7. Representasi Desimal Bilangan Bulat
A). Mengenal Basis Bilangan
i). Bilangan Basis 10
Sebarang bilangan asli $n$ dapat dinyatakan:
$$n = a_k 10^k + a_{k-1} 10^{k-1} + \dots + a_1 \cdot 10 + a_0$$Keterangan:
- $*)$. $0 < a_k < 10$ dan $0 \le a_i < 10$ untuk $i = 1, 2, \dots, k-1$.
- $*)$. $k =$ banyak digit $- 1$.
- $*)$. $k, a_0, a_1, \dots, a_k$ adalah bilangan bulat.
- $*)$. $n$ ditulis: $n = \overline{a_k a_{k-1} a_{k-2} \dots a_1 a_0}$
Penulisan ini disebut penulisan bilangan dalam basis 10. Bilangan yang biasa kita gunakan adalah bilangan dalam basis 10.
Contoh 1:
$$57.239 = 5 \cdot 10^4 + 7 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10 + 9$$
ii). Bilangan Basis $m$
Sebarang bilangan asli $n$ dapat dinyatakan:
$$n = a_k m^k + a_{k-1} m^{k-1} + \dots + a_1 \cdot m + a_0$$Keterangan:
- $*)$. $0 < a_k < m$ dan $0 \le a_i < m$ untuk $i = 1, 2, \dots, k-1$.
- $*)$. $k, m, a_0, a_1, \dots, a_k$ adalah bilangan bulat.
- $*)$. $n$ ditulis: $n = (a_k a_{k-1} a_{k-2} \dots a_1 a_0)_m$
- $*)$. $(a_k a_{k-1} a_{k-2} \dots a_1 a_0)_m$ disebut penulisan bilangan dalam basis $m$.
- $*)$. Jika $m = 10$, maka angka 10 tidak perlu dituliskan.
Contoh 2:
Berikut adalah beberapa contoh penulisan bilangan dalam basis tertentu.
- a). basis 2: $(1011)_2, (11001)_2, (10001)_2$
- b). basis 3: $(1021)_3, (2010)_3, (2021)_3$
- c). basis 7: $(5301)_7, (1623)_7, (2016)_7$
- d). basis 10: 2011, 89321, 4312
iii). Mengubah bilangan menjadi basis lain
1). Basis lain ke basis 10
Untuk mengubah basis lain ke basis 10, cukup menghitung nilai dari bentuk penjabarannya yaitu nilai $a_k m^k + a_{k-1} m^{k-1} + \dots + a_1 \cdot m + a_0$.
2). Basis 10 ke basis lain
Untuk mengubah basis 10 menjadi basis $m$, kita akan menentukan $a_0, a_1, a_2, \dots, a_k$ dengan cara membagi bilangan tersebut dengan $m$ secara terus menerus sehingga tidak bisa dibagi lagi, setiap sisa pembagian tersebut adalah nilai $a_0, a_1, a_2, \dots, a_k$ secara berurutan.
Contoh 3:
Ubahlah setiap bilangan berikut:
a). $(1101)_2$ menjadi basis 10
b). $(320)_5$ menjadi basis 10
c). 253 menjadi basis 2
d). 541 menjadi basis 5.
a). Mengubah $(1101)_2$ ke basis 10:
$(1101)_2 = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13$.
b). Mengubah $(320)_5$ ke basis 10:
$(320)_5 = 3 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5^1 + 0 \cdot 5^0 = 75 + 10 + 0 = 85$.
c). Mengubah 253 ke basis 2:
$253 \div 2 = 126$ sisa $1$ ($a_0$)
$126 \div 2 = 63$ sisa $0$ ($a_1$)
$63 \div 2 = 31$ sisa $1$ ($a_2$)
$31 \div 2 = 15$ sisa $1$ ($a_3$)
$15 \div 2 = 7$ sisa $1$ ($a_4$)
$7 \div 2 = 3$ sisa $1$ ($a_5$)
$3 \div 2 = 1$ sisa $1$ ($a_6$)
$1 \div 2 = 0$ sisa $1$ ($a_7$)
Ditulis berurutan dari sisa terakhir: $253 = (11111101)_2$.
d). Mengubah 541 ke basis 5:
$541 \div 5 = 108$ sisa $1$ ($a_0$)
$108 \div 5 = 21$ sisa $3$ ($a_1$)
$21 \div 5 = 4$ sisa $1$ ($a_2$)
$4 \div 5 = 0$ sisa $4$ ($a_3$)
Ditulis berurutan dari sisa terakhir: $541 = (4131)_5$.
Contoh 4:
Bilangan 2021 dapat dibentuk menjadi
$$2021 = a_1 3^{k_1} + a_2 3^{k_2} + \dots + a_n 3^{k_n},$$
dengan $a_1, a_2, \dots, a_n < 3$ dan $a_1, a_2, \dots, a_n \neq 0$. Tentukan nilai dari $a_1 + a_2 + \dots + a_n + k_1 + k_2 + \dots + k_n$?
