pecahan:
Ketaksamaan pecahan yaitu ketaksamaan yang berbentuk $f(x) > 0$, $f(x) \ge 0$, $f(x) < 0$, atau $f(x) \le 0$ dengan $f(x) = \frac{h(x)}{g(x)}$ dan $g(x) \neq 0$.
Langkah-langkah Penyelesaian:
- Tentukan akar-akar (pembuat nol): Cari nilai $x$ yang membuat pembilang $h(x) = 0$ dan penyebut $g(x) = 0$.
- Buat garis bilangan: Letakkan akar-akar tersebut pada garis bilangan dan tentukan tanda pada setiap daerah ($+$ atau $-$).
- Arsir daerah penyelesaian:
- Jika bentuk pertidaksamaan $> 0$ atau $\ge 0$, maka arsir daerah berharga positif ($+$).
- Jika bentuk pertidaksamaan $< 0$ atau $\le 0$, maka arsir daerah berharga negatif ($-$).
- Tentukan Himpunan Penyelesaian (HP): Tuliskan interval nilai $x$ yang memenuhi.
- Akar penyebut pada pecahan selalu tidak ikut menjadi penyelesaian (selalu bertanda kurung terbuka / bulatan kosong).
- Ketaksamaan pecahan tidak boleh dikalikan silang dengan variabel.
Tentukan penyelesaian dari ketaksamaan:
$$\frac{(x+1)(x-2)}{(x-4)} > 0$$Langkah 1: Pembuat nol
- Pembilang: $(x+1)(x-2) = 0 \implies x = -1$ atau $x = 2$
- Penyebut: $x - 4 = 0 \implies x = 4$ (Syarat $x \neq 4$)
Langkah 2: Uji Tanda pada Garis Bilangan
Langkah 3: Himpunan Penyelesaian
Karena pertidaksamaan bertanda $> 0$, pilih daerah positif ($+$):
$$\text{HP} = \{x \mid -1 < x < 2 \text{ atau } x > 4, x \in \mathbb{R}\}$$Tentukan penyelesaian dari ketaksamaan:
$$\frac{x-2}{x+3} > -1$$Langkah 1: Pindahkan $-1$ ke ruas kiri dan samakan penyebut
$$\frac{x-2}{x+3} + 1 > 0 \implies \frac{x-2 + (x+3)}{x+3} > 0 \implies \frac{2x+1}{x+3} > 0$$Langkah 2: Pembuat nol
- Pembilang: $2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$
- Penyebut: $x + 3 = 0 \implies x = -3$ (Syarat $x \neq -3$)
Langkah 3: Himpunan Penyelesaian
Pilih daerah positif ($+$):
$$\text{HP} = \left\{x \mid x < -3 \text{ atau } x > -\frac{1}{2}, x \in \mathbb{R}\right\}$$Tentukan solusi dari ketaksamaan:
$$\frac{x+1}{x-1} \le \frac{6}{x}$$Langkah 1: Pindahkan ruas kanan dan sederhanakan
$$\frac{x+1}{x-1} - \frac{6}{x} \le 0 \implies \frac{x(x+1) - 6(x-1)}{x(x-1)} \le 0$$ $$\frac{x^2 - 5x + 6}{x(x-1)} \le 0 \implies \frac{(x-2)(x-3)}{x(x-1)} \le 0$$Langkah 2: Pembuat nol
- Pembilang: $x = 2$ atau $x = 3$ (termasuk solusi)
- Penyebut: $x = 0$ atau $x = 1$ (tidak ikut, $x \neq 0, 1$)
Langkah 3: Himpunan Penyelesaian
Pilih daerah negatif ($-$) karena bertanda $\le 0$:
$$\text{HP} = \{x \mid 0 < x < 1 \text{ atau } 2 \le x \le 3, x \in \mathbb{R}\}$$B). Ketaksamaan Nilai Mutlak
Penyelesaian Ketaksamaan Mutlak:
Ada beberapa cara untuk menyelesaikan ketaksamaan nilai mutlak, yaitu:
- Menggunakan Definisi Nilai Mutlak
- Menggunakan Sifat Nilai Mutlak
Definisi Nilai Mutlak:
$$|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \text{untuk } f(x) \ge 0 \\ -f(x), & \text{untuk } f(x) < 0 \end{cases}$$- $|f(x)| < k \iff -k < f(x) < k$ dengan $k > 0$
- $|f(x)| \le k \iff -k \le f(x) \le k$ dengan $k > 0$
- $|f(x)| > k \iff f(x) < -k \text{ atau } f(x) > k$
- $|f(x)| \ge k \iff f(x) \le -k \text{ atau } f(x) \ge k$
- $|f(x)| < |g(x)| \iff (f(x))^2 < (g(x))^2 \iff (f(x)+g(x))(f(x)-g(x)) < 0$
(Serupa untuk tanda ketaksamaan lainnya)
Selesaikan ketaksamaan berikut:
$$|2x - 1| < 5$$Gunakan sifat $|f(x)| < k \iff -k < f(x) < k$:
$$-5 < 2x - 1 < 5$$Tambahkan $1$ pada ketiga ruas:
$$-4 < 2x < 6$$Bagi ketiga ruas dengan $2$:
$$-2 < x < 3$$ $$\text{HP} = \{x \mid -2 < x < 3, x \in \mathbb{R}\}$$Selesaikan ketaksamaan:
$$\left|\frac{x+1}{x-1}\right| \le 1$$Gunakan sifat $|f(x)| \le 1 \iff -1 \le \frac{x+1}{x-1} \le 1$ dengan syarat $x \neq 1$.
