3. Sistem Persamaan Linier
A). Bentuk Sistem Persamaan Linear (SPL)
1). Sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV)
Bentuk umum SPLDV:
Sifat-sifat banyaknya penyelesaian:
- (i). Banyak solusi tunggal jika: $$\frac{a}{p} \neq \frac{b}{q}$$
- (ii). Banyak solusi tak hingga jika: $$\frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}$$
- (iii). Tidak punya solusi jika: $$\frac{a}{p} = \frac{b}{q} \neq \frac{c}{r}$$
2). Sistem persamaan linier lainnya
Selain SPLDV, terdapat sistem persamaan linier dengan tiga variabel (SPLTV), empat variabel, dan seterusnya.
Tentukan banyak solusi yang mungkin dari setiap sistem persamaan berikut:
a). $\begin{cases} 2x - 3y = 7 \\ 4x + y = 5 \end{cases}$ b). $\begin{cases} x + 3y = 4 \\ 2x + 6y = 8 \end{cases}$ c). $\begin{cases} 2x + 4y = 5 \\ 3x + 6y = 7 \end{cases}$
a). Rasio koefisien: $\frac{a}{p} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ dan $\frac{b}{q} = \frac{-3}{1} = -3$.
Karena $\frac{a}{p} \neq \frac{b}{q}$ ($\frac{1}{2} \neq -3$), maka sistem memiliki 1 solusi tunggal.
b). Rasio koefisien: $\frac{a}{p} = \frac{1}{2}$, $\frac{b}{q} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, dan $\frac{c}{r} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Karena $\frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}$, maka sistem memiliki tak hingga banyak solusi.
c). Rasio koefisien: $\frac{a}{p} = \frac{2}{3}$, $\frac{b}{q} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, dan $\frac{c}{r} = \frac{5}{7}$.
Karena $\frac{a}{p} = \frac{b}{q} \neq \frac{c}{r}$, maka sistem tidak memiliki solusi.
Perhatikan sistem persamaan berikut:
$$\begin{cases} 2x + (m + 1)y = 6 \\ (n - 3)x + 3y = 2 \end{cases}$$Jika sistem tersebut memiliki solusi $(x, y)$ lebih dari satu solusi, maka tentukan nilai dari $m + n$?
Agar sistem memiliki lebih dari satu solusi (tak hingga solusi), syaratnya adalah:
$$\frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r} \implies \frac{2}{n - 3} = \frac{m + 1}{3} = \frac{6}{2} = 3$$Diperoleh persamaan:
- $\frac{2}{n - 3} = 3 \implies 3n - 9 = 2 \implies n = \frac{11}{3}$
- $\frac{m + 1}{3} = 3 \implies m + 1 = 9 \implies m = 8$
Sehingga, $m + n = 8 + \frac{11}{3} = \mathbf{\frac{35}{3}}$.
B). Penyelesaian SPL
Untuk menyelesaikan sistem persamaan, ada beberapa cara yaitu eliminasi, substitusi, dan gabungan (eliminasi dan substitusi).
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan:
$$\begin{cases} 2x - y = 7 \\ 3x + 4y = 5 \end{cases}$$Kalikan persamaan pertama dengan $4$ lalu tambahkan ke persamaan kedua:
$$\begin{aligned} 8x - 4y &= 28 \\ 3x + 4y &= 5 \quad (+) \\ \hline 11x &= 33 \implies x = 3 \end{aligned}$$Substitusi $x = 3$ ke persamaan $2x - y = 7$:
$$2(3) - y = 7 \implies 6 - y = 7 \implies y = -1$$Jadi, penyelesaiannya adalah $\mathbf{(x, y) = (3, -1)}$.
Selesaikan sistem berikut:
$$\begin{cases} 5,4x + 4,6y = 104 \\ 4,6x + 5,4y = 96 \end{cases}$$1. Jumlahkan kedua persamaan:
$$10x + 10y = 200 \implies x + y = 20$$2. Kurangkan persamaan pertama dengan yang kedua:
$$0,8x - 0,8y = 8 \implies x - y = 10$$3. Selesaikan persamaannya:
$$(x+y) + (x-y) = 30 \implies 2x = 30 \implies x = 15$$ $$(x+y) - (x-y) = 10 \implies 2y = 10 \implies y = 5$$Jadi, solusinya adalah $\mathbf{(x, y) = (15, 5)}$.
Carilah solusi dari SPL berikut:
$$\begin{cases} x + 2(5x + y) = 16 \\ 5x + y = 7 \end{cases}$$Substitusikan $(5x + y) = 7$ langsung ke persamaan pertama:
$$x + 2(7) = 16 \implies x + 14 = 16 \implies x = 2$$Substitusikan $x = 2$ ke persamaan $5x + y = 7$:
$$5(2) + y = 7 \implies 10 + y = 7 \implies y = -3$$Jadi, solusinya adalah $\mathbf{(x, y) = (2, -3)}$.