Bentuk di atas merupakan representasi ekspansi dari bilangan 2021 ke dalam basis 3 dengan hanya menuliskan suku-suku berkoefisien bukan nol ($a_i \neq 0$). Kita konversi 2021 ke basis 3:
$2021 \div 3 = 673$ sisa $2$$673 \div 3 = 224$ sisa $1$
$224 \div 3 = 74$ sisa $2$
$74 \div 3 = 24$ sisa $2$
$24 \div 3 = 8$ sisa $0$
$8 \div 3 = 2$ sisa $2$
$2 \div 3 = 0$ sisa $2$
Diperoleh hasil konversinya $2021 = (2202212)_3$. Jika dijabarkan berdasarkan nilai tempat pangkatnya:
$$2021 = 2\cdot3^6 + 2\cdot3^5 + 0\cdot3^4 + 2\cdot3^3 + 2\cdot3^2 + 1\cdot3^1 + 2\cdot3^0$$Sesuai permintaan soal, hilangkan suku berkoefisien 0 ($0\cdot3^4$):
$$2021 = 2\cdot3^6 + 2\cdot3^5 + 2\cdot3^3 + 2\cdot3^2 + 1\cdot3^1 + 2\cdot3^0$$Dari bentuk ini didapatkan nilai komponen koefisien $a_i$ dan eksponen $k_i$:
- Jumlah koefisien ($a_i$): $2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 = 11$
- Jumlah pangkat ($k_i$): $6 + 5 + 3 + 2 + 1 + 0 = 17$
Nilai total dari $a_1 + a_2 + \dots + a_n + k_1 + k_2 + \dots + k_n = 11 + 17 = 28$.
Contoh 5:
Tentukan semua bilangan bulat positif dua digit yang memiliki sifat selisih bilangan tersebut dengan hasil perkalian kedua digitnya adalah 12?
Misalkan bilangan tersebut adalah $\overline{ab} = 10a + b$, dengan batasan nilai $1 \le a \le 9$ dan $0 \le b \le 9$. Berdasarkan deskripsi soal, didapat persamaan mutlak: $|(10a + b) - ab| = 12$.
Kemungkinan 1: $(10a + b) - ab = 12$
$$10a - 12 = ab - b \implies 10a - 12 = b(a - 1)$$ $$b = \frac{10a - 12}{a - 1} = \frac{10(a - 1) - 2}{a - 1} = 10 - \frac{2}{a - 1}$$Agar $b$ menghasilkan nilai bilangan bulat, nilai $(a - 1)$ harus merupakan faktor pembagi dari 2, yaitu 1 atau 2.
- Jika $a - 1 = 1 \implies a = 2$, didapat $b = 10 - \frac{2}{1} = 8$. Bilangannya adalah 28.
- Jika $a - 1 = 2 \implies a = 3$, didapat $b = 10 - \frac{2}{2} = 9$. Bilangannya adalah 39.
Kemungkinan 2: $ab - (10a + b) = 12$
$$b(a - 1) = 10a + 12 \implies b = \frac{10a + 12}{a - 1} = 10 + \frac{22}{a - 1}$$Karena syarat nilai $b$ harus berupa digit tunggal ($b \le 9$), maka persamaan $10 + \frac{22}{a - 1}$ tidak akan menghasilkan solusi digit tunggal yang valid untuk $a \ge 1$.
Jadi, semua bilangan bulat positif dua digit yang memenuhi syarat adalah 28 dan 39.
Contoh 6:
Tentukan semua bilangan bulat dengan digit pertama 6 sedemikian sehingga jika bilangan bulat pertama dihilangkan, hasilnya adalah $\frac{1}{25}$ dari bilangan semula!
Misalkan bilangan semula terdiri atas $(k+1)$ digit dan ditulis dalam bentuk $N = 6 \cdot 10^k + x$, dengan $x$ merupakan bilangan bulat berdigit $k$ yang tersisa setelah nilai digit pertama (6) dihilangkan.
Berdasarkan model perbandingan pada soal:
$$x = \frac{1}{25} N \implies 25x = 6 \cdot 10^k + x$$ $$24x = 6 \cdot 10^k \implies 4x = 10^k \implies x = \frac{10^k}{4} = 25 \cdot 10^{k-2}$$Agar menghasilkan bilangan bulat positif $x$, batas minimal nilai eksponen $k$ adalah $2$.
- Jika $k = 2 \implies x = 25 \cdot 10^0 = 25 \implies N = 600 + 25 = 625$.
- Jika $k = 3 \implies x = 25 \cdot 10^1 = 250 \implies N = 6000 + 250 = 6250$.
Secara umum, susunan bilangan bulat tersebut memenuhi pola deret geometri $N = 625 \cdot 10^m$ dengan syarat $m \in \text{bilangan cacah}$.
Jadi, semua bilangan bulat yang memenuhi adalah 625, 6250, 62500, ... dan seterusnya.
