Fungsi Floor Olim SMP

·
         Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Fungsi Floor Olim Matik SMP. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Fungsi Floor Olim Matik SMP Level SMP Pemula. Tentuk masih ada banyak lagi berkaitan Fungsi Floor pada materi olim matik SMP yang bisa sahabat koma pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Fungsi Floor ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba dan soal-soal Latihan.

16. Fungsi Floor

A). Definisi

(i). Definisi 1:

Untuk sembarang bilangan real $x$, bentuk $[x]$, disebut bagian bulat dari $x$. Fungsi $f(x) = [x]$ disebut fungsi Gaussian.

Catatan:

  • $[x]$ dibaca "floor dari $x$".
  • $[x]$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$.

Contoh 1:

Tentukan hasil dari masing-masing bentuk berikut:

a). $[2,3]$
b). $[2,9]$
c). $[2]$
d). $[0,27]$
e). $[0,6]$
f). $[0,975]$
g). $[-3]$
h). $[-1,7]$
i). $[-0,9]$
j). $[-2,465]$
💡 Solusi Contoh 1:
a). $[2,3] = 2$
b). $[2,9] = 2$
c). $[2] = 2$
d). $[0,27] = 0$
e). $[0,6] = 0$
f). $[0,975] = 0$
g). $[-3] = -3$
h). $[-1,7] = -2$
i). $[-0,9] = -1$
j). $[-2,465] = -3$

(ii). Definisi 2:

Untuk sembarang bilangan real $x$, bentuk $x - [x]$, disimbolkan $\{x\}$, disebut bagian desimal dari $x$.

Dapat dituliskan: $x = [x] + \{x\} \rightarrow \{x\} = x - [x]$ dengan $0 \le \{x\} < 1$.

Contoh 2:

Tentukan nilai $[x]$ dan $\{x\}$ masing-masing berikut:

a). $x = 2,315$
b). $x = 1,03$
c). $x = 4,76$
d). $x = -2,34$
e). $x = -1,78$
f). $x = -3,29$
g). $x = -0,47$
💡 Solusi Contoh 2:
a). $[2,315] = 2 \implies \{2,315\} = 2,315 - 2 = 0,315$
b). $[1,03] = 1 \implies \{1,03\} = 1,03 - 1 = 0,03$
c). $[4,76] = 4 \implies \{4,76\} = 4,76 - 4 = 0,76$
d). $[-2,34] = -3 \implies \{-2,34\} = -2,34 - (-3) = 0,66$
e). $[-1,78] = -2 \implies \{-1,78\} = -1,78 - (-2) = 0,22$
f). $[-3,29] = -4 \implies \{-3,29\} = -3,29 - (-4) = 0,71$
g). $[-0,47] = -1 \implies \{-0,47\} = -0,47 - (-1) = 0,53$

Contoh 3:

Hitunglah hasil berikut:

a). $[2,789] + [1,23] - [1,923]$
b). $[5,024] - [-2,095] - [4,5716]$
c). $[3,901] + [-1,24] + \{3,27\} - \{-5,73\}$
d). $2,62 + [1,86] - [-2,67] - \{-1,38\}$
💡 Solusi Contoh 3:

a). $2 + 1 - 1 = 2$

b). $5 - (-3) - 4 = 5 + 3 - 4 = 4$

c). Karena $\{-5,73\} = -5,73 - (-6) = 0,27$, maka:
$3 + (-2) + 0,27 - 0,27 = 1$

d). Karena $\{-1,38\} = -1,38 - (-2) = 0,62$, maka:
$2,62 + 1 - (-3) - 0,62 = (2,62 - 0,62) + 1 + 3 = 2 + 4 = 6$

Contoh 4:

Tentukan solusi dari $2[x] = x + 2\{x\}$?

💡 Solusi Contoh 4:

Substitusikan $x = [x] + \{x\}$ ke dalam persamaan:

$$2[x] = ([x] + \{x\}) + 2\{x\}$$ $$[x] = 3\{x\} \implies \{x\} = \frac{[x]}{3}$$

Karena syarat bagian desimal adalah $0 \le \{x\} < 1$, maka:

$$0 \le \frac{[x]}{3} < 1 \implies 0 \le [x] < 3$$

Nilai bulat $[x]$ yang memenuhi adalah $0, 1,$ atau $2$.

