Rumus-rumus Aljabar Olim SMP

·
         Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Rumus-rumus Aljabar Olim Matik SMP. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Rumus-rumus Aljabar Olim Matik SMP Level SMP Pemula. Tentuk masih ada banyak lagi berkaitan Rumus-rumus Aljabar pada materi olim matik SMP yang bisa sahabat koma pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Rumus-rumus Aljabar ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba dan soal-soal Latihan.

5. Rumus-rumus pada Aljabar

A). Rumus Aljabar Dua Variabel

  • 1). $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = (x+y)\left[\pm\sqrt{x^2+y^2-2xy}\right]$
  • 2). $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$
    $x^2 + y^2 = (x-y)^2 + 2xy$
  • 3). $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$
    $x^3 + y^3 = (x^2 + y^2)(x+y) - xy(x+y)$
    $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$
  • 4). $x^3 - y^3 = (x-y)^3 + 3xy(x-y)$
    $x^3 - y^3 = (x^2 + y^2)(x-y) + xy(x-y)$
    $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$
  • 5). $x^4 - y^4 = (x^2 + y^2)(x^2 - y^2)$
  • 6). $x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2$
    $x^4 + y^4 = (x^3 + y^3)(x+y) - xy(x^2 + y^2)$
  • 7). $x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1} + y^{n-1}) - xy(x^{n-2} + y^{n-2})$
  • 8). $x^{2n} - y^{2n} = (x^n + y^n)(x^n - y^n)$
  • 9). $x^{-2n} - y^{-2n} = (x^{-n} + y^{-n})(x^{-n} - y^{-n})$
  • 10). $x^n + y^{-n} = (x + y^{-1})(x^{n-1} + y^{1-n}) - xy^{-1}(x^{n-2} + y^{2-n})$
    $x^n + y^{-n} = (x + x^{-1})(x^{n-1} + x^{1-n}) - (x^{n-2} + x^{2-n})$
  • 11). $x^n - y^n = (x - y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 + \dots + x^2 y^{n-3} + xy^{n-2} + y^{n-1})$

    Untuk $n$ bilangan asli.

    Contoh:
    $x^4 - y^4 = (x-y)(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3)$
    $x^5 - y^5 = (x-y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4)$
  • 12). $x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1} - x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 - \dots + x^2 y^{n-3} - xy^{n-2} + y^{n-1})$

    Untuk $n$ bilangan ganjil.

  • 13). $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ dan $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
    (melengkapkan kuadrat sempurna)
  • 14). $(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$ dan $(x-y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x-y)$

B). Rumus Aljabar Tiga Variabel

  • 1). $(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz)$
  • 2). $(x+y+z+w)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + w^2 + 2(xy + xz + xw + yz + yw + zw)$
  • 3). $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz)$
  • 4). $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz = \frac{1}{2}[(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2]$
  • 5). $x^{n+3} + y^{n+3} + z^{n+3} = (x+y+z)(x^{n+2} + y^{n+2} + z^{n+2}) - (xy + yz + zx)(x^{n+1} + y^{n+1} + z^{n+1}) + xyz(x^n + y^n + z^n)$

Contoh Soal & Solusi Lengkap

Contoh 1: Sederhanakanlah bentuk berikut!

$$\frac{a^6 - b^6}{(a^3 - b^3)(a^2 - ab + b^2)}$$
Solusi / Pembahasan: Faktorkan pembilang $a^6 - b^6$ menggunakan selisih kuadrat: $$a^6 - b^6 = (a^3)^2 - (b^3)^2 = (a^3 - b^3)(a^3 + b^3)$$ Faktorkan lebih lanjut $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Substitusikan kembali ke pecahan: $$\frac{(a^3 - b^3)(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{(a^3 - b^3)(a^2 - ab + b^2)}$$ Bagi (coret) faktor yang sama pada pembilang dan penyebut: $$= a + b$$

Contoh 2: Diketahui $x - y = 9$ dan $xy = -15$, tentukan:

a). $(x+y)^2$

b). $x^4 + y^4$

Solusi / Pembahasan:

a). Menentukan $(x+y)^2$:

$$(x+y)^2 = (x-y)^2 + 4xy$$ $$(x+y)^2 = (9)^2 + 4(-15) = 81 - 60 = 21$$

b). Menentukan $x^4 + y^4$:

Cari nilai $x^2 + y^2$ terlebih dahulu: $$x^2 + y^2 = (x-y)^2 + 2xy = 9^2 + 2(-15) = 81 - 30 = 51$$ Kuadratkan $x^2 + y^2$: $$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2$$ $$x^4 + y^4 = (51)^2 - 2(-15)^2 = 2601 - 2(225) = 2601 - 450 = 2151$$

