Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya.
Pada artikel ini kita akan membahas Eksponen (Perpangkatan) Olim Matik SMP. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa
digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Eksponen (Perpangkatan) Olim Matik SMP Level SMP Pemula.
Tentuk masih ada banyak
lagi berkaitan Eksponen (Perpangkatan) pada materi olim matik SMP yang bisa sahabat koma pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam
menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Eksponen (Perpangkatan) ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba dan
soal-soal Latihan.
Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMP
Demikian pembahasan materi Eksponen (Perpangkatan) Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
17. Eksponen (Perpangkatan)
(A). Definisi perpangkatan
$$a^n = \underbrace{a \times a \times a \times a \times \dots \times a}_{a \text{ sebanyak } n}$$
Keterangan:
- $a$ disebut basis atau bilangan pokok
- $n$ disebut eksponen atau pangkat
- dengan $n$ adalah bilangan bulat positif.
(B). Sifat-sifat eksponen
Berikut sifat-sifat perpangkatan:
(1). $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
(2). $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
(3). $(a^m)^n = a^{m \times n}$
(4). $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
(5). $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$
(6). $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
(7). $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$
(8). $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$
(9). $a^0 = 1$ dengan syarat $a \neq 0$
Contoh 1
Jika $9^{m+1} - 2 \cdot 9^m = 14$, maka $27^m = \dots$
Solusi Contoh 1:
$$9^{m+1} - 2 \cdot 9^m = 14$$
$$9^1 \cdot 9^m - 2 \cdot 9^m = 14$$
$$(9 - 2) \cdot 9^m = 14$$
$$7 \cdot 9^m = 14 \implies 9^m = 2$$
Karena $9^m = 2$, maka $(3^2)^m = 2 \implies 3^m = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$.
Sehingga nilai $27^m = (3^3)^m = (3^m)^3 = (\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}$.
Sehingga nilai $27^m = (3^3)^m = (3^m)^3 = (\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}$.
Contoh 2
Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $a^b = 2^{20} - 2^{19}$, maka nilai $a + b$ adalah $\dots$
Solusi Contoh 2:
Faktorkan ruas kanan:
$$a^b = 2^{20} - 2^{19} = 2^{19}(2 - 1) = 2^{19} \cdot 1 = 2^{19}$$
Karena $a$ dan $b$ bilangan bulat positif, maka diperoleh $a = 2$ dan $b = 19$.
Jadi, nilai $a + b = 2 + 19 = 21$.
Jadi, nilai $a + b = 2 + 19 = 21$.
Contoh 3
Jika $A^{2x} = 2$, maka $\frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x}} = \dots$
Solusi Contoh 3:
Kalikan pembilang dan penyebut dengan $A^{3x}$:
$$\frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x}} = \frac{A^{3x}(A^{5x} - A^{-5x})}{A^{3x}(A^{3x} + A^{-3x})} = \frac{A^{8x} - A^{-2x}}{A^{6x} + 1}$$
Diketahui $A^{2x} = 2$, maka:
- $A^{8x} = (A^{2x})^4 = 2^4 = 16$
- $A^{-2x} = \frac{1}{A^{2x}} = \frac{1}{2}$
- $A^{6x} = (A^{2x})^3 = 2^3 = 8$
(C). Persamaan eksponen
Beberapa bentuk persamaan:
(1). $a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x)$
(2). $a^{f(x)} = b^{f(x)} \rightarrow f(x) = 0$
Contoh 4
Jika $n$ memenuhi
$$\frac{\overbrace{25^{0{,}25} \times 25^{0{,}25} \times \dots \times 25^{0{,}25}}^{n \text{ faktor}}}{n \text{ faktor}} = 125,$$
Maka $(n - 3)(n + 2) = \dots$
Solusi Contoh 4:
Sederhanakan $25^{0{,}25}$:
$$25^{0{,}25} = (5^2)^{\frac{1}{4}} = 5^{\frac{2}{4}} = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$$
Perkalian sebanyak $n$ faktor:
$$(25^{0{,}25})^n = (5^{\frac{1}{2}})^n = 5^{\frac{n}{2}}$$
Ruas kanan: $125 = 5^3$. Maka:
$$5^{\frac{n}{2}} = 5^3 \implies \frac{n}{2} = 3 \implies n = 6$$
Sehingga: $(n - 3)(n + 2) = (6 - 3)(6 + 2) = 3 \times 8 = 24$.