  • Jika $[x] = 0 \implies \{x\} = 0 \implies x = 0 + 0 = 0$
  • Jika $[x] = 1 \implies \{x\} = \frac{1}{3} \implies x = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
  • Jika $[x] = 2 \implies \{x\} = \frac{2}{3} \implies x = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

Jadi, solusinya adalah $x \in \left\{0, \dfrac{4}{3}, \dfrac{8}{3}\right\}$.

B). Sifat-sifat bentuk $[x]$ dan $\{x\}$

Beberapa sifat-sifat yaitu:

1). $\{x\} = 0$ jika dan hanya jika $x$ bilangan bulat.
2). $x - 1 < [x] \le x < [x] + 1$
3). Untuk bilangan bulat positif $n$, berlaku: $$[n + x] = n + [x]$$
4). $[-x] = \begin{cases} -[x] - 1 & \text{untuk } x \text{ bukan bulat} \\ -[x] & \text{untuk } x \text{ bilangan bulat} \end{cases}$
5). $[x + y] \ge [x] + [y]$ untuk bilangan real $x, y$.
Secara umum: $$[x_1 + x_2 + \dots + x_n] \ge [x_1] + [x_2] + \dots + [x_n]$$
6). $[xy] \ge [x] \cdot [y]$ untuk bilangan real $x, y$.
Secara umum: $$[x_1 x_2 \dots x_n] \ge [x_1] \cdot [x_2] \dots [x_n]$$
7). $\left[\frac{[x]}{n}\right] = \left[\frac{x}{n}\right]$ untuk $n$ bilangan asli.
8). $[x] = k \rightarrow k \le x < k + 1$.

Contoh 5:

Untuk $m$ dan $n$ bilangan bulat sedemikian hingga $[\sqrt{n}] = 3$ dan $[\sqrt{m}] = 5$. Tentukan nilai maksimum dari $(m + n)(m - n)$?

💡 Solusi Contoh 5:

Perhatikan bahwa $(m+n)(m-n) = m^2 - n^2$. Untuk memaksimalkan $m^2 - n^2$, pilih $m$ sebesar mungkin dan $n$ sekecil mungkin.

Dari $[\sqrt{n}] = 3 \implies 3 \le \sqrt{n} < 4 \implies 9 \le n < 16$.
Nilai minimum bilangan bulat $n = 9$.

Dari $[\sqrt{m}] = 5 \implies 5 \le \sqrt{m} < 6 \implies 25 \le m < 36$.
Nilai maksimum bilangan bulat $m = 35$.

Maka nilai maksimum dari $m^2 - n^2$ adalah:

$$35^2 - 9^2 = 1225 - 81 = 1144$$

C). Teorema Terkait

Legendre's Theorem

Pada bentuk $n!$ ($n$ faktorial), banyaknya faktor prima $p$ dari $n!$ dapat dihitung dengan rumus:

$$\left[\frac{n}{p}\right] + \left[\frac{n}{p^2}\right] + \left[\frac{n}{p^3}\right] + \left[\frac{n}{p^4}\right] + \dots$$

Contoh 6:

Jika $3^m$ habis membagi $100!$, maka tentukan nilai $m$ terbesar?

💡 Solusi Contoh 6:

Nilai $m$ terbesar adalah pangkat tertinggi faktor $3$ yang membagi $100!$:

$$m = \left[\frac{100}{3}\right] + \left[\frac{100}{9}\right] + \left[\frac{100}{27}\right] + \left[\frac{100}{81}\right]$$ $$m = 33 + 11 + 3 + 1 = 48$$

Contoh 7:

Tentukan banyak angka 0 tanpa terputus di bagian belakang dari hasil perhitungan $200!$

💡 Solusi Contoh 7:

Banyak angka nol di akhir $200!$ ditentukan oleh banyaknya faktor $5$ pada $200!$:

$$E_5(200!) = \left[\frac{200}{5}\right] + \left[\frac{200}{25}\right] + \left[\frac{200}{125}\right]$$ $$E_5(200!) = 40 + 8 + 1 = 49$$

Jadi, ada $49$ angka nol berturut-turut di bagian belakang.

Contoh 8:

Terdapat bilangan real positif $x, y, z$ yang memenuhi persamaan:

$$x + [y] + \{z\} = 13,2$$ $$[x] + \{y\} + z = 14,3$$ $$\{x\} + y + [z] = 15,1$$

Dimana $[a]$ menyatakan bilangan bulat terbesar $\le a$ dan $\{b\}$ menyatakan bagian pecahan dari $b$ (contoh: $[5,4] = 5$, $\{4,3\} = 0,3$). Tentukan nilai $x$?