Contoh 3: Diketahui $x + \frac{1}{x} = 3$, tentukan nilai dari:

a). $x^3 + \frac{1}{x^3}$

b). $x^4 + \frac{1}{x^4}$

Solusi / Pembahasan:

a). Menentukan $x^3 + \frac{1}{x^3}$:

$$x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \frac{1}{x}\right)$$ $$x^3 + \frac{1}{x^3} = 3^3 - 3(3) = 27 - 9 = 18$$

b). Menentukan $x^4 + \frac{1}{x^4}$:

Cari $x^2 + \frac{1}{x^2}$ terlebih dahulu: $$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7$$ Gunakan nilai tersebut untuk mencari $x^4 + \frac{1}{x^4}$: $$x^4 + \frac{1}{x^4} = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 - 2 = 7^2 - 2 = 49 - 2 = 47$$

Contoh 4: Diketahui $x + y = 5$ dan $x^2 + y^2 = 15$, tentukan nilai dari $x^5 + y^5$?

Solusi / Pembahasan: 1. Cari nilai $xy$: $$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy \implies 5^2 = 15 + 2xy \implies 25 = 15 + 2xy \implies xy = 5$$ 2. Cari nilai $x^3 + y^3$: $$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = 5 \cdot (15 - 5) = 5 \cdot 10 = 50$$ 3. Hitung $x^5 + y^5$: $$x^5 + y^5 = (x^3 + y^3)(x^2 + y^2) - x^2y^2(x+y)$$ $$x^5 + y^5 = (50)(15) - (5)^2(5) = 750 - 125 = 625$$

Contoh 5: Untuk bilangan real $a, b,$ dan $c$, tentukan nilai minimum dari bentuk berikut:

$$3a^2 + 27b^2 + 5c^2 - 18ab - 30c + 237$$
Solusi / Pembahasan: Kelompokkan variabel untuk membuat bentuk kuadrat sempurna: $$3(a^2 - 6ab + 9b^2) + 5(c^2 - 6c) + 237$$ $$= 3(a - 3b)^2 + 5(c^2 - 6c + 9 - 9) + 237$$ $$= 3(a - 3b)^2 + 5(c - 3)^2 - 45 + 237$$ $$= 3(a - 3b)^2 + 5(c - 3)^2 + 192$$ Karena $(a - 3b)^2 \ge 0$ dan $(c - 3)^2 \ge 0$, nilai minimum tercapai saat $a - 3b = 0$ dan $c - 3 = 0$.
Sehingga, nilai minimumnya adalah 192.

Soal Latihan

1). $\sqrt{5050^2 - 4950^2} = \dots$?

A). 10 B). 100 C). 1000 D). 10000 E). 100000

2). Bentuk sederhana dari $(y + x)\{(x - y)[x(x - y) + y(y + x)]\}$ adalah ...

A). $x^4 + y^4$ B). $x^4 - y^4$ C). $y^4 - x^4$ D). $-(x^4 + y^4)$ E). jawaban A, B, C, dan D tidak ada yang benar

3). Jika jumlah dua bilangan adalah 3 dan selisih kuadrat bilangan itu adalah 6, maka hasil kali kedua bilangan itu adalah ...

4). Jika $\frac{3^{11}-1}{2}$ dibagi 9, maka sisanya adalah ...

A). 2 B). 3 C). 4 D). 6 E). 8

5). Jika barisan $x_1, x_2, x_3, \dots$ memenuhi $x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n = n^3$ untuk semua $n$ bilangan asli, maka $x_{100} = \dots$

6). Jika $(3 + 4)(3^2 + 4^2)(3^4 + 4^4)(3^8 + 4^8)(3^{16} + 4^{16})(3^{32} + 4^{32}) = 4^x - 3^y$, maka $x - y = \dots$

7). Jika $a = b + 2$, $a^2 = b^2 + 6$ dan $3(a+b)^2 c + 3(a+b)c^2 + c^3 = 10 + (a+b)^3$, maka nilai $c$ adalah ...

8). Misalkan $a$ dan $b$ adalah dua bilangan tertentu. Jika $a^2 + (a+b)b = a(b-a) + x$, maka $x = \dots$?

9). Dalam menentukan jawab perkalian bilangan 1493 dan 1507, seorang anak mengurangkan langsung 49 dari 2.250.000. dia sama sekali tidak mengalikan kedua bilangan itu dengan cara panjang. Prinsip matematika yang digunakan oleh anak tersebut adalah ...

10). Misalkan $a$ dan $b$ bilangan real positif. Jika $\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2} = 7$, maka $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \dots$

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMP

       Demikian pembahasan materi Rumus-rumus Aljabar Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.