Contoh 5
Jika $x_1$ dan $x_2$ solusi persamaan $3 \cdot 9^x + 9^{1-x} = 28$,
Maka $x_1 + x_2 = \dots$
Maka $x_1 + x_2 = \dots$
Solusi Contoh 5:
Ubah persamaan: $3 \cdot 9^x + \frac{9}{9^x} = 28$. Misalkan $y = 9^x$:
$$3y + \frac{9}{y} = 28 \implies 3y^2 - 28y + 9 = 0$$
Akar-akar persamaan kuadrat dalam $y$ adalah $y_1 = 9^{x_1}$ dan $y_2 = 9^{x_2}$.
Berdasarkan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat: $$y_1 \cdot y_2 = \frac{c}{a} = \frac{9}{3} = 3$$ $$9^{x_1} \cdot 9^{x_2} = 3 \implies 9^{x_1 + x_2} = 3^1 \implies (3^2)^{x_1 + x_2} = 3^1$$ $$3^{2(x_1 + x_2)} = 3^1 \implies 2(x_1 + x_2) = 1 \implies x_1 + x_2 = \frac{1}{2}$$
Berdasarkan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat: $$y_1 \cdot y_2 = \frac{c}{a} = \frac{9}{3} = 3$$ $$9^{x_1} \cdot 9^{x_2} = 3 \implies 9^{x_1 + x_2} = 3^1 \implies (3^2)^{x_1 + x_2} = 3^1$$ $$3^{2(x_1 + x_2)} = 3^1 \implies 2(x_1 + x_2) = 1 \implies x_1 + x_2 = \frac{1}{2}$$
Contoh 6
Tentukan nilai $p$ dari persamaan berikut!
$$\frac{4^5+4^5+4^5+4^5}{3^5+3^5+3^5} \times \frac{6^5+6^5+6^5+6^5+6^5+6^5}{2^5+2^5} = 2^p$$
Solusi Contoh 6:
Sederhanakan masing-masing suku penjumlahan:
- $4^5+4^5+4^5+4^5 = 4 \times 4^5 = 4^6 = (2^2)^6 = 2^{12}$
- $3^5+3^5+3^5 = 3 \times 3^5 = 3^6$
- $6^5+6^5+6^5+6^5+6^5+6^5 = 6 \times 6^5 = 6^6 = (2 \times 3)^6 = 2^6 \times 3^6$
- $2^5+2^5 = 2 \times 2^5 = 2^6$
Contoh 7
Tentukan penyelesaian dari persamaan:
$$9^{x+3} = \sqrt[4]{27^{x+5}}$$
Solusi Contoh 7:
Ubah kedua ruas ke bilangan pokok $3$:
$$9^{x+3} = (3^2)^{x+3} = 3^{2x+6}$$
$$\sqrt[4]{27^{x+5}} = (3^3)^{\frac{x+5}{4}} = 3^{\frac{3x+15}{4}}$$
Samakan pangkatnya:
$$2x + 6 = \frac{3x + 15}{4} \implies 8x + 24 = 3x + 15$$
$$5x = -9 \implies x = -\frac{9}{5}$$
Contoh 8
Untuk $x$ dan $y$ yang memenuhi sistem persamaan:
$$\begin{cases} 3^{x-2y+1} = 9^{x-2y} \\ 4^{x-y+2} = 32^{x-2y+1} \end{cases}$$
Maka nilai $xy = \dots$?
