10. Ketaksamaan Linier dan Kuadrat
A). Ketaksamaan Linier
Suatu bentuk disebut ketaksamaan jika memuat simbol $>$, $\ge$, $<$, $\le$.
Himpunan penyelesaian dari suatu ketaksamaan adalah nilai variabel yang memenuhi ketaksamaan tersebut.
i). Sifat Dasar Ketaksamaan
- Jika $a > b$ dan $b > c$, maka $a > c$
- Jika $a > b$ maka $a + c > b + c$ dan $a - c > b - c$ (untuk sembarang bilangan real $c$)
- Jika $a > b$ dan $c > 0$, maka $a \cdot c > b \cdot c$ dan $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$
- Jika $a > b$ dan $c < 0$, maka $a \cdot c < b \cdot c$ dan $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$
ii). Langkah-Langkah Penyelesaian Ketaksamaan Linier
- Hilangkan pembaginya.
- Hilangkan tanda kurungnya.
- Kelompokkan suku-suku sejenis (variabel di ruas kiri dan konstanta di ruas kanan) sehingga terbentuk:
$ax > b, \quad ax \ge b, \quad ax < b, \quad \text{dan} \quad ax \le b$
- Gunakan sifat dasar ketaksamaan (dikali atau dibagi).
a). $x + 2 < 5$ b). $3 - x \ge 2$
c). $2x \le 6$ d). $-3x > 12$
a). $x + 2 < 5 \implies x < 5 - 2 \implies x < 3$
b). $3 - x \ge 2 \implies -x \ge 2 - 3 \implies -x \ge -1 \implies x \le 1$ *(tanda berbalik karena dibagi $-1$)*
c). $2x \le 6 \implies x \le \frac{6}{2} \implies x \le 3$
d). $-3x > 12 \implies x < \frac{12}{-3} \implies x < -4$ *(tanda berbalik karena dibagi $-3$)*
a). $2x - 1 \ge x + 3$ b). $3x + 2 \le 5x - 4$
a). Kelompokkan variabel ke ruas kiri:
$$2x - x \ge 3 + 1 \implies x \ge 4$$
b). Kelompokkan variabel ke ruas kiri:
$$3x - 5x \le -4 - 2 \implies -2x \le -6 \implies x \ge \frac{-6}{-2} \implies x \ge 3$$
Solusi dari $\frac{2m+x}{3} \le \frac{4mx-1}{2}$ adalah $x \ge \frac{3}{4}$, tentukan nilai $m$ yang memenuhi.
Kalikan kedua ruas dengan $6$ untuk menghilangkan penyebut:
$$2(2m + x) \le 3(4mx - 1)$$
$$4m + 2x \le 12mx - 3$$
$$2x - 12mx \le -3 - 4m \implies x(2 - 12m) \le -(4m + 3)$$
Karena solusi akhir berupa $x \ge \frac{3}{4}$ (tanda ketaksamaan berbalik dari $\le$ menjadi $\ge$), maka koefisien pembagi $(2 - 12m)$ pasti bernilai negatif. Maka:
$$x \ge \frac{-(4m + 3)}{2 - 12m} = \frac{4m + 3}{12m - 2}$$
Disamakan dengan nilai solusi yang diketahui $x \ge \frac{3}{4}$:
$$\frac{4m + 3}{12m - 2} = \frac{3}{4}$$
$$4(4m + 3) = 3(12m - 2) \implies 16m + 12 = 36m - 6$$
$$20m = 18 \implies m = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$$
Nilai $x = 3$ adalah solusi dari ketaksamaan $mx + 2 < 1 - 4m$. Jika $m$ merupakan bilangan bulat, maka tentukan nilai maksimum dari $m$?
Substitusikan nilai $x = 3$ ke dalam ketaksamaan:
$$m(3) + 2 < 1 - 4m$$
$$3m + 2 < 1 - 4m \implies 3m + 4m < 1 - 2$$
$$7m < -1 \implies m < -\frac{1}{7}$$
Karena $m$ adalah bilangan bulat ($\mathbb{Z}$) dan $m < -0,1428\dots$, maka nilai bulat terbesar yang memenuhi adalah $m = -1$.
B). Ketaksamaan Kuadrat
Definisi ketaksamaan Kuadrat yaitu ketaksamaan yang berbentuk $f(x) > 0, f(x) \ge 0, f(x) < 0, f(x) \le 0$ dengan $f(x) = ax^2 + bx + c$ dan $a \neq 0$.
Langkah-Langkah Penyelesaian:
- Tentukan akar-akar (pembuat nol).
- Buat garis bilangan dan tentukan tandanya ($+$ atau $-$).
- Arsir daerahnya:
- Jika $> 0$ maka arsir daerah positif.
- Jika $< 0$ maka arsir daerah negatif.
- Buat Himpunan Penyelesaiannya (HP).
a). $(x + 2)(2x - 6) < 0$
b). $x^2 - 2x \ge x + 10$
a). Pembuat nol: $x + 2 = 0 \implies x = -2$ dan $2x - 6 = 0 \implies x = 3$.
Uji titik pada garis bilangan, daerah yang menghasilkan tanda negatif ($< 0$) adalah antara $-2$ dan $3$.
$$\text{HP} = \{x \mid -2 < x < 3\}$$
b). Kelompokkan ke satu ruas:
$$x^2 - 3x - 10 \ge 0 \implies (x - 5)(x + 2) \ge 0$$
Pembuat nol: $x = 5$ atau $x = -2$.
