18. Bentuk Akar
A). Definisi Bentuk Akar
Akar kuadrat dari bilangan real positif $a$ ditulis $\sqrt{a}$. Bentuk $\sqrt{a}$ disebut bentuk akar jika dan hanya jika $a$ bukan bilangan kuadrat sempurna.
B). Operasi Dasar Bentuk Akar
Berikut beberapa operasi dasar pada bentuk akar:
- $(\sqrt{a})^2 = a$ untuk $a \ge 0$.
- $\sqrt{a^2} = |a| = \begin{cases} a & \text{untuk } a \ge 0 \\ -a & \text{untuk } a < 0 \end{cases}$
- $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$
- $p\sqrt{a} \cdot q\sqrt{b} = (p \cdot q)\sqrt{ab}$
- $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
- $\frac{p\sqrt{a}}{q\sqrt{b}} = \frac{p}{q} \sqrt{\frac{a}{b}}$
- $(\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n}$
- $p\sqrt{a} \pm q\sqrt{a} = (p \pm q)\sqrt{a}$
Contoh 1:
Tentukan atau sederhanakan bentuk operasi berikut:
a). $\sqrt{75}$ b). $\sqrt{0,000081}$
c). $5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3}$ d). $7\sqrt{3} + \sqrt{48} - \sqrt{192}$
e). $\sqrt{11} \times 3\sqrt{5}$ f). $8\sqrt{3} \times 24\sqrt{12}$
g). $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{28}}$ h). $\frac{10\sqrt{8}}{5\sqrt{2}}$
a). $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$
b). $\sqrt{0,000081} = \sqrt{81 \times 10^{-6}} = 9 \times 10^{-3} = 0,009$
c). $5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = (5 + 2 - 4)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
d). $7\sqrt{3} + \sqrt{48} - \sqrt{192} = 7\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 8\sqrt{3} = (7 + 4 - 8)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
e). $\sqrt{11} \times 3\sqrt{5} = 3\sqrt{11 \times 5} = 3\sqrt{55}$
f). $8\sqrt{3} \times 24\sqrt{12} = 8\sqrt{3} \times 24(2\sqrt{3}) = 8\sqrt{3} \times 48\sqrt{3} = 384 \times 3 = 1152$
g). $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{28}} = \sqrt{\frac{7}{28}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
h). $\frac{10\sqrt{8}}{5\sqrt{2}} = \left(\frac{10}{5}\right)\sqrt{\frac{8}{2}} = 2\sqrt{4} = 2(2) = 4$
Contoh 2:
Untuk interval $-1 < x \le 3$, sederhanakan berikut:
$$S = \sqrt{x^2 + 2x + 1} - \sqrt{x^2 + 4x + 4} + \sqrt{x^2 - 6x + 9}$$
Sederhanakan setiap bentuk di dalam akar menjadi kuadrat sempurna:
$$S = \sqrt{(x+1)^2} - \sqrt{(x+2)^2} + \sqrt{(x-3)^2} = |x+1| - |x+2| + |x-3|$$
Perhatikan nilai mutlak untuk interval $-1 < x \le 3$:
- Karna $x > -1$, maka $x+1 > 0 \implies |x+1| = x+1$
- Karna $x > -1$, maka $x+2 > 0 \implies |x+2| = x+2$
- Karna $x \le 3$, maka $x-3 \le 0 \implies |x-3| = -(x-3) = 3-x$
Substitusikan nilai mutlak tersebut:
$$S = (x+1) - (x+2) + (3-x) = x + 1 - x - 2 + 3 - x = 2 - x$$
C). Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar
Untuk merasionalkan, kita kalikan dengan bentuk sekawan dari bentuk akar tersebut.
