20. Barisan dan Deret Aritmetika
Barisan aritmetika adalah suatu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan cara menambahkan suatu konstanta pada suku sebelumnya atau bisa kita sebut sebagai barisan yang selalu memiliki selisih yang sama antara dua suku yang berdekatan. Konstanta itu disebut beda yang dinotasikan dengan $b$.
Misalkan suku pertamanya $a$ dan bedanya $b$, maka:
Barisannya: $a, a + b, a + 2b, a + 3b, \dots, a + (n - 1)b$
Rumus suku ke-$n$: $U_n = a + (n - 1)b$
Rumus bedanya: $b = U_n - U_{n-1}$
Banyak sukunya: $n = \frac{U_n - a}{b} + 1$
Suku tengah: $U_t = \frac{a + U_n}{2}$ (syarat banyak suku ganjil)
Tentukan suku ke-200 dari barisan: $5, 8, 11, 14, \dots$
Diketahui suku pertama $a = 5$ dan beda $b = 8 - 5 = 3$.
Rumus suku ke-$n$: $U_n = a + (n - 1)b$
Jadi, suku ke-200 dari barisan tersebut adalah 602.
Tentukan suku ke-51 dari barisan berikut:
$5, 8, 14, 23, 35, \dots$
Perhatikan selisih antar suku (barisan aritmetika tingkat dua):
- Tingkat 1 (selisih): $8-5=3$, $14-8=6$, $23-14=9$, $35-23=12$
- Tingkat 2 (selisih bertingkat): $6-3=3$, $9-6=3$, $12-9=3$ (konstan $c=3$)
Suku pertama barisan $a = 5$, beda pertama $b_1 = 3$, dan beda tingkat dua $c = 3$.
Rumus barisan aritmetika tingkat dua:
Untuk $n = 51$:
Jadi, suku ke-51 adalah 3830.
Tentukan suku tengah pada barisan: $1, 3, 5, 7, 9, \dots, 201$.
Diketahui suku pertama $a = 1$ dan suku terakhir $U_n = 201$.
Rumus suku tengah $U_t$:
Jadi, suku tengah barisan tersebut adalah 101.
Empat suku pertama barisan aritmetika yaitu $a, x, b, 2x$. Tentukan nilai dari $\frac{b}{a}$?
Karena $a, x, b, 2x$ merupakan barisan aritmetika, beda ($d$) antar suku konstan:
Dari $x - a = 2x - b \implies x = b - a$
Dari $b - x = 2x - b \implies 2b = 3x \implies x = \frac{2}{3}b$
Menyamakan kedua nilai $x$:
Jadi, nilai dari $\frac{b}{a}$ adalah 3.
Tentukan banyak bilangan antara $7$ dan $800$ yang habis dibagi $3$?
Bilangan antara 7 dan 800 yang habis dibagi 3 membentuk barisan aritmetika:
Suku pertama ($a$) $\ge 7$ yang habis dibagi 3 adalah $9$.
Suku terakhir ($U_n$) $\le 800$ yang habis dibagi 3 adalah $798$ (karena $798 = 3 \times 266$).
Beda ($b$) $= 3$.
Banyaknya bilangan ($n$):
Jadi, terdapat 264 bilangan.
Banyaknya bilangan asli yang kurang dari $999$ yang habis dibagi $4$ atau $5$ adalah ...?
Bilangan asli kurang dari 999 berarti rentang $1$ sampai $998$. Menggunakan Prinsip Inklusi-Eksklusi:
- Banyak bilangan habis dibagi 4: $n(A) = \lfloor \frac{998}{4} \rfloor = 249$
- Banyak bilangan habis dibagi 5: $n(B) = \lfloor \frac{998}{5} \rfloor = 199$
- Banyak bilangan habis dibagi 20 (KPK dari 4 dan 5): $n(A \cap B) = \lfloor \frac{998}{20} \rfloor = 49$
Maka banyaknya bilangan yang habis dibagi 4 atau 5:
Jadi, banyaknya bilangan adalah 399.
Deret aritmetika adalah bentuk penjumlahan suku-suku dari barisan aritmetika, ditulis:
$S_n$ artinya jumlah $n$ suku pertama.
$S_1 = U_1$
$S_2 = U_1 + U_2$
$S_3 = U_1 + U_2 + U_3$
$S_4 = U_1 + U_2 + U_3 + U_4$
Dan seterusnya.
(i). Rumus $S_n$
Beberapa bentuk rumus $S_n$:
1). $S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)$
2). $S_n = \frac{n}{2}\big(2a + (n - 1)b\big)$
3). $S_n = n \cdot U_t$
(ii). Hubungan $S_n$ dan $U_n$ (Hubungan Rekursifnya)
Jika diketahui rumus $S_n$, maka $U_n$ dapat dihitung:
Diketahui barisan: $1, 4, 7, 10, \dots$
Tentukan:
a). beda dan suku ke-11.
b). nilai $S_{11}$
Diketahui $a = 1$, $b = 4 - 1 = 3$.
a). Beda dan suku ke-11:
Beda $b = 3$.
b). Nilai $S_{11}$:
Jika diketahui $1 + 2 + 3 + \dots + n = \overline{aaa}$, maka nilai $n$ adalah ...?
Bentuk $\overline{aaa}$ mewakili bilangan 3-digit identik: $\overline{aaa} = 111 \times a = 3 \times 37 \times a$, dengan $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$.
Rumus deret: $\frac{n(n+1)}{2} = 111 \cdot a \implies n(n+1) = 222 \cdot a = 6 \cdot 37 \cdot a$.
Karena $n(n+1)$ perkalian dua bilangan bulat berurutan, salah satu faktor harus membagi 37.
Untuk $a = 6$:
Perhatikan bahwa $36 \times 37 = 1332$. Sehingga $n = 36$.