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut!
$$\begin{cases} \dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5} \\[8pt] x + 3y + 6z = 82 \end{cases}$$Misalkan $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = k \implies x = 2k, y = 3k, z = 5k$.
Substitusikan ke persamaan kedua:
$$(2k) + 3(3k) + 6(5k) = 82 \implies 2k + 9k + 30k = 82 \implies 41k = 82 \implies k = 2$$Sehingga:
$$x = 2(2) = 4, \quad y = 3(2) = 6, \quad z = 5(2) = 10$$Jadi, penyelesaiannya adalah $\mathbf{(x, y, z) = (4, 6, 10)}$.
Selesaikan sistem persamaan berikut!
$$\begin{cases} x + y = 5 \\ y + z = 6 \\ z + x = 7 \end{cases}$$Jumlahkan ketiga persamaan:
$$2x + 2y + 2z = 18 \implies x + y + z = 9$$Kurangkan dengan masing-masing persamaan awal:
- $z = 9 - (x + y) = 9 - 5 = 4$
- $x = 9 - (y + z) = 9 - 6 = 3$
- $y = 9 - (z + x) = 9 - 7 = 2$
Jadi, penyelesaiannya adalah $\mathbf{(x, y, z) = (3, 2, 4)}$.
Selesaikan sistem persamaan berikut!
$$\begin{cases} x + 2y = 5 \\ y + 2z = 8 \\ z + 2u = 11 \\ u + 2x = 6 \end{cases}$$Nyatakan variabel $y, z, u$ dalam $x$:
$$y = \frac{5 - x}{2}$$ $$z = \frac{8 - y}{2} = \frac{11 + x}{4}$$ $$u = \frac{11 - z}{2} = \frac{33 - x}{8}$$Substitusikan $u$ ke persamaan $u + 2x = 6$:
$$\frac{33 - x}{8} + 2x = 6 \implies 33 - x + 16x = 48 \implies 15x = 15 \implies x = 1$$Diperoleh $y = 2, z = 3, u = 4$. Solusi: $\mathbf{(x, y, z, u) = (1, 2, 3, 4)}$.
Terdapat $x, y,$ dan $z$ memenuhi sistem persamaan:
$$\begin{cases} 2000(x - y) + 2001(y - z) + 2002(z - x) = 0 \\ 2000^2(x - y) + 2001^2(y - z) + 2002^2(z - x) = 2001 \end{cases}$$Tentukan nilai $z - y$?
Misalkan $a = x - y$ dan $b = y - z$, maka $z - x = -(a + b)$.
Persamaan 1: $2000a + 2001b + 2002(-a - b) = 0 \implies -2a - b = 0 \implies b = -2a$.
Persamaan 2: $2000^2 a + 2001^2(-2a) + 2002^2 a = 2001$.
Gunakan bentuk identitas $(N-1)^2 - 2N^2 + (N+1)^2 = 2$ untuk $N = 2001$:
$$a(2) = 2001 \implies a = \frac{2001}{2}$$Maka $z - y = -b = 2a = 2 \left( \frac{2001}{2} \right) = \mathbf{2001}$.
Soal Latihan
Tiga ekor ayam (Besar, Sedang, dan Kecil) ditimbang. Jika yang besar dan kecil ditimbang, beratnya adalah $2,6\text{ kg}$. Jika yang besar dan sedang ditimbang, beratnya $3\text{ kg}$, dan jika yang sedang dan kecil ditimbang, beratnya $2\text{ kg}$. Berat ketiga ayam tersebut seluruhnya adalah $\dots \text{kg}$.