| Bentuk Akar | Bentuk Sekawannya |
|---|---|
| $\sqrt{a}$ | $\sqrt{a}$ |
| $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ | $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ |
| $\sqrt{a} - b$ | $\sqrt{a} + b$ |
| $p\sqrt{a} + \sqrt{b}$ | $p\sqrt{a} - \sqrt{b}$ |
| $p\sqrt{a} - q\sqrt{b}$ | $p\sqrt{a} + q\sqrt{b}$ |
| $\sqrt{a} + q\sqrt{b}$ | $\sqrt{a} - q\sqrt{b}$ |
Contoh 3:
Misalkan $x = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ dan $y = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$. Tentukan nilai dari:
$$x^4 + y^4 + (x+y)^4$$
Rasionalkan nilai $x$ dan $y$:
$$x = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2}{7-3} = \frac{10 + 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5+\sqrt{21}}{2}$$
$$y = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2}{7-3} = \frac{10 - 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5-\sqrt{21}}{2}$$
Hitung $x+y$ dan $xy$:
$$x + y = \frac{5+\sqrt{21}}{2} + \frac{5-\sqrt{21}}{2} = 5$$
$$xy = \left(\frac{5+\sqrt{21}}{2}\right)\left(\frac{5-\sqrt{21}}{2}\right) = \frac{25 - 21}{4} = 1$$
Hitung $x^2 + y^2$ dan $x^4 + y^4$:
$$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 5^2 - 2(1) = 23$$
$$x^4 + y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2(xy)^2 = 23^2 - 2(1)^2 = 529 - 2 = 527$$
$$x^4 + y^4 + (x+y)^4 = 527 + 5^4 = 527 + 625 = 1152$$
Contoh 4:
Tentukan nilai $a + b$, jika diketahui:
$$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = a + b\sqrt{6}$$
Rasionalkan ruas kiri:
$$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{3 - 2} = 3 + 2 + 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6}$$
Maka diperoleh $a = 5$ dan $b = 2$.
$$a + b = 5 + 2 = 7$$
Contoh 5:
Hitunglah nilai dari:
$$(\sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{12})(\sqrt{10} + \sqrt{11} - \sqrt{12})(\sqrt{10} - \sqrt{11} + \sqrt{12})(\sqrt{10} - \sqrt{11} - \sqrt{12})$$
Kelompokkan dua pasang perkalian menggunakan selisih kuadrat $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$:
Pasang 1: $[(\sqrt{10}+\sqrt{11}) + \sqrt{12}][(\sqrt{10}+\sqrt{11}) - \sqrt{12}] = (\sqrt{10}+\sqrt{11})^2 - 12 = 10 + 11 + 2\sqrt{110} - 12 = 9 + 2\sqrt{110}$
Pasang 2: $[(\sqrt{10}-\sqrt{11}) + \sqrt{12}][(\sqrt{10}-\sqrt{11}) - \sqrt{12}] = (\sqrt{10}-\sqrt{11})^2 - 12 = 10 + 11 - 2\sqrt{110} - 12 = 9 - 2\sqrt{110}$
Kalikan kedua hasil tersebut:
$$(9 + 2\sqrt{110})(9 - 2\sqrt{110}) = 9^2 - (2\sqrt{110})^2 = 81 - 4(110) = 81 - 440 = -359$$
Contoh 6:
Sederhanakan bentuk berikut:
$$\frac{1}{2\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{100\sqrt{99} + 99\sqrt{100}}$$
Sederhanakan suku umum $\frac{1}{(n+1)\sqrt{n} + n\sqrt{n+1}}$:
$$\frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} \times \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}(n+1 - n)} = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}$$
Deret teleskopik dari $n=1$ sampai $99$:
$$\left(\frac{1}{\sqrt{1}} - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \dots + \left(\frac{1}{\sqrt{99}} - \frac{1}{\sqrt{100}}\right)$$
$$= 1 - \frac{1}{\sqrt{100}} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} = 0,9$$
D). Akar dalam akar $\sqrt{a \pm \sqrt{b}}$
Untuk menyederhanakannya, ada beberapa cara yaitu:
(i). Berdasarkan bentuk aljabar berikut:
- $\sqrt{(a+b)^2} = |a+b|$
- $\sqrt{(a+b)^4} = (a+b)^2$
- $\sqrt[3]{(a+b)^3} = a+b$
(ii). Melengkapi kuadrat sempurna.