Solusi Contoh 8:
Dari persamaan (1):
$$3^{x-2y+1} = (3^2)^{x-2y} = 3^{2x-4y} \implies x - 2y + 1 = 2x - 4y \implies x - 2y = 1 \implies x = 2y + 1$$
Dari persamaan (2):
$$(2^2)^{x-y+2} = (2^5)^{x-2y+1} \implies 2(x - y + 2) = 5(x - 2y + 1)$$
$$2x - 2y + 4 = 5x - 10y + 5 \implies 3x - 8y = -1$$
Substitusikan $x = 2y + 1$:
$$3(2y + 1) - 8y = -1 \implies 6y + 3 - 8y = -1 \implies -2y = -4 \implies y = 2$$
Maka $x = 2(2) + 1 = 5$.
Jadi, nilai $xy = 5 \times 2 = 10$.
Jadi, nilai $xy = 5 \times 2 = 10$.
Contoh 9
Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah $2^{x+2}$. Jika panjang dua sisi yang lain adalah $4$ dan $2^{2x+1}$, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $\dots$?
Solusi Contoh 9:
Gunakan Teorema Pythagoras:
$$(2^{2x+1})^2 + 4^2 = (2^{x+2})^2$$
$$2^{4x+2} + 16 = 2^{2x+4} \implies 4 \cdot (2^{2x})^2 + 16 = 16 \cdot (2^{2x})$$
Bagi kedua ruas dengan $4$:
$$(2^{2x})^2 - 4(2^{2x}) + 4 = 0$$
Misalkan $u = 2^{2x}$:
$$u^2 - 4u + 4 = 0 \implies (u - 2)^2 = 0 \implies u = 2$$
$$2^{2x} = 2^1 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$$
Contoh 10
Diberikan $a$ dan $b$ bilangan real dengan $a > 1$ dan $b > 0$. Jika $ab = a^b$ dan $\frac{a}{b} = a^{3b}$, maka nilai $a = \dots$?
Solusi Contoh 10:
Dari $ab = a^b \implies b = a^{b-1}$.
Dari $\frac{a}{b} = a^{3b} \implies b = \frac{a}{a^{3b}} = a^{1-3b}$.
Samakan kedua ekspresi untuk $b$: $$a^{b-1} = a^{1-3b}$$ Karena $a > 1$, maka: $$b - 1 = 1 - 3b \implies 4b = 2 \implies b = \frac{1}{2}$$ Substitusikan $b = \frac{1}{2}$ ke $b = a^{b-1}$: $$\frac{1}{2} = a^{\frac{1}{2} - 1} = a^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{a}} \implies \sqrt{a} = 2 \implies a = 4$$
Dari $\frac{a}{b} = a^{3b} \implies b = \frac{a}{a^{3b}} = a^{1-3b}$.
Samakan kedua ekspresi untuk $b$: $$a^{b-1} = a^{1-3b}$$ Karena $a > 1$, maka: $$b - 1 = 1 - 3b \implies 4b = 2 \implies b = \frac{1}{2}$$ Substitusikan $b = \frac{1}{2}$ ke $b = a^{b-1}$: $$\frac{1}{2} = a^{\frac{1}{2} - 1} = a^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{a}} \implies \sqrt{a} = 2 \implies a = 4$$
Soal Latihan:
1). Jika $a, b,$ dan $c$ adalah tiga bilangan bulat positif berbeda yang memenuhi $abc = 16$, berapakah nilai terbesar yang mungkin dari $a^b - b^c + c^a$?
2). $4^4 + 4^4 + 4^4 + 4^4 = \dots$?