B). Ekspansi Basis 10 dengan ada digit sama
Ekspansi desimal dari bilangan cacah dengan beberapa digit atau perulangan angka yaitu:
$$\underbrace{\overline{aaa \dots a}}_{n} = a(10^{n-1} + 10^{n-2} + \dots + 10 + 1) = \frac{a}{9}(10^n - 1),$$ $$\underbrace{\overline{abcabc \dots abc}}_{n \text{ dari } \overline{abc}} = \overline{abc}(10^{3(n-1)} + 10^{3(n-2)} + \dots + 10^3 + 1) = \frac{\overline{abc}}{999}(10^{3n} - 1)$$Contoh 7:
Tentukan jumlah semua digit-digit hasil perkalian dari $999999999 \times 123456789$.
Misalkan $X = 123456789$. Nilai operasi perkalian dapat dimodifikasi menggunakan sifat distributif basis 10:
$$999999999 \times X = (10^9 - 1) \times X = X \cdot 10^9 - X$$ $$= 123456789000000000 - 123456789 = 123456788876543211$$Mari kita hitung akumulasi jumlah digit dari nilai produk di atas:
$$\text{Jumlah digit} = (1+2+3+4+5+6+7+8+8) + (8+7+6+5+4+3+2+1+1)$$ $$\text{Jumlah digit} = 44 + 37 = 81$$Jadi, jumlah semua digit-digit hasil perkaliannya adalah 81.
Contoh 8:
Terdapat bilangan 6 digits berbentuk $\overline{abcdef}$ yang memiliki sifat $\overline{defabc}$ adalah 6 kali dari $\overline{abcdef}$. Tentukan nilai dari $a + b + c + d + e + f$?
Mari kita pecah struktur bilangan tersebut menjadi dua buah blok 3-digit. Misalkan $\overline{abc} = x$ dan $\overline{def} = y$. Maka representasi nilai tempatnya dapat kita bangun sebagai berikut:
$$\overline{abcdef} = 1000x + y$$ $$\overline{defabc} = 1000y + x$$Berdasarkan informasi rasio pada soal:
$$\overline{defabc} = 6 \cdot \overline{abcdef} \implies 1000y + x = 6(1000x + y)$$ $$1000y + x = 6000x + 6y \implies 994y = 5999x$$Sederhanakan persamaan dengan membagi kedua ruas dengan FPB nilainya yaitu 7:
$$142y = 857x \implies \frac{x}{y} = \frac{142}{857}$$Karena nilai $x$ dan $y$ secara definisi harus merupakan bilangan bulat tepat 3 digit, dan didapati 857 merupakan bilangan prima asli, maka satu-satunya nilai rasio pecahan terkecil yang unik adalah $x = 142$ dan $y = 857$.
Maka struktur bilangan lengkapnya adalah $142857$ ($a=1, b=4, c=2, d=8, e=5, f=7$).
Nilai total dari $a + b + c + d + e + f = 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27$.
Contoh 9:
Tentukan semua bilangan bulat positif tiga digit yang sama dengan jumlah dari semua faktorial masing-masing digitnya!
Misalkan bilangan 3-digit tersebut adalah $\overline{abc} = 100a + 10b + c$. Berdasarkan ketentuan nilai soal: $100a + 10b + c = a! + b! + c!$.
Mari kita analisis batasan nilai faktorial digitnya:
- Nilai $6! = 720$ dan $7! = 5040$. Digit tidak boleh berharga $\ge 7$ karena melampaui batas nilai bilangan 3 digit.
- Jika salah satu komponen digit bernilai $6$, maka jumlahan faktorial minimum bernilai $720$, berakibat nilai digit ratusan ($a$) harus bernilai minimal 7. Hal ini kontradiksi dengan batasan atas nilai tempat.
- Maka batas nilai digit tertinggi yang rasional untuk digunakan adalah $5$ ($5! = 120$). Karena $5! = 120$, maka digit ratusan $a$ mutlak bernilai 1.
Substitusikan nilai $a = 1$ ke dalam persamaan utama:
$$100 + 10b + c = 1! + b! + c! \implies 99 + 10b + c = b! + c!$$Melalui pengujian kombinasi himpunan dari sisa digit berharga $\le 5$, kombinasi unik yang memenuhi persamaan adalah saat nilai $b = 4$ dan $c = 5$:
$$1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145$$Jadi, bilangan bulat positif tiga digit yang memenuhi adalah 145.
Soal Latihan:
a. $z$ terdiri dari 5 angka.
b. Angka penyusun $z$ tidak ada yang berulang.
c. Penjumlahan semua angka penyusun $z$ adalah 10.
d. Jika $z$ ditambah dengan bilangan cerminnya, maka akan diperoleh sebuah bilangan lima angka yang semua angkanya sama.
Bilangan $z$ terbesar yang mungkin adalah ...
Demikian pembahasan materi Representasi Desimal Bilangan Bulat Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