(iii). Menggunakan bentuk berikut:
- $\sqrt{(a+b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$
- $\sqrt{(a+b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$
Contoh 7:
Hitunglah hasil dari bentuk berikut:
$$\sqrt{17 + 4\sqrt{13}} - \sqrt{17 - 4\sqrt{13}}$$
Ubah ke bentuk $2\sqrt{ab}$:
$$4\sqrt{13} = 2\sqrt{52}$$
Cari dua bilangan yang jumlahnya 17 dan hasil kalinya 52, yaitu 13 dan 4 ($13+4=17, 13 \times 4 = 52$).
$$\sqrt{17 + 2\sqrt{52}} = \sqrt{13} + \sqrt{4} = \sqrt{13} + 2$$
$$\sqrt{17 - 2\sqrt{52}} = \sqrt{13} - \sqrt{4} = \sqrt{13} - 2$$
Maka:
$$(\sqrt{13} + 2) - (\sqrt{13} - 2) = 4$$
Contoh 8:
Sederhanakan bentuk berikut:
$$\sqrt{\frac{2}{5 - 2\sqrt{6}}} - \sqrt{\frac{2}{5 + 2\sqrt{6}}}$$
Ingat bahwa $5 \pm 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} \pm \sqrt{2})^2$, sehingga:
$$\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$$
$$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$$
Maka bentuknya menjadi:
$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2}) - \sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = (\sqrt{6}+2) - (\sqrt{6}-2) = 4$$
Contoh 9:
Untuk $x = \sqrt{19 - 8\sqrt{3}}$, tentukan nilai dari:
$$\frac{x^4 - 6x^3 - 2x^2 + 18x + 23}{x^2 - 8x + 15}$$
Sederhanakan $x = \sqrt{19 - 2\sqrt{48}} = \sqrt{16} - \sqrt{3} = 4 - \sqrt{3}$.
Maka $x - 4 = -\sqrt{3} \implies (x-4)^2 = 3 \implies x^2 - 8x + 16 = 3 \implies x^2 - 8x + 13 = 0$.
Penyebut: $x^2 - 8x + 15 = (x^2 - 8x + 13) + 2 = 0 + 2 = 2$.
Pembilang: Bagi pembilang dengan $(x^2 - 8x + 13)$:
$$x^4 - 6x^3 - 2x^2 + 18x + 23 = (x^2 - 8x + 13)(x^2 + 2x + 1) + 10 = 0 + 10 = 10$$
Nilai pecahan adalah $\frac{10}{2} = 5$.
Contoh 10:
Jika bagian bulat dan desimal dari $\sqrt{37 - 20\sqrt{3}}$ adalah $x$ dan $y$, maka nilai dari $x + y + \frac{4}{y}$ adalah ...?
Sederhanakan $\sqrt{37 - 2\sqrt{300}} = \sqrt{25} - \sqrt{12} = 5 - 2\sqrt{3}$.
Karena $\sqrt{3} \approx 1,732$, maka $2\sqrt{3} \approx 3,464$, dan $5 - 2\sqrt{3} \approx 1,536$.
Maka bagian bulat $x = 1$, dan bagian desimal $y = (5 - 2\sqrt{3}) - 1 = 4 - 2\sqrt{3}$.
Hitung $x + y + \frac{4}{y}$:
$$x + y = 5 - 2\sqrt{3}$$
$$\frac{4}{y} = \frac{4}{4 - 2\sqrt{3}} = \frac{2}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2(2+\sqrt{3})}{4-3} = 4 + 2\sqrt{3}$$
$$x + y + \frac{4}{y} = (5 - 2\sqrt{3}) + (4 + 2\sqrt{3}) = 9$$
Contoh 11:
Hitunglah nilai dari:
$$\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\dots}}} - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}$$
Misalkan $A = \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\dots}}} \implies A^2 = 2A \implies A = 2$.
Misalkan $B = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}} \implies B^2 = 2 + B \implies B^2 - B - 2 = 0 \implies (B-2)(B+1) = 0 \implies B = 2$.
Maka nilai dari $A - B = 2 - 2 = 0$.
Soal Latihan
1). $\sqrt{\frac{0,036}{0,9}} = \dots$
2). Jika $a = \sqrt{\frac{b}{1-b}}$, maka $b$ dinyatakan dalam $a$ adalah ...