Jadi, nilai $n$ adalah 36.
Suatu deret aritmatika memiliki rumus $S_n = 2n^2 - 3n$. Tentukan nilai dari $U_{10}$?
Menggunakan hubungan $U_n = S_n - S_{n-1}$ untuk $n = 10$:
Jadi, nilai $U_{10}$ adalah 35.
Perhatikan gambar berikut!
Tentukan rumus pada pola ke-$n$ nya?
Banyak titik pada pola membentuk barisan bilangan segitiga:
Pola 1 ($n=1$): 3 titik $= 1 + 2$
Pola 2 ($n=2$): 6 titik $= 1 + 2 + 3$
Pola 3 ($n=3$): 10 titik $= 1 + 2 + 3 + 4$
Secara umum, pola ke-$n$ adalah penjumlahan dari $1$ hingga $(n+1)$:
Diketahui $U_1 + U_3 + U_5 + U_7 + U_9 + U_{11} = 72$.
Nilai dari $U_1 + U_6 + U_{11} = \dots$?
Pada barisan aritmetika, berlaku pasangan simetris terhadap suku tengah $U_6$:
Maka penjumlahan 6 suku tersebut:
Sehingga nilai $U_1 + U_6 + U_{11}$ adalah:
Jumlah semua bilangan asli yang kurang dari $202$ yang habis dibagi 3 atau 4 adalah ...?
Bilangan asli $< 202$ berentang $1$ hingga $201$. Menggunakan Prinsip Inklusi-Eksklusi:
1. Kelipatan 3: $3, 6, 9, \dots, 201 \implies n_1 = 67$ suku.
2. Kelipatan 4: $4, 8, 12, \dots, 200 \implies n_2 = 50$ suku.
3. Kelipatan 12 (KPK 3 & 4): $12, 24, \dots, 192 \implies n_3 = 16$ suku.
Jumlah Total:
1). Jumlah 101 bilangan bulat berurutan adalah 101. Berapakah bilangan bulat yang terbesar di dalam barisan tersebut?
2). Dengan menggunakan uang koin Rp50,00, Rp100,00, dan Rp200,00, ada berapa carakah kita menyatakan uang sebesar Rp2.000,00?
3). Banyaknya bilangan bulat dari $-1006$ sampai dengan $2006$ yang merupakan kelipatan 3 tetapi bukan kelipatan 6 adalah ... bilangan.
4). Bilangan asli $n$ terbesar sehingga jumlah $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1)$ lebih kecil dari 2006 adalah ...
5). Suatu barisan hanya terdiri dari bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5. Jika barisan tersebut adalah $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, \dots$ maka suku ke 100 dari barisan tersebut adalah ...
6). Fachmy menghitung, mulai dari 1000, kemudian bertambah 8 menjadi 1008, 1016, 1024, 1032, .... Sedangkan Zeldy pada saat yang sama menghitung mulai dari 2008, berkurang 4 menjadi 2004, 2000, 1996, 1992, .... Bilangan tepat sama saat mereka menghitung bersama-sama adalah ...
7). Suatu deret aritmetika mempunyai suku pertama $a$ dan beda 10. Jumlah $n$ suku pertama adalah 10.000. Jika suku ke-$n$ kurang dari 500, maka nilai $n$ terbesar yang mungkin adalah ...
8). Jika $a, b, 15, c,$ dan $d$ membentuk barisan aritmetika, maka $a + b + c + d = \dots$
9). Jumlah 2009 bilangan bulat berurutan sama dengan 6027, maka selisih bilangan terkecil dan terbesar sama dengan ....
10). Jika diberikan $S_n = 1 - 2 + 3 - 4 + \dots + (-1)^{n-1}n$, dengan $n$ bilangan asli, maka nilai $S_{17} + S_8 + S_{45}$ adalah ...
11). Jika jumlah $k$ bilangan bulat positif berurutan adalah 2010, dengan $k > 1$, maka $k$ terkecil yang mungkin adalah ...
12). Nilai penjumlahan bilangan berikut adalah ...
13). Jika barisan berikut adalah barisan bilangan bulat positif berurutan yang dihilangkan semua bilangan kelipatan tiga: $1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, \dots$, maka suku ke-67 barisan tersebut adalah ...
14). Ucok bermain menyusun batang-batang korek api seperti tampak pada gambar berikut. Apabila susunan batang korek api yang dibuat Ucok dilanjutkan, tentukan banyak batang korek api yang diperlukan untuk membuat susunan ke-20.
15). Bilangan asli $n$ terbesar yang memenuhi $\frac{1+2+3+4+\dots+n}{n} < 2005$ adalah ...
16). Banyak bilangan bulat berbeda yang merupakan penjumlahan dari tiga bilangan berbeda dalam $\{5, 9, 13, 17, \dots, 41\}$ adalah ....
17). Nilai dari $2009^2 - 2008^2 + 2007^2 - 2006^2 + 2005^2 - \dots + 3^2 - 2^2 + 1^2$ adalah ...
18). Jika $f(x) = 3x^2 + 18x + 28$ dan $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dots + (2009)^2 + (2010)^2 = A$, maka $f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + \dots + f(2010) = \dots$?
19). Jika $x$ adalah jumlah 99 bilangan ganjil terkecil yang lebih besar dari 2011 dan $y$ adalah jumlah 99 bilangan genap terkecil yang lebih besar dari 6, maka $x + y = \dots$?
20). Jika nilai $100B = 100^2 + 99^2 - 98^2 - 97^2 + 96^2 + 95^2 - 94^2 - 93^2 + \dots + 4^2 + 3^2 - 2^2 - 1^2$, maka nilai $B$ adalah ...
Demikian pembahasan materi Barisan dan Deret Aritmetika Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