Ali, Ani, dan Budi pergi ke suatu toko untuk membeli pensil dan buku yang sama. Ali membeli dua pensil dan dua buku, Ani membeli tiga pensil dan 4 buku, sedangkan Budi membeli satu pensil dan dua buku. Jika Ali dan Ani berturut-turut membayar $\text{Rp } 2.500,-$ dan $\text{Rp } 4.500,-$, maka Budi harus membayar $\dots$
Seorang Ayah berumur $39$ tahun mempunyai dua orang anak bernama Budi dan Wati. Tahun depan, selisih umur Ayah dan Budi dibandingkan dengan selisih umur Ayah dan Wati adalah $14 : 19$. Jika umur Ayah sekarang adalah tiga kali umur Budi ditambah enam kali umur Wati, maka jumlah umur Budi dan Wati tiga tahun yang akan datang adalah $\dots$
Perhatikan gambar berikut. Jika pada setiap persegi ditempatkan bilangan bulat positif sedemikian rupa sehingga perkalian bilangan-bilangan dari sembarang lima persegi yang berurutan menghasilkan $360$, maka jumlah bilangan pada semua persegi tersebut adalah $\dots$
Sebuah kotak berisi bola merah dan hijau. Jika empat bola merah dikeluarkan dari kotak maka sepersepuluh sisanya adalah bola merah. Akan tetapi jika empat bola hijau dikeluarkan dari kotak maka seperlima sisanya adalah bola merah. Banyak bola merah yang semula berada di dalam kotak tersebut adalah $\dots$
Tiga orang A, B, dan C pinjam meminjam kelereng. Pada awalnya ketiga orang tersebut memiliki sejumlah kelereng tertentu dan selama pinjam meminjam mereka tidak melakukan penambahan kelereng selain melalui pinjam meminjam diantara ketiga orang tersebut. Pada suatu hari A meminjami sejumlah kelereng kepada B dan C sehingga jumlah kelereng B dan C masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Hari berikutnya B meminjami sejumlah kelereng kepada A dan C sehingga jumlah kelereng A dan C masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Hari terakhir C meminjami sejumlah kelereng kepada A dan B sehingga jumlah kelereng A dan B masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Setelah dihitung akhirnya masing-masing memiliki $16$ kelereng. Banyak kelereng A mula-mula adalah $\dots$
Ani mempunyai uang $\text{Rp } 16.500,00$. Sejumlah uang itu akan dihabiskan untuk membeli $6$ buah peralatan sekolah. Ia membeli beberapa pensil dengan harga $\text{Rp } 2.000,00$ per pensil. Ia membeli beberapa buku dengan harga $\text{Rp } 2.500,00$ per buku, dan ia juga membeli beberapa kotak pensil dengan harga $\text{Rp } 4.000,00$ per kotak pensil. Banyak buku yang dibeli Ani adalah $\dots$
Dari suatu kelas, $\dfrac{3}{5}$ bagian siswanya adalah wanita. Ke dalam kelas tersebut ditambahkan $5$ siswa pria dan $5$ siswa wanita. Sekarang, $\dfrac{3}{7}$ bagian siswanya adalah pria. Berapa banyakkah siswa dalam kelas mula-mula?
Jika $a + b = 1$, $b + c = 2$, dan $c + a = 3$, maka $a + b + c = \dots$
Pak Rahman memiliki satu kantong permen yang akan dibagikan kepada anak-anak. Jika setiap anak diberi dua permen, maka di dalam kantong Pak Rahman tersisa empat permen. Namun jika setiap anak diberi tiga permen, maka ada dua anak yang tidak mendapat bagian dan satu anak yang mendapatkan dua permen. Banyak permen Pak Rahman di dalam kantong sebelum dibagikan adalah $\dots$
Jumlah dari setiap tiga bilangan asli yang terletak pada garis lurus pada gambar berikut selalu sama. Nilai dari $p + q + r + s$ adalah $\dots$
Seorang peternak memiliki $114$ hewan peliharaan yang terdiri dari kuda, sapi, kambing, ayam dan bebek. Banyak hewan berkaki empat adalah $8$ lebih sedikit dibandingkan hewan berkaki dua. Sedangkan sapi miliknya adalah $3$ lebih banyak dibanding kuda, tetapi $20$ lebih sedikit dibanding kambing. Di samping itu ayam miliknya adalah $13$ lebih sedikit dibanding bebek. Banyak sapi dan ayam milik peternak tersebut adalah $\dots$
Angka $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,$ dan $9$ akan ditempatkan ke masing-masing kotak pada gambar berikut sehingga jumlah mendatarnya sama dengan jumlah vertikalnya. $A$ adalah bilangan $5$ angka yang dibentuk dengan cara membaca secara vertikal dari atas ke bawah masing-masing bilangan di dalam kotak tersebut. Berapa banyak bilangan $A$ yang mungkin terbentuk?
Jumlah tiga bilangan adalah $19$. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua masing-masing dikurangi $1$, maka diperoleh dua bilangan dengan rasio $1:3$. Jika bilangan kedua dan ketiga masing-masing ditambah $3$, maka diperoleh dua bilangan dengan rasio $5:6$. Selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah $\dots$
Pada gambar berikut, Sembilan lingkaran kecil dalam lambang olimpiade akan diisi masing-masing dengan bilangan $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,$ atau $9$. Tentukan pengisian tersebut sehingga jumlah bilangan di dalam setiap lingkaran besar adalah $14$.
Dari hasil sensus diketahui bahwa penduduk suatu kota tak lebih dari $10.000$ orang dan anak-anak $20\%$ lebih banyak dari penduduk dewasa. Jika anak laki-laki $10\%$ lebih banyak dari anak perempuan, serta di antara penduduk dewasa terdapat $15\%$ lebih banyak perempuan, tentukan jumlah terbesar yang mungkin dari penduduk kota tersebut.
Demikian pembahasan materi Sistem Persamaan Linier Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