Bagian 1: $\frac{x+1}{x-1} \ge -1$
$$\frac{x+1}{x-1} + 1 \ge 0 \implies \frac{2x}{x-1} \ge 0 \implies x \le 0 \text{ atau } x > 1$$Bagian 2: $\frac{x+1}{x-1} \le 1$
$$\frac{x+1}{x-1} - 1 \le 0 \implies \frac{2}{x-1} \le 0 \implies x < 1$$Irisan Bagian 1 dan Bagian 2:
$$(x \le 0 \text{ atau } x > 1) \cap (x < 1) \implies x \le 0$$ $$\text{HP} = \{x \mid x \le 0, x \in \mathbb{R}\}$$Solusi dari $|x^2 - x| > 2$.
Gunakan sifat $|f(x)| > k \iff f(x) < -k \text{ atau } f(x) > k$:
Kasus 1: $x^2 - x < -2 \implies x^2 - x + 2 < 0$
Diskriminan $D = -7 < 0$ dan $a = 1 > 0$ (definit positif), sehingga tidak ada nilai $x$ yang memenuhi ($\emptyset$).
Kasus 2: $x^2 - x > 2 \implies x^2 - x - 2 > 0$
$$(x - 2)(x + 1) > 0 \implies x < -1 \text{ atau } x > 2$$Gabungan Kasus 1 dan Kasus 2:
$$\text{HP} = \{x \mid x < -1 \text{ atau } x > 2, x \in \mathbb{R}\}$$Soal Latihan
- 1). Tentukan semua bilangan real $x$ yang memenuhi pertaksamaan $\frac{x-1}{x+1} \ge 2$.
- 2). Himpunan penyelesaian pertidaksamaan di bawah adalah ... $$\frac{x^4 - 2x^3 - 2x^2 - 1}{x^2 - 1} \ge 1$$
-
3). Selesaikan ketaksamaan berikut:
- a). $|3 - 2x| \le |x + 4|$
- b). $|x + 3| > 2x + 3$
- c). $|x + 1| + |x - 2| \le 3x$
-
4). Selesaikan ketaksamaan berikut:
- a). $\frac{2x - 4}{x + 3} > \frac{x + 2}{2x + 6}$
- b). $\frac{x}{x + 2} \ge \frac{1}{x}$
- 5). Tentukan solusi positif dari ketaksamaan: $$\frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} + \frac{x^2 - 5}{x^2 - 3} \ge \frac{x^2 + 5}{x^2 + 3} + \frac{x^2 - 3}{x^2 - 1}$$
- 6). Selesaikan ketaksamaan berikut: $$\frac{x + 2}{4x + 3} - \frac{x}{4x + 1} > \frac{x}{4x - 1} - \frac{x - 2}{4x - 3}$$
-
7). Selesaikan ketaksamaan berikut:
- a). $|x^2 - 4x - 5| > x^2 - 4x - 4$
- b). $|x + 1| > \frac{2}{x}$
- c). $\frac{6}{|x| + 1} < |x|$
- d). $\frac{|x|}{x} < |x^2 - 1| $
Demikian pembahasan materi Ketaksamaan Pecahan dan Mutlak Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