💡 Solusi Contoh 8:

Nyatakan $x = [x] + \{x\}$, $y = [y] + \{y\}$, dan $z = [z] + \{z\}$. Tulis ulang sistem persamaan:

  1. $[x] + [y] + \{x\} + \{z\} = 13,2$
  2. $[x] + [z] + \{y\} + \{z\} = 14,3$
  3. $[y] + [z] + \{x\} + \{y\} = 15,1$

Pisahkan bagian bulat dan desimalnya:

  • Persamaan (1): $[x] + [y] = 13$ dan $\{x\} + \{z\} = 0,2$
  • Persamaan (2): $[x] + [z] = 14$ dan $\{y\} + \{z\} = 0,3$
  • Persamaan (3): $[y] + [z] = 15$ dan $\{x\} + \{y\} = 0,1$

Jumlahkan bagian desimal:

$$2(\{x\} + \{y\} + \{z\}) = 0,2 + 0,3 + 0,1 = 0,6 \implies \{x\} + \{y\} + \{z\} = 0,3$$ $$\{x\} = 0,3 - (\{y\} + \{z\}) = 0,3 - 0,3 = 0$$

Jumlahkan bagian bulat:

$$2([x] + [y] + [z]) = 13 + 14 + 15 = 42 \implies [x] + [y] + [z] = 21$$ $$[x] = 21 - ([y] + [z]) = 21 - 15 = 6$$

Sehingga nilai $x = [x] + \{x\} = 6 + 0 = 6$.

Soal Latihan:

1).
Notasi $[x]$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan $x$. Sebagai contoh $[7/3] = 2$, $[-1/2] = -1$. Maka hubungan yang benar di antara dua bilangan bulat $s = [\sqrt{2} - \sqrt{3}]$ dan $t = [\sqrt{2}] - [\sqrt{3}]$.
2).
Didefinisikan $\left[\!\left[ x \right]\!\right]$ adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$. Sebagai contoh: $\left[\!\left[ \frac{5}{2} \right]\!\right] = 2$, karena $2 \le \frac{5}{2} < 3$. Jika $x$ dan $y$ adalah bilangan real dengan $\left[\!\left[ \sqrt{x} \right]\!\right] = 10$ dan $\left[\!\left[ \frac{1}{4}\sqrt{y} \right]\!\right] = 8$, maka tentukan nilai dari $\left[\!\left[ \sqrt{\left[\!\left[ \sqrt{x + y} \right]\!\right]} \right]\!\right]$.
3).
Tentukan nilai maksimum $k$ sehingga $$\frac{1001 \times 1002 \times 1003 \times \dots \times 1985 \times 1986}{11^k}$$ Menghasilkan bilangan bulat.
4).
Misalkan $S = [\sqrt{1}] + [\sqrt{2}] + [\sqrt{3}] + \dots + [\sqrt{1988}]$. Tentukan nilai $[\sqrt{S}]$?
5).
Selesaikan persamaan berikut: $$[x^3] + [x^2] + [x] = \{x\} - 1$$
6).
Tentukan solusi dari persamaan $$[x]^2 = \{x\} \cdot x$$
7).
Tentukan semua solusi real dari persamaan $$4x^2 - 40[x] + 51 = 0?$$
8).
Hitunglah hasil bentuk penjumlahan berikut: $$S = \sum_{k=1}^{502} \left[ \frac{305k}{503} \right]$$
9).
Tentukan digit satuan dari bentuk berikut: $$\left[ \frac{10^{20000}}{10^{100} + 3} \right]$$
10).
Tentukan semua solusi dari persamaan berikut: $$x^2 - 8[x] + 7 = 0$$
11).
Tentukan solusi semua pada persamaan berikut dan tentukan jumlah semua akar-kakarnya! $$[3x + 1] = 2x - \frac{1}{2}$$
12).
Ada berapa banyak 1000 bilangan positif pertama yang bisa dibentuk dari $$[2x] + [4x] + [6x] + [8x]$$ dengan $x$ bilangan real, dan $[z]$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $z$.
13).
Tentukan banyak penyelesaian real dari persamaan $$\left[ \frac{x}{2} \right] + \left[ \frac{2x}{3} \right] = x$$
Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMP

       Demikian pembahasan materi Fungsi Floor Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.