13. Fungsi
A). Pengertian Fungsi
Fungsi atau pemetaan adalah relasi (hubungan) yang memasangkan setiap anggota domain dengan tepat satu anggota kodomain.
Fungsi dinotasikan dengan huruf kecil seperti $f, g,$ atau $h$. Fungsi $f$ yang memetakan himpunan A ke himpunan B dinotasikan $f: A \rightarrow B$ atau $f: x \rightarrow f(x)$ atau $f: x \rightarrow y$.
- $y$ merupakan peta atau bayangan $x$ atau nilai fungsi dari $x$, ditulis $y = f(x)$.
- $x$ merupakan prapeta dari $f(x)$ atau $x$ merupakan prapeta dari $y$.
- Himpunan A disebut daerah asal (domain).
- Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain).
- Pasangan anggota A di B disebut daerah hasil (range).
Tentukan domain, kodomain, dan range dari diagram panah di atas.
Diagram (i):
- Domain (Daerah Asal) $= \{1, 2, 3, 4\}$
- Kodomain (Daerah Kawan) $= \{a, b, c\}$
- Range (Daerah Hasil) $= \{a, b, c\}$
Diagram (ii):
- Domain (Daerah Asal) $= \{1, 2, 3\}$
- Kodomain (Daerah Kawan) $= \{a, b, c, d\}$
- Range (Daerah Hasil) $= \{a, b, d\}$
B). Menentukan Banyak Pemetaan
(i). Banyak pemetaan yang mungkin
Banyak pemetaan $f: A \rightarrow B$ yaitu $n(B)^{n(A)}$, dimana $n(A) =$ banyak anggota himpunan A.
(ii). Banyak Korespondensi satu-satu
Jika $n(A) = n(B)$, maka banyak korespondensi satu-satu dari himpunan A ke himpunan B $= n!$, dimana $n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n - 3) \dots 2 \cdot 1$.
Diketahui $A = \{3, 6\}$ dan $B = \{a, b, c\}$. Tentukan banyaknya pemetaan yang mungkin:
Diketahui $n(A) = 2$ dan $n(B) = 3$.
a). Banyak pemetaan dari A ke B $= n(B)^{n(A)} = 3^2 = 9$.
b). Banyak pemetaan dari B ke A $= n(A)^{n(B)} = 2^3 = 8$.
Diketahui $P = \{1, 2, 4, 5, 6\}$ dan $Q = \{d, e, f, g, h\}$. Tentukan banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin!
Diketahui $n(P) = 5$ dan $n(Q) = 5$. Karena $n(P) = n(Q) = 5$, maka:
Banyak korespondensi satu-satu $= 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
C). Menuliskan Rumus Fungsi
Jika notasi $f: x \rightarrow y$, maka dapat dituliskan rumus fungsi $y = f(x)$.
Diketahui $f: 3x - 1 \rightarrow x$, tentukan $f(x)$?
Misalkan $u = 3x - 1 \implies 3x = u + 1 \implies x = \frac{u + 1}{3}$.
Substitusikan ke bentuk awal:
$$f(u) = \frac{u + 1}{3}$$
Sehingga rumus fungsi $f(x)$ adalah:
$$f(x) = \frac{x + 1}{3}$$
D). Menghitung Nilai Fungsi
Untuk menghitung nilai suatu fungsi, dapat dilakukan dengan mensubstitusikan nilai variabel bebasnya ke dalam rumus fungsi sehingga diperoleh nilai variabel bergantungnya.
Diberikan pemetaan $P: t \rightarrow 3t - 1$. Tentukan:
Rumus fungsi $P(t) = 3t - 1$.
a). Peta dari $2 \implies P(2) = 3(2) - 1 = 6 - 1 = 5$.
b). Nilai fungsi untuk $t = 4 \implies P(4) = 3(4) - 1 = 12 - 1 = 11$.
c). Jika $P(x) = 11 \implies 3x - 1 = 11 \implies 3x = 12 \implies x = 4$.
Misalkan $f$ suatu fungsi yang memenuhi $f(xy) = \frac{f(x)}{y}$ untuk semua bilangan real positif $x$ dan $y$. Jika $f(100) = 3$, maka nilai $f(10) = \dots$?