Daerah yang bernilai positif ($\ge 0$) berada di bagian luar akar-akarnya.
$$\text{HP} = \{x \mid x \le -2 \text{ atau } x \ge 5\}$$
Tentukan solusi dari ketaksamaan berikut:
$$(x^2 - x - 1)^2 \ge (x^2 + x - 3)^2$$
Gunakan bentuk selisih kuadrat $A^2 - B^2 \ge 0 \iff (A - B)(A + B) \ge 0$:
$$[(x^2 - x - 1) - (x^2 + x - 3)][(x^2 - x - 1) + (x^2 + x - 3)] \ge 0$$
$$(-2x + 2)(2x^2 - 4) \ge 0$$
Bagi kedua ruas dengan $-4$ (tanda ketaksamaan berbalik):
$$(x - 1)(x^2 - 2) \le 0 \implies (x - 1)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \le 0$$
Pembuat nol: $x = -\sqrt{2}$, $x = 1$, dan $x = \sqrt{2}$.
Dengan uji tanda pada garis bilangan, daerah negatif ($\le 0$) didapat pada:
$$\text{HP} = \{x \mid x \le -\sqrt{2} \text{ atau } 1 \le x \le \sqrt{2}\}$$
Selesaikan ketaksamaan $ax^2 - (a + 1)x + 1 < 0$, dimana $a$ adalah sebuah konstanta dengan $a > 1$.
Faktorkan bentuk kuadrat:
$$(ax - 1)(x - 1) < 0$$
Pembuat nol: $x = \frac{1}{a}$ dan $x = 1$.
Karena $a > 1$, maka diperoleh nilai $0 < \frac{1}{a} < 1$.
Karena koefisien $x^2$ bernilai positif ($a > 0$), daerah ketaksamaan $< 0$ terletak di antara kedua akar tersebut.
$$\text{HP} = \left\{x \;\middle|\; \frac{1}{a} < x < 1\right\}$$
Soal Latihan:
1). Jika $-2 \le x \le 5$, $-3 \le y \le 5$, $4 \le z \le 8$ dan $w = xy - z$, berapakah nilai terkecil dari $w$ yang memenuhi?
2). Selisih terbesar dari 2 bilangan rasional $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{1}{5} < 2x < \frac{1}{2}$ adalah ...
3). Jika $5 \le x \le 10$ dan $2 \le y \le 6$, maka nilai minimum untuk $(x - y)(x + y)$ adalah ...
4). Himpunan penyelesaian dari $1 - \frac{2(x-5)}{7} \le 4(3-x) - \frac{1}{7}, \, x \in \mathbb{R}$ adalah ...
5). Selesaikan ketaksamaan berikut:
a). $(2 + x)(x - 5)(x + 1) > 0$
b). $x^2(x^2 - 4) < 0$
d). $x - 1 > (x - 1)(x + 2)$
6). Tentukan $m$ agar persamaan $(2x^2 + 2mx - (m + 1))(x^2 + mx + 1) = 0$ Mempunyai tepat dua solusi real.
7). Misalkan $a < b < c < 0$, susunlah bentuk $\frac{a}{b+c}, \frac{b}{c+a}, \frac{c}{a+b}$ dari urutan terbesar ke kecil!
8). Misalkan $m = \frac{4-x}{3}, n = \frac{x+3}{4}, p = \frac{2-3x}{5}$, dan $m > n > p$. Tentukan interval nilai $x$?
9). Solusi dari $(2a - b)x > a - 2b$ adalah $x < \frac{5}{2}$. Tentukan solusi dari $ax + b < 0$?
10). Terdapat bilangan bulat $a$ dan $b$ sehingga sistem ketaksamaan $9x - a \ge 0$ dan $8x - b < 0$ memiliki solusi bilangan bulat yaitu $x = \{1, 2, 3\}$. Ada berapa banyak pasangan bilangan $(a, b)$ yang memenuhi?
11). Misalkan $0 \le a - b \le 1$ dan $1 \le a + b \le 4$. Tentukan nilai $8a + 2002b$ ketika nilai $a - 2b$ maksimum?
12). $a, b$ merupakan bilangan bulat positif. Tentukan nilai pecahan $\frac{a}{b}$ yang memenuhi $\frac{8}{9} < \frac{a}{b} < \frac{9}{10}$, sehingga $b$ minimum.
13). Terdapat bilangan real $a$ dan $b$. Jika $a = \frac{x+3}{4}, b = \frac{2x+1}{3}, b < \frac{7}{3} < 2a$, tentukan interval nilai $x$?
14). Misalkan $a > 0, a \in \mathbb{R}$ sehingga $3a^2 - 2a\sqrt{2} - 2 < 0$. Persamaan kuadrat $x^2 + ax\sqrt{3} + 3a^2 - 2 = 0$ memiliki dua akar real bila ...
15). Terdapat ketaksamaan:
$$\frac{1}{8}(2a - a^2) \le x^2 - 3x + 2 \le 3 - a^2$$
Terpenuhi untuk bilangan real $x$ pada interval $[0, 2]$. Tentukan interval nilai $a$ yang memenuhi.
Demikian pembahasan materi Ketaksamaan Linier dan Kuadrat Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