3). Bilangan yang ditunjukkan oleh
$$\frac{1}{(1+\sqrt{2})(2+\sqrt{3})(1-\sqrt{2})(2-\sqrt{3})}$$
adalah ...
4). Jika $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{x}$, maka $\sqrt{x} = \dots$
5). Semua bilangan bulat $x$ sehingga $\frac{1}{2+\sqrt{x}} + \frac{1}{2-\sqrt{x}}$ merupakan bilangan bulat adalah ...
6). $(\sqrt{3})^{-3} + (\sqrt{3})^{-2} + (\sqrt{3})^{-1} + (\sqrt{3})^0 + (\sqrt{3})^1 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3 = \dots$
7). $\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{q}{p}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{q}{p}\dots}}}} = p^x q^{-x}$ maka nilai $x$ sama dengan ...
8). Banyaknya bilangan bulat $x$ sehingga $\frac{1}{2+\sqrt{x}} + \frac{1}{2-\sqrt{x}}$ merupakan bilangan bulat adalah ...
9). $\sqrt{54 + 14\sqrt{5}} + \sqrt{12 - 2\sqrt{35}} + \sqrt{32 - 10\sqrt{7}} = \dots$
10). Semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\sqrt{(6x - 2)} - \sqrt{(4x - 3)} = 1$ adalah ...
11). Bentuk sederhana dari $\sqrt{4 - \sqrt{15}} - \sqrt{4 + \sqrt{15}}$ adalah ...
12). Diketahui:
$$A = \frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+2} + \dots + \frac{1}{\sqrt{9999}+100}$$
Bilangan kuadrat terdekat dengan $A$ adalah ...
13). Jika $p = \frac{1}{\sqrt{14}-\sqrt{13}}$ dan $q = \frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$, maka nilai dari $p^2 + pq + q^2$ adalah ...
14). Tentukan nilai $4a - 1$, jika diketahui:
$$\frac{\sqrt{15} + \sqrt{35} + \sqrt{21} + 5}{\sqrt{3} + 2\sqrt{5} + \sqrt{7}} = a(\sqrt{7} + \sqrt{3})$$
15). Sederhanakan bentuk berikut:
$$\sqrt{2 + \sqrt{-2 + 2\sqrt{5}}} - \sqrt{2 - \sqrt{-2 + 2\sqrt{5}}}$$
16). Sederhanakan bentuk berikut:
$$\sqrt{11 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{15}}$$
17). Untuk $x > 3$, sederhanakanlah bentuk berikut:
$$\frac{x^2 - 4x + 3 + (x + 1)\sqrt{x^2 - 9}}{x^2 + 4x + 3 + (x - 1)\sqrt{x^2 - 9}}$$
18). Diketahui $a = \sqrt{27} - \sqrt{26}$, $b = \sqrt{28} - \sqrt{27}$, dan $c = \sqrt{29} - \sqrt{28}$. Tentukan urutan $a, b, c$ dari kecil ke terbesar!
19). Hitunglah bentuk berikut:
$$\frac{1}{1 - \sqrt[4]{5}} + \frac{1}{1 + \sqrt[4]{5}} + \frac{2}{1 + \sqrt{5}}$$
20). Misalkan bagian desimal dari $M = (\sqrt{13} + \sqrt{11})^6$ adalah $P$. Tentukan nilai dari $M(1 - P)$?
21). Diketahui $x + y = \sqrt{3\sqrt{5} - \sqrt{2}}$, $x - y = \sqrt{3\sqrt{2} - \sqrt{5}}$. Tentukan nilai $xy$?
22). Tentukan bilangan bulat terdekat dengan bentuk
$$\frac{1}{\sqrt{17 - 12\sqrt{2}}}$$
23). Tentukan nilai $a + b + c + d$, jika diketahui:
$$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}} = a + \frac{1}{3}b\sqrt{15} + \frac{1}{2}c\sqrt{10} + \frac{1}{6}d\sqrt{6}$$
Demikian pembahasan materi Bentuk Akar Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