Pilih $x = 10$ dan $y = 10$, maka:
$$f(10 \cdot 10) = \frac{f(10)}{10}$$
$$f(100) = \frac{f(10)}{10}$$
Diketahui $f(100) = 3$, maka:
$$3 = \frac{f(10)}{10} \implies f(10) = 30$$
Jika $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$, untuk $x \neq 1$, maka $f(-x) = \dots$? (nyatakan dalam bentuk $f(x)$).
Substitusikan $-x$ ke dalam fungsi $f(x)$:
$$f(-x) = \frac{-x + 1}{-x - 1} = \frac{-(x - 1)}{-(x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1}$$
Perhatikan bahwa $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$, sehingga kebalikannya adalah $\frac{1}{f(x)} = \frac{x-1}{x+1}$.
Jadi, $f(-x) = \frac{1}{f(x)}$.
Suatu fungsi $f(x)$ didefinisikan untuk setiap bilangan real, yaitu:
$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2, & \text{untuk } 1 \le x < 3 \\ 2x - 1, & \text{untuk } x \text{ lainnya} \end{cases}$$
Tentukan nilai dari $f(1) \cdot f(2) + f(0) \cdot f(1) \cdot f\left(\frac{1}{2}\right)$?
Hitung nilai masing-masing suku sesuai kondisi $x$:
- Untuk $x = 1$ (memenuhi $1 \le x < 3$): $f(1) = 1^2 + 2 = 3$
- Untuk $x = 2$ (memenuhi $1 \le x < 3$): $f(2) = 2^2 + 2 = 6$
- Untuk $x = 0$ (kondisi lainnya): $f(0) = 2(0) - 1 = -1$
- Untuk $x = \frac{1}{2}$ (kondisi lainnya): $f\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 0$
Substitusikan nilai-nilai tersebut ke bentuk yang ditanyakan:
$$f(1) \cdot f(2) + f(0) \cdot f(1) \cdot f\left(\frac{1}{2}\right) = (3 \cdot 6) + (-1 \cdot 3 \cdot 0) = 18 + 0 = 18$$
Soal Latihan
1). Jika $f(z) = az + b$, maka nilai dari $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ adalah ...
2). Jika $f(x) = 3x + 1$, $g(x) = 1 - 2x$, dan $f(g(a)) = 28$, maka nilai $a$ adalah ...
3). Diketahui fungsi bilangan real $f(x) = \frac{x}{1-x}$, untuk $x \neq 1$. Nilai dari $f(2007) + f(2006) + \dots + f(3) + f(2) + f\left(\frac{1}{2}\right) + f\left(\frac{1}{3}\right) + \dots + f\left(\frac{1}{2007}\right)$ adalah ...
4). Jika $f(x) = \frac{2x-4}{x}$, $x \neq 0$, dan $x$ bilangan real, maka $f^{2009}(6) = \dots$
Catatan: notasi $f^2(x) = f(f(x))$, notasi $f^3(x) = f(f(f(x)))$, dan seterusnya.
5). Jika $f$ adalah fungsi sehingga $f(xy) = f(x - y)$ dan $f(6) = 1$, maka $f(-2) - f(4) = \dots$
6). Jika $f$ fungsi dari himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan asli yang memenuhi $f(x) + f(x + 1) = 2x^2$ dan $f(31) = 99$, maka $f(99) = \dots$
7). Misalkan $f$ adalah fungsi yang memenuhi $$f\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{1}{x} f(-x) = 2x$$ untuk setiap $x \neq 0$. Tentukanlah nilai $f(2)$?
8). Diberikan $f(x) = \frac{9^x}{9^x + 3}$. Hitunglah bentuk:
$$f\left(\frac{1}{1996}\right) + f\left(\frac{2}{1996}\right) + f\left(\frac{3}{1996}\right) + \dots + f\left(\frac{1995}{1996}\right)$$
9). Diketahui fungsi $f(x)$ yaitu:
$$f(x) = \frac{x}{a}\left[1 - \frac{b^2}{x^2}\right] + \frac{x}{b}\left[1 - \frac{a^2}{x^2}\right]$$
Tentukan nilai $f(a + b)$?
10). Jika $f(x) = 8 - 2x$ dan $f(4a - 2) = -4$, maka nilai $a + 3 = \dots$?
11). Jika $f(x - 2) = 3x + 1$, maka nilai $f(0) + f(-1) = \dots$?
Demikian pembahasan materi Fungsi Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