3). Jumlah semua angka pada bilangan $2^{2004} \cdot 5^{2003}$ adalah $\dots$
4). Urutan bilangan-bilangan $2^{5555}$, $5^{2222}$, dan $3^{3333}$ dari yang terkecil sampai yang terbesar adalah $\dots$
5). Nilai $x$ yang memenuhi persamaan
$$\left(\sqrt[3]{\frac{1}{243}}\right)^{3x} = \left(\frac{3}{3^{x-2}}\right)^2 \sqrt[3]{\frac{1}{9}}$$
adalah $\dots$
6). Jumlah semua bilangan riil $x$ yang memenuhi persamaan berikut adalah $\dots$
$$(5^x - 25)^3 + ((25)^x - 5)^3 = (5^x + (25)^x - 30)^3$$
7). Diketahui $2^{2x} + 2^{-2x} = 2$. Nilai $2^x + 2^{-x} = \dots$
8). Untuk setiap bilangan bulat $x$ didefinisikan fungsi $f$ dengan $f(x)$ adalah banyak angka (digit) dari bilangan $x$.
Contoh: $f(125) = 3$ dan $f(2012) = 4$.
Nilai $f(2^{2012}) + f(5^{2012})$ adalah $\dots$
Contoh: $f(125) = 3$ dan $f(2012) = 4$.
Nilai $f(2^{2012}) + f(5^{2012})$ adalah $\dots$
9). Jika sistem persamaan $x^7 y^5 = r$ dan $x^4 y^3 = s$ dengan $x, y, r,$ dan $s$ adalah bilangan positif mempunyai penyelesaian $x = r^a s^b$ dan $y = r^c s^d$, maka hasil dari $a + b + c + d$ adalah $\dots$
10). Nilai $x$ yang memenuhi persamaan
$$4x(3^{2006} + 1) = 3^{2009} - 3^{2007} + 24 \text{ adalah } \dots$$
11). Misalkan $n$ adalah suatu bilangan asli dan $x$ adalah bilangan riil positif. Jika $2x^n + \frac{3}{x^{\frac{n}{2}}} - 2 = 0$, maka nilai $\frac{2}{x^n + \frac{1}{4}}$ sama dengan $\dots$
12). Tentukan semua bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan berikut:
$$2^x + 3^x - 4^x + 6^x - 9^x = 1$$
13). Suatu populasi hewan mengikuti hukum pertumbuhan yang berbentuk:
$N(t) =$ besar populasi pada saat $t$
$t =$ waktu dalam satuan tahun
Agar populasi menjadi $3$ kali lipat populasi awal (saat $t = 0$), maka $2^t + 4 = \dots$?
$$N(t) = 100.000 \times 2^{t-2}$$
Dengan:$N(t) =$ besar populasi pada saat $t$
$t =$ waktu dalam satuan tahun
Agar populasi menjadi $3$ kali lipat populasi awal (saat $t = 0$), maka $2^t + 4 = \dots$?
14). Jika $4^x + 4^{-x} = 7$, maka nilai $8^x + 8^{-x} = \dots$?
15). Jika $2^a = 3$, $3^b = 4$, $4^c = 5$, dan $5^d = 6$, maka nilai $2^{abcd+1} = \dots$?
16). Tentukan nilai $n$ yang memenuhi persamaan:
$$5^n + 5^n + 5^n + 5^n + 5^n = 25^{20}$$
17). Jika $3996 = p^a r^s t^u$, dengan $p, r,$ dan $t$ adalah bilangan prima, maka $p + q + r + s + t + u = \dots$?
18). Sederhanakan bentuk berikut!
$$\frac{1^{-4} + 2^{-4} + 3^{-4} + 4^{-4} + \dots}{1^{-4} + 3^{-4} + 5^{-4} + 7^{-4} + \dots} = \dots?$$
19). Jika $a$ dan $b$ merupakan bilangan real yang memenuhi $25^a = 5$ dan $5^b = 2$, maka $25^{2a+b+1} = \dots$?
20). Diketahui $P = 24^{2021} + 24^{-2021}$ dan $Q = 24^{2021} - 24^{-2021}$. Tentukan hasil $P^2 - Q^2$?
Demikian pembahasan materi Eksponen (Perpangkatan) Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
